高中数学 计数原理与二项式定理专题训练

小题精练(十八) 计数原理与二项式定理

京翰高考网试题（gaokao.zgjhjy.com）

(限时：60分钟)

1．甲、乙两人计划从A、B、C三个景点中各选择两个游玩，则两人所选景点不全相同的选

法共有( )

A．3种 C．9种

B．6种 D．12种

2．(2013·高考四川卷)从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，

b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是( )

A．9 C．18

B．10 D．20

3．(2013·高考全国卷)(x＋2)8的展开式中x6的系数是( )

A．28 C．112

B．56 D．224

4．将4名实习教师分配到高一年级的3个班实习，若每班至少安排1名教师，则不同的分

配方案种数为( ) A．12 C．72

B．36 D．108

x－18

5．(2014·济南市模拟)二项式23的展开式中常数项是( )

x

A．28 C．7

B．－7 D．－28

6．把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，不许有空盒且任意一

个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的放法有( ) A．36种 C．种

2

B．45种 D．96种

6

2

1

7．(2014·湖北省八校联考)设a＝(3x－2x)dx，则二项式ax2－展开式中的第4项为

1x

( )

A．－1 280x3 C．240

B．－1 280 D．－240

8．一个盒子里有3个分别标有号码1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放

回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有( )

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A．12种 C．17种

B．15种 D．19种

9．(2014·安徽省“江南十校”联考)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋„＋a9(x＋

1)9，且(a0＋a2＋„＋a8)2－(a1＋a3＋„＋a9)2＝39，则实数m的值为( )

A．1或－3 C．1

B．－1或3 D．－3

10．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则“六合

数”中首位为2的“六合数”共有( )

A．18个 C．12个

11．设复数x＝

B．15个 D．9个

2i232 0132 013

(i是虚数单位)，则C12 013x＋C2x3＋„＋C2 013x＝( ) 2 013x＋C2 013

1－i

A．i B．－i D．1＋i

C．－1＋i

x＋1

12．(2014·郑州市质检)在二项式4

2·

1

613

14

n

的展开式中，前三项的系数成等差数列， x

把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为( )

A. C.

B. D. 512

13．(2013·高考北京卷)将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至

少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．

14．若(1－2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a1＋a2＋a3＋a4＝________．

x－16

15．(2013·高考天津卷)的二项展开式中的常数项为________．

x

16．(2014·湖北省八校联考)航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学实验，要求2艘

攻击型核潜艇一前一后，2艘驱逐舰和2艘护卫舰分列左、右，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为________．

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小题精练(十八)

1．解析：选B.本题用排除法，甲、乙两人从A、B、C三个景点中各选两个游玩，共有

2

C23·C3＝9种，但两人所选景点不能完全相同，所以排除3种完全相同的选择，故有6

种，选B.

2．解析：选C.利用排列知识求解．

从1，3，5，7，9这五个数中每次取出两个不同数的排列个数为A5＝20，但lg 1－lg 3＝lg 3－lg 9，lg 3－lg 1＝lg 9－lg 3，所以不同值的个数为20－2＝18，故选C. 3．解析：选C.写出二项展开式的通项，从而确定x6的系数． 该二项展开式的通项为Tr＋1＝C8xx6的系数是112.

4．解析：选B.本题是定向分配问题．由于元素个数多于位置个数，故先分堆再分位置，分两步完成，第一步，从4名教师中选出2名教师分成一组，其余2名教师各自为一组，共有C24种选法，第二步，将上述三组与3个班级对应，共有A33种，这样，所求的不同的方案种数为C4A3＝36.

x5．解析：选C.展开式的通项公式是Tr＋1＝C

2

r8

2

3

r

8－rr

2

2＝2C8x

rr8－r

，令r＝2，得T3＝2C8x＝112x，所以

2266

8－r

rr

·(－1)rx－，令8－r－＝0，得r

33

11

＝6，所以展开式中的常数项为C×＝28×＝7.

24

68

2

6．解析：选A.先把5号球放入任意一个盒子中有4种放法，再把剩下的四个球放入盒子中，根据4的“错位数”是9，得不同的放法有4×9＝36种．

1

7．解析：选A.由微积分基本定理知a＝4，4x2－展开式中的第4项为T3＋1＝C36

x1

(4x)－＝－1 280x3，选A.

x

2

3

6

3

8．解析：选D.依题意得，就这3次中取得小球标号中含3的小球的实际次数进行分类计数：第一类，当这3次中取得小球标号中含3的小球仅有1次时，满足题意的取法有C13×22＝12种；第二类，当这3次中取得小球标号中含3的小球恰有2次时，满足题意的取法有C3×2＝6种；第三类，当这3次中取得小球标号中含3的小球有3次时，满足题意的取法有1种．故满足题意的取法共有12＋6＋1＝19种，选D.

9．解析：选A.令x＝0，得到a0＋a1＋a2＋„＋a9＝(2＋m)9，令x＝－2，得到a0－a1＋a2－a3＋„－a9＝m，所以有(2＋m)m＝3，即m＋2m＝3，解得m＝1或－3. 10．解析：选B.依题意，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4、0、0组成3个数分别为400、040、004；由3、1、0组成6个数分别为310、301、130、103、013、031，由2、2、0组成3个数分别为220、202、022；由2、1、1组成3个数分别

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9

9

9

9

2

2

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为211、121、112.共计3＋6＋3＋3＝15个． 11．解析：选C.x＝－1＝i－1，选C.

2i22 0132 013

＝－1＋i，C12 013x＋C2＝(1＋x)2 013－1＝i2 0132 013x＋„＋C2 013x1－ix＋112．解析：选D.注意到二项式42·1

r

·42·

n

的展开式的通项是Tr＋1＝Crn－

x)n·(

x

2n－3rr

＝Cr－r2－2－1

·x4.依题意有C0＝2C1＝n，即n2－9n＋8＝0，n·2n＋Cn·2n·2

x

x＋1

(n－1)(n－8)＝0(n≥2)，因此n＝8.∵二项式4

2·

r

8

－r

8

的展开式的通项是T＝

r＋1

x

3rA66·A735

C·2·x4－，其展开式中的有理项共有3项，所求的概率等于9＝，选D.

4A91213．解析：先分组后用分配法求解，5张参观券分为4组，其中有2个连号的有4种分法，每一种分法中的排列方法有A4种，因此共有不同的分法4A4＝4×24＝96(种)． 答案：96

14．解析：令x＝1可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1，令x＝0，可得a0＝1，所以a1＋a2＋a3＋a4＝0. 答案：0

15．解析：先写出展开式的通项，再求常数项．

4

4

x－16

的展开式通项为Tr＋1＝ x

(－1)Cx15. 答案：15

22216．解析：先将2艘驱逐舰和2艘护卫舰平均分成两组，再排，有C12A2A2A2种方法，然12222后排2艘攻击型核潜艇，有A22种方法，故舰艇分配方案的方法数为C2A2A2A2A2＝32.

r

r

6

6－r

331r

·＝(－1)rCr6x6－r，令6－r＝0，解得r＝4，故常数项为(－1)4C46＝

22x

答案：32

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