一次函数与几何图形综合专题精编版

一次函数与几何图形综合专题

思想方法小结 ： （1）函数方法．

函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题．

（2）数形结合法．

数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．

知识规律小结 ：

（1）常数k，b对直线y=kx+b(k≠0）位置的影响． ①当b＞0时，直线与y轴的正半轴相交； 当b=0时，直线经过原点；

当b﹤0时，直线与y轴的负半轴相交． ②当k，b异号时，即-当b=0时，即-

b＞0时，直线与x轴正半轴相交； kb=0时，直线经过原点； kb当k，b同号时，即-﹤0时，直线与x轴负半轴相交．

k③当k＞O，b＞O时，图象经过第一、二、三象限； 当k＞0，b=0时，图象经过第一、三象限； 当b＞O，b＜O时，图象经过第一、三、四象限； 当k﹤O，b＞0时，图象经过第一、二、四象限； 当k﹤O，b=0时，图象经过第二、四象限； 当b＜O，b＜O时，图象经过第二、三、四象限．

（2）直线y=kx+b（k≠0）与直线y=kx(k≠0)的位置关系． 直线y=kx+b(k≠0)平行于直线y=kx(k≠0)

当b＞0时，把直线y=kx向上平移b个单位，可得直线y=kx+b； 当b﹤O时，把直线y=kx向下平移|b|个单位，可得直线y=kx+b． （3）直线b1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2（k1≠0 ，k2≠0）的位置关系． ①k1≠k2y1与y2相交； ②k1k2b1b2； y与y相交于y轴上同一点（0，b）或（0，b）

1

2

1

2

③k1k2,b1b2y与y平行；

1

2

④k1k2,b1b2y与y重合.

1

2

例题精讲：

1、直线y=-2x+2与x轴、y轴交于A、B两点，C在y轴的负半轴上，且OC=OB

- 1 -

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y

Q B x

o C (1) 求AC的解析式；A P

(2) 在OA的延长线上任取一点P,作PQ⊥BP,交直线AC于Q,试探究BP与PQ的数量关系，并证明你的结论。 (3) 在（2）的前提下，作PM⊥AC于M,BP交AC于N,下面两个结论：①(MQ+AC)/PM的值不变；②(MQ-AC)/PM

的值不变，期中只有一个正确结论，请选择并加以证明。

y

Q B M o C

2．如图①所示，直线L：

A P x

ymx5m与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点。

(1)当OA=OB时，试确定直线L的解析式；

第2题图① 第2题图②

(2)在(1)的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=4，BN=3，求MN的长。

y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第一、二象

限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，如图③。

(3)当m取不同的值时，点B在

- 2 -

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问：当点B在 y轴正半轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值，若是，请求出其值，若不是，说明理由。

第2题图③

考点：一次函数综合题；直角三角形全等的判定． 专题：代数几何综合题．

分析：（1）是求直线解析式的运用，会把点的坐标转化为线段的长度；

（2）由OA=OB得到启发，证明∴△AMO≌△ONB，用对应线段相等求长度； （3）通过两次全等，寻找相等线段，并进行转化，求PB的长．

解答：解：（1）∵直线L：y=mx+5m，∴A（-5，0），B（0，5m），由OA=OB得5m=5，m=1，

∴直线解析式为：y=x+5．

（2）在△AMO和△OBN中OA=OB，∠OAM=∠BON，∠AMO=∠BNO， ∴△AMO≌△ONB．∴AM=ON=4，∴BN=OM=3．

（3）如图，作EK⊥y轴于K点．先证△ABO≌△BEK，∴OA=BK，EK=OB．再证△PBF≌△PKE， ∴PK=PB．∴PB=

115BK=OA=． 222点评：本题重点考查了直角坐标系里的全等关系，充分运用坐标系里的垂直关系证明全等，本题也涉及一次

函数图象的实际应用问题．

3、如图，直线l1与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线l2与直线l1关于x轴对称，已知直线l1的解析式为

yx3，

（1）求直线l2的解析式；（3分）

（2）过A点在△ABC的外部作一条直线l3，过点B作BE⊥l3于E,过点C 作CF⊥l3于F分别，请画出图形并求证：BE＋CF＝EF

（3）△ABC沿y轴向下平移，AB边交x轴于点P，过P点的直线与AC边的延长线相交于点Q，与y轴相交与点M，且BP＝CQ，在△ABC平移的过程中，①OM为定值；②MC为定值。在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值。（6分）

