目录
第01讲 与有理数有关的概念（2--8） 第02讲 有理数的加减法（3--15）
第03讲 有理数的乘除、乘方（16--22） 第04讲 整式（23--30）
第05讲 整式的加减（31--36)
第06讲 一元一次方程概念和等式性质(37--43) 第07讲 一元一次方程解法(44--51)
第08讲 实际问题与一元一次方程(52--59) 第09讲 多姿多彩的图形(60--68) 第10讲 直线、射线、线段(69--76) 第11讲 角(77--82)
第12讲 与相交有关概念及平行线的判定(83--90) 第13讲 平行线的性质及其应用(91--100) 第14讲 平面直角坐标系（一）(101--106) 第15讲 平面直角坐标系（二）(107--112) 第16讲 认识三角形(113--119) 第17讲 认识多边形(120--126)
第18讲 二元一次方程组及其解法(127--134) 第19讲 实际问题与二元一次方程组(135--145)
第20讲 三元一次方程组和一元一次不等式组(146--155) 第21讲 一元一次不等式（组）的应用(156--1)
第22讲 一元一次不等式（组）与方程（组）的结合(165--174) 第23讲 数据的收集与整理(175--186) 模拟测试一 模拟测试二 模拟测试三
,.
第1讲 与有理数有关的概念
考点·方法·破译
1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.
3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数.
经典·考题·赏析
【例1】写出下列各语句的实际意义
⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克
【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”
解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克.
【变式题组】
01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ）
A． －18% B． －8% C． ＋2% D． ＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( )
A． －5吨 B． ＋5吨 C． －3吨 D． ＋3吨
03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京
时间l5：00，纽约时问是____
.22
【例２】在－，π，0.0333这四个数中有理数的个数（ )
7
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
正整数正有理数正分数【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0；按整数、
负整数负有理数负份数正整数整数0负整数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝分数分类，有理数正分数分数负分数22
3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－是分数7
0.0333是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C．
【变式题组】
.,.
11
01．在7，0．1 5，－，－301.31.25，－，100.l，－3 001中，负分数为 ，整数
28为 ，正整数 .
02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置
1213
15，－，，－，0.1．－5.32，123, 2.333
9158
11111
【例３】（宁夏）有一列数为－1，，－，．－，，…，找规律到第2007个数是 .
23456【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规
律．击归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正1
数，所以第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故答案为－.
2007【变式题组】 01．（湖北宜宾）数学解密：第一个数是3＝2 ＋1，第二个数是5＝3 ＋2，第三个数是9＝
5＋4，第四十数是17＝9＋8…观察并精想第六个数是 . 02．（毕节）毕选哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？填____. 03．（茂名）有一组数l，2，5，10，17，26…请观察规律，则第8个数为____.
m
【例４】（2008年河北张家口）若l＋的相反数是－3，则m的相反数是____.
2【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫互为
m
相反数，本题＝－4,m＝－8
2 【变式题组】 01．（四川宜宾）－5的相反数是( )
11
A．5 B． C． －5 D． －
55
02．已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，则a＋b＋cd＝______
03．如图为一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A、B、C 内分
别填人适当的数，使得它们折成正方体.若相对的面上的两个数互为相反数，则填人正方形A、B、C内的三个数依次为( )
A． － 1 ,2，0 B． 0，－2，1 C． －2，0，1 D． 2，1，0 【例５】（湖北）a、b为有理数，且a＞0，b＜0，|b|＞a，则a,b、－a,－b的大小顺序是( )
A． b＜－a＜a＜－b B． –a＜b＜a＜－b C． –b＜a＜－a＜b D． –a＜a＜－b＜b
【解法指导】理解绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示a的点到原点的
,.
a(a0)
距离,即|a|,用式子表示为|a|＝0(a0).本题注意数形结合思想，画一条数轴
a(a0)
标出a、b,依相反数的意义标出－b,－a,故选A．
【变式题组】
01．推理①若a＝b，则|a|＝|b|；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若a≠b，则|a|≠|b|；④若
|a|≠|b|，则a≠b，其中正确的个数为（ ）
A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个 |a||b||c|
02．a、b、c三个数在数轴上的位置如图，则＋＋＝ .
abc
abc
03．a、b、c为不等于O的有理散，则＋＋的值可能是____.
|a||b||c|
a+b
【例６】（江西课改）已知|a－4|＋|b－8|＝0，则的值.
ab【解法指导】本题主要考查绝对值概念的运用，因为任何有理数a的绝对值都是非负数，即|a|≥0．所以|a－4|≥0，|b－8|≥0.而两个非负数之和为0，则两数均为0.
解：因为|a－4|≥0，|b－8|≥0，又|a－4|＋|b－8|＝0，∴|a－4|＝0，|b－8|＝0a+b123
即a－4＝0，b－8＝0，a＝4，b＝8.故＝＝
ab328
【变式题组】
01．已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a＞b＞c，求a＋b＋C． 02．（毕节）若|m－3|＋|n＋2|＝0，则m＋2n的值为( )
A． －4 B． －1 C． 0 D． 4
03．已知|a|＝8，|b|＝2，且|a－b|＝b－a，求a和b的值
2
【例７】（第l8届迎春杯）已知(m＋n)＋|m|＝m，且|2m－n－2|＝0．求mn的值．
2
【解法指导】本例关键是通过分析(m＋n)＋|m|的符号，挖掘出m的符号特征,从而把
2
问题转化为(m＋n)＝0，|2m－n－2|＝0，找到解题途径.
2
解：∵(m＋n)≥0，|m|≥O
22
∴(m＋n)＋|m|≥0，而(m＋n)＋|m|＝m
22
∴ m≥0,∴(m＋n)＋m＝m，即(m＋n)＝0 ∴m＋n＝O ① 又∵|2m－n－2|＝0 ∴2m－n－2＝0 ②
224
由①②得m＝，n＝－，∴ mn＝－
339
【变式题组】 2
01．已知(a＋b)＋|b＋5|＝b＋5且|2a－b–l|＝0，求a－B． 02．（第16届迎春杯）已知y＝|x－a|＋|x＋19|＋|x－a－96|，如果19＜a＜96．a≤x≤96,
求y的最大值.
,.
演练巩固·反馈提高
111111
01．观察下列有规律的数,,,,,…根据其规律可知第9个数是( )
2612203042
1111A． B． C． D．
56729011002．（芜湖）－6的绝对值是( )
11A． 6 B． －6 C． D． －
66
.22
03．在－,π,8.0.3四个数中，有理数的个数为( )
7
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 04．若一个数的相反数为a＋b，则这个数是( )
A． a－b B． b－a C． –a＋b D． –a－b 05．数轴上表示互为相反数的两点之间距离是6，这两个数是( )
A． 0和6 B． 0和－6 C． 3和－3 D． 0和3 06．若－a不是负数，则a( )
A． 是正数 B． 不是负数 C． 是负数 D． 不是正数 07．下列结论中，正确的是( )
①若a＝b,则|a|＝|b| ②若a＝－b,则|a|＝|b| ③若|a|＝|b|，则a＝－b ④若|a|＝|b|,则a＝b A． ①② B． ③④ C． ①④ D． ②③
08．有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示,则a、b，－a，|b|的大小关系正确
的是( )
A． |b|＞a＞－a＞b B． |b| ＞b＞a＞－a C． a＞|b|＞b＞－a D． a＞|b|＞－a＞b
09．一个数在数轴上所对应的点向右移动5个单位后，得到它的相反数的对应点，则这个数
是____.
10．已知|x＋2|＋|y＋2|＝0，则xy＝____.
|a||b||abc||c|
11．a、b、c三个数在数轴上的位置如图，求＋＋＋
ababcc
b
12．若三个不相等的有理数可以表示为1、a、a＋b也可以表示成0、b、的形式，试求a、
a
b的值.
13．已知|a|＝4，|b|＝5，|c|＝6，且a＞b＞c，求a＋b－C．
,.
14．|a|具有非负性，也有最小值为0，试讨论：当x为有理数时，|x－l|＋|x－3|有没有最
小值，如果有，求出最小值；如果没有，说明理由.
15．点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|．当A、B两
点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a－b| 当A、B两点都不在原点时有以下三种情况:
①如图2，点A、B都在原点的右边|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|； ②如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－(－a)＝|a－b|；
③如图4，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－（－a）＝|a－b|；
综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a－b|．
回答下列问题:
⑴数轴上表示2和5的两点之间的距离是 , 数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是 , ，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是 ；
⑵数轴上表示x和－1的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是 ， 如果|AB|＝2，那么x＝ ； ⑶当代数式|x＋1|＋|x－2|取最小值时，相应的x的取值范围是 ．
,.
培优升级·奥赛检测
1
01．（重庆市竞赛题）在数轴上任取一条长度为1999的线段，则此线段在这条数轴上最多9能盖住的整数点的个数是( )
A． 1998 B． 1999 C． 2000 D． 2001 02．（第l8届希望杯邀请赛试题）在数轴上和有理数a、b、c对应的点的位置如图所示，有
下列四个结论：①abc＜0;②|a－b|＋|b－c|＝|a－c|；③（a－b）(b－c)(c－a)＞0；④|a|＜1－bc．其中正确的结论有( )
A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个
abcabc
03．如果a、b、c是非零有理数，且a＋b＋c＝0．那么＋＋＋的所有可能的
|a||b||c||abc|值为（ ）
A． －1 B． 1或－1 C． 2或－2 D． 0或－2 04．已知|m|＝－m，化简|m－l|－|m－2|所得结果( )
A． －1 B． 1 C． 2m －3 D． 3－ 2m
05．如果0＜p＜15，那么代数式|x－p|＋|x－15|＋|x－p－15|在p≤x≤15的最小值( )
A． 30 B． 0 C． 15 D． 一个与p有关的代数式 06．|x＋1|＋|x－2|＋|x－3|的最小值为 .
07．若a＞0，b＜0，使|x－a|＋|x－b|＝a－b成立的x取值范围 . 08．（武汉市选拔赛试题）非零整数m、n满足|m|＋|n|－5＝0所有这样的整数组(m，n)
共有 组 |m||n||p|2mnp
09．若非零有理数m、n、p满足＋＋＝1．则＝ .
mnp|3mnp|
10．（19届希望杯试题）试求|x－1|＋|x－2|＋|x－3|＋…＋|x－1997|的最小值.
11．已知(|x＋l|＋|x－2|)（|y－2|＋|y＋1|）（|z－3|＋|z＋l|）＝36，求x＋2y＋3的最大
值和最小值.
,.
12．电子跳蚤落在数轴上的某点k0，第一步从k0向左跳1个单位得k1，第二步由k1向右跳2
个单位到k2，第三步由k2向左跳3个单位到k3，第四步由k3向右跳4个单位到k4…按以上规律跳100步时，电子跳蚤落在数轴上的点k100新表示的数恰好19.94，试求k0所表示的数.
13．某城镇，沿环形路上依次排列有五所小学，它们顺扶有电脑15台、7台、1l台、3台，
14台，为使各学校里电脑数相同，允许一些小学向相邻小学调出电脑，问怎样调配才能使调出的电脑总台数最小？并求出调出电脑的最少总台数.
,.
第02讲 有理数的加减法
考点·方法·破译
1．理解有理数加法法则，了解有理数加法的实际意义.
2．准确运用有理数加法法则进行运算，能将实际问题转化为有理数的加法运算. 3．理解有理数减法与加法的转换关系，会用有理数减法解决生活中的实际问题. 4．会把加减混合运算统一成加法运算，并能准确求和.
经典·考题·赏析
【例１】（河北唐山）某天股票A开盘价18元，上午11:30跌了1.5元，下午收盘时又涨了0.3元，则股票A这天的收盘价为（ ）
A．0.3元 B．16.2元 C．16.8元 D．18元 【解法指导】将实际问题转化为有理数的加法运算时，首先将具有相反意义的量确定一个为正，另一个为负，其次在计算时正确选择加法法则，是同号相加，取相同符号并用绝对值相加，是异号相加，取绝对值较大符号，并用较大绝对值减去较小绝对值.解：18＋（－1.5）＋（0.3）＝16.8，故选C．
【变式题组】 01．今年陕西省元月份某一天的天气预报中，延安市最低气温为－6℃，西安市最低气温2℃，
这一天延安市的最低气温比西安低（ ）
A．8℃ B．－8℃ C．6℃ D．2℃
02．（河南）飞机的高度为2400米，上升250米，又下降了327米，这是飞机的高度为
__________ 03．（浙江）珠穆朗玛峰海拔8848m，吐鲁番海拔高度为－155 m，则它们的平均海拔高度为
__________
【例２】计算（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）
【解法指导】应用加法运算简化运算，－83与－17相加可得整百的数，＋26与－26互为相反数，相加为0，有理数加法常见技巧有：⑴互为相反数结合一起；⑵相加得整数结合一起；⑶同分母的分数或容易通分的分数结合一起；⑷相同符号的数结合一起.
解：（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）＝[（－83）＋（－17）]＋[（＋26）＋（－26）]＋15＝（－100）＋15＝－85
【变式题组】 01．（－2.5）＋（－3
131）＋（－1）＋（－1） 244
02．（－13.6）＋0.26＋（－2.7）＋（－1.06）
03．0.125＋3
112＋（－3）＋11＋（－0.25）
843,.
【例３】计算
1111223341
20082009【解法指导】依
111进行裂项，然后邻项相消进行化简求和.
n(n1)nn1111111()
2334200820091111111 ＝1 223342008200912008 ＝1＝
20092009解：原式＝(1)()()【变式题组】
01．计算1＋（－2）＋3＋（－4）＋ … ＋99＋（－100）
02．如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为
121的长方形，21218116113211接着把面积为的长方形等分成两个面积为的正方形，再把面
2411积为的正方形等分成两个面积为的长方形，如此进行下去，
84试
利
用
图
形
揭
示
的
规
律
计
算
11111111＝__________. 248163212825614【例４】如果a＜0，b＞0，a＋b＜0，那么下列关系中正确的是（ ） A．a＞b＞－b＞－a B．a＞－a＞b＞－b C．b＞a＞－b＞－a D．－a＞b＞－b＞a
【解法指导】紧扣有理数加法法则，由两加数及其和的符号，确定两加数的绝对值的大小，然后根据相反数的关系将它们在同一数轴上表示出来，即可得出结论.
解：∵a＜0，b＞0，∴a＋b是异号两数之和
又a＋b＜0，∴a、b中负数的绝对值较大，∴| a |＞| b |
将a、b、－a、－b表示在同一数轴上，如图，则它们的大小关系是－a＞b＞－b
＞a
ab0-b-a【变式题组】
01．若m＞0，n＜0，且| m |＞| n |，则m＋n ________ 0.（填＞、＜号） 02．若m＜0，n＞0，且| m |＞| n |，则m＋n ________ 0.（填＞、＜号）
03．已知a＜0，b＞0，c＜0，且| c |＞| b |＞| a |，试比较a、b、c、a＋b、a＋c的大小
【例５】4
238－（－33）－（－1.6）－（－21）
11115【解法指导】有理数减法的运算步骤：⑴依有理数的减法法则，把减号变为加号，并把
减数变为它的相反数；⑵利用有理数的加法法则进行运算.
解：4
238238－（－33）－（－1.6）－（－21）＝4＋33＋1.6＋21
1111111155,.
＝4.4＋1.6＋（33【变式题组】
38＋21）＝6＋55＝61 111101．()()()()(1)
02．4
03．178－87.21－（－43
231256131231－（＋3.85）－（－3）＋（－3.15） 44219）＋153－12.79 2121
【例６】试看下面一列数：25、23、21、19…
⑴观察这列数，猜想第10个数是多少？第n个数是多少？ ⑵这列数中有多少个数是正数？从第几个数开始是负数？ ⑶求这列数中所有正数的和.
【解法指导】寻找一系列数的规律，应该从特殊到一般，找到前面几个数的规律，通过观察推理、猜想出第n个数的规律，再用其它的数来验证.
解：⑴第10个数为7，第n个数为25－2(n－1)
⑵∵n＝13时，25－2(13－1)＝1，n＝14时，25－2(14－1)＝－1 故这列数有13个数为正数，从第14个数开始就是负数.
⑶这列数中的正数为25,23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1，其和＝（25＋1）＋（23＋3）＋…＋（15＋11）＋13＝26×6＋13＝169
【变式题组】
01．(杭州)观察下列等式
1－题.
⑴写出第5个等式；
⑵第10个等式右边的分数的分子与分母的和是多少？
11283274＝，2－＝，3－＝，4－＝…依你发现的规律，解答下列问225510101717,.
02．观察下列等式的规律
9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20
⑴用关于n（n≥1的自然数）的等式表示这个规律； ⑵当这个等式的右边等于2008时求n.
11212312＋（＋）＋（＋＋）＋（＋＋
3355244434124849＋）＋ … ＋（＋＋…＋＋） 5550505050【例７】（第十届希望杯竞赛试题）求
【解法指导】观察式中数的特点发现：若括号内在加上相同的数均可合并成1，由此我们采取将原式倒序后与原式相加，这样极大简化计算了.
112123124849＋（＋）＋（＋＋）＋ … ＋（＋＋…＋＋）
33244450505050121321494821则有S＝＋（＋）＋（＋＋）＋ … ＋（＋＋…＋＋）
50502334445050解：设S＝
将原式和倒序再相加得
1112211233211＋＋（＋＋＋）＋（＋＋＋＋＋）＋ … ＋（＋
3333224444445024849494821＋…＋＋＋＋＋…＋＋） 5050505050505049(491)即2S＝1＋2＋3＋4＋…＋49＝＝1225
21225∴S＝
22S＝
【变式题组】
23456710
01．计算2－2－2－2－2－2－2－2－2＋2
02．（第8届希望杯试题）计算（1－
1111111－－…－）（＋＋＋…＋＋
200320032323411111111）－（1－－－…－）（＋＋＋…＋） 20042004200323234演练巩固·反馈提高
01．m是有理数，则m＋|m|（ ） A．可能是负数 B．不可能是负数 C．比是正数 D．可能是正数，也可能是负数 02．如果|a|＝3，|b|＝2，那么|a＋b|为（ ）
A． 5 B．1 C．1或5 D．±1或±5 03．在1，－1，－2这三个数中，任意两数之和的最大值是（ ）
A． 1 B．0 C．－1 D．－3 04．两个有理数的和是正数，下面说法中正确的是（ ）
A．两数一定都是正数 B．两数都不为0 C．至少有一个为负数 D．至少有一个为正数
,.
