广东省广州市荔湾区2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)

数学试题

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1.A. 【答案】B 【解析】 【分析】

利用诱导公式把要求的式子化为【详解】故选：B．

【点睛】本题主要考查利用诱导公式化简求值，熟记诱导公式，准确计算是关键，属于基础题． 2.三个数A. C. 【答案】A 【解析】 【分析】

由指数函数和对数函数单调性得出范围，从而得出结果． 【详解】

，．

故选：A．

【点睛】本题考查指数函数和对数函数的单调性，熟记函数性质是解题的关键，是基础题. 3.设集合

2，，

若

，则

，

；

，

，

的大小顺序是

B. D.

，即

，从而得到答案．

，

的值是

B.

C.

D.

A. B. C. D.

【答案】D 【解析】 【分析】

由交集的定义可得1∈A且1∈B，代入二次方程，求得m，再解二次方程可得集合B． 【详解】解：集合A={1，2，4}，B={x|x-4x+m=0}． 若A∩B={1}，则1∈A且1∈B， 可得1-4+m=0，解得m=3， 即有B={x|x2-4x+3=0}={1，3}． 故选：D．

【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式解法，是基础题． 4.在A.

中，

，则

B.

的值为

C.

2

【答案】C 【解析】 【分析】

直接利用三角函数关系式的恒等变换和特殊角的三角函数的值求出结果． 【详解】在则

中，， ， ，

,

故选：C．

，

的D. 2

【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换和特殊角三角函数的值的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．

5.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路

程看作时间的函数，其图象可能是

( )

【答案】A 【解析】

试题分析：汽车启动加速过程，随时间增加路程增加

越来越快，汉使图像是凹形，然后匀

速运动，路程是均匀增加即函数图像是直线，最后减速并停止，其路程仍在增加，只是增加的越来越慢即函数图像是凸形．故选A． 考点：函数图像的特征． 6.函数

可能的值为 A.

图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个

【答案】B 【解析】 【分析】 利用函数【详解】令则

为偶函数，

， ，

当

时，

， ．

的的B.

C. 0

D.

的图象变换可得新函数解析式，利用其为偶函数即可求得答案．

，

，

故的一个可能的值为． 故选：B．

【点睛】本题考查函数

准确计算是关键，属于中档题． 7.已知

，

，，的夹角为，如图所示，若

，

，且D为BC的图象变换，考查三角函数的奇偶性，熟记变换原则，

中点，则的长度为

A. B. C. 7 D. 8

【答案】A 【解析】 【分析】 AD为

的中线，从而有

的长度．

；

．

故选：A．

【点睛】本题考查模长公式，向量加法、减法及数乘运算，向量数量积的运算及计算公式，根据公式

8.已知函数f(x)=A. 【答案】C 【解析】

B.

若f（f（0））=4a，则实数a等于【】

C. 2

D. 9

计算是关键，是基础题.

，代入

，根据长度

进行数量积的

运算便可得出

【详解】根据条件：

，选C.

点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现

的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先

假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围. 9.若函数A. C. 【答案】D 【解析】 试题分析：函数

得

，代入计算

考点：函数奇偶性及函数求解析式 10.函数

在

单调递减，且为奇函数，若

，则满足

的的

比较大小可得

分别是上的奇函数、偶函数

，由

，解方程组得

分别是上的奇函数、偶函数，且满足

B. D.

，则有（ ）

取值范围是（ ）． A.

B.

C.

D.

【答案】D 【解析】

是奇函数，故

则有

【点睛】

解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为

；又 ，解得

是增函数，

，故选D.

，即

，再利用单调性继续转化为

11.已知函数A.

B.

，则

，从而求得正解.

的零点所在区间为

C.

D.

【答案】B 【解析】 【分析】

根据函数的零点判定定理可求． 【详解】连续函数

，

的零点所在的区间为

故选：B．

【点睛】本题主要考查了函数零点存在定理的应用，熟记定理是关键，属于基础试题． 12.函数A. 1或

在区间B.

上的最大值为2，则实数a的值为

C.

D. 1或

在

， ，

上单调递增，

【答案】A 【解析】

试题分析：因为

，故

当所以当故当所以

时，

在时，

在

单调递增，在，解得单调递增

，解得

，符合要求；

时，

在

，

单调递减

，此时单调递减

舍去

，符合要求；

，令

综上可知或，故选A.

考点：1.同角三角函数的基本关系式；2.二次函数的最值问题；3.分类讨论的思想.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13.计算【答案】11 【解析】 【分析】

进行分数指数幂和对数式的运算即可． 【详解】原式故答案为：11．

【点睛】本题考查对数式和分数指数幂的运算，熟记运算性质，准确计算是关键，是基础题. 14.设【答案】【解析】 【分析】

利用向量的坐标运算先求出【详解】因为所以所以故答案为：

， ， ，

的坐标，再利用向量的数量积公式求出

，

，

的值．

，

，

，则

______．

．

______．

【点睛】本题考查向量的坐标运算，考查向量的数量积公式，熟记坐标运算法则，准确计算是关键，属于基础题． 15.函数

的一段图象如图所示则

的解析式为

______．

【答案】【解析】 【分析】

由函数的最值求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，从而得到函数的解析式． 【详解】由函数的图象的顶点的纵坐标可得

．

再由五点法作图可得故函数的解析式为故答案为

【点睛】本题主要考查函数

．

的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由

，

，

．

，再由函数的周期性可得

，

周期求出，由五点法作图求出的值，属于中档题．

16.已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（−，0）上单调递增.若实数a满足f（2|a-1|）＞f（【答案】【解析】 试题分析：由题意化为

在，则

上单调递减，又，

是偶函数，则不等式

．

可

），则a的取值范围是______.

