三角函数的对称轴

y=sinx对称轴为x=k∏+ ∏/2 （k为整数），对称中心为（k∏，0）（k为整数）。 y=cosx对称轴为x=k∏（k为整数），对称中心为（k∏+ ∏/2，0）（k为整数）。 y=tanx对称中心为（k∏，0）（k为整数），无对称轴。 这是要记忆的。

对于正弦型函数y=Asin(ωx+Φ），令ωx+Φ = k∏+ ∏/2 解出x即可求出对称轴，令ωx+Φ = k∏ 解出的x就是对称中心的横坐标，纵坐标为0。（若函数是y=Asin(ωx+Φ）+ k 的形式，那此处的纵坐标为k ）

余弦型，正切型函数类似。

以f（x）＝sin（2x－π／6）为例

令2x-π/6=Kπ 解得x=kπ/2+π/12

那么函数的对称中心就是（kπ/2+π/12,0)

三角函数y=Asin（ωx+φ）中的对称轴

正弦函数y=sinx的对称轴是x=k+

（k∈Z），它的对称轴总是经过它图象的最高点2或者最低点。由于三角函数y=Asin(x)是由正弦函数y=sinx复合而成的，所以令

2（k∈Z）。通x=k+，就能得到y=Asin(x)的对称轴方程x=

2k过类比可以得到三角函数y=Acos(x)的对称轴方程x=（k∈Z）。下面通

过几道典型例题来谈一谈如何应用它们的对称轴解题。

1．解析式问题

例1．设函数f(x)=sin(2x) （0），f(x)图像的一条对称轴是直线

kx8，求的值。

分析：正弦函数y=sinx的对称轴是x=k+求解。

解析：∵x∴

，令2x+=k+，结合条件0228)1，

8是函数y=f(x)的图像的对称轴，∴sin(24k2，k∈Z，而0，则3。 4点评：由于对称轴都是通过函数图像的最高点或者最低点的直线，所以把对称轴的方程

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代入到函数解析式，函数此时可能取得最大值或最小值。易错点就在于很多同学误认为由于正弦函数y=sinx的周期是2k，所以会错误的令x=2k+

2．参数问题

例2．如果函数y＝sin2x＋acos2x的图象关于直线x＝－

。 2对称，则a的值为（ ） 8A．2 B．－2 C．1 D．－1 分析：由于本题是选择题，所以解法多种多样，可以带入验证；也可以根据对称轴的通式求解，还可以根据最值求解。

解法一：y＝sin2x＋acos2x=

，其中cos=1a2sin（2x＋）

11a2，

sin=

a1a2，

由函数的图象关于x=－小值，

∴sin（－

对称知，函数y＝sin2x＋acos2x在x=－处取得最大值或最88）＋acos（－）＝±1a2， 44即

2（1－a）=±1a2，解得a＝－1，所以应选择答案：D。 2点评：过函数y=Asin（x）图象最值点与y轴平行(或重合)的直线都是函数图象的对称轴。

解法二：显然a≠0，如若不然，x＝－能的，

当a≠0时，y＝sin2x＋acos2x

=1a(2就是函数y＝sin2x的一条对称轴，这是不可8a1a2acos2x11a2sin2x)1a2cos(2x)，

其中cos1a2，sin11a2，即tan=

sin1， cosa函数y＝1a2cos（2x－）的图象的对称轴方程的通式为2xk＝k＋（k∈Z），

kk，令xk＝－，则=－，∴=－k－，

2222884∴tan＝tan（－k－）＝－1，

41即=－1，∴a=－1为所求，所以应选择答案：D。 a∴xk＝

学习必备 欢迎下载

点评：根据余弦型函数的对称轴问题，结合对应的正切值的值加以分析求解，也是一种特殊的方法。

解法三：∵f(x)＝sin2x＋acos2x的图象关于直线x＝－

对称， 8∴fxfx，令x=－，得ff0，

8884＋acos=sin0＋acos0，得a＝－1，所以应选择答案：D。 22∴sin

点评：这种解法比较巧妙，紧扣住对称性的定义，采用特殊值法代入。是不可多得的一种快

捷方便的解答方法。

3．单调区间问题

例3．在下列区间中函数y＝sin（x＋A．［

）的单调增区间是（ ） 4，］ B．［0，］ C．［－，0］ D．［，］ 2442分析：像这类题型，常规解法都是运用y＝Asin（x＋）的单调增区间的一般结论，

由一般到特殊求解，既快又准确，本题倘若运用对称轴方程求单调区间，则是一种颇具新意的简明而又准确、可靠的方法。

）的对称轴方程是：xk=k＋－=k＋（k∈Z）， 42443照选择支，分别取k＝－1、0、1，得一个递增或递减区间分别是［－，］或［，

444解析：函数y＝sin（x＋

5］，对照选择支思考即知应选择答案：B。 4点评：一般运用正、余弦函数的对称轴方程求其单调区间，可先运用对称轴方程求其一个单调区间，然后在两端分别加上周期的整数倍即得。

4．函数性质问题

例4．设点P是函数f(x)sinx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值

，则f(x)的最小正周期是（ ） 4A．2π B．π C． D．

24分析：根据正弦（或余弦）函数的图象的对称中心到一条对称轴的距离的最小值等于

14周期的性质加以转化三角函数的相关性质，从而得到正确解答。

解析：设点P是函数f(x)sinx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值最小正周期为T=

1，而图象的对称中心到一条对称轴的距离的最小值等于周期，∴44×4=π，即选择答案：B。 4学习必备 欢迎下载

点评：三角函数的对称性与其他相应的性质是紧密相关，特别和三角函数的周期性问题、单调性问题、最值问题能息息相关，要注意加以相互转化。

函数y=Asin(x)的对称轴是函数的一条重要性质，要准确的理解函数图像实质上有无数条对称轴，它们也是有周期性的，它们的周期不是T=

2k，而是T=

k，可以理

解为对称轴的周期是函数周期的一半。只有准确的理解对称轴的特点，才能灵活的应用对称轴解题。