2021-2022学年河南省郑州市新郑市高一(上)第一次段考数学试卷(解析版)

试卷

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.

1．已知集合S＝{t|t＝2n+1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n+1，n∈Z}，W＝{t|t＝8n+1，n∈Z}，则（S∩T）∪W＝（ ） A．∅

B．S

C．T

D．W

2．如果a＞b，那么下列各式一定成立的是（ ） A．C．

B．a2＞b2 D．

3．x（x+3）≥0的一个充分不必要条件是（ ） A．x≥3

B．x≥﹣3

C．x≤0

D．x≤1

4．2]， 若命题“∃x0∈[0，使得x02+mx0+2m﹣4＜0”为假命题，则实数m的取值范围是（ ）A．[0，+∞） 5．设函数A．f（2x﹣1）

B．（﹣∞，0]

C．[2，+∞）

D．（﹣∞，2]

，则下列函数中为偶函数的是（ ） B．f（2x）﹣1

C．f（2x+1）

D．f（x+1）﹣1

6．下面命题正确的是（ ）

A．命题“∃x0∈R，x02+1＞3x0”的否定是“∀x∉R，x2+1≤3x” B．“a＞1”是“

”的充要条件

C．不等式kx2+kx﹣1＜0对一切实数x恒成立的充要条件是﹣4＜k＜0 D．若a＞0，b＞0，3ab＝a+b+1，则ab的最小值为1 7．已知关于x的不等式组（ ）

A．（﹣10，﹣8）∪（4，6） C．（﹣10，﹣8]∪[4，6）

B．[﹣10，﹣8）∪（4，6] D．[﹣10，﹣8]∪[4，6]

，若对任意x∈[0，t﹣1]，

仅有一个整数解，则实数k的取值范围为

8．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，均有

，则实数t的最大值是（ ）

A． B．2 C． D．3

9．设函数f（x）的定义域为R，f（x+1）为奇函数，f（x+2）为偶函数，当x∈[1，2]时，f（x）＝kx+b．若f（0）+f（3）＝8，则A．﹣4

B．﹣3

＝（ ） C．3

D．4

10．下列函数中最小值为4的是（ ） A．

B．当x＞0时，C．当

时，

D．

11．下列说法正确的是（ ）

A．幂函数y＝xα始终经过点（0，0）和（1，1）

B．若函数f（x）＝x3，则对于任意的x1，x2∈R都有

C．若函数f（x）＝xα图像经过点（9，3），则其解析式为D．若函数

，则函数

是偶函数且在（0，+∞）上单调递增

12．符号[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]＝3，[﹣1.6]＝﹣2，定义函数：f（x）＝x﹣[x]，则下列命题正确的是（ ） A．函数f（x）的最大值为1，最小值为0 B．C．方程

有无数个根

D．函数f（x）在定义域上是单调递增函数 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知函数

，则其定义域为 ．

14．用m（x）表示f（x），g（x）中的较小者，记为m（x）＝min{f（x），g（x）}．若函

数f（x）＝，g（x）＝x+2，则min{f（x），g（x）}的最大值为 ．

15．已知定义域为[1﹣3a，a+1]的奇函数f（x）＝x3+bx2+x，则f（3x+b）+f（x+a）≥0的解集为 ． 16．fx）已知函数（＝

满足对任意x1≠x2都有

成立，那么实数a的取值范围是 ．

三、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知集合A＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣4）≤0}，B＝{x|1≤x≤6}． （1）当a＝1时，求A∪B，A∩∁RB；

（2）从①A∪B＝B；②“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件；③A∩∁RB＝∅ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答． 问题：若_____，求实数a的取值范围． 18．已知幂函数递增．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）解不等式f（3x+2）＞f（1﹣2x）． 19．已知函数f（x）＝x2﹣（2+3a）x+5，x∈[0，3]． （1）当a＝1时，求f（x）的最大值和最小值；