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yl1ByyBBP0

xA

A0xA0xM

CCl2C

Q考点：轴对称的性质；全等三角形的判定与性质．

分析：（1）根据题意先求直线l1与x轴、y轴的交点A、B的坐标，再根据轴对称的性质求直线l2的上点C

的坐标，用待定系数法求直线l2的解析式；

（2）根据题意结合轴对称的性质，先证明△BEA≌△AFC，再根据全等三角形的性质，结合图形证明BE+CF=EF；

（3）首先过Q点作QH⊥y轴于H，证明△QCH≌△PBO，然后根据全等三角形的性质和△QHM≌△POM，从而得HM=OM，根据线段的和差进行计算OM的值．

解答：解：（1）∵直线l1与x轴、y轴分别交于A、B两点，

（-3，0），B（0，3）， 线l2与直线l1关于x轴对称， （0，-3）

线l2的解析式为：y=-x-3； 如图1． BE+CF=EF．

线l2与直线l1关于x轴对称， ∴AB=BC，∠EBA=∠FAC， ⊥l3，CF⊥l3 BEA=∠AFC=90° BEA≌△AFC BE=AF，EA=FC， BE+CF=AF+EA=EF； ①对，OM=3

点作QH⊥y轴于H，直线l2与直线l1关于x轴对称 POB=∠QHC=90°，BP=CQ， AB=AC，

∴A∵直∴C∴直（2）答：∵直∵BE∴∠∴△∴∴（3）过Q∵∠又∴∠

- 4 -

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ABO=∠ACB=∠HCQ， 则△QCH≌△PBO（AAS）， ∴QH=PO=OB=CH ∴△QHM≌△POM ∴HM=OM

∴OM=BC-（OB+CM）=BC-（CH+CM）=BC-OM ∴OM=

1BC=3． 2点评：轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，

对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．

4.如图，在平面直角坐标系中，A(a，0)，

B(0，b)，且a、b满足.

(1)求直线AB的解析式；

(2)若点M为直线y=mx上一点，且△ABM是以AB为底的等腰直角三角形，求m值；

(3)过A点的直线交y轴于负半轴于P，N点的横坐标为-1，过N点的直线交

AP于点M，试证明的值为定值．

考点：一次函数综合题；二次根式的性质与化简；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求正比例函数

解析式；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．

专题：计算题．

分析：（1）求出a、b的值得到A、B的坐标，设直线AB的解析式是y=kx+b，代入得到方程组，求出即可；

（2）当BM⊥BA，且BM=BA时，过M作MN⊥Y轴于N，证△BMN≌△ABO（AAS），求出M的坐标即可；②当AM⊥BA，且AM=BA时，过M作MN⊥X轴于N，同法求出M的坐标；③当AM⊥BM，且AM=BM

- 5 -

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时，过M作MN⊥X轴于N，MH⊥Y轴于H，证△BHM≌△AMN，求出M的坐标即可．

（3）设NM与x轴的交点为H，分别过M、H作x轴的垂线垂足为G，HD交MP于D点，求出H、G的坐标，证△AMG≌△ADH，△AMG≌△ADH≌△DPC≌△NPC，推出PN=PD=AD=AM代入即可求出答案．

2

解答：解：（1）要使b=

∴a=2，b=4，∴A（2，0），B（0，4），

有意义，必须（a-2）=0，

b-4=0，

设直线AB的解析式是y=kx+b，代入得：0=2k+b，4=b，解得：k=-2，b=4， ∴函数解析式为：y=-2x+4，答：直线AB的解析式是y=-2x+4． （2）如图2，分三种情况：

