2020年江苏省徐州市中考数学试卷含答案

2020年江苏省徐州市中考数学试卷

一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置） 1．（3分）（2020•徐州）3的相反数是（ ） A．﹣3

B．3

C．−

1

3D． 3

1

2．（3分）（2020•徐州）下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）

A． B．

C． D．

3．（3分）（2020•徐州）若一个三角形的两边长分别为3cm、6cm，则它的第三边的长可能是（ ） A．2cm

B．3cm

C．6cm

D．9cm

4．（3分）（2020•徐州）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ） A．5

B．10

C．12

D．15

5．（3分）（2020•徐州）小红连续5天的体温数据如下（单位：℃）：36.6，36.2，36.5，36.2，36.3．关于这组数据，下列说法正确的是（ ） A．中位数是36.5℃ C．平均数是36.2℃

B．众数是36.2°C D．极差是0.3℃

6．（3分）（2020•徐州）下列计算正确的是（ ） A．a2+2a2＝3a4 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2

B．a6÷a3＝a2 D．（ab）2＝a2b2

7．（3分）（2020•徐州）如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，OC交

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AB于点P．若∠BPC＝70°，则∠ABC的度数等于（ ）

A．75°

B．70°

C．65°

4𝑥D．60°

8．（3分）（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数y=（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），则代数式−的值为（ ）

𝑎

𝑏1

1

A．−2

1

B．

2

1

C．−4

1

D． 4

1

二．填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置）

9．（3分）（2020•徐州）7的平方根是 ． 10．（3分）（2020•徐州）分解因式：m2﹣4＝ ．

11．（3分）（2020•徐州）若√𝑥−3在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 12．（3分）（2020•徐州）原子很小，1个氧原子的直径大约为0.000000000148m，将0.000000000148用科学记数法表示为 ．

13．（3分）（2020•徐州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，若BF＝5，则DE＝ ． 学习Q群1131649375

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14．（3分）（2020•徐州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．若以AC所在直线为轴，把△ABC旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于 ．

15．（3分）（2020•徐州）方程=

𝑥9

8𝑥−1

的解为 ．

16．（3分）（2020•徐州）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为 ．

17．（3分）（2020•徐州）如图，∠MON＝30°，在OM上截取OA1=√3．过点A1作A1B1

⊥OM，交ON于点B1，以点B1为圆心，B1O为半径画弧，交OM于点A2；过点A2作A2B2⊥OM，交ON于点B2，以点B2为圆心，B2O为半径画弧，交OM于点A3；按此规律，所得线段A20B20的长等于 ．

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18．（3分）（2020•徐州）在△ABC中，若AB＝6，∠ACB＝45°．则△ABC的面积的最大值为 ．

三、解答题（本大题共有10小题，共86分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（10分）（2020•徐州）计算： （1）（﹣1）2020+|√2−2|﹣（）1；

﹣

12

1𝑎2−2𝑎+1（2）（1−）÷．

𝑎2𝑎−220．（10分）（2020•徐州）（1）解方程：2x2﹣5x+3＝0； （2）解不等式组：{2𝑥−1

3𝑥−4＜5

𝑥−2．

＞2321．（7分）（2020•徐州）小红的爸爸积极参加社区抗疫志愿服务工作．根据社区的安排，志愿者被随机分到A组（体温检测）、B组（便民代购）、C组（环境消杀）． （1）小红的爸爸被分到B组的概率是 ；

（2）某中学王老师也参加了该社区的志愿者队伍，他和小红爸爸被分到同一组的概率是多少？（请用画树状图或列表的方法写出分析过程）

22．（7分）（2020•徐州）某市为了解市民每天的阅读时间，随机抽取部分市民进行调查．根据调查结果绘制了如图尚不完整的统计图表： 市民每天的阅读时间统计表

类别 阅读时间x（min）

频数

A 0≤x＜30 450

B 30≤x＜60 400

C 60≤x＜90

m

D x≥90 50

根据以上信息解答下列问题：

（1）该调查的样本容量为 ，m＝ ；

第4页（共25页）

（2）在扇形统计图中，“B”对应扇形的圆心角等于 °；

（3）将每天阅读时间不低于60min的市民称为“阅读爱好者”．若该市约有600万人，请估计该市能称为“阅读爱好者”的市民有多少万人．

23．（8分）（2020•徐州）如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，AE与BD交于点F．