（2）若f（x）在区间[0，3]上的最大值为14，求实数a的值． 20．已知关于x的不等式ax2﹣5x+（b+4）＞0的解集为{x|x＜2或x＞3}． （1）求a，b的值； （2）当x+y＞0，z＞0且满足取值范围．

21．2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在武汉出现并很快地传染开来（已有11月国外已经存在新冠肺炎病毒）证据表明2019年10月、，对人类生命形成巨大危害．在中共中央、国务院强有力的组织领导下，全国人民万众一心抗击、防控新冠肺炎，疫情早在3月底已经得到了非常好的控制（累计病亡人数3869人），然而国外因国家体制、思想观念的不同，防控不力，新冠肺炎疫情越来越严重．疫情期间造成医用防护用品短缺，某厂家生产医用防护用品需投入年固定成本为150万元，每生产x万件，需另投入

时，有x+y+2z≥2k2﹣3k+4恒成立，求实数k的

是偶函数，且在（0，+∞）上单调

成本为C（x）．当年产量不足60万件时，于60万件时，

（万元）；当年产量不小

（万元）．通过市场分析，若每件售价为400

元时，该厂年内生产的商品能全部售完．（利润＝销售收入﹣总成本） （1）写出年利润L（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；

（2）年产量为多少万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？并求出利润的最大值． 22．已知函数

是定义在[﹣2，2]上的奇函数，且

．

（1）求实数a，b的值；

（2）判断f（x）在[﹣2，2]上的单调性，并用定义证明；

（3）设g（x）＝kx2+2kx+1（k≠0），若对任意的x1∈[﹣2，2]，总存在x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）＝g（x2）成立，求实数k的取值范围．

参考答案

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.

1．已知集合S＝{t|t＝2n+1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n+1，n∈Z}，W＝{t|t＝8n+1，n∈Z}，则（S∩T）∪W＝（ ） A．∅

B．S

C．T

D．W

【分析】推导出S∩T＝T，W⊆T，由此得到（S∩T）∪W＝T

解：∵集合S＝{t|t＝2n+1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n+1，n∈Z}，W＝{t|t＝8n+1，n∈Z}， ∴S∩T＝T，W⊆T， ∴（S∩T）∪W＝T． 故选：C．

2．如果a＞b，那么下列各式一定成立的是（ ） A．C．

B．a2＞b2 D．

【分析】利用特值法即可判断A，B，C，由不等式的性质即可判断D． 解：当a＞0＞b时，＞，故A错误； 取a＝﹣1，b＝﹣2，a2＜b2，故B错误； 取a＝1，b＝﹣1，a﹣＝b﹣＝0，故C错误； 因为a＞b，故选：D．

3．x（x+3）≥0的一个充分不必要条件是（ ） A．x≥3

B．x≥﹣3

C．x≤0

D．x≤1

＞0，所以

＞

，故D正确．

【分析】求出不等式x（x+3）≥0的解集，从而得出不等式成立的一个充分不必要条件是什么．

解：不等式x（x+3）≥0对应方程的两个实数根为﹣3和0， 所以该不等式的解集为{x|x≤﹣3或x≥0}，

所以不等式x（x+3）≥0的一个充分不必要条件是选项A的x≥3．

故选：A．

4．2]， 若命题“∃x0∈[0，使得x02+mx0+2m﹣4＜0”为假命题，则实数m的取值范围是（ ）A．[0，+∞）

B．（﹣∞，0]

C．[2，+∞）

D．（﹣∞，2]

【分析】根据题意，分析可得命题的否定：∀x∈[0，2]，有x2+mx+2m﹣4≥0为真命题，将x2+mx+2m﹣4≥0变形可得x﹣2+m≥0，结合x的范围分析可得答案． 解：根据题意，若命题“∃x0∈[0，2]，使得x02+mx0+2m﹣4＜0”为假命题， 则其否定：∀x∈[0，2]，有x2+mx+2m﹣4≥0为真命题， 即x2﹣4+m（x+2）x≥0在x∈[0，2]上恒成立， 变形可得：x﹣2+m≥0，即m≥2﹣x在[0，2]恒成立， 又由0≤x≤2，必有m≥2，即m的取值范围为[2，+∞）； 故选：C． 5．设函数A．f（2x﹣1）