05．下列等式一定成立的是（ ）
A．|x|－ x ＝0 B．－x－x ＝0 C．|x|＋|－x| ＝0 D．|x|－|x|＝0 06．一天早晨的气温是－6℃，中午又上升了10℃，午间又下降了8℃，则午夜气温是（ ）
A．－4℃ B．4℃ C．－3℃ D．－5℃ 07．若a＜0，则|a－(－a)|等于（ ）
A．－a B．0 C．2a D．－2a 08．设x是不等于0的有理数，则
|x|x||值为（ ） 2xA．0或1 B．0或2 C．0或－1 D．0或－2 09．（济南）2＋(－2)的值为__________ 10．用含绝对值的式子表示下列各式：
⑴若a＜0，b＞0,则b－a＝__________，a－b＝__________ ⑵若a＞b＞0，则|a－b|＝__________ ⑶若a＜b＜0，则a－b＝__________ 11．计算下列各题：
⑴23＋（－27）＋9＋5 ⑵－5.4＋0.2－0.6＋0.35－0.25
⑶－0.5－3
11＋2.75－7 42 ⑷33.1－10.7－（－22.9）－|－
23| 10
12．计算1－3＋5－7＋9－11＋…＋97－99
13．某检修小组乘汽车沿公路检修线路，规定前进为正，后退为负，某天从A地出发到收
工时所走的路线（单位：千米）为：
＋10，－3，＋4，－2，－8，＋13，－7，＋12，＋7，＋5 ⑴问收工时距离A地多远？
⑵若每千米耗油0.2千克，问从A地出发到收工时共耗油多少千克？
,.
14．将1997减去它的
1111，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的……以此类
35241推，直到最后减去余下的，最后的得数是多少？
1997
15．独特的埃及分数：埃及同中国一样，也是世界著名的文明古国，古代埃及人处理分数与
112111＋来表示，用＋＋表3157283111111示等等.现有90个埃及分数：，，，，…，，你能从中挑出10个，723459091众不同，他们一般只使用分子为1的分数，例如加上正、负号，使它们的和等于－1吗？
培优升级·奥赛检测
12341415等于（ ）
246828301111A． B． C． D．
44221111111102．自然数a、b、c、d满足2＋2＋2＋2＝1，则3＋4＋5＋6等于（ ）
ddabcabc13715A． B． C． D．
8163201．（第16届希望杯邀请赛试题）
03．（第17届希望杯邀请赛试题）a、b、c、d是互不相等的正整数，且abcd＝441，则a＋b＋c＋d值是（ ） A．30 B．32 C．34 D．36 04．（第7届希望杯试题）若a＝
199519951996199619971997，b＝，c＝，则a、b、c
199619961997199719981998C．c＜b＜a
D．a＜c＜b
大小关系是（ ）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a
,.
05．(1111)(1)(1)132435(111)(1)的值得整数部分为
1998200019992001（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
20042003
06．(－2)＋3×(－2)的值为（ ）
2003200320042004
A．－2 B．2 C．－2 D．2
2004
07．（希望杯邀请赛试题）若|m|＝m＋1，则(4m＋1)＝__________
1121231259＋（＋）＋（＋＋）＋ … ＋（＋＋…＋）＝__________
332444606060191919767609．＝__________ 767676191908．
10．1＋2－2－2－2－2－2－2－2－2＋2＝__________
200120022003
11．求3×7×13所得数的末位数字为__________
2
12．已知(a＋b)＋|b＋5|＝b＋5，且|2a－b－1|＝0，求aB．
13．计算(
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11111－1)(－1) (－1) … (－1) (－1)
10011998199719961000
3333333333
14．请你从下表归纳出1＋2＋3＋4＋…＋n的公式并计算出1＋2＋3＋4＋…＋100的
值.
1312345
23246810
333691215
4348121620
53510152025
,.
第03讲 有理数的乘除、乘方
考点·方法·破译
1．理解有理数的乘法法则以及运算律，能运用乘法法则准确地进行有理数的乘法运算，会利用运算律简化乘法运算.
2．掌握倒数的概念，会运用倒数的性质简化运算.
3．了解有理数除法的意义，掌握有理数的除法法则，熟练进行有理数的除法运算. 4．掌握有理数乘除法混合运算的顺序，以及四则混合运算的步骤，熟练进行有理数的混合运算.
5．理解有理数乘方的意义，掌握有理数乘方运算的符号法则，进一步掌握有理数的混合运算.
经典·考题·赏析
【例１】计算
111111() ⑵ ⑶()() ⑷25000
2424243713⑸()()(1)()
5697⑴
【解法指导】掌握有理数乘法法则，正确运用法则，一是要体会并掌握乘法的符号规律，
二是细心、稳妥、层次清楚，即先确定积的符号，后计算绝对值的积.
11111()() 2424811111⑵() 2424811111⑶()()()
24248⑷250000
3713371031⑸()()(1)()()
569756973解：⑴【变式题组】
01．⑴(5)(6) ⑵()1 ⑶(8)(3.76)(0.125)
⑷(3)(1)2(6)0(2) ⑸12(2 02．(9
04．(5)323(6)3
【例２】已知两个有理数a、b，如果ab＜0，且a＋b＜0，那么（ ）
12141111111) 42612241111)50 3．(2345)() 252345131313,.
A．a＞0，b＜0 B．a＜0，b＞0
C．a、b异号 D．a、b异号且负数的绝对值较大 【解法指导】依有理数乘法法则，异号为负，故a、b异号，又依加法法则，异号相加取绝对值较大数的符号，可得出判断.
解：由ab＜0知a、b异号，又由a＋b＜0，可知异号两数之和为负，依加法法则得负数的绝对值较大，选D．
【变式题组】
01．若a＋b＋c＝0，且b＜c＜0，则下列各式中，错误的是（ ）
A．a＋b＞0 B．b＋c＜0 C．ab＋ac＞0 D．a＋bc＞0 02．已知a＋b＞0，a－b＜0，ab＜0，则a___________0，b___________0，|a|___________|b|. 03．(山东烟台)如果a＋b＜0，b0，则下列结论成立的是（ ） aA．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＞0
04．(广州)下列命题正确的是（ ）
A．若ab＞0，则a＞0，b＞0 B．若ab＜0，则a＜0，b＜0 C．若ab＝0，则a＝0或b＝0 D．若ab＝0，则a＝0且b＝0 【例３】计算
⑴(72)(18) ⑵1(2) ⑶(1313)() ⑷0(7) 1025【解法指导】进行有理数除法运算时，若不能整除，应用法则1，先把除法转化成乘法，
再确定符号，然后把绝对值相乘，要注意除法与乘法互为逆运算.若能整除，应用法则2，可直接确定符号，再把绝对值相除.
解：⑴(72)(18)72184
733
377131255⑶()()()()
10251036⑵1(2)1()1()⑷0(7)0 【变式题组】
01．⑴(32)(8) ⑵2 02．⑴293 03．
1311113(1) ⑶0(2) ⑷()(1) 36378131153 ⑵()(3)(1)3 ⑶0() 352435113()(10.2)(3) 245
【例４】（茂名）若实数a、b满足
abab＝___________. 0，则abab,.
【解法指导】依绝对值意义进行分类讨论，得出a、b的取值范围，进一步代入结论得出结果.
解：当ab＞0，
ab2(a0,b0)； ab2(a0,b0)当ab＜0，
abab＝－1. 0，∴ab＜0，从而abab【变式题组】
01．若k是有理数，则(|k|＋k)÷k的结果是（ ）
A．正数 B．0 C．负数 D．非负数 02．若A．b都是非零有理数，那么
03．如果
【例５】已知x(2),y1 ⑴求xy2008223abab的值是多少？ ababxxyy0，试比较x与xy的大小. yx3的值； ⑵求2008的值.
y【解法指导】an表示n个a相乘，根据乘方的符号法则，如果a为正数，正数的任何次幂都是正数，如果a是负数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.
解：∵x(2),y1 ⑴当x2,y1时，xy当x2,y1时，xy20082232(1)20082
2008(2)(1)20082
x323⑵当x2,y1时，20088
y(1)2008x3(2)3当x2,y1时，20088 2008y(1)【变式题组】
01．（北京）若mn(m2)20，则m的值是___________.
02．已知x、y互为倒数，且绝对值相等，求(x)y的值，这里n是正整数.
nnn,.
【例６】（安徽）2007年我省为135万名农村中小学生免费提供教科书，减轻了农民的负担，135万用科学记数法表示为（ ）
6677
A．0.135×10 B．1.35×10 C．0.135×10 D．1.35×10 【解法指导】将一个数表示为科学记数法的a×10n 的形式，其中a的整数位数是1位.故答案选B．
【变式题组】 01．（武汉）武汉市今年约有103000名学生参加中考，103000用科学记数法表示为（ ）
53
A．1.03×10 B．0.103×10 C．10.3×10 D．103×10 02．（沈阳）沈阳市计划从2008年到2012年新增林地面积253万亩，253万亩用科学记数
法表示正确的是（ ）
57
A．25.3×10亩 B．2.53×10亩 C．253×10亩 D．2.53×10亩 【例７】（上海竞赛）
1222k2992222 21100500022005000k100k500099990050002【解法指导】找出k100k5000的通项公式＝(k50)50
22原式＝
1222k2992 22222222(150)50(250)50(k50)50(9950)501299222982][] ＝[(150)2502(9950)2502(250)2502(9850)2502492512502[] 222222(4950)50(5150)50(5050)50＝222+1
49个＝99
【变式题组】
3333+++=( )2+4+6++10042+4+6++10062+4+6++10082+4+6++2006
3311 B． C． D． 100310043341000111111111. 02．（第10届希望杯试题）已知2581120411101011111111求的值.
25811204111010A．
,.
演练巩固·反馈提高
01．三个有理数相乘，积为负数，则负因数的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．1个或3个 02．两个有理数的和是负数，积也是负数，那么这两个数（ ）
A．互为相反数 B．其中绝对值大的数是正数，另一个是负数 C．都是负数 D．其中绝对值大的数是负数，另一个是正数 03．已知abc＞0，a＞0，ac＜0，则下列结论正确的是（ ）
A．b＜0，c＞0 B．b＞0，c＜0 C．b＜0，c＜0 D．b＞0，c＞0 04．若|ab|＝ab，则（ ）
A．ab＞0 B．ab≥0 C．a＜0，b＜0 D．ab＜0 05．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则代数式mcd为（ ）
A．－3 B．1 C．±3 D．－3或1 06．若a＞ab的值m1，则a的取值范围（ ） aa1，bA．a＞1 B．0＜a＜1 C．a＞－1 D．－1＜a＜0或a＞1 07．已知a、b为有理数，给出下列条件：①a＋b＝0；②a－b＝0；③ab＜0；④其中能判断a、b互为相反数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
08．若ab≠0，则
ab的取值不可能为（ ） abA．0 B．1 C．2 D．－2 09．(2)(2)的值为（ ）
A．－2 B．(－2) C．0 D．－2
10．(安徽)2010年一季度，全国城镇新增就业人数2万人，用科学记数法表示2万正
确的是（ ）
76
A．2.×10 B．2.×10 C．2.×10 D．2.×10 11．已知4个不相等的整数a、b、c、d，它们的积abcd＝9，则a＋b＋c＋d＝___________. 12．(1)2n121
10
1110(1)2n(1)2n1（n为自然数）＝___________.
13．如果
xxy2，试比较x与xy的大小. yyabcabc14．若a、b、c为有理数且1，求的值.
abcabc
,.
15．若a、b、c均为整数，且abca1.求accbba的值.
32培优升级·奥赛检测
01．已知有理数x、y、z两两不相等，则
xyyzzx,,中负数的个数是（ ） yzzxxyA．1个 B．2个 C．3个 D．0个或2个 02．计算211,213,217,2115,2131归纳各计算结果中的个位
数字规律，猜测22010123451的个位数字是（ ）
A．1 B．3 C．7 D．5 03．已知abcde＜0，下列判断正确的是（ ）
A．abcde＜0 B．abcde＜0 C．abcde＜0 D．abcde＜0 04．若有理数x、y使得xy,xy,xy,2
4
2
4
2345x这四个数中的三个数相等，则|y|－|x|的值是（ ） yA．113 B．0 C． D． 222248163205．若A＝(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)，则A－1996的末位数字
是（ ）
A．0 B．1 C．7 D．9 06．如果(ab)20011,(ab)20021，则a2003b2003的值是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．－1 07．已知a22,b33,c55,d66，则a、b、c、d大小关系是（ ）
A．a＞b＞c＞d B．a＞b＞d＞c C．b＞a＞c＞d D．a＞d＞b＞c 08．已知a、b、c都不等于0，且
3322abcabc2005的最大值为m，最小值为n，则(mn)abcabc＝___________. 09．（第13届“华杯赛”试题）从下面每组数中各取一个数将它们相乘，那么所有这样的乘
积的总和是___________.
15,3,4.25,5.75第一组： 311第二组：2,
3155第三组：2.25,,4
12
,.
10．一本书的页码从1记到n，把所有这些页码加起来，其中有一页码被错加了两次，结果
得出了不正确的和2002，这个被加错了两次的页码是多少？ 11．（湖北省竞赛试题）观察按下列规律排成一列数：，
111212312，，，，，，，213214334122451，，，，，，，，…(＊)，在(＊)中左起第m个数记为F(m)，当2132161F(m)＝时，求m的值和这m个数的积.
2001
12．图中显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列9个数：,,1,2,4,8,16,32,填入
方格中，使得所有行列及对角线上各数相乘的积相等，求x的值.
32
13．(第12届“华杯赛”试题)已知m、n都是正整数，并且
x 1142111111A(1)(1)(1)(1)(1)(1);2233mm 111111B(1)(1)(1)(1)(1)(1).
2233nnm1n1,B; 证明：⑴A2m2n1 ⑵AB，求m、n的值.
26
,.
第04讲 整式
考点·方法·破译
1．掌握单项式及单项式的系数、次数的概念.
2．掌握多项式及多项式的项、常数项及次数等概念. 3．掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式.
4．了解整式读、写的约定俗成的一般方法，会根据给出的字母的值求多项式的值.
经典·考题·赏析
【例1】判断下列各代数式是否是单项式，如果不是请简要说明理由，如果是请指出它的系数与次数.
【解法指导】 理解单项式的概念:由数与字母的积组成的代数式，单独一个数或一个字母也是单项式，数字的次数为0，错误!未找到引用源。是常数，单项式中所有字母指数和叫单项式次数.
解：⑴不是，因为代数式中出现了加法运算；
⑵不是，因为代数式是与x的商； ⑶是，它的系数为π，次数为2；
⑷是，它的系数为3错误!未找到引用源。，次数为3. 2【变式题组】
01．判断下列代数式是否是单项式
错误!未找到引用源。
02．说出下列单项式的系数与次数
【例２】 如果错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。都是关于x、y的六次单项式，且系数相等，求m、n的值.
【解法指导】 单项式的次数要弄清针对什么字母而言，是针对x或y或x、y等是有区别的，该题是针对x与y而言的，因此单项式的次数指x、y的指数之和，与字母m无关，此时将m看成一个要求的已知数.
解：由题意得错误!未找到引用源。
【变式题组】
01．一个含有x、y的五次单项式，x的指数为3.且当x＝2,y＝－1时，这个单项式的值为
32，求这个单项式. 02．（毕节）写出含有字母x、y的五次单项式______________________.
,.
【例３】 已知多项式错误!未找到引用源。 ⑴这个多项式是几次几项式？
⑵这个多项式最高次项是多少？二次项系数是什么？常数项是什么？
【解法指导】 n个单项式的和叫多项式，每个单项式叫多项式的项，多项式里次数最高项的次数叫多项式的次数.
解：⑴这个多项式是七次四项式；
(2)最高次项是错误!未找到引用源。,二次项系数为－1，常数项是1. 【变式题组】
01．指出下列多项式的项和次数
⑴错误!未找到引用源。 (2)错误!未找到引用源。
02．指出下列多项式的二次项、二次项系数和常数项
⑴错误!未找到引用源。 (2)错误!未找到引用源。
【例４】 多项式错误!未找到引用源。是关于x的三次三项式，并且一次项系数为－7.求m+n－k的值
【解法指导】 多项式的次数是单项式中次数最高的次数，单项式的系数是数字与字母乘积中的数字因数.
解：因为错误!未找到引用源。是关于x的三次三项式，依三次知m＝3，而一次项系数为－7，即－（3n+1）＝－7，故n＝2.已有三次项为错误!未找到引用源。,一次项为－7x，常数项为5，又原多项式为三次三项式，故二次项的系数k＝0，故m+n－k＝3+2－0＝5.
【变式题组】
01．多项式错误!未找到引用源。是四次三项式，则m的值为（ ）
A．2 B．－2 C．±2 D．±1
02．已知关于x、y的多项式错误!未找到引用源。不含二次项，求5a－8b的值.
03．已知多项式错误!未找到引用源。是六次四项式，单项式错误!未找到引用源。的次数
与这个多项式的次数相同，求n的值.
【例５】 已知代数式错误!未找到引用源。的值是8,求错误!未找到引用源。的值. 【解法指导】 由错误!未找到引用源。，现阶段还不能求出x的具体值，所以联想到整体代入法.
解：由错误!未找到引用源。得由错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。（3错误!未找到引用源。 【变式题组】
01．(贵州)如果代数式－2a+3b+8的值为18，那么代数式9b－6a+2的值等于（ ）
A．28 B．－28 C．32 D．－32 02．（同山）若错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。的值为_______________. 03．（潍坊）代数式错误!未找到引用源。的值为9,则错误!未找到引用源。的值为
______________.
【例６】 证明代数式错误!未找到引用源。的值与m的取值无关.
【解法指导】 欲证代数式的值与m的取值无关，只需证明代数式的化简结果不出现字母即可.
证明：原式＝错误!未找到引用源。 ∴无论m的值为何，原式值都为4.
,.
∴原式的值与m的取值无关. 【变式题组】
01．已知错误!未找到引用源。,且错误!未找到引用源。的值与x无关，求a的值.
02．若代数式错误!未找到引用源。的值与字母x的取值无关，求a、b的值.
【例７】 （北京市选拔赛）同时都含有a、b、c，且系数为1的七次单项式共有（ ）个
A．4 B．12 C．15 D．25
【解法指导】 首先写出符合题意的单项式错误!未找到引用源。,x、y、z都是正整数，再依x+y+z＝7来确定x、y、z的值.