（1）求证：AE＝BD； （2）求∠AFD的度数．

24．（8分）（2020•徐州）本地某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费：寄件超过1千克的部分按千克计费．小丽分别寄快递到上海和北京，收费标准及实际收费如下表： 收费标准 目的地 上海 北京 实际收费 目的地 上海

质量 2

费用（元）

9

起步价（元）

a a+3

超过1千克的部分（元/千克）

b b+4

第5页（共25页）

北京 求a，b的值．

3 22

25．（8分）（2020•徐州）小红和爸爸绕着小区广场锻炼．如图，在矩形广场ABCD边AB的中点M处有一座雕塑．在某一时刻，小红到达点P处，爸爸到达点Q处，此时雕塑在小红的南偏东45°方向，爸爸在小红的北偏东60°方向，若小红到雕塑的距离PM＝30m，求小红与爸爸的距离PQ．（结果精确到1m，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45）

26．（8分）（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4）、B（2，0），交反比例函数y=𝑥（x＞0）的图象于点C（3，a），点P在反比例函数的图象上，横坐标为n（0＜n＜3），PQ∥y轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD、QD．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求△DPQ面积的最大值．

𝑚

27．（10分）（2020•徐州）我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果那么称点B为线段AC的黄金分割点．它们的比值为

√5−1． 2

𝐵𝐶𝐴𝐵

=

𝐴𝐵𝐴𝐶

，（1）在图①中，若AC＝20cm，则AB的长为 cm；

（2）如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕

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EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG．试说明：G是AB的黄金分割点；

（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E（AE＞DE），连接BE，作CF⊥BE，交AB于点F，延长EF、CB交于点P．他发现当PB与BC满足某种关系时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．

28．（10分）（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣ax2+2ax+3a（a＞0）的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，它的对称轴交x轴于点E．过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，连接DE并延长交y轴于点F，交抛物线于点G．直线AF交CD于点H，交抛物线于点K，连接HE、GK． （1）点E的坐标为： ；

（2）当△HEF是直角三角形时，求a的值； （3）HE与GK有怎样的位置关系？请说明理由．

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参考答案

一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置） 1．（3分）（2020•徐州）3的相反数是（ ） A．﹣3

B．3

C．−

1

3D． 3

1

【解答】解：根据相反数的含义，可得 3的相反数是：﹣3． 故选：A．

2．（3分）（2020•徐州）下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）

A． B．

C． D．

【解答】解：A、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； C、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：C．

3．（3分）（2020•徐州）若一个三角形的两边长分别为3cm、6cm，则它的第三边的长可能是（ ） A．2cm

B．3cm

C．6cm

D．9cm

【解答】解：设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得： 6﹣3＜x＜6+3， 解得：3＜x＜9， 故选：C．

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4．（3分）（2020•徐州）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ） A．5

B．10

C．12

D．15

【解答】解：设袋子中红球有x个， 根据题意，得：解得x＝5，

∴袋子中红球的个数最有可能是5个， 故选：A．

5．（3分）（2020•徐州）小红连续5天的体温数据如下（单位：℃）：36.6，36.2，36.5，36.2，36.3．关于这组数据，下列说法正确的是（ ） A．中位数是36.5℃ C．平均数是36.2℃

B．众数是36.2°C D．极差是0.3℃

𝑥20

=0.25，

【解答】解：把小红连续5天的体温从小到大排列得，36.2，36.2，36.3.36.5，36.6， 处在中间位置的一个数是36.3℃，因此中位数是36.3℃； 出现次数最多的是36.2℃，因此众数是36.2℃；

平均数为：𝑥=（36.2+36.2+36.3+36.5+36.6）÷5＝36.36℃， 极差为：36.6﹣36.2＝0.4℃， 故选：B．

6．（3分）（2020•徐州）下列计算正确的是（ ） A．a2+2a2＝3a4 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2

B．a6÷a3＝a2 D．（ab）2＝a2b2

【解答】解：a2+2a2＝3a2，因此选项A不符合题意； a6÷a3＝a63＝a3，因此选项B不符合题意；

﹣

（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，因此选项C不符合题意； （ab）2＝a2b2，因此选项D符合题意； 故选：D．