，则下列函数中为偶函数的是（ ） B．f（2x）﹣1

C．f（2x+1）

D．f（x+1）﹣1

【分析】由函数奇偶性的定义判断即可． 解：函数

，

则f（﹣x）＝f（x），所以f（x）为偶函数，

所以f（﹣2x）﹣1＝f（2x）﹣1，故f（2x）﹣1是偶函数． 故选：B．

6．下面命题正确的是（ ）

A．命题“∃x0∈R，x02+1＞3x0”的否定是“∀x∉R，x2+1≤3x” B．“a＞1”是“

”的充要条件

C．不等式kx2+kx﹣1＜0对一切实数x恒成立的充要条件是﹣4＜k＜0 D．若a＞0，b＞0，3ab＝a+b+1，则ab的最小值为1

【分析】利用否命题的定义判断A，利用充分必要条件的定义判断B，利用不等式恒成立求出k的值判断C，利用基本不等式求最值判断D．

解：A：命题∃x0∈R，x02+1＞3x0的否定是∀x∈R，x2+1≤3x，∴A错误， B：当a＜0时，则

，∴a＞1不是

的充要条件，∴B错误，

C：不等式kx2+kx﹣1＜0对一切实数x恒成立， 则①当k＝0时，﹣1＜0恒成立， ②当

时，则﹣4＜k＜0，

∴不等式kx2+kx﹣1＜0对一切实数x恒成立的充要条件是﹣4＜k≤0，∴C错误， D：∵a＞0，b＞0，3ab＝a+b+1， ∴3ab＝a+b+1≥2

+1，∴3

﹣2

﹣1≥0，

解得ab≥1，即ab的最小值为1，∴D正确， 故选：D．

7．已知关于x的不等式组（ ）

A．（﹣10，﹣8）∪（4，6） C．（﹣10，﹣8]∪[4，6）

B．[﹣10，﹣8）∪（4，6] D．[﹣10，﹣8]∪[4，6]

仅有一个整数解，则实数k的取值范围为

【分析】利用十字相乘法化简不等式组，再分﹣＞﹣1，﹣＜﹣1和﹣＝﹣1三种情况，讨论不等式组整数解的个数，列出关于k的不等式，解之即可． 解：

⇒

，

当﹣＞﹣1，即k＜2时，不等式组等价于，

若不等式组仅有一个整数解，则4＜﹣≤5，即﹣10≤k＜﹣8；

当﹣＜﹣1，即k＜2时，不等式组等价于，

若不等式组仅有一个整数解，则﹣3≤﹣＜﹣2，即4＜k≤6；

当﹣＝﹣1，即k＝2时，（2x+k）（x+1）＜0等价于（x+1）2＜0，无解，不符合题意，综上所述，实数k的取值范围为[﹣10，﹣8）∪（4，6]． 故选：B．