①如图（1）当BM⊥BA，且BM=BA时，过M作MN⊥Y轴于N， △BMN≌△ABO（AAS）， MN=OB=4，BN=OA=2， ∴ON=2+4=6，

∴M的坐标为（4，6 ）， 代入y=mx得：m=

3， 21， 3②如图（2）当AM⊥BA，且AM=BA时，过M作MN⊥X轴于N，△BOA≌△ANM（AAS），同理求出M的坐标为（6，2），m=

③当AM⊥BM，且AM=BM时，过M作MN⊥X轴于N，MH⊥Y轴于H，则△BHM≌△AMN， ∴MN=MH，

设M（x，x）代入y=mx得：x=mx，（2） ∴m=1， 答：m的值是

31或或1． 23（3）解：如图3，结论2是正确的且定值为2，

设NM与x轴的交点为H，分别过M、H作x轴的垂线垂足为G，HD交MP于D点， 由y=

kkx-与x轴交于H点， 22kkx-与y=kx-2k交于M点， 22- 6 -

∴H（1，0）， 由y=

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∴M（3，K）， 而A（2，0）， ∴A为HG的中点，

∴△AMG≌△ADH（ASA）， 又因为N点的横坐标为-1，且在y=

kkx-上， 22∴可得N 的纵坐标为-K，同理P的纵坐标为-2K， ∴ND平行于x轴且N、D的横坐标分别为-1、1 ∴N与D关于y轴对称，

∵△AMG≌△ADH≌△DPC≌△NPC， ∴PN=PD=AD=AM， ∴

PM-PNAM=2．

点评：本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形性质，用待定系数法求正比例函数的

解析式，全等三角形的性质和判定，二次根式的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．

5.如图，直线AB：y=-x-b分别与x、y轴交于A（6，0）、B两点，过点B的直线交x轴负半轴于C，且OB：OC=3：1。

（1）求直线BC的解析式：

（2）直线EF：y=kx-k（k≠0）交AB于E，交BC于点F，交x轴于D，是否存在这样的直线EF，使得S△EBD=S△FBD？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由？

（3）如图，P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰直角△BPQ，

连接QA并延长交ｙ轴于点K，当P点运动时，K点的位置是否发现变化？若不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由。

考点：一次函数综合题；一次函数的定义；正比例函数的图象；待定系数法求一次函数解析式． 专题：计算题．

分析：代入点的坐标求出解析式y=3x+6，利用坐标相等求出k的值，用三角形全等的相等关系求出点的坐标． 解答：解：（1）由已知：0=-6-b，

∴b=-6， ∴AB：y=-x+6． ∴B（0，6） ∴OB=6

∵OB：OC=3：1， OC=

OB=2， 3- 7 -

∴C（-2，0）

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设BC的解析式是Y=ax+c，代入得；6=0•a+c, 0=-2a+c，解得：a=3, c=6，∴BC：y=3x+6． 直线BC的解析式是：y=3x+6；

（2）过E、F分别作EM⊥x轴，FN⊥x轴，则∠EMD=∠FND=90°．

∵S△EBD=S△FBD，∴DE=DF．又∵∠NDF=∠EDM，∴△NFD≌△EDM，∴FN=ME． 联立y=kx-k, y=-x+6

5k，联立y=kx-k，y=3x+6 k19k得yF=．

k-3得yE=

∵FN=-yF，ME=yE， ∴

5k-9k=． k1k-3∵k≠0，

∴5（k-3）=-9（k+1）， ∴k=

3； 7（3）不变化K（0，-6）．过Q作QH⊥x轴于H，∵△BPQ是等腰直角三角形，

∴∠BPQ=90°，PB=PQ，∵∠BOA=∠QHA=90°，∴∠BPO=∠PQH，∴△BOP≌△HPQ， ∴PH=BO，OP=QH，∴PH+PO=BO+QH，即OA+AH=BO+QH，又OA=OB， ∴AH=QH，∴△AHQ是等腰直角三角形，∴∠QAH=45°，∴∠OAK=45°， ∴△AOK为等腰直角三角形，∴OK=OA=6，∴K（0，-6）．