7．（3分）（2020•徐州）如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，OC交AB于点P．若∠BPC＝70°，则∠ABC的度数等于（ ）

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A．75°

B．70°

C．65°

D．60°

【解答】解：∵OC⊥OA， ∴∠AOC＝90°， ∵∠APO＝∠BPC＝70°， ∴∠A＝90°﹣70°＝20°， ∵OA＝OB，

∴∠OBA＝∠A＝20°， ∵BC为⊙O的切线， ∴OB⊥BC， ∴∠OBC＝90°，

∴∠ABC＝90°﹣20°＝70°． 故选：B．

8．（3分）（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数y=𝑥（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），则代数式−的值为（ ）

𝑎

𝑏1

1

4

A．−2 【解答】解： 法一：由题意得，

1

B．

2

1

C．−4

1

D． 4

1

第10页（共25页）

4𝑦=𝑥{

𝑥=𝑥=

22，解得，{或{（舍去）， √17−1√17−1−𝑦=𝑥−1𝑦=2𝑦=21+√17√17−1，）， 22

1+√171−√17∴点P（即：a=∴−

𝑎1

√17−11+√17，b=， 221𝑏

=

21+√17−

2√17−1=−；

4

1

法二：由题意得，

函数y=𝑥（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b）， ∴ab＝4，b＝a﹣1， ∴−

𝑎1

1𝑏4

=

𝑏−𝑎𝑎𝑏

=−；

4

1

故选：C．

二．填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置）

9．（3分）（2020•徐州）7的平方根是 ±√7 ． 【解答】解：7的平方根是±√7． 故答案为：±√7．

10．（3分）（2020•徐州）分解因式：m2﹣4＝ （m+2）（m﹣2） ． 【解答】解：m2﹣4＝（m+2）（m﹣2）． 故答案为：（m+2）（m﹣2）．

11．（3分）（2020•徐州）若√𝑥−3在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥3 ． 【解答】解：根据题意得x﹣3≥0， 解得x≥3． 故答案为：x≥3．

12．（3分）（2020•徐州）原子很小，1个氧原子的直径大约为0.000000000148m，将0.000000000148用科学记数法表示为 1.48×10【解答】解：0.000000000148＝1.48×10故答案为：1.48×10

﹣10

﹣10

﹣10

．

．

．

13．（3分）（2020•徐州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，若BF＝5，则DE＝ 5 ．

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【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，F为CA的中点，BF＝5， ∴AC＝2BF＝10．

又∵D、E分别为AB、BC的中点， ∴DE是Rt△ABC的中位线， ∴DE=AC＝5． 故答案是：5．

12

14．（3分）（2020•徐州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．若以AC所在直线为轴，把△ABC旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于 15π ．

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【解答】解：由已知得，母线长l＝5，底面圆的半径r为3， ∴圆锥的侧面积是s＝πlr＝5×3×π＝15π． 故答案为：15π．

15．（3分）（2020•徐州）方程=

𝑥9

8𝑥−1

的解为 x＝9 ．

【解答】解：去分母得： 9（x﹣1）＝8x 9x﹣9＝8x x＝9

检验：把x＝9代入x（x﹣1）≠0， 所以x＝9是原方程的解． 故答案为：x＝9．

16．（3分）（2020•徐州）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为 10 ．

【解答】解：连接OA，OB，

∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心， ∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上， ∵∠ADB＝18°，

第13页（共25页）

∴∠AOB＝2∠ADB＝36°， ∴这个正多边形的边数=36°=10， 故答案为：10．

360°

17．（3分）（2020•徐州）如图，∠MON＝30°，在OM上截取OA1=√3．过点A1作A1B1

⊥OM，交ON于点B1，以点B1为圆心，B1O为半径画弧，交OM于点A2；过点A2作A2B2⊥OM，交ON于点B2，以点B2为圆心，B2O为半径画弧，交OM于点A3；按此规律，所得线段A20B20的长等于 219 ．

【解答】解：∵B1O＝B1A1，B1A1⊥OA2， ∴OA1＝A1A2，

∵B2A2⊥OM，B1A1⊥OM， ∴B1A1∥B2A2， ∴B1A1=2A2B2， ∴A2B2＝2A1B1，

同法可得A3B3＝2A2B2＝22•A1B1，…， 由此规律可得A20B20＝219•A1B1， ∵A1B1＝OA1•tan30°=√3×3=1， ∴A20B20＝219， 故答案为219．

