《5.1 任意角和弧度制》公开课优秀教案教学设计(高中必修第一册)

前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容—三角函数扫平障碍，打下基础.

课程目标

1.了解弧度制,明确1弧度的含义. 2.能进行弧度与角度的互化.

3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式. 数学学科素养

1.数学抽象：理解弧度制的概念； 2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合； 3.直观想象：区域角的表示；

4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题.

重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化； 难点：弧度制概念的理解．

教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具：多媒体。

一、 情景导入

度量单位可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制，不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也可以用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

1

二、预习课本，引入新课

阅读课本172-174页，思考并完成以下问题

1． 1弧度的含义是？ 2．角度值与弧度制如何互化？ 3．扇形的弧长公式与面积公式是？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、新知探究

1．度量角的两种单位制 (1)角度制

①定义：用 度 作为单位来度量角的单位制． ②1度的角：周角的360． (2)弧度制

①定义：以 弧度 作为单位来度量角的单位制． ②1弧度的角：长度等于 半径长 的弧所对的圆心角． 2．弧度数的计算

3.角度制与弧度制的转算

π1801

正数 负数 零

l r180()°π4．一些特殊角与弧度数的对应关系 度 弧 0 度

0° 30° 𝜋 645° 𝜋 460° π 390° π 2120° 135° 150° 180° 270° 360° 2𝜋 33𝜋 45𝜋 6π 3π 22π 2

5．扇形的弧长和面积公式

设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则： (1)弧长公式：l＝ αr ．

(2)扇形面积公式：S＝ 𝑙𝑟 ＝ 𝛼𝑟2 ．

221

1

四、典例分析、举一反三 题型一 角度制与弧度制的互化

例1 把下列弧度化成角度或角度化成弧度： π4π

(1)－450°；(2)；(3)－；(4)112°30′.

103

5π5π

【答案】（1）－ rad；(2) 18°；(3) －240°；(4) rad. 285ππ

【解析】(1)－450°＝－450× rad＝－ rad；

1802ππ180

(2) rad＝×°＝18°； 1010π4π4π180

(3)－ rad＝－×°＝－240°；

33ππ5π

(4)112°30′＝112.5°＝112.5× rad＝ rad.

1808解题技巧：（角度制与弧度制转化的要点）

跟踪训练一

1．将下列角度与弧度进行互化．

7π11π

(1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－. 125

ππ

【答案】（1） rad；（2）－ rad；（3）105°；（4）－396°.

912

20ππ

【解析】(1)20°＝ rad＝ rad. 180915ππ

(2)－15°＝－ rad＝－ rad.

18012

3

7π7

(3) rad＝×180°＝105°.

121211π11(4)－ rad＝－×180°＝－396°.

55

题型二 用弧度制表示角的集合

例2 用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图所示)．

π5

【答案】（1）θ－＋2kπ<θ<π＋2kπ，k∈Z

1263π3π－＋2kπ<θ<＋2kπ，k∈Z（2）θ44



； 

ππ；（3）θ＋kπ<θ<＋kπ，k∈Z

26



. 

【解析】用弧度制先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，

π5

(1)θ－＋2kπ<θ<π＋2kπ，k∈Z

1263π3π

(2)θ－＋2kπ<θ<＋2kπ，k∈Z

44ππ

(3)θ＋kπ<θ<＋kπ，k∈Z

26



. . 



. 

解题技巧：(表示角的集合注意事项) 1．弧度制下与角α终边相同的角的表示．

在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍． 2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤． (1)仔细观察图形．

(2)写出区域边界作为终边时角的表示．

4

(3)用不等式表示区域范围内的角． 提醒：角度制与弧度制不能混用. 跟踪训练二

1．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界)．

① ②

2ππ

【答案】(1)α－＋2kπ＜α＜＋2kπ，k∈Z

36π

(2)α2kπ＜α＜

3



. 

2π

＋2kπ或＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z.

3

2ππ

【解析】(1)如题图①，以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为－＋2kπ(k∈Z)，

63所以阴影部分内的角的集合为

2ππ

α－＋2kπ＜α＜＋2kπ，k∈Z

36



. 

π2π

(2)如题图②，以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为＋2kπ(k∈Z)．

33不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，

π

则M1＝α2kπ＜α＜＋2kπ，

3

2π

k∈Z，M2＝α

3



＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z.



所以阴影部分内的角的集合为

π

M1∪M2＝α2kπ＜α＜

3

2π

＋2kπ或＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z.

3

题型三 扇形的弧长与面积问题

例3一个扇形的周长为20，则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？ 【答案】当扇形半径r＝5，圆心角为2 rad时，扇形面积最大．

5

【解析】设扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，则l＝αr， 20－2r依题意l＋2r＝20，即αr＋2r＝20，∴α＝. r由l＝20－2r>0及r>0得0∴S扇形＝αr＝··r＝(10－r)r

22r＝－(r－5)＋25(0∴当r＝5时，扇形面积最大为S＝25.此时l＝10，α＝2， 故当扇形半径r＝5，圆心角为2 rad时，扇形面积最大．

2

解题技巧：（弧度制下解决扇形相关问题的步骤）

11

(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝|α|r，S＝|α|r2和S＝lr.(这里α必须是弧度制下的

22角)

(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式． (3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解． 跟踪训练三

1、已知某扇形的圆心角为80°,半径为6 cm,则该圆心角对应的弧长为( ) A.480 cm 【答案】C 【解析】:80°=B.240 cm

C.

8π3

cm D.

4π3

cm

×80=9, 180

4π

8π

π4π

又r=6 cm,故弧长l=αr=9×6=3(cm).

2、如图,已知扇形AOB的圆心角为120°,半径长为6,求弓形ACB的面积. 【答案】12π-9√3 【解析】S扇形AOB=2×

1

120π

2×6=12π, 180

6

S△AOB=2×6×6×sin 60°=9√3,

故S弓形ACB=S扇形AOB-S△AOB=12π-9√3. 五、课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计

5.1.2 弧度制 1.弧度制 例1 例2 例3 2.弧度制与角度制转化 3.扇形弧长与面积公式

七、作业

课本175页练习及175页习题5.1.

本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，让学生通过角度制与弧度制的转化将角与实数建立一一对应关系，切记：角度和弧度不可同时出现.

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