点评：此题是一个综合运用的题，关键是正确求解析式和灵活运用解析式去解．

6. 如图，直线AB交X轴负半轴于B（m，0），交Y轴负半轴于A（0，m），OC⊥AB于C（-2，-2）。 （1）求m的值；

过G作OB的垂线，垂足为GOBOAAOB为等腰直角三角形CBO45CGB,CGO,OCB都是等腰直角三角形GBOGCG2m-4

（2）直线AD交OC于D，交X轴于E，过B作BF⊥AD于F,若OD=OE，求BF的值；

AE - 8 -

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HBOFAH（同角的余角相等）OEODOEDODEFEBOED，ADCODE(对顶角相等)ADCFEBHBOCADCADFAH在AFB和AFH中AFBAFH90AFAF（公共边）BAFFAH(已证)AFBAFH（ASA）BFHF(全等三角形对应边相等)在BOH和AOE中，HBOEAO（已证）BOAO（已知）BOHAOE90BOHAOE（ASA）BHAE（全等三角形对应边相等）BHBFBH2BFBFBFBF1AEBH2BF2

（3）如图，P为x轴上B点左侧任一点，以AP为边作等腰直角△APM，其中PA=PM，直线MB交y轴于Q，当P在x轴上运动时，线段OQ长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，说明理由。

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7.在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b的图像过点B（－1，点C，与直线y=kx交于点P，且PO=PA

），与x轴交于点A（4,0），与y轴交于

（1）求a+b的值；

（2）求k的值；

（3）D为PC上一点，DF⊥x轴于点F，交OP于点E，若DE=2EF，求D点坐标.

考点：一次函数与二元一次方程（组）． 专题：计算题；数形结合；待定系数法．

分析：（1）根据题意知，一次函数y=ax+b的图象过点B（-1，

即可；

（2）设P（x，y），根据PO=PA，列出方程，并与y=kx组成方程组，解方程组； （3）设点D（x，-

5）和点A（4，0），把A、B代入求值2111x+2），因为点E在直线y= x上，所以E（x，x），F（x，0），再根据等量222- 10 -

关系DE=2EF列方程求解．

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解答：解：（1）根据题意得：

∴a+b=-

51=-a+b0=4a+b解方程组得：a=， b=2 22133+2=，即a+b=； 2221x+2，又∵PO=PA， 22

2

（2）设P（x，y），则点P即在一次函数y=ax+b上，又在直线y=kx上，由（1）得：一次函数y=ax+b的解析式是y=-2

2

∴x+y=(4-x)+yy=kx y=

1 x+2， 21， 2解方程组得：x=2，y=1，k=∴k的值是

1； 211x+2），则E（x，x），F（x，0）， 22111∵DE=2EF，∴-x+2-x=2×x，解得：x=1，

2221133则-x+2=-×1+2=，∴D（1，）．

2222（3）设点D（x，-

点评：本题要求利用图象求解各问题，要认真体会点的坐标，一次函数与一元一次方程组之间的内在联系．

8. 在直角坐标系中，B、A分别在x，y轴上，B的坐标为（3，0），∠ABO=30°，AC平分∠OAB交x轴于C； （1）求C的坐标；

解：∵∠AOB=90° ∠ABO=30° ∴∠OAB=30°

又 ∵ AC是∠OAB的角平分线 ∴∠OAC=∠CAB=30° ∵OB=3 ∴OA=

3

OC=1

即 C(1，0)

（2）若D为AB中点，∠EDF=60°，证明：CE+CF=OC 证明：取CB中点H，连CD,DH ∵ AO= 又∵D,H分别是AB,CD中点 ∴DH= ∵ DB=