18．（3分）（2020•徐州）在△ABC中，若AB＝6，∠ACB＝45°．则△ABC的面积的最大

第14页（共25页）

√31

值为 9√2+9 ．

【解答】解：作△ABC的外接圆⊙O，过C作CM⊥AB于M，

∵弦AB已确定，

∴要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可， 如图所示，当CM过圆心O时，CM最大， ∵CM⊥AB，CM过O， ∴AM＝BM（垂径定理）， ∴AC＝BC，

∵∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°， ∴OM＝AM=AB=

1

21

×6=3， 2∴OA=√𝑂𝑀2+𝐴𝑀2=3√2， ∴CM＝OC+OM＝3√2+3，

∴S△ABC=2AB•CM=2×6×（3√2+3）＝9√2+9． 故答案为：9√2+9．

三、解答题（本大题共有10小题，共86分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（10分）（2020•徐州）计算： （1）（﹣1）2020+|√2−2|﹣（）1；

﹣

11

12

1𝑎2−2𝑎+1（2）（1−𝑎）÷2𝑎−2．

【解答】解：（1）原式＝1+2−√2−2＝1−√2；

𝑎−1(𝑎−1)（2）原式=𝑎÷2(𝑎−1) 第15页（共25页）

2

=

𝑎−12

• 𝑎𝑎−12𝑎=．

20．（10分）（2020•徐州）（1）解方程：2x2﹣5x+3＝0； （2）解不等式组：{2𝑥−1

3𝑥−4＜5

𝑥−2．

＞23【解答】解：（1）2x2﹣5x+3＝0， （2x﹣3）（x﹣1）＝0， ∴2x﹣3＝0或x﹣1＝0， 解得：x1=，x2＝1； 3𝑥−4＜5①（2）{2𝑥−1𝑥−2

332＞2 ②

解不等式①，得x＜3． 解不等式②，得x＞﹣4．

则原不等式的解集为：﹣4＜x＜3．

21．（7分）（2020•徐州）小红的爸爸积极参加社区抗疫志愿服务工作．根据社区的安排，志愿者被随机分到A组（体温检测）、B组（便民代购）、C组（环境消杀）． （1）小红的爸爸被分到B组的概率是

13 ；

（2）某中学王老师也参加了该社区的志愿者队伍，他和小红爸爸被分到同一组的概率是多少？（请用画树状图或列表的方法写出分析过程）

【解答】解：（1）共有3种等可能出现的结果，被分到“B组”的有1中，因此被分到“B组”的概率为；

31

（2）用列表法表示所有等可能出现的结果如下：

共有9种等可能出现的结果，其中“他与小红的爸爸”在同一组的有3种， ∴P（他与小红爸爸在同一组）=9=3．

第16页（共25页）

31

22．（7分）（2020•徐州）某市为了解市民每天的阅读时间，随机抽取部分市民进行调查．根据调查结果绘制了如图尚不完整的统计图表： 市民每天的阅读时间统计表

类别 阅读时间x（min）

频数

A 0≤x＜30 450

B 30≤x＜60 400

C 60≤x＜90

m

D x≥90 50

根据以上信息解答下列问题：

（1）该调查的样本容量为 1000 ，m＝ 100 ；

（2）在扇形统计图中，“B”对应扇形的圆心角等于 144 °；

（3）将每天阅读时间不低于60min的市民称为“阅读爱好者”．若该市约有600万人，请估计该市能称为“阅读爱好者”的市民有多少万人．

【解答】解：（1）450÷45%＝1000， m＝1000﹣（450+400+50）＝100． 故答案为：1000，100；

（2）360°×1000=144°．

即在扇形统计图中，“B”对应扇形的圆心角等于144°． 故答案为：144；

（3）600×1000=90（万人）．

答：估计该市能称为“阅读爱好者”的市民有90万人．

23．（8分）（2020•徐州）如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，AE与BD交于点

第17页（共25页）

400

100+50

F．

（1）求证：AE＝BD； （2）求∠AFD的度数．

【解答】解：（1）∵AC⊥BC，DC⊥EC， ∴∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACE＝∠BCD， 在△ACE和△BCD中， 𝐴𝐶=𝐵𝐶

