从一道高三联考题说起

维普资讯 http://www.cqvip.com ２００８年第７期　中学教研（数学）　・２１・　Ｃ．椭圆Ｄ．抛物线　端点　在ＤＤ　上运动，另一个端点Ⅳ在底面ＡＢＣＤ上运　分析如图４，过Ｐ作ＰＯ上ＯＬ于点０，以过点０与ｆ平　动，则ＭＮ中点Ｐ的轨迹与直平行六面体的面所围成的几　行的直线为Ｙ轴，以ＯＰ为。轴建立空间直角坐标系，过Ｑ　何体的体积为　（　）　作ＱＡ／ｘ轴于点Ａ．设Ｑ（　，Ｙ，０），则Ａ（　，０，０）．由Ｐ点固　定，不妨设Ｐ（０，０，ｈ）．由题意，知ＱＡ＝ＰＡ，因此ｙ２＝　＋　Ａ号　Ｂ．２９＂ｒｒ　ｃ．４９＂ｒｒ　Ｄ．４３＂ｒｒ　ｈ　．故选Ｂ．　分析如图５，由题意，当　或Ⅳ与点Ｄ重合时，　＝　点评建立空间坐标系把立体几何与解析几何直接联　１；当　或Ⅳ与点Ｄ不重合时，　，Ⅳ，Ｄ三点构成直角三角　系起来．　形，　为斜边上的中线，　＝１，所以点Ｐ是以Ｄ为球心，　半径为１的球在直平行六面体内部的部分．由于／＿ＡＤＣ＝　１２０。，因此　＝÷・÷・÷盯　＝　．　故选Ｂ．　点评利用ＭＮ为定长这一特点，巧妙地转化为球的　图４　图５　定义来求解．　４轨迹为空间图形　通过以上几例，不难发现，解决立体几何中轨迹问题的　例６　已知在每条棱长都为３的直平行六面体　关键在于把不同平面（即空间）上的条件转化到同一平面　ＡＢＣＤ－Ａ１ＢｌＣｉＤｌ中，／＿ＢＡＤ＝６０。，长为２的线段ＭＮ的一个　（即平面）中去，然后用解析几何方法去求轨迹．　从一道高三联考题说起　◆杨冬梅　（象山中学浙江宁波３１５７００）　弓ｌ题　已知椭圆　＋告＝１（。＞６＞ｏ）长半轴长等于　从而ｙ＝ｋ口　ａｎｌ（　—　）＋ｙ　＝Ｙ　‘　＋　Ｙ２（－－Ｘ１０　ｌ）＋ｙ。‘　　，一一　，（　ｌ＋　２）＋８　Ｙｔ　ｌ—Ｙ２ｘｌ—Ｙｌ　１一　２Ｙｌ　＝——————————————＿　十一　ｌ一　２　ｌ—Ｘ２　Ｌ　：兰　（　＋１），　故直线过定点（一１，０）．　方法２（２）设线：设线为解决问题的主线，利用韦达　定理以及设而不求的思想解决圆锥曲线与直线位置关系的　问题．本题以直线为核心展开探解．　设Ａ（　，Ｙ　），Ｂ（　，Ｙ２），贝０　Ｂ　（　，一ｙ２），易得Ｍ（一４，　０），直线ＭＡ的方程为　Ｙ＝　＋　。’４　（　＋４）．　’　Ａ（　ｌ，．ｙ由１嚣　）　，日（　２，ｙ２），则得　日１（　２，　焉　■卅　—　．『　２，ｌ　因为　【｝＋予＝・，　所以［３（ｘ　＋４）　＋　］２＋３２￣ｘ＋　一１２（ｘ　＋４）　＝ｏ，　从而　孝　，　得　铲一蒜一羔，　维普资讯 http://www.cqvip.com

・２２・　中学教研（数学）　２００８年第７期　所　（一　，　），因此　＝者，Ｂ９彻　的方　又　程为ｙ—ｙ１＝　圆的焦点．　口　＋鲁０＝　，　＋鲁口　０２一＝　，　（　—　），直线过定点（一１，０），此点为椭　且Ｙｌ＝Ａ　，所以　）ｔ２　；　。　可’　２　方法３设点：设点为解决问题的主线．　设Ａ（　，Ｙ　），Ｂ（　２，Ｙ２），则Ｂ　（　２，一ｙ２），易得　（一４，　解得％＝　１７１，，一　即点Ｂ为一定点（、　　，１７１，，０）　．因为ｍ＝一寺，Ｃ　即　０）．设　：Ａ商，ＡＢ　与　轴的交点为Ｐ（　，０），则　Ｙｌ一０＝Ａ（ｙ２—０），　即０一Ｙｌ＝Ａ（一扎＋０），　点Ｂ（一ｃ，０），所以直线ＰＱ　过椭圆的左焦点．　对于双曲线、抛物线也有类似的性质．　