天津市和平区2020-2021学年八年级下学期期中考试数学试卷(word版 含答案)

一．选择题（共12小题） 1．

在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）

B．x＞3

+

＝（ ） B．

C．8a

D．15

C．x≤3

D．x＜3

A．x≥3 2．计算：A．8

3．下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A．4，5，6

B．1，1，

C．6，8，11

D．5，12，23

4．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是（ ）

A．∠B＝∠BCF

B．∠B＝∠F

C．AC＝CF

D．AD＝CF

5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为（ ）

A．4

B．3

C．2

D．1

6．如图，池塘边有两点A、B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得CB＝60m，AC＝20m，则A，B两点间的距离是（ ）

A．200m

B．20

m

C．40

m

D．50m

7．已知菱形ABCD，AC＝6，面积等于24，则菱形ABCD的周长等于（ ）

A．20

B．25

C．20

D．1530

8．利用勾股定理，可以作出长为无理数的线段．如图，在数轴上找到点A，使OA＝5，过点A作直线l垂直于OA，在1上取点B，使AB＝2，以原点O为圆心，以OB长为半径作弧，弧与数轴的交点为C，那么点C表示的无理数是（ ）

A．

B．

C．7

D．29

9．下列二次根式的运算正确的是（ ） A．

＝﹣5

B．D．

C．

10．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，AB＝5，BD＝4，DC＝2，则AC等于（ ）

A．13

B．

C．

D．5

11．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝2，PF＝6，则图中阴影部分的面积为（ ）

A．10

B．12

C．16

D．18

12．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是（ ）

A．1.2

B．1.5

C．2.4

D．2.5

二．填空题（共6小题）

13．直角三角形的两个直角边分别为3和5，这个直角三角形的斜边长为 ． 14．计算（

﹣2）×（

+2）的结果是 ．

15．依次连接矩形中点得到的四边形一定是 ．

16．如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于 ．

17．如图：已知AB＝10，点C、D在线段AB上且AC＝DB＝2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是 ．

18．如图，O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，AB＝6，M，N是直线BC上的动点，且MN＝2，则OM+ON的最小值是 ．

三．解答题（共5小题） 19．计算：（

﹣

）÷

+

．

20．如图，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，AB＝13，在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，点A与BC延长线上的点D重合，求CE的长．

21．如图，BE是△ABC的中线，BD∥AC，且BD＝AC，连接AD、DE． （1）求证：BC＝DE；

（2）当∠ABC＝90°时，判断四边形ADBE的形状，并说明理由．

22．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝3，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F． （1）求证：四边形BDFC是平行四边形；

（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．

23．如图，将矩形OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴的正半轴上，B（8，6），点D是射线AO上的一点，把△BAD沿直线BD折叠，点A的对应点为A′． （Ⅰ）若点A′落在矩形的对角线OB上时，OA′的长＝ ； （Ⅱ）若点A′落在边AB的垂直平分线上时，求点D的坐标；

（Ⅲ）若点A′落在边AO的垂直平分线上时，求点D的坐标（直接写出结果即可）．

2020-2021学年天津市和平区八年级（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题） 1．

在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）

B．x＞3

C．x≤3

D．x＜3

A．x≥3

【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，就可以求解． 【解答】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：3﹣x≥0 解得：x≤3． 故选：C． 2．计算：A．8

+

＝（ ） B．

C．8a

D．15

【分析】先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可． 【解答】解：原式＝3＝8

．

+5

故选：A．

3．下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A．4，5，6

B．1，1，

C．6，8，11

D．5，12，23

【分析】根据勾股定理逆定理：a2+b2＝c2，将各个选项逐一代数计算即可得出答案． 【解答】解：A、∵42+52≠62，∴不能构成直角三角形，故A错误； B、∵12+12＝

，∴能构成直角三角形，故B正确；

C、∵62+82≠112，∴不能构成直角三角形，故C错误； D、∵52+122≠232，∴不能构成直角三角形，故D错误． 故选：B．

4．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是（ ）

A．∠B＝∠BCF B．∠B＝∠F C．AC＝CF D．AD＝CF

【分析】利用三角形中位线定理得到DE∥AC，DE＝AC，结合平行四边形的判定定理对各个选项进行判断即可．

【解答】解：∵D，E分别是AB，BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AC，DE＝AC， A、∵∠B＝∠BCF， ∴CF∥AB，即CF∥AD，

∴四边形ADFC为平行四边形，故本选项符合题意；

B、根据∠B＝∠F不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意；

C、根据AC＝CF不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意；

D、根据AD＝CF，FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意； 故选：A．

5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为（ ）

A．4

B．3

C．2

D．1

【分析】因为矩形的对角线相等且互相平分，已知OA＝2，则AC＝2OA＝4，又BD＝AC，故可求．

【解答】解：∵ABCD是矩形 ∴OC＝OA，BD＝AC

又∵OA＝2，∴AC＝OA+OC＝2OA＝4 ∴BD＝AC＝4 故选：A．

6．如图，池塘边有两点A、B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得CB＝60m，AC＝20m，则A，B两点间的距离是（ ）