3 CO=1 ∴AC=2

1AC AB=23 21AB=3 BC=2 ∠ABC=30° 2 ∴ BC=2 CD=2 ∠CDB=60° CD=1=DH

∵ ∠EOF=∠EDC+∠CDF=60 ° ∠CDB=∠CDF+∠FDH=60°

∴∠EDC=∠FDH ∵AC=BC=2 ∴CD⊥AB ADC=90° ∵∠CBA=30°∴∠ECD=60° ∵HD=HB=1∴∠DHF=60°在△DCE和 △DHF中∠EDC=∠FDH∠DCE=∠DHFDC=DH ∴△DCE≌ △DHF(AAS)∴CE=HF∴CH=CF+FH=CF+CE=1 OC=1∴CH=OC ∴OC=CE+CF

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（3）若D为AB上一点，以D作△DEC，使DC=DE，∠EDC=120°，连BE，试问∠EBC的度数是否发生变化；若不变，请求值。

解：不变 ∠EBC=60° 设DB与CE交与点G DC=DE ∠EDC=120° ∴∠DEC=∠DCE=30° 在△DGC和△ DCB中 ∠CDG=∠BDC

∠DCG=∠DBC=30∴△DGC

∴

∽ △DCB

DCDB=

DGDC

DC=DE∴

DEDB=

DGDE在EDG和BDE中

DEDB=

DGDE ∠EDG=∠BDE∴△EDG ∽ △BDE∴∠DEG=∠DBE=30°∴∠EBD=∠DBE+∠DBC=60° 9、如图，直线AB交x轴正半轴于点A（a，0），交y 轴正半轴于点B（0， b），且a 、b满足－b|=0

（1）求A、B两点的坐标；

（2）D为OA的中点，连接BD，过点O作OE⊥BD于F，交AB于E，求证∠BDO=∠EDA；

y B a4 + |4

E F O D A x

（3）如图，P为x轴上A点右侧任意一点，以BP为边作等腰Rt△PBM，其中PB=PM，直线MA交y 轴于点Q，

当点P在x轴上运动时，线段OQ的长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求线段OQ的取值范围.

y 考点：全等三角形的判定与性质；非负数的性质：绝对值；非负数

的性质：算术平方根．

B M 专题：证明题；探究型．

分析：①首先根据已知条件和非负数的性质得到关于a、b的方程，

解方程组即可求出a，b的值，也就能写出A，B的坐标；

Q O A P x ②作出∠AOB的平分线，通过证△BOG≌△OAE得到其对应角相

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等解决问题；

③过M作x轴的垂线，通过证明△PBO≌△MPN得出MN=AN，转化到等腰直角三角形中去就很好解决了．

解答：解：①∵

∴a=4，b=4，

a4+|4-b|=0

∴A（4，0），B（0，4）；

（2）作∠AOB的角平分线，交BD于G， ∴∠BOG=∠OAE=45°，OB=OA， ∠OBG=∠AOE=90°-∠BOF， ∴△BOG≌△OAE， ∴OG=AE．

∵∠GOD=∠A=45°，OD=AD， ∴△GOD≌△EDA． ∴∠GDO=∠ADE．

（3）过M作MN⊥x轴，垂足为N． ∵∠BPM=90°， ∴∠BPO+∠MPN=90°． ∵∠AOB=∠MNP=90°，

∴∠BPO=∠PMN，∠PBO=∠MPN． ∵BP=MP， ∴△PBO≌△MPN， MN=OP，PN=AO=BO， OP=OA+AP=PN+AP=AN， ∴MN=AN，∠MAN=45°． ∵∠BAO=45°，

∴∠BAO+∠OAQ=90°∴△BAQ是等腰直角三角形．∴OB=OQ=4．∴无论P点怎么动OQ的长不变．

点评：（1）考查的是根式和绝对值的性质．

（2）考查的是全等三角形的判定和性质．

（3）本题灵活考查的是全等三角形的判定与性质，还有特殊三角形的性质． 10、如图，平面直角坐标系中，点A、B分别在x、y轴上，点B的坐标为(0，1)， ∠BAO=30°．（1）求AB的长度；

（2）以AB为一边作等边△ABE，作OA的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点D．求证：BD=OE．