推广２若Ａ为双曲线　一告＝１（ｏ＞０，ｂ＞０）的右准　线与对称轴的交点，双曲线的右焦点为Ｆ，过Ａ作一直线ｚ　于是Ａ户：Ａ船：，易得　．　１一Ａｘ２　ｌ＋Ａ　２　叫　１＝　，　＝　，１　，　手＋季　手＋譬　，即　＝１，故直线过定点　交双曲线右支于Ｐ，Ｑ两点，Ｑ关于　轴的对称点为Ｑ　，则　直线ＰＱ　过椭圆的右焦点Ｆ（ｃ，０）．　推广３若点Ｐ是抛物线ｙ２＝２ｐ．（ｐ＞０）的准线　＝　一　因为ｙ　＝Ａｙ２，所以４＝　（一１，０），此点为椭圆的焦点．　与　轴的交点，过点Ｐ作一直线｛交抛物线于Ａ，Ｂ两　点．又Ｂ关于　轴的对称点为Ｂ　，连结ＡＢ　交　轴于点Ｑ，　评析本题得分率非常低，１４分的题，多数学生的得　则直线ＡＢ　过抛物线的焦点Ｆ（号，０１．　类比椭圆的证明过程，易证双曲线、抛物线的性质．　分在７分左右．分析其主要原因，没能抓住解决问题的主　线，思维混乱，用了很多时间，但效率很低．笔者提出的２条　思路，对于解决直线与圆锥曲线位置关系问题非常有效．　波利亚强调：“解题不单单是为了找到答案”、“把习题　看作是精密研究的对象，而把解答习题看作是设计和发明　接下来，通过教师的“分层设计”，引导学生对问题进　行一些引申，结果整理如下：　引申１若Ａ，Ｂ为椭圆　＋鲁＝１（ｏ＞ｂ＞０）长轴的２　２　的目标”，因此仅仅呈现解法是不够的，要使学生得到深层　次的认知和能力上的内化，教师要对问题结构成因进行点　拨，使问题得以发挥最大的效率．　波利亚对“一般化”的解释，所谓一般化习题条件就是　指“从条件的一个给定集合过渡到考虑包含这个给定集合　的另一类集合”，它也是引发数学习题推广与引申的重要方　法之一．　个端点，点Ｐ是其准线｛：　＝　上任一点，直线　，朋分别　与椭圆交于　，Ⅳ两点（不同于Ａ，Ｂ），则直线ＭＮ恒过定点　Ｆ（ｃ，０）．　引申２若Ａ，Ｂ为双曲线　一告＝１（ｏ，６＞０）实轴的　一２　笔者将条件一般化，推广到一般情形，得到推广１．　２个端点，点Ｐ是其准线ｚ：　＝　上任一点，直线　，朋分　别与双曲线交于　，Ⅳ两点（不同于Ａ，　），则直线ＭＮ恒过　引申３若点Ｐ是抛物线ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）的准线　＝　一　推广１若点Ａ为椭圆　＋寺＝１（。＞６＞０）的左准线　定点Ｆ（ｃ，０）．　与对称轴的交点，椭圆的左焦点为Ｆ，过Ａ作一直线｛交椭　圆于Ｐ，Ｑ两点，Ｑ关于　轴的对称点为Ｑ　，则直线ＰＱ　过　椭圆的左焦点Ｆ（一Ｃ，０）．　证明设直线｛过Ａ（／７／，，０）（其中／７／，＝一　）与椭圆交　上的任一点，直线ＯＰ与抛物线相交于点　（不同于顶　点０），过点Ｐ且与对称轴平行的直线与抛物线相交于点　于Ｐ（　，Ｙ　），Ｑ（ｘ：，Ｙ２），ＰＱｌ交　轴于点　，而Ｑ　与Ｑ关于　对称，因此Ｑ　（　：，一ｙ２）．设　＝Ａ　，则　Ｙｌ一０＝Ａ（Ｙ２—０），　即０一Ｙｌ＝Ａ（一Ｙ２＋０），　Ｍ，直线ＭＮ恒过定点Ｆｆ号，０１．　参考文献　所以　朋：Ａ曰Ｑ，　．由　：Ａ　Ａ－－４，得一　删　一；由蔬：Ａ蔚得，％：　苏立标．探求抛物线对称轴上的定点的性质［Ｊ］．中学数　学月刊，２００６（１０）：２３—２４．　２　徐国土．谈谈变式教学中问题结构条件的认识［Ｊ］．中学　数学教学参考，２ＯＯ６（９）：１１—１３．　Ａ２ｘ；　‘　３　邓成，杨冬梅．新课标下同一内容“分层设计”的教学反　思［Ｊ］．中学教研（数学），２００７（９）：１—３．　％ｍ