解：错误!未找到引用源。为所求的单项式，则x、y、z都是正整数，且x+y+z＝7.当x＝1时，y＝1,2,3,4,5,z＝5,4,3,2,1.当x＝2时，y＝1,2,3,4,z＝4,3,2,1. 当x＝3时，y＝1,2,3,z＝3,2,1.当 x＝4时，y＝1,2,z＝2,1.当 x＝5时，y＝z＝1.所以所求的单项式的个数为5+4+3+2+1＝15，故选C．
【变式题组】
01．已知m、n是自然数，错误!未找到引用源。是八次三项式，求m、n值. 02．整数n＝___________时，多项式错误!未找到引用源。是三次三项式.
演练巩固·反馈提高
01．下列说法正确的是（ ）
A．错误!未找到引用源。是单项式 B．错误!未找到引用源。的次数为5 C．单项式错误!未找到引用源。系数为0 D．错误!未找到引用源。是四次二项式
02．a表示一个两位数，b表示一个一位数，如果把b放在a的右边组成一个三位数.则这个
三位数是（ ）
A．100b+a B．10a+b C．a+b D．100a+b 03．若多项式错误!未找到引用源。的值为1，则多项式错误!未找到引用源。的值是（ ）
A．2 B．17 C．－7 D．7
04．随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌电脑原售价为n元，降低m
元后，又降低20%，那么该电脑的现售价为（ ） A．错误!未找到引用源。 B．错误!未找到引用源。 C．错误!未找到引用源。 D．错误!未找到引用源。
05．若多项式错误!未找到引用源。是关于x的一次多项式，则k的值是（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．不能确定
06．若错误!未找到引用源。是关于x、y的五次单项式，则它的系数是____________. 07．电影院里第1排有a个座位，后面每排都比前排多3个座位，则第10排有_______个座
位.
08．若错误!未找到引用源。,则代数式xy+mn值为________.
09．一项工作，甲单独做需a天完成，乙单独做需b天完成，如果甲、乙合做7天完成工作
量是____________.
10．(河北)有一串单项式错误!未找到引用源。
(1)请你写出第100个单项式； ⑵请你写出第n个单项式.
,.
11．（安徽）一个含有x、y的五次单项式，x的指数为3,且当x＝2，y＝－1时，这个单项
式值为32，求这个单项式. 12．（天津）已知x＝3时多项式错误!未找到引用源。的值为－1，则当x＝－3时这个多项
式的值为多少？
13．若关于x、y的多项式错误!未找到引用源。与多项式错误!未找到引用源。的系数相同，
并且最高次项的系数也相同，求a－b的值.
14．某地电话拨号入网有两种方式，用户可任取其一.
A：计时制：0.05元/分
B：包月制：50元/月（只限一部宅电上网）. 此外，每种上网方式都得加收通行费0.02元/分.
⑴某用户某月上网时间为x小时，请你写出两种收费方式下该用户应该支付的费用； (2)若某用户估计一个月内上网时间为20小时，你认为采用哪种方式更合算.
培优升级·奥赛检测
01．（扬州）有一列数错误!未找到引用源。,从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面
那个数的倒数的差.若错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。为（ ） A．2007 B．2 C．错误!未找到引用源。 D．－1 02．（华师一附高招生）设记号*表示求a、b算术平均数的运算，即错误!未找到引用源。,
则下列等式中对于任意实数a、b、c都成立的是（ ） ①错误!未找到引用源。 ②错误!未找到引用源。 ③错误!未找到引用源。 ④错误!未找到引用源。 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②④
03．已知错误!未找到引用源。,那么在代数式错误!未找到引用源。中，对任意的a、b，对
应的代数式的值最大的是（ ）
A．错误!未找到引用源。 B．错误!未找到引用源。 C．错误!未找到引用源。 D．错误!未找到引用源。
04．在一个地球仪的赤道上用铁丝箍半径增大1米，需增加m米长的铁丝，假设地球的赤
道上一个铁丝箍，同样半径增大1米，需增加n米长的铁丝，则m与n大小关系（ ） A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．不能确定
,.
05．（广安）已知错误!未找到引用源。_____________.
06．某书店出售图书的同时，推出一项租书业务，每租看一本书，租期不超过3天，每天租
金a元，租期超过3天，从第4天开始每天另加收b元，如果租看1本书7天归还，那么租金为____________元.
07．已知错误!未找到引用源。＝_____________.
08．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，错误!未找到引用源。化简后的结果是
______________.
09．已知错误!未找到引用源。＝______________. 10．（全国初中数学竞赛）设a、b、c的平均数为M,a、b的平均数为N,又N、c的平均数为
P，若a＞b＞c，则M与P大小关系______________.
11．(资阳)如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB，BC，
CA至点A1，B1，C1，使得A1B＝2AB，B1C＝2BC，C1A＝2CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使得A2B1＝2A1B1，B2C1＝2B1C1，C2A1＝2C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2；…；按此规律继续下去，可得到△A5B5C5，则其面积S5＝________________． 12．（安徽）探索n×n的正方形钉子板上(n是钉子板每边上的钉子数)，连接任意两个钉子
所得到的不同长度值的线段种数：
当n＝2时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1与2，所以不同长度值的线段只有2种，若用S表示不同长度值的线段种数，则S＝2；
当n＝3时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1，2，2，5，22五种，比n＝2时增加了3种，即S＝2+3＝5.
(1) 观察图形，填写下表：
钉子数(n×n) 2×2 3×3 4×4 n=2
n=3
n=4
n=5
5×5
S值 2 2+3 2＋3＋( ) ( ) (2) 写出(n－1)×(n－1)和n×n的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系；(用
式子或语言表述均可)
,.
(3)对n×n的钉子板，写出用n表示S的代数式. 13．（青岛）提出问题：如图①，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC与△ABC
和△DBC的面积之间有什么关系？
探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：
1⑴当AP＝AD时（如图②）： D2PA1∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，
21∴S△ABP＝S△ABD ．
2BC1图①∵PD＝AD－AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，
21∴S△CDP＝S△CDA ．
2DP∴S△PBC ＝S四边形ABCD－S△ABP－S△CDP A11＝S四边形ABCD－S△ABD－S△CDA
2211＝S四边形ABCD－(S四边形ABCD－S△DBC)－(S四边形ABCD－S△ABC)
22CB图②11＝S△DBC＋S△ABC ． 221⑵当AP＝AD时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；
31⑶当AP＝AD时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：________________；
61⑷一般地，当AP＝AD（n表示正整数）时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，
n写出求解过程；
mm问题解决：当AP＝AD（0≤≤1）时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：
nn___________．
,.
第05讲 整式的加减
考点·方法·破译
1．掌握同类项的概念，会熟练地进行合并同类项的运算. 2．掌握去括号的法则，能熟练地进行加减法的运算.
3．通过去括号，合并同类项和整式加减的学习，体验如何认识和抓住事物的本质特征.
经典·考题·赏析
【例１】（济南）如果
1a23xy和-3x3y2b1是同类项，那么a、b的值分别是（ ） 3a1A．
b2a0B．
b2a2a1C． D．
b1b1【解法指导】同类项与系数的大小无关，与字母的排列顺序也无关，只与是否含相同字
母，且相同字母的指数是否相同有关.
a1a23解：由题意得，∴
b22b13【变式题组】
01.（天津）已知a＝2,b＝3,则（ ）
A．ax3y2与b m3n2是同类项 B．3xay3与bx3y3是同类项
,.
C．Bx
2a＋1
y4与ax5y
2
b＋1
是同类项 D．5m2bn5a与6n2bm5a是同类项
02．若单项式2Xym与－
1n3
xy是同类项，则m＝___________，n＝___________. 303．指出下列哪些是同类项
22222
⑴ab与－ab ⑵xy与3yx (3)m－n与5（n－m） ⑷5ab与6ab
【例２】(河北石家庄）若多项式合并同类项后是三次二项式，则m应满足的条件是___________.
【解法指导】合并同类项时，把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变.
3
解：因为化简后为三次二项式，而5x＋3已经为三次二项式，故二次项系数为0，即－2m－2＝0,∴m＝－1
【变式题组】
222
01.计算：－（2x－3x－1)－2(x－3x＋5)＋(x＋4x＋3)
02．(台州）
1（2x－4y）＋2y 3 03．（佛山）m－n－(m＋n)
22
【例３】（泰州）求整式3x－5x＋2与2x＋x－3的差.
【解法指导】在求两个多项式的差时，应先将这两个多项式分别用括号括起来，再去括号，而去括号可以用口诀：去括号，看符号，是“＋”号，不变号，是“－”号，全变号，去了括号后，有同类项再合并同类项．
22222
解：（3x－5x＋2)－（2x＋x－3)＝3x－5x＋2－2x－x＋3＝x－6x＋5 【变式题组】
22
01．一个多项式加上－3x＋2xy得x－3xy＋y,则这个多项式是___________．
2
02．减去2－3x等于6x－3x－8的代数式是___________．
【例４】当a＝-3122
，b＝时，求5（2a＋b)－3(3a＋2b)＋2(3a＋2b)的值. 422
【解法指导】将（2a＋b)，（3a＋2b)分别视为一个整体，因此可以先合并“同类项”
再代入求值，对于多项式求值问题，通常先化简再求值.
222
解：5（2a＋b)－3(3a＋2b)－3(2a＋b)＋2(3a＋2b)＝(5－3)(2a＋b)＋(2－3)(3a＋2b)＝2(2a＋b)－(3a＋2b)∵a＝-2
3113
，b＝∴原式＝424【变式题组】
2
01．（江苏南京）先化简再求值：（2a＋1)－2(2a＋1)＋3,其中a＝2.
2222
02．已知a＋bc＝14,b－2bc＝－6,求3a＋4b－5bC．
【例５】证明四位数的四个数字之和能被9整除，因此四位数也能被9整除.
【解法指导】可用代数式表示四位数与其四个数之和的差，然后证这个差能被9整除.
,.
证明：设此四位数为1000a＋100b＋10c＋d,则
1000a＋100b＋10c＋d－（a＋b＋c＋d)＝999a＋99b＋9c＝9(111a＋11b＋c)
∵111a＋11b＋c为整数，∴1000a＋100b＋10c＋d＝9(111a＋11b＋c)＋（a＋b＋c＋d) ∵9(111a＋11b＋c)与（a＋b＋c＋d)均能被9整除 ∴1000a＋100b＋10c＋d也能被9整除
【变式题组】
01．已知a＜b＜c,且x＜y＜z,下列式子中值最大的可能是（ ）
A．ax＋by＋cz B．ax＋cy＋bz C．bx＋cy＋az D．bx＋ay＋cz 02．任何三位数减去此三位数的三个数字之和必为9的倍数.
2612112
【例６】将（x－x＋1)展开后得a12x＋a11x＋……＋a2x＋a1x＋a0,求a12＋a10＋a8＋……＋a4＋a2＋a0的值.
【解法指导】要求系数之和，但原式展开含有x项，如何消去x项，可采用赋特殊值法. 解：令x＝1得a12＋a11＋……＋a1＋a0＝1
令x＝－1得a12－a11＋a10－……－a1＋a0＝729 两式相加得2（a12＋a10＋a8＋……＋a2＋a0）＝730 ∴a12＋a10＋a8＋……＋a2＋a0＝365 【变式题组】
532
01.已知（2x－1)＝a5x＋a4x＋a3x＋a2x＋a1x＋a0
(1)当x＝0时，有何结论; (2)当x＝1时，有何结论; (3)当x＝－1时，有何结论; (4)求a5＋a3＋a1的值.
4324
02.已知ax＋bx＋cx＋dx＋e＝(x－2)
(1)求a＋b＋c＋d＋e.
(3) 试求a＋c的值.
3223
【例７】(希望杯培训题）已知关于x的二次多项式a(x－x＋3x)＋b(2x＋x)＋x－5,当x＝2时的值为－17.求当x＝－2时，该多项式的值.
【解法指导】设法求出a、b的值，解题的突破口是根据多项式降幂排列，多项式的次数等概念，挖掘隐含a、b的等式.
3223
解：原式＝ax－ax＋3ax＋2bx＋bx＋x－5
32
＝(a＋1)x＋(2b－a)x＋(3a＋b)x－5 ∵原式中的多项式是关于x的二次多项式
∴a10
2ba0,.
∴a＝－1
又当x＝2时，原式的值为－17.
（-1）b25＝－17,∴b＝－1 ∴(2b＋1)2＋32
∴原式＝－x－4x－5
2
∴当x＝－2时，原式＝－（－2）－4（－2）－5＝－1 【变式题组】
33
01．（北京迎春杯）当x＝－2时，代数式ax－bx＋1＝－17.则x＝－1时，12ax－3bx－5
＝___________．
753
02．(吉林竞赛题）已知y＝ax＋bx＋cx＋dx＋e,其中a、b、c、d、e为常数，当x＝2,y＝
3
2,x＝－2,y＝－35,则e为（ ） A．－6 B． 6 C．－12 D．12
2
演练巩固·反馈提高
01．（荆州）若－3x2my与2xyn是同类项，则mn的值是（ ）
A．0 B．1 C．7 D．－1
2222
02．一个单项式减去x－y等于x＋y,则这个单项式是（ ）
A．2x2 B．2y2 C．－2x2 D．－2y2
03．若M和N都是关于x的二次三项式，则M＋N一定是（ ）
A．二次三项式 B．一次多项式 C．三项式 D．次数不高于2的整式
53
04．当x＝3时，多项式ax＋bx＋cx－10的值为7.则当x＝－3时，这个多项式的值是（ ）
A．－3 B．－27 C．－7 D．7
222222
05．已知多项式A＝x＋2y－z,B＝－4x＋3y＋2z,且A＋B＋C＝0,则多项式c为（ ）
A．5x2－y2－z2 B．3x2－y2－3z2 C．3x2－5y2－z2 D．3x2－5y2＋z2 06．已知
3
4
y3xy3，则等于（ ） xxB．1 C．2
A．
4 33 D．0
07．某人上山的速度为a千米/时，后又沿原路下山，下山速度为b千米/时，那么这个人上
山和下山的平均速度是（ ）
A．
ab千米/时 22
2
B．
2
abab千米/时 C．千米/时 22ab2
2
2
D．
2ab千米/时 ab08．使（ax－2xy＋y)－(－ax＋bxy＋2y)＝6x－9xy＋cy成立的a、b、c的值分别是（ ）
A．３，７，１ B．－３，－７，－１ C．３，－７，－１ D．－３，７，－１ 09．k＝___________时，多项式3x2－2kxy＋3y2＋
1xy－4中不含ｘy项． 210．(宿迁）若2a－b＝2,则6＋8a－4b＝___________
11．某项工程，甲独做需m天完成，甲乙合作需n天完成，那么乙独做需要___________天
完成．
2222
12．x－xy＝－3,2xy－y＝－8,则2x－y＝___________．
,.
13．设ａ表示一个两位数，ｂ表示一个三位数，现在把ａ放ｂ的左边组成一个五位数，设为
ｘ，再把ｂ放a的左边，也组成一个五位数，设为y,试问x－y能被9整除吗？请说明理由.
22
14．若代数式（x＋ax－2y＋7)－(bx－2x＋9y－1)的值与字母x的取值无关，求a、b的值.
222222
15．设A＝x－2xy－y,B＝－2x＋xy－y,B＝－2x＋xy－y,当x＜y＜0时，比较A与B的
值的大小.
培优升级·奥赛检测
01．A是一个三位数，b是一位数，如果把b置于a的右边，则所得的四位数是（ ）
A．ab B．a＋b C．1000b＋a D．10a＋b
02．一个两位数的个位数字和十位数字交换位置后，所得的数比原来的数大9，这样的两位
数中，质数有（ ） A．1个 B．3个 C．5个 D．6个
03．有三组数x1,x2,x3;y1,y2,y3;z1,z2,z3,它们的平均数分别是a、b、c，那么x1＋y1－z1,x2＋
y2－z2,x3＋y3－z3的平均数是（ ）
A．
ab-cabc B． C．A＋b－c D．3(a＋b－c)
3304．如果对于某一特定范围内x的任何允许值P＝12x＋1-3x＋……＋1-9x＋1-10x的值恒为一常数，则此值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
05．（江苏竞赛）已知a＋b＝0,a≠0,则化简b(a1)a(b1)得（ ）
abA．2a B．2b C．2 D．－2
06．如果a个同学在b小时内共搬运c块砖,那么c个同学以同样速度搬a块砖，所需的小
时数（ ）
c2A．2
abc2abB． C．2
abca2bD．2
c,.
07．如果单项式3xayb与5xya的和为8xya,那么abba＝_________． 08．（第１６届“希望杯”邀请赛试题）如果x＋2x＝3则x＋7x＋8x－13x＋15＝_________． 09．将1,2,3……100这100个自然数，任意分为50组，每组两个数，现将每组的两个数中
任一数值记作a,另一个记作b,代入代数式
2
4
3
2
＋2－23＋23＋2
1（abab）中进行计算，求出其结2果，50组数代入后可求的50个值，则这50个值的和的最大值时_________．
＋43－3＋4432
10．已知两个多项式A和B，A＝nxn＋xn－x＋x－3,B＝3xn－x＋x＋nx－2x－1,试判
断是否存在整数n,使A－B为五次六项式．
11．设xyz都是整数，且11整除7x＋2y－5z.求证：11整除3x－7y＋12z.
12．(美国奥林匹克竞赛题）在一次游戏中，魔术师请一个而你随意想一个三位数abc(a、b、
c依次是这个数的百位、十位、个位数字）并请这个人算出5个数acb，bac，bca，
cab与cba的和N，把N告诉魔术师，于是魔术师就可以说出这个人所想的数abc，
现在设N＝3194，请你当魔术师，求出abc来.
13．(太原市竞赛题）将一个三位数abc的中间数去掉，成为一个两位数ac，且满足abc＝
,.
9ac＋4c（如155＝915＋45）.试求出所有这样的三位数.
