现代数学与中学数学平时作业.

第一讲 集合、无限和公理化

本讲的主要内容为讲义的第一章“作为数学语言的集合论”

1. 举例说明集合论语言在中学数学教学中的作用.

2. 以“希尔伯特旅店”为例，说明有限与无限的联系和差别. 3. 简述“罗素悖论”，以此说明建立集合论公理的必要性. 第二讲 关系和函数

本讲的主要内容为讲义的第二章“关系和函数”

1. 你认为中学阶段应该如何进行函数概念的教学？

2. 举出两个等价关系的例子，并说明应该如何正确地依据等价关系对整体进行划分.

3. 举例说明序与大小的区别. 第三讲 商集和同余

本讲的主要内容为讲义的第四章“商集和同余”

1. 简述同余这一商集的数学模型.

2. 同余商集与整数集之间存在怎么样的对应关系？由此说明两者的区别与联系.

第四讲 数学归纳法

本讲的主要内容为讲义的第五章“数学归纳法”

1. 数学归纳法是解决有限问题还是解决无穷问题？ 2. 数学归纳法的理论依据是什么？

3. 已知n是任意的自然数，α≥-1，试证伯努力不等式（1+α）n≥1+nα. 4. 已知n个大小不一的正方形，证明总可以把它们剪开重新拼成一个大的正方形.

第五讲 数和数系的发展

本讲的主要内容为讲义的第六章“数系”

1. 如何把扩充到有理数集（说明主要步骤）以及扩充后的得失 第六讲 几何作图的三大问题

本讲的主要内容为讲义的第八章“几何作图三大问题” 1. 几何作图的三大问题指的什么？

2. 简述“立方倍积”不可能的论证过程。

第七讲 几何问题中的数学方法

本讲的主要内容为讲义的第十一章“向量几何以及初等几何的机器证明”与第十二章“几何证题中的动态方法及投影方法” 1. 举例说明几何问题中这些数学方法的运用.

2. 你认为中学阶段应如何培养学生的合情推理能力与演绎推理能力？ 第八讲 组合数学初步

本讲的主要内容为讲义的第三章“映射及其应用”与第十八章“组合数学初步”

1. 写出常用的组合计数方法?

2. 分别用两种方法（特征方程和母函数）解下列递归关系

an=5an-1－6an-2 n=2,3,….初始条件a0=1, a1=－2。 3. 试指出下列图是否能一笔画出？为什么？

第九讲 群论和方程求解

本讲的主要内容为讲义的第九章“群论略说”

1. 试以代数与几何中的具体实例说明“群”的概念. 2. 简述有关代数方程的解的结论. 第十讲 微积分与中学数学

本讲的主要内容为讲义的第十六章“微积分与初等数学研究的若干课题” 1。证明方程acos x+b=x (a＞0，b＞0)，至少有一实根。

2．已知三角形ABC为锐角三角形，求证tgAtgBtgC≥33 。 3．已知a，b为实数，并且e＜a＜b，证明 ab ＞ ba。

关于期末考核的要求与形式

1.由于本课程与中学教学实践联系十分紧密，希望各位学员注意结合教学实际理解课程内容，并能加以应用.

2.本课程的平时作业即为各讲所附的思考题，并以书面形式提交到指定教学站点。务必请各位学员认真思考，特别是那些与数学教学直接有关的问题，学习的过程也是各位学员进行教学研究的过程.

3.期末考核采取开卷考试形式，其主要内容为网上发布的课件内容，讲义的有关各章可作参考.

网上讨论题

（现代数学与中学数学）

有多少人参加了团体操？

数学系在某次运动会上，参加团体操，参加者4人一排，余下1人；5人一排，余下2人；7人一排，余下3人，问该系有多少人参加了团体操？

聪明的小小白鼠

捕鼠能手猫咪，每天要抓到不少老鼠，为了表明它的顽皮与宽厚，它在吃老鼠之前，先叫老鼠列队报数。第一批吃掉报单数的，剩下的老鼠重新报数，第二批仍吃掉报单数的，第三批也是如此……，最后剩下的一只老鼠可以被保留，与第二天抓来的老鼠一起重新列队报数……。后来，猫咪发现了一件及其奇怪的事情，一连好几天，最后被留下来的总是一只小白鼠。猫咪百思不解，试问这聪明的小白鼠每天列队时总是站在什么位置上才不被花猫吃掉？

附：给教育硕士在网上进行交互讨论说明。

由于网络的复杂性，上网学习可能遇到一些问题，甚至在使用讨论版（BBS）过程也可能出现问题，考虑了以上情况，特别是对可能出现的一直很难到讨论版中讨论同学，可以采用电子邮件方

式，将要发表在讨论版中的内容发到主讲教师的电子邮件中，主讲教师的邮件地址为：ygg01@dec.ecnu.edu.cn