- 13 -

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yMEyEBOAxBOFAx

（3）在（2）的条件下，连结DE交AB于F．求证：F为DE的中点．

NDD

考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形． 专题：计算题；证明题．

分析：（1）直接运用直角三角形30°角的性质即可．

（2）连接OD，易证△ADO为等边三角形，再证△ABD≌△AEO即可． （3）作EH⊥AB于H，先证△ABO≌△AEH，得AO=EH，再证△AFD≌△EFH即可．

解答：（1）解：∵在Rt△ABO中，∠BAO=30°，

∴AB=2BO=2； （2）证明：连接OD， ∵△ABE为等边三角形， ∴AB=AE，∠EAB=60°，

∵∠BAO=30°，作OA的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点D， ∴∠DAO=60°． ∴∠EAO=∠NAB 又∵DO=DA，

∴△ADO为等边三角形． ∴DA=AO．

在△ABD与△AEO中，

∵AB=AE，∠EAO=∠NAB，DA=AO ∴△ABD≌△AEO． ∴BD=OE．

（3）证明：作EH⊥AB于H． ∵AE=BE，∴AH=∵BO=

1AB， 21AB，∴AH=BO， 2在Rt△AEH与Rt△BAO中， AH=BO ，AE=AB

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∴Rt△AEH≌Rt△BAO，∴EH=AO=AD．又∵∠EHF=∠DAF=90°，在△HFE与△AFD中， ∠EHF=∠DAF，∠EFH=∠DFA，EH=AD∴△HFE≌△AFD，∴EF=DF．∴F为DE的中点．

点评：本题主要考查全等三角形与等边三角形的巧妙结合，来证明角相等和线段相等．

11.如图，直线y=

1x+1分别与坐标轴交于A、B两点，在y轴的负半轴上截取OC=OB. 3（1）求直线AC的解析式； 解：∵ 直线y= ∴

1x+1分别与坐标轴交于A、B两点 3可得点A坐标为（-3，0），点B坐标为（0，1）

∵ OC=OB

∴ 可得点C坐标为（0，-1） 设直线AC的解析式为y=kx+b

将A（-3，0），C（0，-1）代入解析式

1，b=-1 31 ∴ 直线AC的解析式为y=x-1

3 -3k+b=0且b=-1可得k=-（2）在x轴上取一点D（-1，0），过点D做AB的垂线，垂足为E，交AC于点F，交y轴于点G，求F点的坐标； 解：∵ GE⊥AB ∴

kEGk3AB1

∴

kGE=11=3'y=-3x+b设直线GE的解析式为

'y=-3b0 将点D坐标（-1，0）代入，得

∴

b'3

1x34， x-1与y=-3x-3，可求出

3∴ 直线GE的解析式为y=-3x-3 联立y=

3 将其代入方程可得y=4，

3

34，4）

∴ F点的坐标为（

（3）过点B作AC的平行线BM，过点O作直线y=kx（k＞0），分别交直线AC、BM于点H、I，试求的值。

解：过点O作AC的平行线ON交AB于点N ∵BM//AC

AHBIAB - 15 -

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∴

OIOHOBOC∵OB=OC∴OI=OH∴O为IH的中点 ∵BM//AC

∴

NBNAOI=OH ∵ OI=OH∴ NB=NA∴ N为AB中点∴ ON是四边形ABIH的中位线

∴ AH+BI=2ON∵ N是AB的中点，AOB是直角三角形

∴ AB=2ON（直接三角形斜边的中线等于斜边的一半） ∴ AH+BI=AB ∴AHBI=1

AB12.如图，直线AB：y=-x-b分别与x、y轴交于A（6，0）、B两点，过点B的直线交x轴负半轴于C，且OB：OC=3：1.

