勒贝格控制收敛定理之令狐文艳创作

来源：锐游网

令狐文艳创作

勒贝格控制收敛定理

令狐文艳

勒贝格控制收敛定理是积分论中的一个重要定理，它解决了积分与极限的交换问题，并在一定程度上代表了实变函数论方法的力量。利用这一定理可以证明列维（Levi）定理等其他定理，而且它在证明和计算中有着广泛的应用。首先，我们介绍一下勒贝格控制收敛定理。

勒贝格控制收敛定理：设

（1）{fn}是可测集E上的可测函数列；

fnxF(x)a.e.（2）

于E，n=1,2，，且F(x)在E上可积分（称{fn}为F(x)所控制，而

F(x)叫控制函数）；

（3）fnxfx，则fx在E上可积分，且

limfnxdxfxdxnEE

（注：将条件（3）换为fnxfxa.e.于E，定理结论仍成立。

应用勒贝格控制收敛定理时，关键是找出控制函数，且要求控制函数是可积的。下面我们从两个方面探讨勒贝格控制收敛定理在分析学中的应用。

1 利用定理的证明

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勒贝格控制收敛定理可以证明积分等式、函数相等、积分的极限、积分的和、数列收敛、不等式判断函数连续等等问题。

例1：设f1，f2，

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