第06讲 一元一次方程概念和等式性质
考点·方法·破译
1．了解一元一次方程、等式的概念，能准确进行辨析． 2．掌握一元一次方程的解、等式的性质并会运用．
经典·考题·赏析
【例１】 下面式子是方程的是( )
A．x＋3 B． x＋y＜3 C．2x2 ＋3 ＝0 D．3＋4 ＝2＋5
【解法指导】判断式子是方程，首先要含有等号，然后看它是否含有未知数，只有同时具有这两个条件的就是方程．2x2 ＋3 ＝0是一个无解的方程，但它是方程，故选择C．
【变式题组】 01．在①2x ＋3y －1．②2 ＋5 ＝15－8，③1－
1x＝x＋l，④2x ＋y＝3中方程的个数是3( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 02．（安徽舍肥）在甲处工作的有272人，在乙处工作的有196人，如果要使乙处工作的人
数是甲处工作人数的
1，应从乙处调多少人到甲处？若设应从乙处调多少人到甲处，3则下列方程正确的是( ) A． 272＋x＝
11 (196－x) B． (272－x) ＝196 –x 33,.
C．
11×272 ＋x ＝196－x D． (272 ＋x) ＝196－x
3203．根据下列条件列出方程：
⑴3与x的和的2倍是14 ⑵x的2倍与3的差是5 ⑶x的1
【例２】下列方程是一元一次方程的是( ) A．x－2x－3＝0 B．2x－3y＝4 C．
2
1与13的差的2倍等于51＝3 D．x＝0 x【解法指导】判断一个方程是一元一次方程，要满足两个条件：①只含有一个未知数；②未知数的次数都是1，只有这样的方程才是一元一次方程．故选择D．
【变式题组】 01．以下式子：①－2 ＋10＝8；②5x ＋3 ＝17；③xy；④x＝2；⑤3x ＝1；⑥
x3＝4x；x⑦（a＋b）c＝ac＋bc；⑧ax＋b其中等式有___________个；一元一次方程有___________个．
02．（江油课改实验区）若（m－2）xm23＝5是一元一次方程，则m的值为( )
A．±2 B．－2 C．2 D．4 03．（天津）下列式子是方程的是( )
A．3×6＝ 18 B．3x－8 c．5y＋6 D．y÷5＝1
【例3】若x＝3是方程－kx＋x＋5 ＝0的解，则k的值是( ) A．8 B．3 C．88 D． 33【解法指导】 方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，所以－3k＋3 ＋5 ＝0，k＝
8故选择D． 3 【变式题组】 01．（海口）x＝2是下列哪个方程的解( )
A．3x＝2x－1 B．3x －2x＋2 ＝0 C．3x －1 ＝2x＋1 D．3x＝2x－2 02．（自贡）方程3x ＋6 ＝0的解的相反数是( )
A．2 B．－2 C．3 D．－3 03．（上海）如果x＝2是方程
1xa1的根，那么a的值是( ) 2A．0 B．2 C．－2 D．－6 04．（徐州）根据下列问题，设未知数并列出方程，然后估算方程的解：
(1)某数的3倍比这个数大4；
(2)小明年龄的3倍比他的爸爸的年龄多2岁，小明爸爸40岁，问小明几岁？
(3)一个商店今年8月份出售A型电机300台，比去年同期增加50%，问去年8月份出售A型电机多少台？
,.
【例4】 （太原）c为任意有理数，对于等式果仍然是等式的是( )
A．两边都减去－3c B．两边都乘以
1a＝2×0.25a进入下面的变形，其结21 cC．两边都除以2c D．左边乘以2右边加上c
【解法指导】等式的性质有两条：①等式两边都加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等；②等式两边都乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，故选择A．
【变式题组】 01．（青岛）如果ma＝ mb，那么下列等式不一定成立的是( )
A．ma＋1＝mb＋1 B．ma−3＝mb−3 C．11ma＝mb D．a＝b 2202．（大连）由等式3a −5 ＝2a＋b得到a＝11的变形是( )
A．等式两边都除以3 B．等式两边都加上（2a －5） C．等式两边都加上5 D．等式两边都减去（2a －5） 03．（昆明）下列变形符合等式性质的是( )
A．如果2x−3 ＝7，那么2x ＝7−x B．如果3x−2＝x＋l，那么3x−x ＝1−2
C．如果－2x ＝5，那么x＝－5＋2 D．如果－【例5】 利用等式的性质解下列方程： ⑴x ＋7 ＝19 ⑵－5x ＝30 ⑶ －⑴解：两边都减去7得 x＋7 −7 ＝19 −7 合并同类项得 x＝12
1x ＝1，那么x＝－3 31x−5 ＝4 31得x＝ －6 51⑶解：两边都加上5得－x−5＋5 ＝4 ＋5
31 合并同类项得－x ＝9
3⑵解：两边都乘以 两边都乘以－3得x＝－27 【解法指导】 要使方程x＋7 ＝19转化为x＝a（常数）的形式，要去掉方程左边的7，因此要减7，类似地考虑另两个方程如何转化为x＝a的形式．
【变式题组】 01．（黄冈）某人在同一路段上走完一定的路程，去的速度是v1，回来的速度是v2，则他的
平均速度为( ) A．
2v1v2vv2vvv1v2 B． C．1 D．12
v1v22v1v2v1v2202．（杭州）已知x1是方程2x−ay＝3的一个解，那么a的值是( )
y1A．1 B．3 C．－3 D．－1
03．（郑州）下列变形正确的是( )
A．由x＋3＝4得x＝7 B．由a＋b＝0，得a＝b
,.
C．由5x＝4x－2得x＝2 D．由04．（南京）解方程A．同乘以x＝0，得x＝0 623x ( ) 322333 B．同除以 C．同乘以－ D．同除以 3222【例6】 根据所给出的条件列出方程：小华在银行存了一笔钱，月利率为2%，利息
税为20%，5个月后，他一共取出了本息1080元，问他存人的本金是多少元？（只列方程）
【解法指导】 生活中常碰见的储蓄问题是中考中常见的一种题型，应正确理解利息税的含义，清楚本息和：本金＋利息（除税后）是解题的关键．题中的利息税是把利息的20%扣除作为税上交国家．
解：设他存入的本金是x元，则5个月的利息是2%×5x＝0.1x元，需交利息税0.lx×20%＝0.02x元，根据题意得：x ＋0. lx−0.02x＝ 1080． 【变式题组】 01．（甘肃）商场在促销活动中，将标价为200元的商品，在打八折的基础上，再打八折销
售，则该商品现在售价是( )
A．160元 B．128元 C．120元 D．8元 02．（辽宁）根据下列条件，列出方程并解之：
(1)某数的5倍减去4等于该数的6倍加上7，求某数；
(2)长方形的周长是50厘米，长与宽之比为3∶2，求长方形面积，
【例7】 （“希望杯”邀请赛试题）已知p、q都是质数，并且以x为未知数的一元一次方程px ＋5q ＝97的解是l．求代数式40p ＋l0lq ＋4的值． 【解法指导】用代入法可得到p、q的关系式，再综合运用整数知识：偶数＋奇数＝奇数、奇数＋奇数＝偶数、偶数＋偶数＝偶数．
解：把x＝l代入方程px ＋5q ＝97，得p＋5q ＝97，故p与5q中必有一个数是偶数：
(1)若p＝2，则Sq＝ 95，q＝19，40p ＋l01q ＋4 ＝40×2 ＋101×19 ＋4＝ 2003； (2)若5q为偶数，则q＝2，p＝87，但87不是质数，与题设矛盾，舍去．∴40p ＋
l0lq ＋4的值为2003.
【变式题组】 01．（广东省竞赛题）已知x＝3x ＋1，则（x2 ＋48x ＋9）2009＝_______．
02．（第18届“希望杯”竞赛题）对任意四个有理数a、b、c、d，定义新运算：
abcd＝ ad−
bc，已知
2x4x1＝18，则x＝( )
A．－1 B．2 C．3 D．4
演练巩固 反馈提高
01．下面四个式子是方程的是( )
A．3 ＋2 ＝5 B．x＝2 C．2x −5 D．a2 ＋2ab≠b2 02，下列方程是一元一次方程的是( )
,.
A．x2 −2x−3＝0 B．2x−3y＝3 C．x2−x−1＝ x2＋1 D．
110 x03．“x的一半比省的相反数大7”用方程表达这句话的意思是( )
A．
1111x ＝7−x B．x＋7 ＝−x C．＋7 ＝x D．＝x＋7 222204．（石家庄）把1200g洗衣粉分别装入5个大小相同的瓶子中，除一瓶还差15g外，其余四瓶都装满了，问装满的每个瓶子中有洗衣粉多少克？若设装满的每个瓶子有xg洗衣粉，列方程为( )
A．5x ＋15＝ 1200 B．5x －15 ＝1200 C．4x ＋15＝ 1200 D．4（x＋15)＝1200
05．在方程①3x−4 ＝7；②
x＝3；③5x−2 ＝3；④3（x＋1）＝2（2x＋1）中解为x＝1的2方程是( )
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
06．如果方程2n＋b＝n−1的解是n＝－4，那么b的值是( )
A．3 B．5 C．－5 D．－13
07．若“△”是新规定的某种运算符号，设a△b＝ a2 ＋b则（－2）△x＝10中x为( )
A．－6 B．6 C．8 D．－8 08．（武汉）小刚每分钟跑am，用6分钟可以跑完3000m，如果每分钟多跑l0m，则可以提
前1分钟跑完3000m，下列等式不正确的是( ) A．(a＋10)(b－1) ＝ab B．（a−10)(b＋l) ＝3000
C．
30003000＝a＋10 D．＝b−1 b1a1009．已知关于x的方程(m＋2)xm＋4 ＝2m－1是一元一次方程，则x＝_______．
10．在数值2，－3，4，－5中，是方程4x−2＝ 10 ＋x的解是_______． 11．（福州）已知
33m−1＝n，试用等式的性质比较m、n的大小． 44
12.（西宁）已知方程a−2x＝－4的解为x＝4，求式子a3−a2−a的值．
13．三个连续自然数的和是33，求这三个数．
14．某班有70人，其中会游泳的有52人，会滑冰的有33人，这两项都不会的有6人，这
两项都会的有多少人？
,.
15．甲车队有司机80人，乙车队有50人，要使两个车队的司机人数一样多，应该从甲车队
调多少个司机到乙车队？
培优升级 奥赛检测
01．下列判断中正确的是( )
A．方程2x －3 ＝1与方程x(2x －3)＝x同解，
B．方程2x －3 ＝1与方程x(2x －3)＝x没有相同的解． C．方程x(2x －3)＝x的解是方程2x －3 ＝1的解． D．方程2x −3 ＝1的解是方程x(2x －3)＝x的解． 02．方程
xxx•••2009的解是( ) 122320092010A．2008 B．2009 C．2010 D．2011
03．（江苏省竞赛题）已知a是任意有理数，在下面各题中
(1)方程ax ＝0的解是x＝l (2)方程ax ＝a的解是x＝l
(3)方程ax ＝1的解是x＝
1 (4)axa的解是x＝±1 a结论正确的的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3 04．（“希望杯”邀请赛）已知关于x的一元一次方程(3a ＋8b)x＋7 ＝0无解，则ab是( )
A．正数 B．非正数 C．负数 D．非负数 05．（第十一届“希望杯”邀请赛试题）已知a是不为0的整数，并且关于x的方程ax＝2a3−3
a2−5a ＋4有整数解，则a的值共有( ) A．1个 B．3个 C．6个 D．9个 06．（“祖冲之杯”邀请赛）方程x5＋（x−5）＝0的解的个数为( )
A．不确定 B．无数个 C．2个 D．3个 07．若x＝9是方程
解是______．
11x2a的解，则a＝______；又若当a＝1时，则方程x2a的33,.
08．方程
x13y22y0的解是_____，方程3x11的解是_____． 35509．（北京市“迎春杯”竞赛试题）已知3990x1995 ＝1995，那么x＝____． 10．（“希望杯”邀请赛试题）已知xx2，那么19x99 ＋3x＋27的值为____． 11．（广西竞赛）解关于x的方程
12．a为何值，方程
xabxbcxac＝－3． cabax1xax6有无数个解． 326
13．（“五羊杯”竞赛题）若干本书分给小朋友，每人m本，则余14本；每人9本，则最后
一人只得6本，问小朋友共几人？有多少本书？ 14．（上海市竞赛题）甲队原有96人，现调出16人到乙队，调出人数后，甲队人数是乙队
人数的k（是不等于1的正整数）倍还多6人，问乙队原有多少人？
,.
第07讲 一元一次方程解法
考点·方法·破译
1．熟练掌握一元一次方程的解法步骤，并会灵活运用． 2．会用一元一次方程解决实际问题
经典·考题·赏析
【例１】解方程：5x＋2＝7x－8
【解法指导】 当方程两边都含有未知数时，通常把含未知数项移到方程的左边，已知数移到方程的右边，注意移项要变号．
解：移项，得 5x－7x＝－8－2 合并同类项，得 －2x＝－10 系数化为1，得 x＝5 【变式题组】
01．(广东)关于x的方程2(x－1)－a＝0的根是3，则a的值是（ ）
A．4 B．－4 C．2 D．－1 02．（陕西）如果a、b是已知数，则－7x＋2a＝－5x＋2b的解是（ ）
A． a－b B． －a－b C． b－a D． b＋a 03．解下列方程：
⑴2x＋3x＋4x＝18 (2)3x＋5＝4x＋1
,.
【例２】解方程： 11－2(x＋1)＝3x＋4(2x－3)
【解法指导】 此题中含有括号，应先按去括号法则去掉括号，去括号时，要注意符号，括号前是“＋”号不变号；括号前是“－”，各项均要变号，有数字因数使用乘法分配律时，不要漏乘括号里的项，再通过移项、合并系数化为1，从而求出方程的解．
解： 去括号，得 11－2x－2＝3x＋8x－12 移项，得 －2x－3x－8x＝－12－11＋2 合并同类项，得 －13x＝－21
系数化为1，得 x21 13【变式题组】 01．（广州）下列运算正确的是（ ）
A． －3（x－1）＝－3x－1 B． －3(x－1)＝－3x＋1 C． －3(x－1)＝－3x－3 D． －3(x－1)＝－3x＋3
02．(黄冈)解方程：－2(x－1)－4(x－2)＝1去括号结果，正确的是（ ）
A． －2x＋2－4x－8＝1 B． －2x＋1－4x＋2＝1 C． －2x－2－4x－8＝1 D． －2x＋2－4x＋8＝1 03．（广州）方程2x＋1＝3(x－1)的解是（ ）
A． x＝3 B． x＝4 C． x＝－3 D． x＝－4 04．解下列方程：
⑴7(2x－1)－3(4x－1)＝5(3x＋2)－1 (2)3(100－2x)＝400＋15x
【例３】解方程：
2x110x12x11 3【解法指导】方程中含有字母，去分母是首先要考虑的，去掉分母后可能出现括号，去
分母时，方程两边同乘以各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项
解： 去分母时，得 4(2x－1)－2(10x＋1)＝3(2x＋1)－12 去括号，得 8x－4－20x＝6x＋3－12 移项，得 8x－20x－6x＝3－12＋4＋2 合并，得 －18x＝－3
系数化为1，得 x1 6回顾小结：我们已经学习了解一元一次方程的基本方法步骤： （1） 去分母；⑵去括号；⑶移项；⑷合并；⑸系数化为1． 这五个步骤要注意灵活运用．
【变式题组】 01．（厦门）如果关于x的方程
2xa4xb的解不是负值，那么a与b的关系是（ ） 3533A． ab B． ba C． 5a≥3b D． 5a＝3b
5502．(银川)甲、乙两船航行于A、B两地之间，由A到B航行的速度为每小时35千米，由
B到A航速为每小时25千米，今甲船由A地开往B地，乙船由B地开往A地，甲先航行2小时，两船在距B地120千米处相遇，求两地的距离，若设两地的距离为x千米，根据题意可列方程（ ）
A．
x120120x120120 2 B．235253525,.
x120120x120120 2 D．225352536x2x103．（四川）解方程： 132C．
04．（大连）若方程
x12x116axax1与方程2x2x的解相同，求25223a22a的值． a
【例４】解方程：
0.1x0.2x13
0.020.5【解法指导】原方程的分子、分母有小数，可先利用分数的性质把小数化成整数，再按
解方程步骤来解，注意：分数的性质是一个分数的分子、分母而言，而等式的性质是对一个等式的左边、右边而言，要注意区别防止出错．
解：原方程变形为：
100(0.1x0.2)10(x1)3
1000.02100.5即 50（0.1x－0.2）－2(x＋1)＝3
去括号，得 5x－50－2x－2＝3 移项，得 5x－2x＝3＋10＋2 合并，得 3x＝15 系数化为1，得 x＝5 【变式题组】
x10.1x0.2变形正确的是（ ） 2x0.30.7x1x2x1x2A． B． 2x20x373710x1x210x10x22x2xC． D． 3737x1x21.2 02．（郑州）解方程：0.30.501．对方程
【例５】解方程：
12x107x92x8x9 21201514【解法指导】对于解一元一次方程五步骤应灵活运用，有取有舍，灵活运用，此题如果
直接去分母，计算量较大，观察分母的数字特征分类通分，可以减少计算量．
,.
12x108x92x7x9 2114152073525x 两边分别通分得： 4260175x 即
612解： 移项得
解得 x＝1
【变式题组】 01．(大连)解方程
45(x30)7，较简便的是（ ） 44A．先去分母 B．先去括号 C． 先两边都除以 D． 先两边都乘以
55111x24)6]81 [(975302．解方程：
03．解方程：
1xxxxx6 26122042
【例６】有一些分别标有6，12，18，24，…的卡片，后一张卡片上的数比前一张卡片上的数大6，小明拿到了相邻的三张卡片，且这些卡片的数之和为342．
（1） 小明拿到了哪3张卡片？
（2） 你能拿到相邻3张卡片，使得这些卡片上的数之为是86吗？
【解法指导】⑴先用含字母的式式表示出这三张卡片的数字，然后用一元一次方程求解．⑵属于开放式问题，要注意体会这类问题的思维方式，掌握解题技巧及策略．
解：设小明拿到的三张卡上的数字为x,x＋6,x＋12 （1） 依题意得： x＋x＋6＋x＋12＝342
合并，得 3x＋18＝342 移项，得 3x＝324 系数化为1，得x＝108
答：这三个数为108，114，120
（2） 不能使这三张卡片上的数字和为86，理由是 （3） 假设 x＋x＋6＋x＋12＝86
合并，得 3x＋18＝86 移项，得 3x＝324
系数化为1，得 x68 368． 3 因为这些卡片上的数字都是6的倍数，故不可能为
【变式题组】
01．下图是按一定规律排列的数构成的一个数表：
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 67 70 …
⑴用一方框按上图框的样子，任意框住9个数，若这9个数的和是9，求方框中最后一个数；
,.