（1）求直线BC的解析式；

解：（1）因为直线AB：y=-x－b过点A（6，0）. 带入解析式 就可以得到 b=-6 即直线AB：y=-x+6 ∵B为直线AB与y轴的交点 ∴点 B （0，6） ∵OB：OC=3：1 ∴OC=2 点 C（-2，0）

已知直线上的两点 B、C。设直线的解析式为y=kx+m 带入B、C的坐标。可以算出k=3 ,m=6 所以BC的解析式为：y=3x+6

（2）直线EF：y=kx-k（k≠0）交AB于E，交BC于点F，交x轴于D，是否存在这样的直线EF，使得S△EBD=S△FBD？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由？ (2) 假设 存在满足题中条件的k值 因为直线EF: y=kx-k（k≠0）交x轴于点D。 所以D点坐标为（1,0）

在图中标出点D,且过点D做一直线，相交与直线AB,BC分别与点E,F然后观察△EBD和△FBD 则 S△EBD=

11DE×h S△FBD=DF×h 22两个三角形的高其实是一样的

要使这两个三角形面积相等，只要满足DE=DF就可以了 ∵点E在直线AB上，∴设点E的坐标为（p，-p+6） ∵点F在直线BC上，∴设点F的坐标为（q，3q+6） 而上面我们已经得到点D的坐标为（1,0）

点E、F又关于点D对称，所以我们就可以得到两个等式，即： （p+q)/2=1 (-p+6+3q+6)/2=0

95，q=- 229353点E的坐标即为（，），点F的坐标即为（-，-）

2222这样就可以求得：p=

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把点E代入直线EF 的解析式，得到k=所以存在k，且k=

3 73 7（3）如图，P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰直角△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K，当P点运动时，K点的位置是否发生变化？若不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由。 (3) K点的位置不发生变化

理由：首先假设直线QA的解析式为y=ax+b，点P的坐标为（p，0）过点Q作直线QH垂直于x轴，交点为H

这样图中就可以形成两个三角形，分别是△BOP和△PHQ，且两个三角形都是直角三角形。

∵△BPQ为等腰直角三角形，直角顶点为P ∴BP=PQ，∠BPO+∠QPH=180º—90º=90º 又∵在直角三角形中，∴∠QPH+∠PQH=90º ∴根据上面两个等式，我们可以得到∠BPO=∠PQH 且PB=QP

所以在△BOP和△PHQ中

∠BOP=∠PHQ

∠BPO=∠PQH PB=QP

∴△BOP≌△PHQ（AAS）

∴OP=HQ=p OB=HP=6 （全等三角形的对应边相等） ∴点Q的坐标为（p+6，p）

然后将点A和点Q的坐标代入直线QA的解析式：y=ax+b中，得到： a=1，b=-6

也就是说a,b为固定值，并不随点P（p，0）的改变而改变

这样直线QA：y=x-6的延长线交于Y轴的K点也不会随点P的变化而变化了。 求得点K的坐标为（0，-6） 实战练习：

1.已知，如图，直线AB：y=-x+8与x轴、y轴分别相交于点B、A，过点B作直线AB的垂线交y轴于点D. （1）求直线BD的解析式；

（2）若点C是x轴负半轴上的任意一点，过点C作BD相交于点E，请你判断：线段AC与CE的大小关的判断；

AC的垂线与系？并证明你

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（3）若点G为第二象限内任一点，连结EG，过点A作AF⊥FG于F，连结CF，当点C在x轴的负半轴上运动时，∠CFE的度数是否发生变化？若不变，请求出∠CFE的度数；若变化，请求出其变化范围.

2.直线y=x+2与x、y轴交于A、B两点，C为AB的中点. （1）求C的坐标；

（2）如图，M为x轴正半轴上一点，N为OB上一点，若BN+OM=MN，求∠NCM的度数；

（3）P为过B点的直线上一点，PD⊥x轴于D，PD=PB，E为直线BP上一点，F为y轴负半轴上一点，且DE=DF，试探究BF－BE的值的情况.

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3.如图，一次函数y=ax-b与正比例函数y=kx的图象交于第三象限内的点A，与y轴交于B（0，-4）且OA=AB，△OAB的面积为6. （1）求两函数的解析式；

（2）若M（2，0），直线BM与AO交于P，求P点的坐标；

（3）在x轴上是否存在一点E，使S△ABE=5，若存在，求E点的坐标；若不存在，请说明理由。 - 19 -