平泉县第四中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 函数y=
的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
2． 下列命题中正确的是（ ）
A．若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∧q”为真命题 B．命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy=0，则x≠0” C．“
”是“
”的充分不必要条件
”
），则下列结论正确的是（ ）
对称 ）上是增函数
个单位长度得到
|=|
|，
在
方向上的投影为（ ）
D．命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是“3． 已知函数f（x）=3cos（2x﹣A．导函数为
B．函数f（x）的图象关于直线C．函数f（x）在区间（﹣
，
D．函数f（x）的图象可由函数y=3co s2x的图象向右平移4． △ABC的外接圆圆心为O，半径为2，A．﹣3 B．﹣
C．
D．3
+
+
=，且|
5． （m+1）x2﹣（m﹣1）x+3（m﹣1）＜0对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A．（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1） C．
D．
6． 下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（ ） A．y=x﹣1
B．y=（）x C．y=x+
D．y=ln（x+1）
7． 已知菱形ABCD的边长为3，∠B=60°，沿对角线AC折成一个四面体，使得平面ACD⊥平面ABC，则经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（ ）
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A．15π B． C． π D．6π
8． 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣ C． D．2
9． 函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，图象如图1所示：函数g（x）的定义域为[﹣2，2]，图象如图2所示，方程f（g（x））=0有m个实数根，方程g（f（x））=0有n个实数根，则m+n=（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
+x）=f（﹣x），则f（
）=（ ）
10．若函数f（x）=2sin（ωx+φ）对任意x都有f（A．2或0 11．以椭圆
B．0 +
C．﹣2或0 D．﹣2或2
=1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C，其左、右焦点分别是F1，F2，已知点M坐标为
=
，则
﹣S
（2，1），双曲线C上点P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）满足（ ） A．2
B．4
C．1
D．﹣1
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12．若动点A，B分别在直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为（ ） A．3
B．2
C．3
D．4
二、填空题
13．下列四个命题申是真命题的是 （填所有真命题的序号） ①“p∧q为真”是“p∨q为真”的充分不必要条件；
②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等； ③在侧棱长为2，底面边长为3的正三棱锥中，侧棱与底面成30°的角；
④动圆P过定点A（﹣2，0），且在定圆B：（x﹣2）2+y2=36的内部与其相内切，则动圆圆心P的轨迹为一个椭圆．
14．如图，已知m，n是异面直线，点A，Bm，且AB6；点C，Dn，且CD4.若M，N分 别是AC，BD的中点，MN22，则m与n所成角的余弦值是______________.
【命题意图】本题考查用空间向量知识求异面直线所成的角，考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力.
15．已知sincos1sincos，(0,)，则的值为 ．
73sin1216．函数f（x）=x2ex在区间（a，a+1）上存在极值点，则实数a的取值范围为 ．
b17．已知函数f(x)x3ax2bxa27a在x1处取得极小值10，则的值为 ▲ ．
a18．设MP和OM分别是角
的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：
①MP＜OM＜0；②OM＜0＜MP；③OM＜MP＜0；④MP＜0＜OM， 其中正确的是 （把所有正确的序号都填上）．
三、解答题
19．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数f(x)xa5x．
（1）当a1时，求不等式f(x)5x3的解集；
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（2）若x1时有f(x)0，求a的取值范围．
20．[50，60][60，70][70，某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：80][80，90][90，100]． （1）求图中a的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分．