⑵若按如图所示的斜框任意框住9个数，且这9个数的和是360，则斜框中的第一个数是什么？
× × × × × × × × ×
【例７】（河南省竞赛题）若关于x的方程9x－17＝kx的解为正整数，则k的值为k＝_____
【解法指导】把x的值用k的代数式表示，利用整除性求出k的值. 解：∵ 9x－17＝kx ∴ (9－k)x＝17
∴ x17 9k ∵ x为正整数，∴9－k为17的正整数因数 ∴ 9－k＝1 或 9－k＝17
∴ k＝8 或 k＝－8 故k＝±8 【变式题组】
01．(成都)要使一元一次方程－kx＝k的解为x＝－1，必须满足的条件是（ ）
A．可取一切数 B． k＜ 0 C． k≠0 D． k＞0
02．(“五羊杯”竞赛题)已知关于x的方程9x－3＝kx＋14有整数解，那么满足条件的所有
整数k＝___________
演练巩固·反馈提高
01．（苏州）某商品现在售价为34元，比原售价降低了15%，则原价是（ ）
A． 40元 B．35元 C． 28.9元 D． 5.1元 02．（）汽车以72千米/时的速度在公路上行驶，开向寂静的山谷，驾驶员掀一下喇叭，
4秒后听到回响，这时汽车离山谷多远？已知空气中声音的传播速度约为340米/秒，汽车离山谷x米，根据题意，列出方程为（ ）
A． 2x＋4×20＝4×340 B．2x－4×20＝4×340 C． 2x＋4×72＝4×340 D． 2x－4×20＝4×340
03．(陕西)一件标价为600元的上衣，按8折销售仍可获利20元，设这件上衣的成本为x
元，根据题意，下面所列的方程正确的是（ ）
A． 600×0.8－x－20 B．600×0.8＝x－20 C．600×8－x＝20 D．600×8＝x－20
04．(长沙)一轮船往返于A、B两港之间，逆水航行需3小时，顺水航行需2小时，水流速
度是3千米/时，则轮船在静水中速度是（ ）
A． 18千米/时 B． 15千米/时 C． 12千米/时 D． 20千米/时 05．（武汉）已知关于x的方程4x－3m＝2的解是x＝m，则m的值是（ ）
,.
A．2 B．－2 C．
2 7D． 2 706．（陕西）中国人民银行宣布，从2007年6月5日起，上调人民币存款利率，一年定期存
款利率上调到3.06%．某人于2007提6月5日存入定期为1年的人民币5000元（到期后银行将扣除20%的利息税），设到期后银行向储户支付现金为x元，则所列方程正确的是（ ）
A． x－5000＝5000×30.6% B．x＋5000×20%＝5000(1＋3.06%) C． x＋5000×3.06%×20%＝5000(1＋3.06%) D． x＋5000×3.06%×20%＝5000×30.6%
07．(南通)关于x的方程mx－1＝2x的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A． m≥2 B．m≤2 C．m＞2 D．m＜2
08．若x＝2不是方程2x＋b＝3x的解，则b不等于（ ）
A．1 2B．
3k21 2C．2 D．－2
09．（天津）若kx2k3是关于x的一元一次方程，则这个方程的解为x＝_______
10．(广东)若2x－1＝3,3y＋2＝8，则2x＋3y＝_________ 11．(南京)x为何值时，式子
⑴相等
⑵互为相反数 ⑶式子
xx3与式子1满足下列条件：
32xx3比式子1的值小1
32
12．（随州）一个两位数，个位数是十位上的数的2倍，如果把十位上的数与个位上的数对
调，那么所得到的两位数比原两位数大36，求原两位数，根据下列设法列方程求解． ⑴设十位数上的数为x； ⑵设个位数上的数为y.
13．(北京)国外营养学家做了一项研究，甲组同学每天正常进餐，乙组同学每天除正常进餐
外，每人还增加六百亳升牛奶．一年后发现，乙组同学平均身高的增长值比甲组同学平
均身高的增长值多2.01cm，甲组同学平均身高的增长值比乙组同学平均增长值的0.34cm，求甲、乙两组同学平均身高的增长值．
3少4,.
14．（北海）某校一、二两班共有95人，体育锻炼的平均达标率（达到标准的百分率）是
60%，如果一班达标率是40%，二班达标率是78%，求一、二班的人数各是多少？
15．某车间有60名工人，生产一种螺栓和螺帽，平均每人每小时生产螺栓15个或螺帽10
个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？（每个螺栓配两个螺帽）
培优升级·奥赛检测
01．（南昌）把a千克的纯酒精溶在b千克水里，再从中取b千克溶液，在这b千克溶液中
含酒精的千克数为（ ）
A． a
b2abB． C．
abab D．
2b ab02．下列四组变形中属于移项变形的是（ ）
y5得y＝10 2114C． y(32y)4则y32y4 D．3x＝4则x
355A． 5x＋4＝0 则5x＝－4 B．
03．（第18届“希望杯”赛题）方程
xxxx1的解是x＝____ 31535200520072006200720071003A． B． C． D．
2007200610032007
22
04．(广西竞赛题)若方程(m－1)x－mx＋8＝x是关于 x的一元一次方程，则代数式m2008
－|m－1|的值为（ ） A． 1或一1 B．1 C． －1 D．2
05．如果2005－200.5＝x－20.05，那么x等于（ ）
A．1814.25 B． 1824.55 C．1774.45 D．1784.45
06．若x＝0是关于x的方程x－3n＝1的根，则n等于（ ）
,.
A．1 3B．
1 3C．3 D．－3
07．（第十三届“五羊杯”竞赛题）五羊中学学生郊游，沿着与笔直的铁路线并列的公路匀
速前进，每小时走4500米，一列火车以每小时120千米的速度迎面开来，测得从车头与队首学生相遇，到车尾与队末学生相遇，共经过60秒，如果队伍长500米，那么火车长（ ）米 A． 2070 B． 1575 C． 2000 D．1500 08．（武汉市选拔赛试题）一只小船从甲港到乙港逆流航行需2小时，水流速度增加一倍后，
再从甲港到乙港航行需3小时，水流速度增加后，则乙港返回甲港需航行（ ） A．0.5小时 B．1小时 C． 1.2小时 D．1.5小时 09．（北京市“迎春杯”竞赛题）光明中学初中一年级一、二、三班，向希望学校共捐书385
本，一班与二班捐出的本数之比为4：3，班与三班捐书的本数之比为6：7，那么二班捐出_________本． 10．（武汉市选拔赛试题）甲、乙两地相距70千米，有两辆汽车同时从两地相向出发，并连
续往返于甲、乙两地，从甲地开出的为第一辆汽车，每小时行30千米，从乙地开出的为第二辆汽车，每小时行40千米，当从甲地开出的第一辆汽车第二次从甲地出发后与第二辆汽车相遇，这两辆汽车分别行驶了______千米和_____千米．
11．（宁波）已知关于x的方程
axbx3ab的解是x＝2，其中a≠0且b≠0,求代数式23ba的值．
12．（湖北孝感市竞赛题）某人从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火
车开车时间早到15分钟，若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分钟，现在此人打算在火车开车前10分钟到达火车站，求此人此时摩托车的速度应该是多少？
,.
13．（“希望杯”邀请赛）铁路旁有一条平行小路上有一行人与一骑车人同时向东行进，行人
速度为3.6千米/时，骑车人速度为10.8千米/时，如果有一列火车从他们背后过来，它通过行人用22秒，通过骑车人用26秒，问这列火车的车身长为多少米？
第08讲 实际问题与一元一次方程
考点·方法·破译
1．会分析实际问题中的数量关系，从而建立数学模型• 2．熟练掌握运用方程解决实际问题•
经典·考题·赏析
【例１】（贵阳）根据调查的统计，个体服装店销售衣服只要高出进价的20%便可盈利，但老板们常以高出进价50%～100％标价，假如购买一件衣服标价为300元的服装，应在什么范围内还价？
【解法指导】市场营销中涉及的数量关系：⑴商品利润＝商品售价－商品进价：⑴商品利润率＝
商品利润；⑶商品售价＝进价×（1+利润率）
商品进价解：设原进价为x元，根据题意得
,.
① 当利润为50%时：（1+50%)x＝400 解得x＝
800 3② 当利润为100%时：（1+100%)x＝400 解得x＝200 所以：
800×（1+20%）＝320（元） 200×（1+20%）＝240（元） 3答：应在240～320元范围内还价• 【变式题组】 01．（黑龙江）某超市推出如下的优惠方案：⑴一次性购物不超过100元不享受优惠；⑵一
次性购物超过100元但不超过300元一律九折；⑶一次性购物超过300元一律八折•王波两次购物分别付款80元、252元•如果王波一次性购买与上两次相同的商品，则应付款（ ）
A．288元 B．322元
C．288或316元 D．332或363元 02．（北京市海淀区）白云商场购进某种商品的进价是每件8元售价是每件10元•为了扩大
销售量把每件商品的售价降低百分之x出售要求卖出一件所获得的利润是降价前所获得的利润的百分之90，则x等于（ ）
A．1 B．1.8 C．28 D．29 03．（菏泽）某书店把一本新书按标价的九折出售，仍可获利20%，若该书的进价为21元，
则标价为（ ）
A．26元 B．27元 C．28元 D．29元 【例２】（南京）某停车场收费标准如下：中型汽车的停车费为6元/辆，小型汽车的停车费为4元/辆，某天有45辆中小型车中、小型汽车，这些车共缴纳停车费230元，停车场中、小型汽车各有多少辆？
【解法指导】本题中的等量关系：缴费停车总数＝中型停车费+小型停车费•
解：设中型车辆有x辆，则小型车辆有(50－x)辆，根据题意得6x+4(50－x)＝230，解得x＝15 50－x＝35
答：中小型车辆分别是15辆、35辆• 【变式题组】
01．(东营) 学校计划将若干名学生平均分成24个读书小组,若每个小组比原计划多1人,
则要比原计划少分出6个小组,那么学生总数是（ ） A．144 人 B．72人 C．48 人 D．36人 02．(湖南) 某学校在对口援助边远山区学校活动中,原计划赠书3000册,由于学生的积极响
应,实际赠书3780册 其中初中部比原计划多赠了20%,高中部比原计划多赠了30%,问该校初、高中原计划各赠书多少册？
03．(佛山) 小敏准备用21元钱买笔和笔记本，已知每只笔3元，每本笔记本2元2角，他
买了两本笔记本之后，还可以买几支笔（ ） A．1支 B．2支 C． 3支 D．4支
【例3】(北京) 京津城际铁路于2008年8月1日开通运营，预计高速列车在北京、
天津间单程直达运行的时间为半小时•某次试车时，试验列车有北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6分，由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同•如果这次试车时，由天津
,.
返回北京比去天津市平均每小时多行驶40千米，那么这次是车是由北京到天津的平均速度是每小时多少千米？
【解法指导】在行程问题中，通常要运用“路程＝速度×时间”关系探求数量关系和相等关系
解：设这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时x千米，由天津返回北京的平均速度是每小时(x+40)千米
根据题意得
3061x（x+40） 602解得x＝200
答：这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时200千米• 【变式题组】 01．(长沙) 汽车在中途受阻耽误了6分钟，然后将时速由原来的每小时40千米提为每小时
50千米，那么要想将耽误的时间补上，则需要这样走（ ） A．10千米 B．20千米 C．40千米 D．50千米 02．(南昌) 某市出租车的收费标准时：起步价5元，（即路程不超过3km的车费为5元），
3km后每千米收费1.2元，某人乘出租车共付了11元，那么此人坐车行驶的路程最多是（ ） A．8km B．9km C．6km D．10km 03．(南宁) 小李骑自行车从A地到B地，小明骑自行车从B地到A地二人都均速前进，已
知二人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36km，到中午12时，二人又相距36km，求A、B两地间的路程•
【例４】(课本变形题) 有一些相同的房间需要粉刷墙面，一天3名一级技工去粉刷8个房间，结果其中有50平方米墙面未来的及粉刷；同样时间内，5名二级技工粉刷了10个房间之外，还多刷了另外的40 m2墙面•每名一级技工比二级技工一天多粉刷10 m2墙面，求每名一级技工比二级技工一天各能粉刷多少平方米的墙面？
【解法指导】在工程运用问题中，通常要运用“工作量＝工作效率x工作时间”关系探求数量关系和相等关系，有时候工作总量可以看作1•
解：设每一名一级技工一天刷xm2的墙面，则每名二级技工一天刷(x－10) m2的墙面.
根据题意得
3x505(x10)40＝ 810解得x＝122 则x－10＝122－10＝112
答：每一名一级技工一天刷122m2的墙面，则每名二级技工一天刷112 m2的墙面. 【变式题组】
01．(随州) 某城市计划用两年时间增加全市绿化面积，若平均每年绿化面积比上一年增长
20%，则两年后城市绿化面积是原来的（ ） A．1.2倍 B．1.4倍 C．1.44倍 D．1.8倍
02．(天津) 一个水池有甲、乙两个水龙头，单独开甲水龙头，2小时可把空池灌满，单独
22/3要同时开甲、乙两龙的时间（ ） 3848A．小时 B．小时 C．4小时 D．小时
353开乙水龙头，3小时可把空池灌满，则灌满水池的
03．(乐山) 某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工后上市销售，该公司的加工能力
,.
是：每天可以精加工6吨或者粗加工16吨，现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天精加工、几天粗加工？
【例５】在一次有12个队参加的足球单循环赛中（每两队之间只比赛一场），规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在打完循环赛后，所胜场数比负场数多2场，而总积分为18分，问：该队战平了几场？
【解法指导】根据题意分别用含一个未知数的式子表示胜的场次和负的场次，再根据总共几分列出方程•
解：设该队负x场，则胜(x+2)场，平的场数为11－x－(x+2)＝ (9－2x)场 根据题意得3(x+2)+1x(9－2x)＝18 解得x＝3 ∴9－2x＝9－2×3＝3 答：该队战平了3场. 【变式题组】
01．(长沙) 足球比赛的积分规则为胜一场得3分,平一场得1分，负一场得0分,一支足球
队赛14场，负5场共得19分，那么这支球队胜了（ ） A．3场 B．4场 C．5场 D．6场
02．在一场篮球比赛中，某队员得了23分（不含发球得分）已知他投进的3分球比2分球
少4个，则他投进了几个3分球和几个2分球？
【例６】(聊城) 某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元•
当地一家农工商公司收购这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜 进行粗加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件，公司必须在15天内将此批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制三种可行方案：
方案一：将蔬菜全部进行粗加工.
方案二：尽可能对蔬菜进行精加工，没来得及加工的在市场直接销售. 方案三：部分蔬菜精加工，其余蔬菜粗加工，并恰好15天完成.
你认为选择哪种获利多？为什么？
【解法指导】理解本题的题意是解本题的前提，按照三种方式分别计算出利润，在比较三种利润的大小即可求解•
解：对方案一：获利为4500X140＝630000(元)
对方案二：15天细加工：6X15＝90(吨) 说明还有50吨需要在市场上直接销售，故可获利7500X90+1000X50＝725000(元)
对方案三：设将x吨蔬菜进行细加工，则(140－x)吨进行粗加工，根据题意得 解得x＝60 140－x＝140－60＝80
故获利为7500×60+4500×80＝810000(元) 由此，选择方案三 【变式题组】
01．(第17届“希望杯”竞赛题)老师带两名学生到离校36千米的博物馆参观、老师骑一辆
摩托车，车速为25千米/时，这辆摩托车可带一名学生，带人速度为20千米/时，学生步行速度为5千米/时，请你设计一种方案，使师生三人同时出发后到博物馆的时间不
,.
超过3小时•
02.A市和B市分别有某种机器12台和6台，现决定支援C市10台，D市8台，已知从A
市调一台到C市和D市的运输费分别为400元和800元；已知从B市调一台到C市和D市的运输费分别为300元和500元•问共有几种调运方案？其中最低费用是多少元？
【例７】(黄冈竞赛)某人沿电车路线行走，12分钟有一辆电车后面开来，4分钟迎面有一辆电车开来，假定此人和电车速度都是匀速前进，4分钟迎面有一辆电车开来，电车是每隔多少分钟从起点站开出一辆？
【解法指导】根据“路程＝速度×时间”，所以当路程相同时与时间成正比•
解：设站点每隔x分钟开出一辆 根据题意，得
x412x，解得x＝6 412答：电车是每隔6分钟从起点站开出一辆•
【变式题组】 01．（美国纽约中学生数学竞赛）一列火车长x米，以等速前进，它进入300米的隧道经历
了25秒，隧道顶部一盏固定的灯光在火车上照了10秒，求x• 02．（武汉选拔赛）若关于x的方程||x－2|－1|＝a有三个整数解，则a的值为（ ）
A． 0 B． 2 C．1 D．3 3．（第16届江苏竞赛）如果|x－2|+x－2＝0,那么x的取值范围是（ ） A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2
演练巩固·反馈提高
01．（天津）东方商场把进价为1980元的商品按标价的八折出售，仍可获利10%,则该商品的标价为（ ）
A． 2160元 B．2613.6元 C．20元 D．2722.5元 02．（武汉）某商店有两个进价不同的计算器都卖元，其中一个盈利60%，另一个亏本20%，
在这次买卖中，这家商店（ ） A．不赔不赚 B．赚了8元 C．赔了8元 D．赚了32元 03．（太原）国家规定存款利息的纳税办法是：利息税＝利息×20%，银行一年定期储蓄的年
利率为2.25%，今年小刚取出一年到期的本息时，交纳了13.5元的利息税，则小刚一年前存入银行的本金为（ ） A．1000元 B．2000元 C．4000元 D．3000元 04．（宁夏）某乡中学现有学生500人，计划一年后女生增加3%，男生在校生增加4%，这样
在校学生将增加3.6%，那么该校现有女生和男生人数分别是（ ）
,.