{∠𝐴𝐶𝐸=∠𝐵𝐶𝐷， 𝐶𝐸=𝐶𝐷

∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴AE＝BD；

（2）∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠ANC＝90°， ∵△ACE≌△BCD， ∴∠A＝∠B， ∵∠ANC＝∠BNF，

∴∠B+∠BNF＝∠A+∠ANC＝90°， ∴∠AFD＝∠B+∠BNF＝90°．

24．（8分）（2020•徐州）本地某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费：

第18页（共25页）

寄件超过1千克的部分按千克计费．小丽分别寄快递到上海和北京，收费标准及实际收费如下表： 收费标准 目的地 上海 北京 实际收费 目的地 上海 北京 求a，b的值．

𝑎+(2−1)𝑏=9

【解答】解：依题意，得：{，

𝑎+3+(3−1)(𝑏+4)=22𝑎=7

解得：{．

𝑏=2

答：a的值为7，b的值为2．

25．（8分）（2020•徐州）小红和爸爸绕着小区广场锻炼．如图，在矩形广场ABCD边AB的中点M处有一座雕塑．在某一时刻，小红到达点P处，爸爸到达点Q处，此时雕塑在小红的南偏东45°方向，爸爸在小红的北偏东60°方向，若小红到雕塑的距离PM＝30m，求小红与爸爸的距离PQ．（结果精确到1m，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45）

质量 2 3

费用（元）

9 22

起步价（元）

a a+3

超过1千克的部分（元/千克）

b b+4

【解答】解：作PN⊥BC于N，如图： 则四边形ABNP是矩形， ∴PN＝AB，

∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°，

第19页（共25页）

∵∠APM＝45°，

∴△APM是等腰直角三角形， ∴AM=

√22PM=

√22×30＝15√2（m），

∵M是AB的中点， ∴PN＝AB＝2AM＝30√2m，

在Rt△PNQ中，∠NPQ＝90°﹣∠DPQ＝90°﹣60°＝30°， ∴NQ=3PN＝10√6m，PQ＝2NQ＝20√6≈49（m）； 答：小红与爸爸的距离PQ约为49m．

√3

26．（8分）（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4）、B（2，0），交反比例函数y=

𝑚

（x＞0）的图象于点C（3，a），点P在反比𝑥例函数的图象上，横坐标为n（0＜n＜3），PQ∥y轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD、QD．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求△DPQ面积的最大值．

【解答】解：（1）把A（0，﹣4）、B（2，0）代入一次函数y＝kx+b得， 𝑏=−4𝑘=2{，解得，{， 2𝑘+𝑏=0𝑏=−4

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∴一次函数的关系式为y＝2x﹣4， 当x＝3时，y＝2×3﹣4＝2， ∴点C（3，2），

∵点C在反比例函数的图象上， ∴k＝3×2＝6，

∴反比例函数的关系式为y=，

答：一次函数的关系式为y＝2x﹣4，反比例函数的关系式为y=𝑥； （2）点P在反比例函数的图象上，点Q在一次函数的图象上， ∴点P（n，），点Q（n，2n﹣4），

𝑛6

6

6

𝑥∴PQ=

6

−（2n﹣4）， 𝑛162𝑛

∴S△PDQ=n[−（2n﹣4）]＝﹣n2+2n+3＝﹣（n﹣1）2+4， ∴当n＝1时，S最大＝4， 答：△DPQ面积的最大值是4．

27．（10分）（2020•徐州）我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果那么称点B为线段AC的黄金分割点．它们的比值为

√5−1． 2

𝐵𝐶𝐴𝐵

=

𝐴𝐵𝐴𝐶

，（1）在图①中，若AC＝20cm，则AB的长为 （10√5−10） cm；

（2）如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG．试说明：G是AB的黄金分割点；

（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E（AE＞DE），连接BE，作CF⊥BE，交AB于点F，延长EF、CB交于点P．他发现当PB与BC满足某种关系时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．

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【解答】解：（1）∵点B为线段AC的黄金分割点，AC＝20cm， ∴AB=