8．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，

，若对任意x∈[0，t﹣1]，

均有A．

，则实数t的最大值是（ ） B．2

C．

D．3

f（|x|）恒成立，由函数解

【分析】根据函数奇偶性将不等式等价转化为f（|x﹣t|）≥析式可得论．

解：∵f（x）是定义在R上的偶函数， ∴不等式

∵当x≥0时，f（x）＝∴不等式等价为

恒成立等价为f（|x﹣t|）≥． ≥

恒成立，

≥

恒成立，然后利用幂函数的单调性建立条件关系即可得到结

f（|x|）恒成立，

即|x﹣t|≥2|x|在[0，t﹣2]上恒成立， 平方得x2﹣2tx+t2≥4x2，

即3x2+2tx﹣t2≤0在[0，t﹣1]上恒成立， 设g（x）＝3x2+2tx﹣t2，

则满足，

∴，

解得1＜t≤， ∴实数t的最大值是． 故选：A．

9．设函数f（x）的定义域为R，f（x+1）为奇函数，f（x+2）为偶函数，当x∈[1，2]时，f（x）＝kx+b．若f（0）+f（3）＝8，则A．﹣4

B．﹣3

＝（ ） C．3

D．4

【分析】根据题意，分析可得f（x+4）＝f（x），由函数的对称性可得f（0）+f（3）＝（﹣ka﹣b）+（k+b）＝﹣k＝8，求出k、b的值，进而可得f（数的解析式计算可得答案．

解：根据题意，f（x+1）为奇函数，则有f（1）＝0，且f（x+1）＝﹣f（﹣x+1），

）＝f（），结合函

又由f（x+2）为偶函数，则有f（x+2）＝f（﹣x+2），

故由f[（x+1）+1]＝﹣f[﹣（x+1）+1]＝﹣f（﹣x），即f（x+2）＝﹣f（﹣x）， f（x+4）＝﹣f[﹣（x+2）]＝f（x），f（x）是周期为4的周期函数； 又由f（x+1）为奇函数，则f（2）＝﹣f（0）＝2k+b，则f（0）＝﹣2k﹣b， f（x+2）为偶函数，则f（3）＝f（1）＝k+b，

若f（0）+f（3）＝8，则（﹣2k﹣b）+（k+b）＝﹣k＝8，则k＝﹣8， 又由f（1）＝k+b＝0，则b＝8， 所以当x∈[1，2]时，f（x）＝﹣8x+8， f（

）＝f（）＝﹣8×+8＝﹣4．

故选：A．

10．下列函数中最小值为4的是（ ） A．

B．当x＞0时，C．当

时，

D．

【分析】利用举实例判断AC，利用基本不等式的性质判断BD． 解：A：当x＝﹣1时，y＝﹣5，∴y的最小值不为4，∴A错误， B：当x＞0时，y＝当且仅当x+1＝

＝x+1+

≥2

＝4，

，即x＝1时取等号，∴y的最小值为4，∴B正确，

C：当x＝0时，y＝﹣，∴y的最小值不为4，∴C错误，

D：∵y＝+≥2＝4，当且仅当＝，

即x2＝﹣1时取等号，∴x不存在，∴D错误， 故选：B．

11．下列说法正确的是（ ）

A．幂函数y＝xα始终经过点（0，0）和（1，1）

B．若函数f（x）＝x3，则对于任意的x1，x2∈R都有

C．若函数f（x）＝xα图像经过点（9，3），则其解析式为D．若函数

，则函数

是偶函数且在（0，+∞）上单调递增

【分析】根据幂函数的性质逐一判断即可．

解：对于A，幂函数y＝xα，当α≤0时，函数图象不经过点（0，0），故A错误； 对于B，当x≥0时，函数f（x）＝x3是凹函数，对于任意的x1，x2∈[0，+∞）都有

，故B错误；

对于C，若函数f（x）＝xα图像经过点（9，3），则9α＝3，解得α＝，所以f（x）＝

＝

，故C正确；

在（0，+∞）上单调递减，故D错误．

对于D，因为﹣＜0，所以函数故选：C．

12．符号[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]＝3，[﹣1.6]＝﹣2，定义函数：f（x）＝x﹣[x]，则下列命题正确的是（ ） A．函数f（x）的最大值为1，最小值为0 B．C．方程