A．200和300 B．300和200 C．320和180 D．180和320 05．（石家庄）课外活动中，一些学生分别参加活动，原来每组8人，后来由于器材不够重
新编组，每组12人，这样比原来少2组，问这些学生有（ ） A． 48人 B．24人 C．36人 D．60人 06．（银川）一列火车通过0米的大桥需要55秒，同样的速度穿过690米隧道需要45秒，
则这列火车长（ ） A．210米 B．230米 C．250米 D．270米 07．（重庆）国家规定个人发表文章，出版著作所获稿费应纳税，其计算方法是：⑴稿费不
高于800元不纳税；⑵稿费高于800元，但不高于4000元应缴纳超过800的那一部分的14%的税；⑶稿费高于4000元缴纳全部稿费的11%的税•今知王教授出版了一本著作获得了一笔稿费，他缴纳了550元的税，王教授的这笔稿费是_______元• 08．（重庆）含有同种果蔬但浓度不同的A、B两种饮料，A种饮料重40千克，B种饮料重
60千克，现从这两种饮料中各倒出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合•如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同，那么从每种饮料中倒出的相同的重量是_________千克• 09．（福州）小明去文具店购买2B铅笔，店主说“如果多买一些给你打八折•”小明算了一
下，如果买50支，比按原价购买便宜6元，那么每支铅笔的原价是多少？ 10．（北京）甲、乙两地相距416千米，一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行32千米，汽车
开出1小时后，一辆摩托车从乙地开往甲地，速度是汽车的1.5倍，摩托车开出几小时后，才能与汽车相遇？ 11．（山西）某通信运营商的短信收费标准如下：发送网内短信0.1元/条，发送网际短信
0.15元/条，该通信运营商的用户小王某月发送以上两种短信共计150条，依照该收费标准共支出短信费19元，小王该月发送网内、网际短息各多少条？
12．某种中药含有甲、乙、丙、丁四种草药成分，其质量比是0.7：1:2:4.7，现要配制这
种中药2100克，四种草药成分分别需要多少克？
13．某企业生产一种产品，每件成本价是400元，销售价是500元，本季度销售了m件，
为了进一步扩大市场，该企业决定在降低售价的同时降低生产成本，经过市场调查，预测下季度这种商产品每件销售价降低4%，销售量提高10%，要使利润保持不变，该产品
,.
每件的成本应该降低多少元？
14．某商品出售一种会员卡，花20元买这种会员卡后，凭会员卡在该品牌店享受折上折优
惠，若1月份八折优惠，则什么情况下买会员卡购物合算•
15．已知某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其价格分别为A型每台6000元，
B型每台4000元，C型每台2500元，学校计划将100500元钱全部用于从该公司购进其中两种不同型号的电脑36台，请你帮助设计购买方案，并说明理由•
培优升级·奥赛检测
01．（第十五届江苏省竞赛）某服装厂生产某种定型冬装，9月份销售冬装的利润是出厂价
的25%，10月份将每件冬装的出厂价调低10%（每件冬装成本不变），销售数比9月份增加80%，那么该厂10月份销售这种冬装的利润比9月份的利润总额增长（ ） A．2% B．8% C．40.5% D．60% 02．（北京市竞赛题）甲、乙两种茶叶，以x：y（重量比）相混合成一种混合茶，甲种茶叶
的价格每公斤50元，乙种茶叶的价格每公斤40元，现在甲种茶叶的价格上调了10%，乙种茶叶的价格下调了10%，但混合茶的价格不变，则x：y等于（ ） A．1：1 B．5：4 C．4：5 D．5：6 03．（全国初中数赛题）某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方
米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费，已知某户4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么4月份这用户应交煤气费（ ）
A． 60元 B．66元 C．75元 D．78元 04．（四川省竞赛题）植树节时，某班平均每人植树6棵，如果只由女同学完成，每人应植
树15棵；如果只由男同学完成，每人应植树（ ）棵• A．9 B．10 C．12 D．14
05．已知四个矿泉水空瓶子可换一瓶矿泉水，现有15个矿泉水空瓶子，若不交钱则最多可
以喝矿泉水（ ） A．3瓶 B．4瓶 C．5瓶 D．6瓶
,.
06．某商场的电视机按原价9折销售，要使销售总收入不变，那么销售量应增加（
A．
）
1 11B．
1 10C．
11 D． 9807．（黑龙江省竞赛题）一个六位数1abcde的3倍等于abcde1，则这个六位数为______ 08．（“希望杯”邀请赛试题）某人以4千米/时的速度步行由甲地到乙地，然后又以6千米/
时的速度从乙地返回甲地，那么此人往返一次平均速度是______千米/时• 09．（重庆市竞赛）某出租车汽车停车站已有6辆出租车，第一辆出租车出发后，每隔4分
钟就有一辆出租车开出，在第一辆车开出2分钟后，有一辆出租车进站，以后每隔6分钟就有一辆出租车回站，回站的出租车，在原有的出租车依次开出之后又依次每隔4分钟开出一辆，问：第一辆出租车开出后，经过最少多少时间，车站不能正常发车？
10．（第十三届“希望杯”邀请赛试题）为鼓励居民用电，某电力公司规定了如下电费计算
方法：每月用电不超过100度，按每度0.5元元计算；每月用电超过100度，超出部分每度0.40元计算•
⑴若某用户2002年1月份交电费68元，那么该用户1月份用电多少度？
⑵若某用户2002年2月份平均每度电费0.48元，那么该用户2月份用电多少度？应交电费多少元？ 11．（安徽）某人将甲、乙两种股票卖出，甲种股票卖价1200元，盈利20%，乙种股票卖家
也是1200元，但亏损20%，此人此次交易共盈利多少元？ 12．（江西）剃须刀由刀片和刀架组成，某时期，甲、乙两厂分别生产老式剃须刀（刀片不
可更换）和新式剃须刀（刀片可以更换）有关销售策略与售价等信息如下表所示：
,.
售价 成本 老式剃须刀 2.5元/把 2元/片 新式剃须刀 刀架 1元/把 5元/片 刀片 0.55元/片 0.05元/片 某段时间内，甲厂家销售了8400把剃须刀，乙厂家销售的刀片数量是刀架数量的50倍，乙厂获得的利润是甲厂的两倍，问这段时间内，乙厂销售了多少把刀架？多少片刀片？ 13．（孝感）要把100克浓度为80%的酒精配制成浓度为60%的酒精，某同学未经考虑先加了
300克水•
⑴试通过计算说明该同学加水是否过量？
⑵如果加水不过量，则还应加入浓度20%的酒精多少克？如果加水过量，则需要再加入浓度为95%的酒精多少克？
第09讲 多姿多彩的图形
考点·方法·破译
1． 会识常见的几何图形，并了解它们的名称．
2． 会画基本几何体(直棱柱、圆柱、圆锥、球)的三视图，会判断简单物体的三视图，以根据三视图描述 基本几何体或实物原型．
3． 了解基本几何体与其三视图、展开图之间的关系．
经典·考题·赏析
【例1】 根据下图回答问题
(1)请说出①～⑥中几何体的名称，并简要叙述它们的一些特征． (2)将①～⑥中的几何体分类．
【解法指导】 认识几何体，以直观观察为主，一般特征也以观察者获得的形象加以表述即可．但对几何体尽可能地进行深入观察，全方位发现每个几何体的特征，从而逐步揭示
,.
其本质．
解： (1) ①圆柱：特征如，两个底面是圆的几何体． ②圆锥：特征如，像锥体，且底面是圆． ③正方形：特征如，所有面都是正方形． ④长方体：特征如，其侧面均为长方形．
⑤棱柱：特征如，底面为多边形，侧面为长方形． ⑥球：特征如，圆的实体．
(2) ①③④⑤为一类，它们都是柱体． ②是一类，它是锥体．⑥是一类，它是球体． 【变式题组】
01． (黄冈)下图四个几何体分别为长方体、圆柱体、球、三棱柱，这四个几何体中有三个
从某个角度看到 的图形都是一种几何图形，则另一个几何体是( )
02． (宜昌)下列物体的形状类似于球体的是( ) A．茶杯 B．羽毛球 C．乒乓球 D．白炽灯泡 03． (广东茂名)用平面去截下列几何体，截面的形状不可能是圆的几何体是( )
A．球 B．圆锥 C．圆锥 D．正方体 04． (武汉)如图，立方体各面上的数字是连续的整数，如果相对的两个面上的两个数14的和都相等，那么这三对数的总和是( ) 1511A．76 B．78 C．80 D．81
【例2】 (深圳)如图所示，仔细观察图中的两个物体，则它的俯视图是( )
正面 A． B． C． D．
【解法指导】 注意结合立体图形的形状并注意从某一方向看到图形的对应关系，抓住其主要特征，同时要分清不同视图的异同．故选择A．
【变式题组】
01．(重庆)由四个大小相同的正方体组成的几何体如图所示，那么它的俯视图是( )
D．
A． B． C． 02．(昆明)如图，这个几何体从上面看到的平面图形是( )
03．(沈阳)如图所示，圆柱从上面看到的图形是图中的( )
,.
04．(成都)如图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体从正面、左面、上面看到的图形，
那么搭成这 个几何体所用的小立方块的个数是( ) A．3个 B．6个 C．7个 D．8个
从正面看 从左面看 从上面看 【例3】 (湛江)将如右图所示的Rt△ABC绕直角边BC旋转一周，所得几何体从左面看到的是( )
【解法指导】 以直角三角形的直角边AC、BC为旋转轴得到的都是圆锥，故选择A． 【变式题组】
01．(广州)将右图所示的直角梯形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是( )
02．(南京)若一个棱柱有12个顶点，则在下列说法正确的为( )
A．这个棱柱有5个侧面 B．这个棱柱有5条侧棱 C． 这个棱柱的底面是六边形 D． 这个棱柱的是一个12棱柱 03．(安徽)四棱柱的顶点数、棱数、面数分别为( )
A．8，12，6 B．8，10，6 C．6，8，12 D．8，6，12 【例4】 (福建泉州)观察下列图形，其中不是正方体的展开图的为( )
A． B． C． D．
【解法指导】 学习立体图形的展开图，要养成动手实验的好习惯，动手折一下往往会一目了然，故本题选择D．
【变式题组】
01．(武汉)一个无盖的正方体盒子的平面展开图可以是下图中的( )
A．只有图① B．图①、图② C．图②、图③ D．图①、图③
,. ① ② ③
02．(唐山)如图所示的是一个由白纸拼成的立体图形，但有两面刷上黑色，将该立体图形展
开后应该是 ( )
A． B． C． D．
03．(陕西)下面四个图形中，经过折叠能围成如图只有三个面上印有图案的正方体盒的是
( )
A．
B．
C．
D．
04．(北京)如图所示是三棱柱纸盒，在下面四个图中，只有一个是这个纸盒的展开图，那么
这个展开图是 ( )
A．
B．
C．
D．
【例5】 (山西)一个画家有14个边长为1米的正方体，他在地面上把它们摆成如右图的形状，然后他把 露出的表面涂上颜色，那么被涂上颜色的总面积为( )
A．19平方米 B．21平方米 C．33平方米 D．34平方米
【解法指导】 本题把涂上颜色的面积一块一块加起来计算很麻烦，应从整体角度出发，
把立体转化为平面，观察题图所给的几何体，从前、后、左、右四个方向都只能看到6个1×1的正方形，从上面看可以看到一个3×3的大正方形轮廓，所以被涂上颜色的总面积应为4×6×1×1+3×3×1×1＝33(平方米)，故选C．
【变式题组】
01．(宜宾)如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体．那么
其三种视图中面积最小的是 ( ) A．正视图 B．左视图 C．俯视图 D．三种一样
02．(益阳)将一个底面直径为2 cm，高为2 cm的圆柱形纸筒沿一条母线剪开，所得到的侧
面展开图的面积 为( ) A．2πcm2 B．3πcm2 C．4πcm2 D．5πcm2
,.
03．(青岛)一个大长方体是由四个完全一样的小长方体拼成的，如果每个小长方体的长、宽、
高分别是3， 1，1那么这个大长方体的表面积可能有______种不同的值，其中最小值为______．
【例6】 (巴中)李明为好友制作一个(右图)正方形礼品盒，六个面上各有一字，连起来就是“预祝中考成功”， 其中“预”的对面是“中”，“成”的对面是“功”，则它的平面展开图可能是( )
【解法指导】 本例主要考查立方体的展开图中对面、邻面的分布规律，可动手折叠发现答案，故应选择C．
【变式题组】 12A1301．(资阳)已知一个正方体的每一面都填有唯一一个数字，且各相对面上所
B填的数互为倒数，若这个正方 体的平面展开图如右图所示，则
A、B的值分别是( )
111111A．， B． ，1 C．， D．1，
23323302．(南宁)在下图中添加一个小正方形，使该图经过折叠后能围成一个四棱
柱，不同的添法共有( )
A．7种 B．4种 C．3种 D．2种
03．(沈阳)将一张长与宽的比为2：1的长方形纸片按如图①、②所示的方
式对折后，然后沿图③中的虚线裁剪，得到图④，最后将图④的纸片再展开铺平，则所得到的图案是( )
【例7】 (第21届江苏省竞赛题)设5 cm×4 cm×3 cm长方体的一个表面展开图的周长为n cm，则n的最 小值是______．
【解法指导】 把展开图的周长用相应的代数式表示．长方体的展开图的周长为8c +4b +2a．故周长最小值为8×3+4×4+2×5＝50，故填50 cm．
【变式题组】
01．(广州)将一个长方形绕它的一边所在的直线旋转一周，得到的几何体是圆柱，如图现有
一个边长为4 厘米，宽为3厘米的长方形，分别绕它的长、宽所在的直线旋转一周，得到不同的圆柱体，它们的体 积分别是多大?
02．(南京)如图是几个小立方块所搭成的几何体．从上面看图形，小正方形中的数字表示该
,.
位置的小立方
2121 块的个数，那么是这个几何体从正面看的图形的是( )
A．
B．
C．
D．
03．(烟台)如图①是由若干个小正方体所搭成的几何体， ②是①从上面看到的图形，则①
从左面看到的图 形是( )
①
②
A．
B．
C． D．
演练巩固 反馈提高
01．(连云港)水平位置的下列几何体，从正面看的图形不是长方形的是( )
02．(邯郸)有一个外观为圆柱形的物体，它的内部构造从外部看不到，当分别用一组平面沿
水平方向(自上 而下)和竖直方向(自左而右)截这个物体时(如图)，得到了如图所示的(1)、(2)两组形状不同的截面，则 这个物体的内部构造是( ) A．空心圆柱 B．空心圆锥 C．空心球 D．空心半球
03．(唐山)将如图所示图形折叠成立方体后，下面四个选项正确的是( )
04．(河南)由一些大小相同的小正方体组成的几何体的俯视图如图所示，其中正方形的数字表示在该位置 上的小正方体的个数，那么，这个几何体的左视图是( )
12321
A．
B．
C．
D．
05．(湖州)一个正方体的表面展开图如图所示，则原正方体中的“★”所在面
的对面所标的字是( ) A．上 B．海 C．世 D．博
上海世博会★,.
006．(芜湖)一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是( )
A．
B．
C．
D．
07．(安徽)如图，下列四个几何体中，其主视图、左视图、俯视图中只有两个相同的是( )
08．(哈尔滨)如下图所示的某一几何体的三视图，则这个几何体是( )
A．圆柱 B．圆锥 C．正方体 D．球 正视图 左视图 俯视图
09．(泰州)如图是一个几何体的三视图，根据图中提供的数据(单位： cm)可求得这个几何体
的体积为 ( ) A．2 cm2 B．4 cm2 C．6 cm2 D．8 cm2 主视图 左视图 俯视图
221111
10．如图所示是无盖长方体盒子的表面展开图(重叠部分不计)则盒子的容积为( )
A．4 B．6 C．12 D．15
华南11．(宜黄)宜黄素有“华南虎之乡”的美誉，将“华南虎之乡美”六个字填写在一
虎之个正方体的六个面上，其平 面展开图如图所示，那么在该正方体中，乡美和“虎”字相对的字是______．
12．(黄冈)如图是由棱长为1的正方体搭成的积木三视图，则图中棱长为1的正方体的个数
是______．
主视图
左视图
俯视图
,.
13． 设有一个边长为1的正三角形，记作A1，将A1的每条边三等分， 在中间的线段上向
外作正三角形， 去掉中间的线段后所得到的图形记作A2；将A2的每条边三等分， 重复上述过程，所得到的图形记作 A3，现将A3的每条边三等分，重复上述过程，所得到的图形记作A4，则A4的周长是多少?
14．(温州)由3个相同的小立方块搭成的几何体如图所示，请画出它的主视图和俯视图．
主视方向
15．一个五棱柱如图，它的底面边长都是4厘米，侧棱长6厘米，回答下列问题． (1)这个五棱柱一共有多少个面?它们分别是什么形状?哪些面的形状、面积完全相同？ (2)这个五棱柱一共有多少条棱?它们的长度分别是多少?
培优升级 奥赛检测
01．(成都)如图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该
位置上小立方 块的个数，那么该几何体的从正面看到的图形为( )
342112
A．
B．
C．
D．
02．(鄂尔多斯)将圆柱形纸筒沿母线AB剪开铺平，得到一个矩形(图1)；如果将这个纸筒沿
线路BMA(图 2)剪开铺平，得到的图形是( ) A．平行四边形 B．矩形 C．三角形 D．半圆
03．(长春)一根单线从纽扣的4个孔中穿过(每个孔只穿过一次)，其正面情形如图所示，下
面4个图形可能 是其背面情形的是( )
,.
04．(河北)用M、N、P、Q各代表四种简单几何图形(线段、正三角形、正方形、圆)中的一
种，下图①至 ④是由M、N、P、Q中的两种图形组合而成的(组合用“&”表示)．那么下列组合图形表示P&Q的是 ( )
05． (第11届“华罗庚杯”竞赛试题)如图是一个立体图
形的主视图，左视图(图中单位为厘米)，则立体图形 的体积为( )立方厘米． A．π B．2π C．3π D．4π
06．(太原)如下左图是一个正方体的平面展开图，这个正方体是( )
A．
B．
C．
D．
07．(第18届“希望杯”邀请赛试题)某人特制了4个同样的立方块，并将它们如图(a)放置，然后又如图(b) 放置，则图(b)中四个底面正方形中的点数之和为( )
A．11 B．13 C．14 D．16
08．(重庆市竞赛题)把10个相同的小正方形按如图的位置堆放，它的外表会有若干个小正方形，如果将图 中标有字母P的一个小正方体搬去，这时外表含有的小正方形的个数与搬运前相比( ) A．不增不减 B．减少1个 C． 减少2个 D． 减少3个
63P1245,.