A．200m

B．20

m

C．40

m

D．50m

【分析】在直角三角形中已知直角边和斜边的长，利用勾股定理求得另外一条直角边的长即可．

【解答】解：∵CB＝60m，AC＝20m，AC⊥AB， ∴AB＝故选：C．

7．已知菱形ABCD，AC＝6，面积等于24，则菱形ABCD的周长等于（ ）

＝40

（m）．

A．20

B．25

C．20

D．1530

【分析】先利用菱形的面积公式计算出BD＝8，然后根据菱形的性质和勾股定理可计算出菱形的边长＝10，从而得到菱形的周长．

【解答】解：∵菱形ABCD的面积是24，即×AC×BD＝24， ∴BD＝

＝8，

＝5，

∴菱形的边长＝

∴菱形ABCD的周长＝4×5＝20． 故选：A．

8．利用勾股定理，可以作出长为无理数的线段．如图，在数轴上找到点A，使OA＝5，过点A作直线l垂直于OA，在1上取点B，使AB＝2，以原点O为圆心，以OB长为半径作弧，弧与数轴的交点为C，那么点C表示的无理数是（ ）

A．

B．

C．7

D．29

【分析】利用勾股定理列式求出OB判断即可． 【解答】解：由勾股定理得，OB＝∴点C表示的无理数是故选：B．

9．下列二次根式的运算正确的是（ ） A．

＝﹣5

B．D．

C．

．

＝

，

【分析】根据二次根式的性质对A进行判断；根据二次根式的除法法则对B进行判断；根据二次根式的加减法对C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断． 【解答】解：A、原式＝5，所以A选项错误； B、原式＝C、原式＝4

＝

，所以B选项正确；

，所以C选项错误；

D、原式＝10×3＝30，所以D选项错误． 故选：B．

10．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，AB＝5，BD＝4，DC＝2，则AC等于（ ）

A．13

B．

C．

D．5

【分析】在Rt△ABD中，由勾股定理可求得AD，则在Rt△ACD中，由勾股定理可求得AC． 【解答】解： ∵AD⊥BC，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°，

在Rt△ABD中，由勾股定理可得AD＝在Rt△ACD中，由勾股定理可得AC＝故选：B．

11．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝2，PF＝6，则图中阴影部分的面积为（ ）

＝＝

＝3， ＝

，

A．10

B．12

C．16

D．18

【分析】由矩形的性质可证明S△PEB＝S△PFD，即可求解． 【解答】解：作PM⊥AD于M，交BC于N．

则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形， ∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN， ∵MP＝AE＝2

∴S△DFP＝S△PBE＝×2×6＝6， ∴S阴＝6+6＝12， 故选：B．

12．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是（ ）

A．1.2

B．1.5

C．2.4

D．2.5

【分析】先由勾股定理求出AB＝5，再证四边形CEMF是矩形，得EF＝CM，当CM⊥AB时，CM最短，此时EF也最小，则CP最小，然后由三角形面积求出CM＝2.4，即可得出答案．

【解答】解：连接CM，如图所示： ∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB＝

＝

＝5，

∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°， ∴四边形CEMF是矩形， ∴EF＝CM，

∵点P是EF的中点， ∴CP＝EF，

当CM⊥AB时，CM最短， 此时EF也最小，则CP最小，

∵△ABC的面积＝AB×CM＝AC×BC， ∴CM＝

＝

＝2.4，

∴CP＝EF＝CM＝1.2， 故选：A．

二．填空题（共6小题）

13．直角三角形的两个直角边分别为3和5，这个直角三角形的斜边长为 【分析】直接利用勾股定理计算即可．

【解答】解：∵直角三角形的两个直角边分别为3和5， ∴这个直角三角形的斜边长为故答案为14．计算（

． ﹣2）×（

+2）的结果是 ﹣1 ．

＝

．

．

【分析】利用平方差公式计算． 【解答】解：原式＝（＝3﹣4 ＝﹣1． 故答案为﹣1．

15．依次连接矩形中点得到的四边形一定是 菱形 ．

【分析】连接矩形对角线．利用矩形对角线相等、三角形中位线定理证得四边形EFGH是平行四边形，且EF＝FH＝HG＝EG；然后由四条边相等的平行四边形是菱形推知四边形EFGH是菱形．

【解答】解：如图E、F、G、H是矩形ABCD各边的中点．连接AC、BD． ∵AC＝BD（矩形的对角线相等），EF∴EF∥HG，且EF＝HG＝AC； 同理HE∥GF，且HE＝GF＝BD，