有无数个根

D．函数f（x）在定义域上是单调递增函数

【分析】先理解函数f（x）＝x﹣[x]的含义，再针对选项对该函数的最值、单调性以及周期性进行分析、判断正误即可．

【解答】对A，函数定义域为全体实数时，0≤x﹣[x]＜1，故A错误；

对B，f（﹣）＝﹣﹣[﹣]＝﹣﹣（﹣1）＝，f（）＝﹣[]＝﹣0＝，所以f（﹣）＞f（），故B错误；

fx）对C，函数（每隔一个单位重复一次，是以1为周期的函数，所以方程有无数个根，故C正确；

对D，f（﹣1）＝﹣1﹣（﹣1）＝0，f（﹣1.5）＝﹣1.5﹣（﹣2）＝0.5，f（1.5）＝1.5

﹣1＝0.5，所以函数不是增函数，故D错误． 故选：C．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知函数

，则其定义域为 {x|x≤﹣1或x＞2且x≠3} ．

【分析】由根式内部的代数式大于等于0求解分式不等式得答案． 解：由题意，

解得x≤﹣1或x＞2且x≠3． ∴函数

，则其定义域为{x|x≤﹣1或x＞2且x≠3}． ，则

，

故答案为：{x|x≤﹣1或x＞2且x≠3}．

14．用m（x）表示f（x），g（x）中的较小者，记为m（x）＝min{f（x），g（x）}．若函数f（x）＝

，g（x）＝x+2，则min{f（x），g（x）}的最大值为 2 ．

【分析】由题意可画出函数min{f（x），g（x）}的图象，由图可知答案． 解：由题意可画出函数min{f（x），g（x）}的图象如下图所示：

由图可知，其最大值为2． 故答案为：2．

15．已知定义域为[1﹣3a，a+1]的奇函数f（x）＝x3+bx2+x，则f（3x+b）+f（x+a）≥0的解集为 [﹣，] ．

f【分析】根据题意，由函数为奇函数可得1﹣3a+a+1＝0，可得a的值，（﹣x）＝﹣f（x），可得b的值，即可得函数f（x）的解析式，分析可得函数f（x）为增函数，由此可以将f（3x+b）+f（x+a）≥0转化为f（3x）≥f（﹣x﹣1），由函数的定义域以及单调性可得x

的不等式组，从而得解．

解：由已知可得1﹣3a+a+1＝0，解得a＝1，

f（﹣x）＝﹣f（x），即﹣x3+bx2﹣x＝﹣x3﹣bx2﹣x，可得b＝0， 所以奇函数f（x）＝x3+x，定义域为[﹣2，2]，且为增函数，

f（3x+b）+f（x+a）≥0⇒f（3x）≥﹣f（x+1）⇒f（3x）≥f（﹣x﹣1）， 则有

，解可得﹣≤x≤，

即f（3x+b）+f（x+a）≥0的解集为[﹣，]． 故答案为：[﹣，]．

16．fx）已知函数（＝满足对任意x1≠x2都有

成立，那么实数a的取值范围是 [0，1] ．

【分析】根据题意，由函数单调性的定义分析可得函数f（x）在R上为增函数，据此可得不等式组，可得a的范围． 解：由题，对任意x1≠x2都有数．

成立，可得函数f（x）在R上为增函

∴，解得0≤a≤1，

∴实数a的取值范围是[0，1]． 故答案为：[0，1]．

三、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知集合A＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣4）≤0}，B＝{x|1≤x≤6}． （1）当a＝1时，求A∪B，A∩∁RB；

（2）从①A∪B＝B；②“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件；③A∩∁RB＝∅ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答． 问题：若_____，求实数a的取值范围．

【分析】（1）当a＝1时，分别求解AB集合，由集合的运算可得A∪B，A∩∁RB；

（2）从三个条件中任选一个，若选择①、②和③分别建立不等式即可求得． 解：（1）当a＝1时，集合A＝[a﹣2，a+2]＝[﹣1，3]．B＝[1，6]， 所以A∪B＝[﹣1，6]，∁RB＝（﹣∞，1）∪（6，+∞）， A∩∁RB＝[﹣1，1）．