，解得

【考点】利用函数性质解不等式

【名师点睛】利用数形结合解决不等式问题时，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：

（1）借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效．

（2）借助函数图象的性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需要注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现由“数”向“形”的转化．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17.已知函数1求2若

的值； ，

，求

=1；(Ⅱ)

=

，

．

【答案】(Ⅰ)【解析】 试题分析：（1）将

代入可得：，在利用诱导公式和特殊角的三角函

，根据两角和的余弦公式需求出

和

，

数值即可；（2）因为

，

试题解析：（1）因为所以（2）因为所以

，

，则

，

，则

，根据二倍角公式求出代入即可．

，

；

。

。

考点：

1.诱导公式；2.二倍角公式；3.两角和的余弦．

18.已知向量，不共线，若

，

．

，求k的值，并判断，是否同向；

若，与夹角为，当k为何值时，．

【答案】（1）k=-1,反向；（2）k=1 【解析】 【分析】

由题得

由此能求出

，由数量积运算求出

【详解】

，即

又向量，不共线，解得

，

，即，

， ， ，

，

，．

，与反向．

由

，得

故与反向．

，与夹角为

，

又即故

时，

．

故

解得

， ．

，

【点睛】本题考查向量平行、向量垂直的性质等基础知识，熟记共线定理，准确计算是关键，是基础题．

19.已知函数求函数若

的单调递增区间； ，求函数

的取值范围．

．

【答案】（1）【解析】

（2）

试题分析：解：(1)

所以的单调递增区间为

考点：三角函数的性质

点评：解决的关键是能利用三角恒等变换，以及函数的性质准确的求解，属于基础题。

20.小王在某景区内销售该景区纪念册，纪念册每本进价为5元，每销售一本纪念册需向该景区管理部门交费2元，预计这种纪念册以每本20元的价格销售时，小王一年可销售2000本，经过市场调研发现，每本纪念册的销售价格在每本20元的基础上每减少一元则增加销售400本，而每增加一元则减少销售100本，现设每本纪念册的销售价格为x元．

写出小王一年内销售这种纪念册所获得的利润元与每本纪念册的销售价格元的函数关系式，并写出这个函数的定义域；

当每本纪念册销售价格x为多少元时，小王一年内利润元最大，并求出这个最大值． 【答案】（1）见解析；（2）32400 【解析】 分析】 当

时，

，当

时，

，由此能求出小王一年内销售这种纪念册所

获得的利润元与每本纪念册的销售价格元的函数关系式，并能求出此函数的定义域．由元． 【详解】

由题每本书的成本为7元

，能求出当

时，小王获得的利润最大为

设每本纪念册的销售价格为x元． 当当

时，时，

，

小王一年内销售这种纪念册所获得的利润元与每本纪念册的销售价格元的函数关系式为：

．

此函数的定义域为

．

．

，

当当所以当

，则当，则当

时，时，

元 元 元

时，小王获得的利润最大为

【点睛】本题考查函数的应用，考查分段函数最值，考查函数性质、配方法、函数最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．

21.设二次函数

．

若若

，且，且

，记，

；（Ⅱ），求M和m值；

，求.

的最小值．

在区间

上的最大值、最小值分别是M、m，集合

【答案】（Ⅰ）【解析】 （1）由又

……………………………1分

…………………3分

……………………………5分

的 …………4分

……………………………6分

（2）

x=1

∴，即……………………………8分

∴f（x）=ax2+（1-2a）x+a, x∈[-2,2] 其对称轴方程为x=

又a≥1，故1-……………………………9分

∴M=f（-2）=\"9a-2 \" …………………………10分 m=

g（a）=M+m=9a-……………………………11分 -1 ……………………………14分

=

22.已知函数证明当对于

在时，求中的函数

和函数常数

．

上是增函数； 的单调区间； ，若对任意

，总存在

，使得

………16分

上是减函数，在

成立，求实数a的值．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】

利用定义证明即可；

把

看成整体，研究对勾函数的单调性以及利用复合函数的单

，总存在

，使得

调性的性质得到该函数的单调性；对于任意的可转化成

的值域为

的值域的子集，建立关系式，解之即可．

，且

，

，

【详解】证明：：设，

，

，

当当当当故当在

时，即

，

，

， ，即，即

，此时函数为减函数， ，此时函数为增函数，

时，即时，时，

上是减函数，在时，

，

上是增函数；

，

设

，则

，

由

可知

在，

即即

在由于又由（2）得由题意，从而有解得

．

的值域为

，

的值域的子集，

，

，

上是增函数；

，

上是减函数，在

，

上是增函数；

，

上是减函数，在

为减函数，故

【点睛】本题主要考查定义法证明函数单调性，利用单调性求函数的值域，以及函数恒成立问题，同时考查了转化的思想和运算求解的能力，是中档题