∴四边形EFGH是平行四边形，且EF＝FH＝HG＝EG， ∴四边形EFGH是菱形． 故答案是：菱形．

AC，HG

AC，

）2﹣22

16．如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于 6cm ．

【分析】由菱形ABCD的周长为48cm，根据菱形的性质，可求得AD的长，AC⊥BD，又由E是AD的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可求得线段OE的长．

【解答】解：∵菱形ABCD的周长为48cm， ∴AD＝12cm，AC⊥BD， ∵E是AD的中点， ∴OE＝AD＝6（cm）． 故答案是：6cm．

17．如图：已知AB＝10，点C、D在线段AB上且AC＝DB＝2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是 3 ．

【分析】分别延长AE、BF交于点H，易证四边形EPFH为平行四边形，得出G为PH中点，则G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN．再求出CD的长，运用中位线的性质求出MN的长度即可．

【解答】解：如图，分别延长AE、BF交于点H． ∵∠A＝∠FPB＝60°， ∴AH∥PF，

∵∠B＝∠EPA＝60°， ∴BH∥PE，

∴四边形EPFH为平行四边形， ∴EF与HP互相平分． ∵G为EF的中点，

∴G正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN． ∵CD＝10﹣2﹣2＝6，

∴MN＝3，即G的移动路径长为3．

18．如图，O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，AB＝6，M，N是直线BC上的动点，且MN＝2，则OM+ON的最小值是 2

．

【分析】利用轴对称变换以及平移变换，作辅助线构造平行四边形，依据平行四边形的性质以及轴对称的性质，可得当O，N，Q在同一直线上时，OM+ON的最小值等于OQ长，利用勾股定理进行计算，即可得到OQ的长，进而得出OM+ON的最小值． 【解答】解：如图所示，作点O关于BC的对称点P，连接PM，将MP沿着MN的方向平移MN长的距离，得到NQ，连接PQ， 则四边形MNQP是平行四边形， ∴MN＝PQ＝2，PM＝NQ＝MO， ∴OM+ON＝QN+ON，

当O，N，Q在同一直线上时，OM+ON的最小值等于OQ长， 连接PO，交BC于E，

由轴对称的性质，可得BC垂直平分OP， 又∵矩形ABCD中，OB＝OC， ∴E是BC的中点， ∴OE是△ABC的中位线，

∴OE＝AB＝3， ∴OP＝2×3＝6， 又∵PQ∥MN， ∴PQ⊥OP， ∴Rt△OPQ中，OQ＝∴OM+ON的最小值是2故答案为：2

．

，

＝

＝2

，

三．解答题（共5小题） 19．计算：（

﹣

）÷

+

．

【分析】先根据二次根式的除法法则运算，然后化简后合并即可． 【解答】解：原式＝＝2＝

﹣．

+

﹣

+

20．如图，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，AB＝13，在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，点A与BC延长线上的点D重合，求CE的长．

【分析】结合已知条件可知AC＝4，利用三角形面积推出S△ABC＝S△BCE+S△BDE，即可推

出CE的长度．

【解答】解：∵∠ACB＝90°，BC＝5，AB＝13， ∴AC＝12，

根据将其三角形纸片ABC对折后点A落在BC的延长线上，则AB＝BD＝13， ∵S△ABC＝S△BCE+S△BDE，

∴×5×12＝BC×EC+EC×BD， ∴30＝×EC（5+13）， ∴CE＝

．

21．如图，BE是△ABC的中线，BD∥AC，且BD＝AC，连接AD、DE． （1）求证：BC＝DE；

（2）当∠ABC＝90°时，判断四边形ADBE的形状，并说明理由．

【分析】（1）首先判定四边形DBCE是平行四边形，然后即可证得BC＝DE；

（2）首先证得四边形ADBE是平行四边形，然后利用对角线互相垂直的平行四边形是平行四边形判定菱形即可．

【解答】解：（1）证明：∵BE是△ABC的中线， ∴EC＝AC， ∵BD＝AC， ∴BD＝CE，

∵BD∥AC，

∴四边形DBCE是平行四边形， ∴BC＝DE；

（2）四边形ADBE是菱形，理由如下： ∵BE是△ABC的中线， ∴EA＝AC， ∵BD＝AC， ∴BD＝AE， ∵BD∥AC，

∴四边形ADBE是平行四边形， ∵∠ABC＝90°， ∴AB⊥DE，

∴四边形ADBE是菱形．

22．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝3，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F． （1）求证：四边形BDFC是平行四边形；

（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．

【分析】（1）根据同旁内角互补两直线平行求出BC∥AD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CBE＝∠DFE，然后利用“角角边”证明△BEC和△FCD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE＝EF，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可；