（2）若选择①A∪B＝B，则A⊆B，

因为A＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣4）≤0}，所以A≠∅， 所以

，解得3≤a≤4，

所以实数a的取值范围是[3，4]；

若选择②“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则A⊊B， 因为A＝[a﹣2，a+2]，所以A≠∅， 所以

，解得3≤a≤4，

所以实数a的取值范围是[3.4]， 若选择③，A∩∁RB＝∅，

因为A＝[a﹣2，a+2]，所以A≠∅， 又∁RB＝{x|x＜1或x＞6}，所以所以实数a的取值范围是[3，4]． 18．已知幂函数递增．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）解不等式f（3x+2）＞f（1﹣2x）．

【分析】（1）根据幂函数的定义列方程求出m的值，根据f（x）为偶函数求出k的值，结合题意写出f（x）的解析式．

（2）由f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上为增函数，把不等式f（3x+2）＞f（1﹣2x）化为|3x+2|＞|1﹣2x|，解不等式即可． 解：（1）函数

是幂函数，所以3m2﹣2m+1＝1， 是偶函数，且在（0，+∞）上单调

，解得3≤a≤4，

解得m＝0或m＝，又f（x）为偶函数，所以3k﹣k2+4是偶数， 又f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以3k﹣k2+4＞0，解得1＜k＜4， 又k∈Z，所以k＝0，1，2或3；

当k＝0或3时，3k﹣k2+4＝4， 当k＝1或2时，3k﹣k2+4＝6， 所以f（x）＝x4或f（x）＝x6．

（2）由f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上为增函数， 所以不等式f（3x+2）＞f（1﹣2x）， 可化为f（|3x+2|）＞f（|1﹣2x|）， 即|3x+2|＞|1﹣2x|，

两边平方得9x2+12x+4＞1﹣4x+4x2， 化简得5x2+16x+3＞0， 解得x＜﹣3或x＞﹣，

所以不等式的解集为（﹣∞，﹣5）∪（﹣，+∞）． 19．已知函数f（x）＝x2﹣（2+3a）x+5，x∈[0，3]． （1）当a＝1时，求f（x）的最大值和最小值；

（2）若f（x）在区间[0，3]上的最大值为14，求实数a的值． 【分析】（1）求得二次函数的对称轴，考虑单调性，可得最值；

（2）求得二次函数的对称轴，讨论对称轴与的大小关系，可得最大值，解方程可得a．解：（1）当a＝1时，f（x）＝x2﹣5x+5＝（x﹣）2﹣，x∈[0，3]， 又因为二次函数的图像开口向上，对称轴为x＝， 所以x＝时，f（x）min＝﹣；当x＝0时，f（x）max＝5； （2）f（x）＝x2﹣（2+3a）x+5，x∈[0，3]， 对称轴为x＝当