09．(威海)如图，可以沿线折叠成一个带数字的立方体，每三个带数字的面交于立方体的一
个顶点，则相 交于一个顶点的三个面上的数字之和最小值是______．
10．(第21届江苏省竞赛)设5 cm ×4 cm ×3 cm长方体的一个表面展开图的周长为n cm，
则n的最小值 是______．
11．画出如图的几何体从正面、上面、左面看到的平面图形．
12．下面图形如图，线直线l旋转一周后形成什么图形?
13．(杭州)已知直四棱柱的底面是边长为a的正方形，高为h，体积为V，表面积等于S． (1)当a＝2， h＝3时，分别求V和S；
(2)当V＝12，S＝32时，求
21+的值． ah
第10讲 直线、射线、线段
考点·方法·破译
1．会正确地画出和表示直线、射线、线段；会用中点解题．
2．应用“两点之间，线段最短”解决实际问题，会求两点之间的距离．
经典·考题·赏析
【例1】指出图中的直线、射线和线段．
FEABCD
【解法指导】本题紧扣直线、射线、线段的概念及性质，注意它们的表示方法的不同，找直线、射线时，注意直线两端可以无限延伸，而射线只有一端可以无限延长，线段是无法延长的，只有当两条射线的端点和方向相同时，两条射线才表示同一条射线，在同一直线上，不同两点间的部分表示不同的线段．
解：直线有一条是直线AD，射线有六条，分别是射线BA、BD、CA、BE、CD、EF．线段有三条，分别是线段BC、BE、CE．
【变式题组】
,.
01．（兰州）下列语句表述正确的是（ ）
A．延长射线OC B．射线BA与射线AB是同一条射线 C．作直线AB＝BC D．已知线段AB，作线段CD＝AB 02．（南京）如图，可以用字母表示出来的不同射线有（ ）
A．4条 B．6条 C．5条 D．1条 03．（秦皇岛）如图，直线l、线段a及射线DA，能相交的图形是（ ）
laallAaDaADADADlCBA① ② ③ ④ ⑤ ⑥
A．①③④ B．①④⑥ C．①④⑤ D．②③⑥
【例2】（云南）在同一平面内不在同一直线上的3个点，过任意2个点作一条直线，则可作直线的条数为________．
【解法指导】因为3点不共线，任意两点都可能确定一条直线，从政个点中任选出两个点，共有3种情况，所以共可作直线的条数为3条．
【变式题组】 01．（丹东）根据语句“点M在直线a外，过M有一直线b交直线a于点N，直线b上另
一点Q位于M、N之间”画图，正确的是（ ）
NQMaNQbMbaNQMbaNQMabA． B． C． D．
02．（北京）根据下列语句画出图形
⑴直线AB经过点C；
⑵经过点M、N的射线NM； ⑶经过点O的两条直线m、n；
⑷经过三点E、F、G中的每两点画直线． 03．（温州）如图A、B、C表示3个村庄，它们被三条河隔开，现在打算在每两个村庄之间
都修一条笔直公路，则一共需架多少座桥？请你在图上用字母标明桥的位置．
【例3】已知：线段AB＝10cm，M为AB的中点，在AB所在直线上有一点P，N为AP的中点，若MN＝1.5cm，求AP的长．
【解法指导】题中已说明P在AB所在直线上，即说明P点可能在线段AB上，也可能在AB的延长线上（不可能在BA的延长线上），故应分类讨论．
,.
解：⑴如图①，当点P在线段AB上时，点N在点M的左侧，则AP＝2AN＝2（AM－1
MN）＝2（AB－MN）＝2×（5－1.5）＝7（cm）；
2
①ANMPB
⑵当点P在线段AB的延长线上时，N点在M点的右侧如图②，则AP＝2AN＝2（AM1
＋MN）＝2（AB＋MN）＝2×（5＋1.5）＝13（cm）；
2
②AMNBP
所以AP的长为7cm或13cm 【变式题组】 01．（昆明）已知A、B、C为直线l上的三点，线段AB＝9cm，BC＝1cm，那么A、C两点
间的距离是（ ） A．8cm B．9cm C．10cm D．8cm或10cm 02．（十堰）如图C、D是线段AB上两点，若CB＝4cm，DB＝7cm，且D是AC的中点，
则AC的长等于（ ）
ADCB
A．3cm B．6cm C．11cm D．14cm 03．（青海）已知线段AB，C是AB的中点，D是BC的中点，下面等式不正确的是（ ）
A．CD＝AB－BD
B．CD＝AD－BC
1
C．CD＝AB－BD
2
1
D．CD＝AB
3
【例4】往返于甲、乙两地的客车，中途停靠三个站，问： ⑴要有多少种不同的票价？ ⑵要准备多少种车票？
【解法指导】首先要能把这个实际问题抽象成一个数学问题，把车站和三个停方点当作一条直线上的五个点，票价视路程的长短而变化，实际上就是要找出图中有多少条不同的线段．因为不同的线段就是不同的票价，故求有多少种票价即求有多少条线段，而要求有多少种车票即是求有多少条射线．
ABCDE
解：因为图中有10 条不同的线段，故票价有10种；有20条不同的射线，故应准备20种车票．
【变式题组】 01．（河南）如图从A到C地，可供选择的方案是走水路、走陆路、走空中、从A到B有2
条水路、2条陆路；从B地到C地有3条陆路可供选择；走空中从A不经B地直接到达C地，则从A地到C地可供选择的方案有（ ）
A
A．20种 B．8种 C．5种 D．13种 02．（海南）如图，在菱形ABCD中，E、F、G、H分别是菱形四边的中
点，连接EG与FH交于点O，则图中的菱形共有（ ）
EBFCOHDG,.
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 3．（佛山实验区）A车站到B车站之间还有3个车站，那么从A车站到B车站方向发出的
车辆，一共有多少种不同的车票（ ） A．8 B．9 C．10 D．11
【例5】如图，B、C两点把线段AD分成2∶3∶4的三部分，M是AD的中点，CD＝8，求MC的长．
ABCD
【解法指导】由AB∶BC∶CD＝2∶3∶4，可设AB＝2x，CD＝3x，CD＝4x，由CD＝4x＝8，而求得x的值，进而求出MC的长．
解：设AB＝2x，由AB∶BC∶CD＝2∶3∶4，得CD＝4x，CD＝3x，AD＝（2＋3＋4）1
x＝9x，∵CD＝8，∴x＝2，∴AD＝9x＝18，∵M是AD的中点，∴MC＝MD－CD＝AD－
21
CD＝×18－8＝1
2
【变式题组】 01．（河北）如图，长度为12cm的线段AB的中点为M，C点将线段MB分MC∶CB＝1∶2，
则线段AC的长度为（ ）
AMCB
D．4cm
A．2cm B．8cm C．6cm
1
02．（随州）已知线段AB＝16cm，点C在线段AB上，且BC＝AC，M为BC的中点，则
3AM的长为________. 03．（黄冈）已知线段AB＝12cm，直线AB上有一点C，且BC＝6cm，M是线段AC的中点，
求线段AM的长．
【例6】如图⑴，一只昆虫要从正方体的一个顶点A爬行相距它最远的另一个顶点B，哪条路径最短？说明理由．
AABB图（1）图（2）
【解法指导】解答此类题的方法是将立方体展开，再根据两点之间，线段量短． 解：将立方体展开成如图⑵，由两点之间线段最短知线段AB即为最短路线． 【变式题组】 01．（天津）下列直线的说法错误的是（ ）
A．经过一点可以画无数条直线 B．经过两点可以画一条直线 C．一条直线上只有两个点 D．两条直线至多只有一个公共点
,.
02．（湘潭）如图所示，从A地到B地有多条道路，一般地，人们会走
中间的直路，而不会走其他的曲折的路线，这是因为（ ） A．两点之间线段最短 B．两直线相交只有一个交点 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【例7】（第五局“华罗庚金杯”赛试题）摄制组从A市到B市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到C市吃饭，由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从C市到这里路程的二分之一就到达目的地了，问A、B两市相距多少千米？
AECDB
【解法指导】条件中只有路程，而没有给出时间与速度，所以可以画出线段表示各段路程，借助图形思考它们之间的关系．
111
解：设小镇为D，傍晚汽车在E休息，则AD＝DC，EB＝CE，AD＋EB＝DE＝200，
222∴AB＝AD＋EB＋DE＝200＋400＝600．
答：A、B两市相距600千米． 【变式题组】 01．（哈尔滨）已知点O在直线AB上，且线段OA的长度为4cm，线段OB的长度为6cm，
E、F分别为线段OA、OB的中点，则线段EF的长度为____cm． 02．（银川）AB、AC是同一条直线上的两条线段，M是线段AB的中点，N是线段AC的中
点，线段BC与MN的大小有什么关系？请说明理由． 03．（河南）如图，线段AB＝4，点O是线段AB上一点，C、D分别是线段OA、OB的中点，小明据此很轻松地求得CD＝2，但他在反思的过程突发奇想：若点O运动到AB的延长线上，原有的结论“CD＝2”是否仍成立？请帮小明画出图形并说明理由．
ACODB
演练巩固 反馈提高
01．当AB＝5cm，BC＝3cm时，A、C两点间的距离是（ ）
A．无法确定 B．2cm C．8cm D．7cm 02．下列说法正确的是（ ）
A．延长直线AB B．延长线段AB C． 延长射线AB D．延长线段AB 03．若PA＋PB＝AB，则（ ）
A．P点一定在线段AB上 B．P点一定在线段AB外 C．P点一定在AB的延长线上 D．P点一定在线段BA的延长线上 04．（内江）已知点C是线段AB上的一点，下列说法中不能说明点C是线段AB的中点是
,.
（ ） A．AC＝BC
1
B．AC＝AB
2
C．AC＋BC＝AB
D．2AC＝AB
05．如图，已知线段AD＞BC，则线段AC与BD的关系是（ ）
ACDB
A．AC＞BD B．AC＝BD C．AC＜BD D．不能确定 06．（黄冈）某公司员工分别在A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有
10人，三个区在一条直线上，位置如图所示，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，那么它有位置应在（ ）
C．C区
A．A区 B．B区 D．A、B两区之
间 07．（广州）线段AB＝4cm，在直线AB上截取BC＝1cm，则AC＝________.
108．（云南）延长线段AB到点C，使BC＝AB，D为AC的中点，且DC＝6cm，则AB的
3长是________cm．
09．在直线l上任取一点A，截取AB＝16cm，再截取AC＝40cm，求AB的中点D与AC的
中点E的距离．
10．线段AB上有两点M、N，点M将AB分成2∶3两部分，点N将AB分成4∶1两部分，
且MN＝3cm，求AM、NB的长．
11．如图，C是线段AB上一点，D是线段BC的中点，已知图中所有线段长度之和为23，
线段AC与线段CB的长度都是正整数，则线段AC的长度是多少？
ACDB
12．如图B、C两点把线段AD分成2∶3∶4的三部分，M是AD的中点，CD＝8，求MC
的长．
ABMCD
13．指出图中的射线（以O为端点）和线段．
OABC
14．判断下列语句是否正确：
⑴直线l有两个端点A、B； ⑵延长射线OA到C；
,.
⑶已知A、B两点，经过A、B两点只有一条线段．
15．已知A、B、C三点：⑴AB＝10cm，AC＝15cm，BC＝5cm；⑵AB＝5.2cm，AC＝9cm，
BC＝3.8cm；⑴AB＝3.2cm，AC＝1.5cm，BC＝4.5cm．A、B、C三点是否在一条直线上？
培优升级 奥赛检测
01．（全国初中数赛试题）在一条直线上已知四个不同的点依次是A、B、C、D的距离
之和最小小的点（ ）
A．可以是直线AD外的某一点 B．只有点B或点C C．只是线段AD的中点 D．有无穷多个 02．（“五羊杯”邀请赛）如图，已知B是线段AC上一点，M是线段AB的中点，N是线段
AC的中点，P为NA的中点，Q为MA的中点，则MN∶PQ等于（ ）
AQPMNBC
A．1 B．2 C．3 D．4 03．（海南省竞赛题）如图，点A、B、C顺次在直线l上，M是线段AC的中点，N是线段
BC的中点，若想求出MN的长度，则只需条件（ ）
AMBNCl
A．AB＝12 B．BC＝4 C．AM＝5 D．CN＝2 04．（第18届江苏省竞赛题）已知数轴上的三点A、B、C所对应的数a、b、c满足a＜b＜
c，abc＜0和a＋b＋c＝0，那么线段AB与BC的大小关系是（ ） 05．（江苏省竞赛题）如图，C是线段AB上的一点，D是线段CB的中点，已知AC＝p，且
p、q、r为质数，p＜q，p＋q＝r，又知图中所有线段长度之和为27，则线段AB的长是（ ）
ACDB
A．8 B．7 C．6 D．非上述答案 06．（襄樊）下列四个生活、生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②植树时，
只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，其中可用公理“两点之间，线段最短”来解释的现象有（ ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 07．平面上有四个点，经过其中每两点画一条直线，那么一共可以画直线（ ）
A．6条 B．1条或3条或6条 C．1条或4条 D．1条或4条或6条 08．（第十六届江苏省竞赛题）如图，在一条笔直的公路上有7个村庄，其中A、B、C、D、
E、F离城市的距离分别为4，10，15，17，19，20公里，而村庄G正好是AF的中点，现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在（ ）
ABGCDEF
,.
A．A处 B．C处 C．G处 D．E处
09．如图，A、B、C、D四点在同一直线上，M是AB的中点，N是线段DC的中点，MN
＝a，BC＝b，则AD＝（ ）
AMBCND
D．2a－b
A．a＋b
B．a＋2b C．2b－a
11
10．如图AC＝AB，BD＝AB，且AE＝CD，则CE为AB长的（ ）
34
ACEDB 1
D．
16
1A．
6
1B．
8
1C．
12
11．（“希望杯”邀请赛试题）平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为_____个，最
多为______个． 3
12．把线段AB延长到D使BD＝AB，再延长BA到C，使CA＝AB，则BC是CD的___
2
倍.
13．已知A、B、C三点在一条直线上，若线段AB＝60，其中点为M，线段BC＝20，其中
点为N，求MN的长．
第11讲 角
考点•方法•破译
1．进一步认识角，会比较角的大小，会计算角度的和差，认识度、分、秒，会进行简单的换算．
2．了解角平分线及其性质，了角余角、补角，知道等角的余角相等，等角的补角相等．
经典•考题•赏析
例1：如图AOE是直线，图中小于平角的角共有（ ）
A．7个 B．9个 C．8个 D．10个
【解法指导】公共端点的两条射线组成的图形叫做角，数角注意抓住概念，表示角用大写字母表示或希腊字母及数字表示，故选择B．
【变式题组】
01．在下图中一共有几个角？它们应如何表示．
,.
02．下列语句正确的是（ ）
A．从同一点引出的两条射线组成的图形叫做角 B．两条直线相交组成的图形叫做角 C．从同一点引出的两条线段组成的图形叫做角 D．两条线段相交组成的图形叫做角 03．关于平角和周角的说法正确的是（ ）
A．平角是一条直线 B．周角是一条射线
C．反向延长射线OA，就是成一个平角 D．两个锐角的和不一定小于平角 例2：38.33°可化为（ ）
〃〃〃
A．38°30′3 B．38°33＇ C．38°30′30″ D．38°19′48″
【解法指导】注意度、分、秒是60进制的，把度转化成分要乘60，把分转化成秒要乘60；反之把秒化成分要除以60，把分化成度要除以60，把秒化成度要除以3600，故选择D．
【变式题组】
01．把下列各角化成用度表示的角：
〃〃〃
⑴15°24′36″ ⑵36°59′96″ ⑶50°65′60″ 02．⑴3.76°＝ 度 分 秒
⑵3.76°＝ 分 秒
⑶钟表在8：30时，分针与时针的夹角为 度． 03．计算：
〃
⑴23°45′36＋66°14′24″； ⑵180°－98°24′30″； ⑶15°50′42″×3； ⑷88°14′48″÷4
例3：若∠α的余角与∠α的补角的和是平角则∠α＝ ． 【解法指导】两个角的和等于90°叫做余角，两个角的和等于180°叫做互补，同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等．
解：根据题意得90°－∠α＋180°－∠α＝180°，所以∠α＝45° 【变式题组】 01．如图所示，那么∠2与
A．互补
1（∠1－∠2）之间的关系是（ ） 2B．互余 C．和为45° D．和为22.5°
02．55°角的余角是（ ）
A．55° B．45° C．35° D．125° 03．如果∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的余角的式子中：①90°－∠β；②∠α
11（∠α＋∠β）④（∠α－∠β）（ ） 22A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 例4：如图，点O是直线AB上的点，OC平分∠AOD，∠BOD＝30°，则∠AOC＝ ．
－90°；③
,.
【解法指导】注意找出图中角的和、差、倍、分关系，图中有∠AOD＋∠BOD＝180°，∠AOD＝2∠AOC．
解：因为∠AOD＝180°－∠BOD＝180°－30°＝150°，又因为OC平分∠AOD，所以∠AOC
11∠AOD＝×150°＝75°． 22【变式题组】
01．如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC＝100°，则∠BOD等于
（ ） ＝
A．20° B．40° C．50° D．80°
02．如图直线a，b相交于点O，若∠1＝40°，则∠2等于（ ）
A．50° B．60° C．140° D．160°
03．一束光线垂直照射水平地面，在地面上放一个平面镜，欲使这束光线经过平面镜反射后
成水平光线，则平面镜与地面所成锐角的度数为（ ） A．45° B．60° C．75° D．80°
例5：如图是一块手表早点9时20分的时针、分针位置关系示意图，此时时针和分针所成的角的度数是（ ）
A．160° B．180° C．120° D．150°
【解法指导】角此类问题可结合题意画出相应刻度的示意图，并准确地把握时针、分针
11的旋转一圈12小时，则它1小时转的角度为360°×＝30°，1分钟转过的角度为30°×＝
12600.5°，分针转一圈是1个小时，分针每分钟转过的角度为360°×【变式题组】
01．钟表上12时15分，时针与分针的夹角为（ ）
A．90° B．82．5°
1＝6°．故选择A． 60C．67.5°
,.