21．（本小题满分13分）
x2y2椭圆C:221(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，直线l:xmy1经过点F1与椭圆C交于点M，
ab2点M在x轴的上方．当m0时，|MF1|．
2（Ⅰ）求椭圆C的方程；
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（Ⅱ）若点N是椭圆C上位于x轴上方的一点， MF1//NF2，且
SMF1F2SNF1F23，求直线l的方程．
22．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=（）x． （1）求当x＞0时f（x）的解析式； （2）画出函数f（x）在R上的图象； （3）写出它的单调区间．
23．在平面直角坐标系XOY中，圆C：（x﹣a）2+y2=a2，圆心为C，圆C与直线l1：y=﹣x的一个交点的横坐标为2．
（1）求圆C的标准方程；
（2）直线l2与l1垂直，且与圆C交于不同两点A、B，若S△ABC=2，求直线l2的方程．
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24．已知函数f（x）=4x﹣a•2x+1+a+1，a∈R． （1）当a=1时，解方程f（x）﹣1=0；
（2）当0＜x＜1时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围； （3）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围．
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平泉县第四中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】D
【解析】解：令y=f（x）=∵f（﹣x）=∴函数y=
=﹣为奇函数，
，
=﹣f（x），
∴其图象关于原点对称，可排除A； 又当x→0，y→+∞，故可排除B；
+
当x→+∞，y→0，故可排除C； 而D均满足以上分析． 故选D．
2． 【答案】 D
【解析】解：若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∧q”为假命题，故A不正确； 命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy≠0，则x≠0”，故B不正确； ““故“
”⇒“
”是“
x
”⇒“+2kπ，或”，
，k∈Z”，
”的必要不充分条件，故C不正确；
”，故D正确．
命题“∀x∈R，2＞0”的否定是“故选D．
【点评】本题考查命题的真假判断，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．
3． 【答案】B
【解析】解：对于A，函数f′（x）=﹣3sin（2x﹣对于B，当x=
时，f（
）=3cos（2×
﹣
）•2=﹣6sin（2x﹣
），A错误；
）=﹣3取得最小值，
所以函数f（x）的图象关于直线对于C，当x∈（﹣
，
对称，B正确；
∈（﹣
，
），
）时，2x﹣
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函数f（x）=3cos（2x﹣）不是单调函数，C错误；
个单位长度，
）的图象，
对于D，函数y=3co s2x的图象向右平移得到函数y=3co s2（x﹣
）=3co s（2x﹣
这不是函数f（x）的图象，D错误． 故选：B．
【点评】本题考查了余弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．
4． 【答案】C
【解析】解：由题意， ++=，得到，又||=||=||，△OAB是等边三角形，所以四边形OCAB是边长为2的菱形， 所以
在
方向上的投影为ACcos30°=2×
=
；
故选C．
【点评】本题考查了向量的投影；解得本题的关键是由题意，画出图形，明确四边形OBAC的形状，利用向量解答．
5． 【答案】C
2
【解析】解：不等式（m+1）x﹣（m﹣1）x+3（m﹣1）＜0对一切x∈R恒成立，
2
即（m+1）x﹣（m﹣1）x+3（m﹣1）＜0对一切x∈R恒成立
若m+1=0，显然不成立
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若m+1≠0，则 解得a故选C．
．
【点评】本题的求解中，注意对二次项系数的讨论，二次函数恒小于0只需
6． 【答案】 D
．
1
【解析】解：①y=x﹣在区间（0，+∞）上为减函数，
②y=（
x
）是减函数，
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③y=x+，在（0，1）是减函数，（1，+∞）上为，增函数，
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④y=lnx在区间（0，+∞）上为增函数，
∴A，B，C不正确，D正确， 故选：D
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【点评】本题考查了基本的函数的单调区间，属于基本题目，关键掌握好常见的函数的单调区间．
7． 【答案】A
【解析】解：如图所示，设球心为O，在平面ABC中的射影为F，E是AB的中点，OF=x，则CF=R2=x2+（∴x=
2∴R=
2
）=（
2
﹣x）+（
2），
，EF=
∴球的表面积为15π． 故选：A．
【点评】本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键．
8． 【答案】 B
【解析】解：由程序框图得：第一次运行S=第二次运行S=
=﹣，i=3；