√5−12×20＝（10√5−10）cm．

故答案为：（10√5−10）． （2）延长EA，CG交于点M，

∵四边形ABCD为正方形， ∴DM∥BC， ∴∠EMC＝∠BCG，

由折叠的性质可知，∠ECM＝∠BCG， ∴∠EMC＝∠ECM， ∴EM＝EC， ∵DE＝10，DC＝20，

∴EC=√𝐷𝐸2+𝐷𝐶2=√102+202=10√5， ∴EM＝10√5， ∴DM＝10√5+10， ∴tan∠DMC=𝐷𝐶

20𝐷𝐻=10√5+10=2√5+1=√5−12．

∴tan∠BCG=√5−12，

即

𝐵𝐺𝐵𝐶=

√5−12

， ∴𝐵𝐺

√5−1𝐴𝐵=2

， ∴G是AB的黄金分割点；

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（3）当BP＝BC时，满足题意． 理由如下：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠BAE＝∠CBF＝90°， ∵BE⊥CF，

∴∠ABE+∠CBF＝90°， 又∵∠BCF+∠BFC＝90°， ∴∠BCF＝∠ABE， ∴△ABE≌△BCF（ASA）， ∴BF＝AE， ∵AD∥CP， ∴△AEF∽△BPF， ∴

𝐴𝐸𝐵𝑃

=

𝐴𝐹𝐵𝐹

，

当E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点时， ∵AE＞DE， ∴

𝐴𝐹𝐵𝐹

=

𝐵𝐹𝐴𝐵

，

∵BF＝AE，AB＝BC， ∴∴

𝐴𝐹𝐵𝐹𝐴𝐸𝐵𝑃

==

𝐵𝐹𝐴𝐵𝐴𝐸𝐵𝐶

=，

𝐴𝐸𝐵𝐶

，

∴BP＝BC．

28．（10分）（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣ax2+2ax+3a（a＞0）的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，它的对称轴交x轴于点E．过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，连接DE并延长交y轴于点F，交抛物线于点G．直线AF交CD于点H，交抛物线于点K，连接HE、GK． （1）点E的坐标为： （1，0） ； （2）当△HEF是直角三角形时，求a的值； （3）HE与GK有怎样的位置关系？请说明理由．

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【解答】解：（1）对于抛物线y＝﹣ax2+2ax+3a，对称轴x=−−2𝑎=1， ∴E（1，0）， 故答案为（1，0）．

（2）如图，连接EC．

对于抛物线y＝﹣ax2+2ax+3a，令x＝0，得到y＝3a， 令y＝0，﹣ax2+2ax+3a＝0，解得x＝﹣1或3， ∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3a）， ∵C，D关于对称轴对称， ∴D（2，3a），CD＝2，EC＝DE， 当∠HEF＝90°时， ∵ED＝EC， ∴∠ECD＝∠EDC， ∵∠DCF＝90°，

∴∠CFD+∠EDC＝90°，∠ECF+∠ECD＝90°， ∴∠ECF＝∠EFC，∴EC＝EF＝DE， ∵EA∥DH，

∴FA＝AH，∴AE=2DH，∵AE＝2，∴DH＝4，∵HE⊥DFEF＝ED，∴FH＝DH＝4，

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2𝑎

1

在Rt△CFH中，则有42＝22+（6a）2， 解得a=3或−3（不符合题意舍弃）， ∴a=3．

当∠HFE＝90°时，∵OA＝OE，FO⊥AE，∴FA＝FE， ∴OF＝OA＝OE＝1，∴3a＝1， ∴a=，

综上所述，满足条件的a的值为（3）结论：EH∥GK．

理由：由题意A（﹣1，0），F（0，﹣3a），D（2，3a），H（﹣2，3a），E（1，0）， ∴直线AF的解析式y＝﹣3ax﹣3a，直线DF的解析式为y＝3ax﹣3a， 𝑦=−3𝑎𝑥−3𝑎𝑥=−1𝑥=6由{，解得{或{， 2𝑦=0𝑦=−21𝑎𝑦=−𝑎𝑥+2𝑎𝑥+3𝑎∴K（6，﹣21a），

𝑦=3𝑎𝑥−3𝑎𝑥=2𝑥=−3由{，解得{或{，

𝑦=3𝑎𝑦=−12𝑎𝑦=−𝑎𝑥2+2𝑎𝑥+3𝑎∴G（﹣3，﹣12a），

∴直线HE的解析式为y＝﹣ax+a，直线GK的解析式为y＝﹣ax﹣15a， ∵k相同，∴HE∥GK．

√31或． 33

13√3√3√3

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