，

≤，即a≤时，

f（x）max＝f（3）＝8﹣19a＝14，解得a＝﹣； 当x＝

＞，即a＞时，f（x）max＝f（0）＝5≠14，此时不符合题意．

综上可得a＝﹣．

20．已知关于x的不等式ax2﹣5x+（b+4）＞0的解集为{x|x＜2或x＞3}．

（1）求a，b的值； （2）当x+y＞0，z＞0且满足取值范围．

【分析】（1）一元二次不等式的解集与一元二次方程根之间的关系，结合根与系数的关系，列式求解即可；

（2）将问题转化为利用基本不等式求解x+y+2z的最值，再利用一元二次不等式的解法求解即可．

解：（1）因为关于x的不等式ax2﹣5x+（b+4）＞0的解集为{x|x＜2或x＞3}， 所以2和3为方程ax2﹣5x+（b+4）＝0的两个根，且a＞0，

时，有x+y+2z≥2k2﹣3k+4恒成立，求实数k的

则，解得a＝1，b＝2，

经检验a＝1，b＝2满足条件， 故a＝1，b＝2；

（2）由（1）可知，a＝1，b＝2， 所以有

，

因为x+y＞0，z＞0， 故x+y+z＝当且仅当

时取等号，

＝

，

由题意，x+y+2z≥2k2﹣3k+4恒成立， 则2k2﹣3k+4≤9，即2k2﹣3k﹣5≤0， 解得

，

．

所以实数k的取值范围为

21．2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在武汉出现并很快地传染开来（已有11月国外已经存在新冠肺炎病毒）证据表明2019年10月、，对人类生命形成巨大危害．在中共中央、国务院强有力的组织领导下，全国人民万众一心抗击、防控新冠肺炎，疫情早在3月底已经得到了非常好的控制（累计病亡人数3869人），然而国外因国家体制、思想观念的不同，防控不力，新冠肺炎疫情越来越严重．疫情期间造成医用防护用品短

缺，某厂家生产医用防护用品需投入年固定成本为150万元，每生产x万件，需另投入成本为C（x）．当年产量不足60万件时，于60万件时，

（万元）；当年产量不小

（万元）．通过市场分析，若每件售价为400

元时，该厂年内生产的商品能全部售完．（利润＝销售收入﹣总成本） （1）写出年利润L（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；

（2）年产量为多少万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？并求出利润的最大值．

【分析】（1）由利润＝销售收入﹣总成本写出分段函数的解析式即可； （2）利用配方法和基本不等式分别求出各段的最大值，再取两个中最大的即可． 解：（1）当0≤x＜60，x∈N+时，

．

当x≥60，x∈N+时，

．

∴．

（2）当0≤x＜60，x∈N+时，，

故当x＝20时，L（x）取得最大值L（20）＝50（万元） 当x≥60，x∈N+时，当且仅当

，即x＝90时等号成立．

即x＝90时，L（x）取得最大值1050万元．

综上，所以即生产量为90万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大为1050万元．22．已知函数

是定义在[﹣2，2]上的奇函数，且

．

（1）求实数a，b的值；

（2）判断f（x）在[﹣2，2]上的单调性，并用定义证明；

（3）设g（x）＝kx2+2kx+1（k≠0），若对任意的x1∈[﹣2，2]，总存在x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）＝g（x2）成立，求实数k的取值范围．

【分析】（1）（1）＝

＝可求得a；

是定义在[﹣2，2]上的奇函数⇒f（0）＝＝0⇒b＝0，由f

（2）f（x）在[﹣2，2]上单调递增，用定义证明，任取﹣2≤x1＜x2≤2，作差f（x1）﹣f（x2）后化积，分析符号，可证得结论成立；

（3）依题意知，f（x）的值域为g（x）的值域的子集，由（2）知：f（x）∈[﹣，]，分k＞0与k＜0讨论，分析可求得实数k的取值范围． 解：（1）因为函数＝0；.......1分 又f（1）＝所以

＝⇒a＝4.........................................2分 ，经检验，该函数为奇函数．.........3分

是定义在[﹣2，2]上的奇函数，所以f（0）＝＝0⇒b

（2）f（x）在[﹣2，2]上单调递增， 证明如下：任取﹣2≤x1＜x2≤2， f（x1）﹣f（x2）＝

﹣

＝

＝

，其中x1x2﹣4＜0，x2﹣x1＞0，

所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），故f（x）在[﹣2，2]上单调递增．........7分

（3）由于对任意的x1∈[﹣2，2]，总存在x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）＝g（x2）成立， 所以f（x）的值域为g（x）的值域的子集..........................................8分 而由（2）知：f（x）∈[﹣，]，

当k＞0时，g（x）在[﹣1.2]上递增，g（x）∈[1﹣k，8k+1]，

所以，即k≥....................10分

当k＜0时，g（x）在[﹣1.2]上递减，g（x）∈[8k+1，1﹣k]，

所以，即k≤﹣．....................11分

综上所述，k∈（﹣∞，﹣

]∪[，+∞）．....................12分