=﹣3，i=2；
第三次运行S==，i=4；
第四次运行S==2，i=5；
第五次运行S==﹣3，i=6，
…S的值是成周期变化的，且周期为4，
当i=2015时，程序运行了2014次，2014=4×503+2，
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∴输出S=﹣． 故选：B．
【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据程序的运行功能判断输出S值的周期性变化规律是关键．
9． 【答案】A
【解析】解：由图象可知， 若f（g（x））=0，
则g（x）=﹣1或g（x）=0或g（x）=1； 由图2知，g（x）=﹣1时，x=﹣1或x=1； g（x）=0时，x的值有3个； g（x）=1时，x=2或x=﹣2； 故m=7；
若g（f（x））=0，
则f（x）=﹣1.5或f（x）=1.5或f（x）=0； 由图1知，
f（x）=1.5与f（x）=﹣1.5各有2个； f（x）=0时，x=﹣1，x=1或x=0； 故n=7； 故m+n=14； 故选：A．
10．【答案】D
【解析】解：由题意：函数f（x）=2sin（ωx+φ）， ∵f（
+x）=f（﹣x），
=
，
可知函数的对称轴为x=
根据三角函数的性质可知， 当x=∴f（
时，函数取得最大值或者最小值． ）=2或﹣2
故选D．
11．【答案】 A
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【解析】解：∵椭圆方程为+=1，
∴其顶点坐标为（3，0）、（﹣3，0），焦点坐标为（2，0）、（﹣2，0）， ∴双曲线方程为
，
设点P（x，y），记F1（﹣3，0），F2（3，0）， ∵∴
=，
整理得：
化简得：5x=12y﹣15， 又∵∴5
解得：y=或y=∴P（3，），
∴直线PF1方程为：5x﹣12y+15=0， ∴点M到直线PF1的距离d=
易知点M到x轴、直线PF2的距离都为1，
结合平面几何知识可知点M（2，1）就是△F1PF2的内心． 故
﹣
=
=
=2，
=1，
，
2
﹣4y=20，
=，
=5，
（舍），
故选：A．
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【点评】本题考查椭圆方程，双曲线方程，三角形面积计算公式，注意解题方法的积累，属于中档题．
12．【答案】A 【解析】解：∵l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0是平行直线， ∵直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0， ∴两直线的距离为
=
，
+
=3
，
∴可判断：过原点且与直线垂直时，中的M到原点的距离的最小值
∴AB的中点M到原点的距离的最小值为故选：A
【点评】本题考查了两点距离公式，直线的方程，属于中档题．
二、填空题
13．【答案】 ①③④
【解析】解：①“p∧q为真”，则p，q同时为真命题，则“p∨q为真”，
当p真q假时，满足p∨q为真，但p∧q为假，则“p∧q为真”是“p∨q为真”的充分不必要条件正确，故①正确；②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补；故②错误，
③设正三棱锥为P﹣ABC，顶点P在底面的射影为O，则O为△ABC的中心，∠PCO为侧棱与底面所成角 ∵正三棱锥的底面边长为3，∴CO=∵侧棱长为2，∴
在直角△POC中，tan∠PCO=∴侧棱与底面所成角的正切值为
，即侧棱与底面所成角为30°，故③正确，
④如图，设动圆P和定圆B内切于M，则动圆的圆心P到两点，即定点A（﹣2，0）和定圆的圆心B（2，0）的距离之和恰好等于定圆半径，
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即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=6＞4=|AB|． ∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆， 故动圆圆心P的轨迹为一个椭圆，故④正确， 故答案为：①③④
14．【答案】【
5 12解
析
】
15．【答案】【解析】
17(62)
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sin712sin43sin4cos3cos4sin3264,
sincos1741762sin73263, 故答案为17(62)3. 12考点：1、同角三角函数之间的关系；2、两角和的正弦公式. 16．【答案】 （﹣3，﹣2）∪（﹣1，0） ．
【解析】解：函数f（x）=x2ex的导数为y′=2xex+x2ex =xex
（x+2）， 令y′=0，则x=0或﹣2，
﹣2＜x＜0上单调递减，（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上单调递增， ∴0或﹣2是函数的极值点，
∵函数f（x）=x2ex
在区间（a，a+1）上存在极值点，
∴a＜﹣2＜a+1或a＜0＜a+1， ∴﹣3＜a＜﹣2或﹣1＜a＜0．
故答案为：（﹣3，﹣2）∪（﹣1，0）．
17．【答案】12
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考
点：函数极值
【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略
（1）知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号. （2）已知函数求极值.求f′（x）―→求方程f′（x）＝0的根―→列表检验f′（x）在f′（x）＝0的根的附近两侧的符号―→下结论.