（2）分①BC＝BD时，利用勾股定理列式求出AB，然后利用平行四边形的面积公式列式计算即可得解；②BC＝CD时，过点C作CG⊥AF于G，判断出四边形AGCB是矩形，再根据矩形的对边相等可得AG＝BC＝3，然后求出DG＝2，利用勾股定理列式求出CG，

然后利用平行四边形的面积列式计算即可得解；③BD＝CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC＝2AD＝2，矛盾． 【解答】（1）证明：∵∠A＝∠ABC＝90°， ∴BC∥AD， ∴∠CBE＝∠DFE， 在△BEC与△FED中，

，

∴△BEC≌△FED， ∴BE＝FE，

又∵E是边CD的中点， ∴CE＝DE，

∴四边形BDFC是平行四边形；

（2）①BC＝BD＝3时，由勾股定理得，AB＝所以，四边形BDFC的面积＝3×2

＝6

；

＝

＝2

，

②BC＝CD＝3时，过点C作CG⊥AF于G，则四边形AGCB是矩形， 所以，AG＝BC＝3，

所以，DG＝AG﹣AD＝3﹣1＝2， 由勾股定理得，CG＝

所以，四边形BDFC的面积＝3×

＝＝3

＝；

，

③BD＝CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC＝2AD＝2，矛盾，此时不成立；

综上所述，四边形BDFC的面积是6

或3

．

23．如图，将矩形OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴的正半轴上，B（8，

6），点D是射线AO上的一点，把△BAD沿直线BD折叠，点A的对应点为A′． （Ⅰ）若点A′落在矩形的对角线OB上时，OA′的长＝ 4 ； （Ⅱ）若点A′落在边AB的垂直平分线上时，求点D的坐标；

（Ⅲ）若点A′落在边AO的垂直平分线上时，求点D的坐标（直接写出结果即可）．

【分析】（Ⅰ）由点B的坐标知OA＝8、AB＝6、OB＝10，根据折叠性质可得BA＝BA′＝6，据此可得答案；

（Ⅱ）连接AA′，利用折叠的性质和中垂线的性质证△BAA′是等边三角形，可得∠A′BD＝∠ABD＝30°，据此知AD＝ABtan∠ABD＝2

，继而可得答案；

（Ⅲ）分点D在OA上和点D在AO延长线上这两种情况，利用相似三角形的判定和性质分别求解可得．

【解答】解：（Ⅰ）如图1，

由题意知OA＝8、AB＝6， ∴OB＝10，

由折叠知，BA＝BA′＝6， ∴OA′＝4， 故答案为：4；

（Ⅱ）如图2，连接AA′，

∵点A′落在线段AB的中垂线上， ∴BA＝AA′，

∵△BDA′是由△BDA折叠得到的， ∴△BDA′≌△BDA，

∴∠A′BD＝∠ABD，A′B＝AB， ∴AB＝A′B＝AA′， ∴△BAA′是等边三角形， ∴∠A′BA＝60°，

∴∠A′BD＝∠ABD＝30°， ∴AD＝ABtan∠ABD＝6tan30°＝2∴OD＝OA﹣AD＝8﹣2∴点D（8﹣2

（Ⅲ）①如图3，当点D在OA上时，

，0）．

，

，

由旋转知△BDA′≌△BDA，

∴BA＝BA′＝6，∠BAD＝∠BA′D＝90°， ∵点A′在线段OA的中垂线上，

∴BM＝AN＝OA＝4， ∴A′M＝

＝

＝2

， ，

∴A′N＝MN﹣A′M＝AB﹣A′M＝6﹣2

由∠BMA′＝∠A′ND＝∠BA′D＝90°知△BMA′∽△A′ND， 则

＝

，即﹣5，

﹣5＝3

﹣1，

＝

，

解得：DN＝3

则OD＝ON+DN＝4+3∴D（3

﹣1，0）；

②如图4，当点D在AO延长线上时，过点A′作x轴的平行线交y轴于点M，延长AB交所作直线于点N，

则BN＝CM，MN＝BC＝OA＝8， 由旋转知△BDA′≌△BDA，

∴BA＝BA′＝6，∠BAD＝∠BA′D＝90°， ∵点A′在线段OA的中垂线上， ∴A′M＝A′N＝MN＝4， 则MC＝BN＝∴MO＝MC+OC＝2

+6，

＝2

，

由∠EMA′＝∠A′NB＝∠BA′D＝90°知△EMA′∽△A′NB， 则

＝

，即

＝

，

解得：ME＝，

，

则OE＝MO﹣ME＝6+

∵∠DOE＝∠A′ME＝90°、∠OED＝∠MEA′， ∴△DOE∽△A′ME，

∴＝，即＝，

解得：DO＝3+1，

﹣1，0）， ﹣1，0）或（﹣3

﹣1，0）．

则点D的坐标为（﹣3综上，点D的坐标为（3