（3）已知极值求参数.若函数f（x）在点（x0，y0）处取得极值，则f′（x0）＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反. 18．【答案】 ②
【解析】解：由MP，OM分别为角∵
∴OM＜0＜MP． 故答案为：②．
的正弦线、余弦线，如图， ，
【点评】本题的考点是三角函数线，考查用作图的方法比较三角函数的大小，本题是直接比较三角函数线的大小，在大多数此种类型的题中都是用三角函数线比较三个函数值的大小．
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三、解答题
19．【答案】
【解析】（1）当a1时，不等式f(x)5x3， ∴x15x5x3， ∴x13，∴4x2．
∴不等式f(x)5x3的解集为[4,2]． （2）若x1时，有f(x)0， ∴xa5x0，即xa5x，
∴xa5x，或xa5x，∴a6x，或a4x， ∵x1，∴6x6，4x4，∴a6，或a4． ∴a的取值范围是(,6][4,)．
20．【答案】
【解析】解：（1）依题意，
根据频率分布直方图中各个小矩形的面积和等于1得， 10（2a+0.02+0.03+0.04）=1， 解得a=0.005． ∴图中a的值0.005．
（2）这100名学生语文成绩的平均分为： 55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05 =73（分），
【点评】本题考查频率分布估计总体分布，解题的关键是理解频率分布直方图，熟练掌握频率分布直方图的性质，且能根据所给的数据建立恰当的方程求解
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21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由直线l:xmy1经过点F1得c1，
b22当m0时，直线l与x轴垂直，|MF1|， a2c1x22a22y1． （4分） 由b解得，∴椭圆的方程为C22b12aSMF1F2|MF1|y1（Ⅱ）设M(x1,y1),N(x2,y2)，y10,y20，由MF1//NF2知3.
SNF1F2|NF2|y2xmy1m2(m21)222联立方程x，消去x得(m2)y2my10，解得y 22m2y12m2(m21)m2(m21)∴y1，同样可求得y2， （11分） 22m2m2m2(m21)m2(m21)y1
3得y13y2，∴由，解得m1， 3y2m22m22直线l的方程为xy10． （13分） 22．【答案】
【解析】解：（1）若 x＞0，则﹣x＜0…（1分） ∵当x＜0时，f（x）=（）．
x
∴f（﹣x）=（）﹣．
x
∵f（x）是定义在R上的奇函数， f（﹣x）=﹣f（x），
xx
∴f（x）=﹣（）﹣=﹣2．…（4分）
（2）∵（x）是定义在R上的奇函数， ∴当x=0时，f（x）=0，
∴f（x）=．…（7分）
函数图象如下图所示：
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（3）由（2）中图象可得：f（x）的减区间为（﹣∞，+∞）…（11分）（用R表示扣1分） 无增区间…（12分）
【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的解析式，函数的图象，分段函数的应用，函数的单调性，难度中档．
23．【答案】
【解析】解：（1）由圆C与直线l1：y=﹣x的一个交点的横坐标为2， 可知交点坐标为（2，﹣2），
222
∴（2﹣a）+（﹣2）=a，解得：a=2， 22
所以圆的标准方程为：（x﹣2）+y=4，
（2）由（1）可知圆C的圆心C的坐标为（2，0）
由直线l2与直线l1垂直，直线l1：y=﹣x可设直线l2：y=x+m， 则圆心C到AB的距离d=|AB|=2
=2
，
•
=2
所以S△ABC=|AB|•d=•2
222
令t=（m+2），化简可得﹣2t+16t﹣32=﹣2（t﹣4）=0， 2
解得t=（m+2）=4，
所以m=0，或m=﹣4
∴直线l2的方程为y=x或y=x﹣4．
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24．【答案】
【解析】解：（1）a=1时，f（x）=4x﹣22x+2， f（x）﹣1=（2x）2﹣2•（2x）+1=（2x﹣1）2=0， ∴2x=1，解得：x=0；
（2）4x﹣a•（2x+1﹣1）+1＞0在（0，1）恒成立， a•（2•2x﹣1）＜4x+1， ∵2x+1＞1， ∴a＞
，
，
=0，
x
令2=t∈（1，2），g（t）=
则g′（t）==
t=t0，∴g（t）在（1，t0）递减，在（t0，2）递增， 而g（1）=2，g（2）=， ∴a≥2；
（3）若函数f（x）有零点， 则a=
有交点，
，
由（2）令g（t）=0，解得：t=故a≥
．
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数零点问题，是一道中档题．
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