D．60°
02．由2点15分到2点30分，时钟的分针转过的角度是 ．
例6：考点办公室设在校园中心O点，带队老师休息室A位于O点的北偏东45°，某考室B位于O点南偏东60°，请在图中画出射线OA，OB，并计算∠AOB的度数．
【解法指导】此类问题紧扣方位角的概念作出射线OA，OB是关键．
解：如图，以O为顶点，正北方向线为始边向东旋转45°，得OA，以O为顶点，正南方向线为始边向东旋转60°，得OB，则∠AOB＝180°－（45°＋60°）＝75°．
【变式题组】 01．如图所示，某测绘装置有一枚指针，原来指向南偏西50°，把这枚指针按顺时针旋转
周．
14
⑴指针所指方向为 ；
⑵图中互余的角有 对，与∠BOC互补的角是 ． 02．轮船航行到C处时，观察到小岛B的方向是北偏西35°，同时从B观察到轮船C的方
向是（ ） A．南偏西35° B．北偏西35° C．南偏东35° D．南偏东55° 03．如图下列说法不正确的是（ ）
A．OA的方向是东偏北30° B．OB的方向是西偏北60° C．OC的方向是西偏南15° D．OD的方向是西南方向
例7：如图，O是直线 AB上一点，∠AOD＝120°，∠AOC＝90°，OE平分∠BOD，则图中彼此互补的角共有 对．
【解法指导】彼此互补的角只要满足一定的数量关系即可，而与位置无关，从计算相应角的度数入手，故共有6对．
,.
【变式题组】
01．如图所示，A、O、B在一条直线上，∠AOC＝
＝ ．
02．如图，已知∠AOB∶∠BOC∶∠COD＝3∶2∶4，∠AOD＝108°，
求∠AOB、∠BOC、∠COD的度数．
03．如图，已知∠AOB＋∠AOC＝180°，OP、OQ分别平分∠AOB、
∠AOC，且∠POQ＝50°，求∠AOB、∠AOC的度数．
1∠BOC＋30°，OE平分∠BOC，则∠BOE2演练巩固 反馈提高
01．已知∠α＝35°，则∠α的余角是（ ）
A．55° B．45° C．145° D．135°
02．如图直线l1与l2相交于点O，OM⊥l1，若∠α＝44°，则∠β等于（ ）
A．56° B．46° C．45° D．44°
03．把一张长方形的纸片按图的方位折叠，EM、FM为折痕，折叠后的C点落在MB＇的延
长线上，则∠EMF的度数是（ ） A．85° B．90° C．95° D．100°
04．书店、学校、食堂在同一个平面上，分别用A、B、C表示，书店在学校的北偏西30°，
食堂在学校的南偏东15°，则平面图上的∠ABC应是（ ） A．65° B．35° C．165° D．135° 05．如果∠α＝3∠β，∠α＝2∠θ，则必有（ ）
1213∠θ B． ∠β＝∠θ C． ∠β＝∠θ D． ∠β＝∠θ 234306．某校初一年级在下午3：00开展“阳光体育”活动，下午3：00这一时刻，时针上分针与
时针所夹角等于 °． 07．已知∠AOB＝30°，又自∠AOB的顶点O引射线OC，若∠AOC：∠AOB ＝4：3，那么
∠BOC等于（ ） A．10° B．40° C．45° D．70°或10° 08．已知∠AOB＝120°，OC在它的内部，且把∠AOB分成1：3，那么∠AOC的度数是（ ）
A．40° B．40°或80° C．30° D．30°或90° 09． ⑴如图所示，已知∠AOB是直角，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
求∠MON的度数；
A． ∠β＝
,.
⑵如果⑴中∠AOB＝α，其他条件不变，求∠MON的度数； ⑶你从⑴⑵的结果中，能发现什么规律？
10．如图，已知OB、OC是∠AOD内部的两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD．
⑴若∠AOD＝70°，∠MON＝50°，求∠BOC的大小； ⑵若∠AOD＝α，∠MON＝β，求∠BOC的大小．（用字母α、β的式子表示） 11．如图所示，已知∠AOE＝100°，∠DOF＝80°，OE平分∠DOC，OF平分∠AOC，求∠EOF
的度数．
12．如图所示，O是直线AB上的一点，OD是∠AOC的平分线，OE是∠COB的平分线．
⑴求∠DOE的度数；
⑵若只将射线OC的位置改变，其他条件不变，那么∠DOE的度数会改变吗？
13．如图，根据图回答下列问题：
⑴∠AOC是哪两个角的和； ⑵∠AOB是哪两个角的差．
14．如图，∠1＝∠2＝∠3＝∠4，根据图形回答问题：
⑴图中哪些角是∠2的2倍； ⑵图中哪些角是∠3的3倍；
,.
1倍； 2⑷射线OC是哪个角的三等分线．
15．如图直线AB与CD相交于点O ，那么∠1＝∠2吗？试说明理由．
⑶图中哪些角是∠AOD的
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1是6°，则这个角是（ ） 17A．68° B．78° C．88° D．98° 02．用一副三角板可以画出大于0°且小于180°的不同角度数有（ ） 种．
A．9种 B．10种 C．11种 D．12种 03．如图，∠AOB＝180°，OD是∠COB的平分线，OE是∠AOC的平分线，设∠BOD＝α，
则与α余角相等的是（ ） 01．一个角的补角的
A．∠COD B．∠COE C．∠DOA D．∠COA 04．4点钟后，时针与分针第二次成90°，共经过（ ）分钟（答案四舍五入到整数）．
A．60 B．30 C．40 D．33 05．如图OM、ON、OP分别是∠AOB、∠BOC、∠AOC的平分线，则下列各式中成立的是
（ ）
A．∠AOP ＞∠MON B．∠AOP ＝∠MON C．∠AOP ＜∠MON D．以上情况都有可能 06．如图，∠AOC是直角，∠COD＝21.5°，且OB、OD分别是∠AOC、∠BOE的平分线，
则∠AOE等于（ ）
A．111．5°
B．138°
C．134．5° D．178°
,.
07．下列说法不正确的是（ ）
A．角的大小与角的边画出部分的长短无关 B．角的大小与它们的度数的大小是一至的 C．角的平分线是一条线段
D．角的和、差、倍、分的度数等于它们度数的和、差、倍、分 08．和艘轮船由A地向南偏西45°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西15°方
向行驶40海里到达C地，则A、C相距（ ）海里．
A．30 B．40 C．50 D．60 09． ∠A的补角是125°12＇，则它的余角是（ ）
A．°18＇ B．35°12＇ C．35°48＇ D．°48＇ 10．如果一个角等于它的余角的2倍，那么这个角等于它补角的（ ）
11倍 C．5倍 D．倍 2511．一个角的补角与这个角的余角的度数之比为3：1，则这个角是 度．
A．2倍 B．
12． α、β、γ中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算
1（α＋β＋γ）的值时，15有三位同学分别算出了23°、24°、25°这三个不同的结果，其中确有一个是正确答案，则α＋β＋γ＝ ．
13．已知∠AOB＝50°，∠BOD＝3∠AOB，OC平分∠AOB，OM平分∠AOD，求∠MOC的
度数．
第12讲 与相交有关概念及平行线的判定
考点·方法·破译
1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.
2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们.
3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系.
经典·考题·赏析
【例1】如图，三条直线AB、CD、EF相交于点O，一共构成哪几对对顶角？一共 构成哪几对邻补角？ E A D 【解法指导】
⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.
⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线.
C ⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. B
F ,.
有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】
C E 01．如右图所示，直线AB、CD、EF相交于P、Q、R，则：
⑴∠ARC的对顶角是 .
P 邻补角是 .
⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ R Q A B 02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角；
D 当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； F 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角.
问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角.
【例２】如图所示，点O是直线AB上一点，OE、OF分别平分∠BOC、∠AOC． ⑴求∠EOF的度数；
C F ⑵写出∠BOE的余角及补角. 【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的
定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；
【解】⑴∵OE、OF平分∠BOC、∠AOC ∴∠EOC＝BOC，∠FOC＝BOC＋
E 1∠2A O B 11∠AOC ∴∠EOF＝∠EOC＋∠FOC＝∠22111∠AOC＝BOCAOC 又∵∠BOC＋∠AOC＝180° ∴∠EOF＝×222180°＝90° ⑵∠BOE的余角是：∠COF、∠AOF；∠BOE的补角是：∠AOE.
【变式题组】
01．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，且∠EOC＝100°，则∠BOD
的度数是（ ）
A．20° B． 40° C．50° D．80° E 4 1 D
3 2 A O A
C
（第1题图） （第2题图） 02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝ .
【例３】如图，直线l1、l2相交于点O，A、B分别是l1、l2上的点，试用三角尺完成下列作图： A ⑴经过点A画直线l2的垂线.
⑵画出表示点B到直线l1的垂线段.
O 【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段. l2
B 【变式题组】
01．P为直线l外一点，A、B、C是直线l上三点，且PA
l1 ＝4cm，PB＝5cm，PC＝6cm，则点P到直线l的距离为（ ）
A．4cm B． 5cm C．不大于4cm D．不小于6cm
02 如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M、N为位于公路两侧的村庄；
,.
⑴设汽车行驶到路AB上点P的位置时距离村庄M最近.行驶到AB上点Q的位置时，距离村庄N最近，请在图中的公路上分别画出点P、Q的位置.
⑵当汽车从A出发向B行驶的过程中，在 的路上距离M村越来越近..在 的路上距离村庄N越来越近，而距离村庄Ｍ越来越远.
【例４】如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，OF⊥AB，∠DOF＝65°，求∠BOE和∠AOC的度数.
E D 【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依
据，也可以作为该图形具备的性质，由图可得：∠AOF＝90°，OF⊥AB． A B
O 【解】∵OE⊥CD，OF⊥AB ∴∠FOB＝∠EOD＝90°
F C （垂直定义） ∴∠BOE＝∠FOD＝90°－∠DOB＝65°∴∠DOB＝25°∴∠AOC＝∠DOB＝25°（对顶角相等）
【变式题组】
01．如图，若EO⊥AB于O，直线CD过点O，∠EOD︰∠EOB＝1︰3，求∠AOC、∠AOE
的度数.
E A
C D O
B
02．如图，O为直线AB上一点，∠BOC＝3∠AOC，OC平分∠AOD． ⑴求∠AOC的度数；
D ⑵试说明OD与AB的位置关系.
C
A O B
03．如图，已知AB⊥BC于B，DB⊥EB于B，并且∠CBE︰
∠ABD＝1︰2，请作出∠CBE的对顶角，并求其度数.
A B A
E D ,.
【例５】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并说出它们的名称： F C ∠1和∠2：是AB、EF被直线CD所截而得到的，一组同位角
1 ∠1和∠3：是AB、CD被直线CD所截而得到的，一对内错角
4 ∠1和∠6：是AB、CD被直线CD所截而得到的，一对同旁内角
2 3 6 ∠2和∠6：是EF、CD被直线AB所截而得到的，一对同位角 A B 5 ∠2和∠4：是EF、AB被直线CD所截而得到的，一对同旁内角
D ∠3和∠5：是EF、CD被直线AB所截而得到的，一对内错角 E ∠3和∠4：是AB、CD被直线EF所截而得到的，一对同旁内角
【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确定它们的名称.
【变式题组】
E Ｇ
01．如图，平行直线AB、CD与相交直线EF，GH相交，图中的同旁
内角共有（ ）
A B
A．4对 B． 8对 C．12对 D．16对
C D
02．如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角. F H 5 3 2
4 1 乙
6 3 4 丙 A 1 3 5 7 C
1 2 3 4 7 8 2 1 6 5 甲
03．如图，按各组角的位置判断错误的是（ ）
2 A．∠1和∠2是同旁内角
4 B．∠3和∠4是内错角
C．∠5和∠6是同旁内角
6 B D．∠5和∠7是同旁内角
【例６】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由• ⑴∠CBD＝∠ADB； A ⑵∠BCD＋∠ADC＝180° ⑶∠ACD＝∠BAC 【解法指导】图中有即即有同旁内 O
B 角，有“
”即有内错角.
D C ,.
【解法指导】⑴由∠CBD＝∠ADB，可推得AD∥BC；根据内错角相等，两直线平行. ⑵由∠BCD＋∠ADC＝180°，可推得AD∥BC；根据同旁内角互补，两直线平行. ⑶由∠ACD＝∠BAC可推得AB∥DC；根据内错角相等，两直线平行. 【变式题组】
A 01．如图，推理填空.
⑴∵∠A＝∠ （已知）
∴AC∥ED（ ） F E ⑵∵∠C＝∠ （已知）
∴AC∥ED（ ） ⑶∵∠A＝∠ （已知） C B D ∴AB∥DF（ ）
02．如图，AD平分∠BAC，EF平分∠DEC，且∠1＝∠2，试说明DE与AB的位置关系. 解：∵AD是∠BAC的平分线（已知）
A ∴∠BAC＝2∠1（角平分线定义）
1 又∵EF平分∠DEC（已知）
E
∴ （ ）
2 又∵∠1＝∠2（已知）
∴ （ ）
C ∴AB∥DE（ ） B D F
03．如图，已知AE平分∠CAB，CE平分∠ACD．∠CAE＋∠ACE＝90°，求证：AB∥CD．
A B E C D 04．如图，已知∠ABC＝∠ACB，BE平分∠ABC，CD
平分∠ACB，∠EBF＝∠EFB，求证：CD∥EF.
A
E D
【例７】如图⑴，平面内有
l5 六条两两不平l6
行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个角小于31°.
B C l4
l3
F l4
l3 l2
l6
l5
l2 l1
l1
图⑴ 图⑵
,.
【解法指导】如图⑵，我们可以将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时的图形为图⑵.
证明：假设图⑵中的12个角中的每一个角都不小于31° 则12×31°＝372°＞360° 这与一周角等于360°矛盾
所以这12个角中至少有一个角小于31° 【变式题组】
01．平面内有1两两不平行的直线，试证：在所有的交角中至少有一个角小于11°.
02．在同一平面内有2010条直线a1,a2,…，a2010,如果a1⊥a2,a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5……
那么a1与a2010的位置关系是 . 03．已知n（n＞2）个点P1，P2，P3…Pn.在同一平面内没有任何三点在同一直线上，设Sn
表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直线的条数，显然：S2＝1，S3＝3，S4＝6，∴S5＝10…则Sn＝ . 演练巩固·反馈提高
01．如图，∠EAC＝∠ADB＝90°.下列说法正确的是（ ）
A．α的余角只有∠B B．α的邻补角是∠DAC C．∠ACF是α的余角 D．α与∠ACF互补
E
E A A A α M B F
第1题图 第2题图
02．如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，则∠EMB的同位角为（ ）
A．∠AMF B．∠BMF C．∠ENC D．∠END 03．下列语句中正确的是（ ）
A．在同一平面内，一条直线只有一条垂线 B．过直线上一点的直线只有一条
C．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条 D．垂线段就是点到直线的距离
04．如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，则下列结论中，正确的个数有（ ）
①AB⊥AC ②AD与AC互相垂直 ③点C到AB的垂线段是线段AB ④线段AB的长度是点B到AC的距离 ⑤垂线段BA是点B到AC的距离 ⑥AD＞BD B
D
C F C N
D B
D
第4题图
C
,.
A．0 B． 2 C．4 D．6
05．点A、B、C是直线l上的三点，点P是直线l外一点，且PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝
6cm，则点P到直线l的距离是（ ）
A．4cm B．5cm C．小于4cm D．不大于4cm 06．将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点重合），则∠AOB＋∠DOC＝ .
c
C D B G B
A O 第6题图
1
H 第7题图
第9题图
F C
b A E D
a
2 1 3 4 6 5 7 8 07．如图，矩形ABCD沿EF对折，且∠DEF＝72°，则∠AEG＝ .
08．在同一平面内，若直线a1∥a2,a2⊥a3,a3∥a4,…则a1 a10.（a1与a10不重合） 09．如图所示，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠5，②∠1＝∠7，
③∠2＋∠3＝180°，④∠4＝∠7，其中能判断a∥b的条件的序号是 . 10．在同一平面内两条直线的位置关系有 .
11．如图，已知BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，且∠E＝∠ABE＋∠EDC．试说明AB∥
CD？
B A
E 12．如图，已知BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∠1
＝∠2，那么直线AB与CD的位置关系如何？
C D
B A
1 E F A 13．如图，推理填空：
⑴∵∠A＝ （已知）
2 E ∴AC∥ED（ ） C D
F ⑵∵∠2＝ （已知） ∴AC∥ED（ ） 2 1 3 C B ⑶∵∠A＋ ＝180°（已知）
D
∴AB∥FD． 第13题图
14．如图，请你填上一个适当的条件 使AD∥BC．
F
E
A B D 第14题图
C
,.
培优升级·奥赛检测
01．平面图上互不重合的三条直线的交点的个数是（ ）
A．1，3 B．0，1，3 C．0，2，3 D．0，1，2，3
02．平面上有10条直线，其中4条是互相平行的，那么这10条直线最多能把平面分成
（ ）部分. D A．60 B． 55 C．50 D．45 A E 03．平面上有六个点，每两点都连成一条直线，问除了原来的6个
点之外，这些直线最多还有（ ）个交点. A．35 B． 40 C．45 D．55
C F 04．如图，图上有6个点，作两两连线时，圆内最多有 __________________交点. B 05．如图是某施工队一张破损的图纸，已知a、b是一个角的两边，
现在要在图纸上画一条与这个角的平分线平行的直线，请你帮助这个施工队画出这条平行线，并证明你的正确性.
a b
06．平面上三条直线相互间的交点的个数是（ ）
A．3 B．1或3 C．1或2或3 D．不一定是1，2，3
07．请你在平面上画出6条直线（没有三条共点）使得它们中的每条直线都恰好与另三条直
线相交，并简单说明画法？
08．平面上有10条直线，无任何三条交于一点，要使它们出现31个交点，怎么安排才能办
到？
,.
09．如图，在一个正方体的2个面上画了两条对角线AB、AC，那么
两条对角线的夹角等于（ ）
A．60° B． 75° C．90° D．135°
B
10．在同一平面内有9条直线如何安排才能满足下面的两个条件？
⑴任意两条直线都有交点； ⑵总共有29个交点.
C A
第13讲 平行线的性质及其应用
考点·方法·破译
1．掌握平行线的性质，正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系； 2．初步了解命题，命题的构成，真假命题、定理；
3．灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明，确定两直线的位置关系，感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用.
经典·考题·赏析
【例１】如图，四边形ABCD中，AB∥CD， BC∥AD，∠A＝38°，求∠C的度数. D C 【解法指导】
两条直线平行，同位角相等；
B 两条直线平行，内错角相等； A 两条直线平行，同旁内角互补.
平行线的性质是推导角关系的重要依据之一，必须正确识别图形的特征，看清截线，识
,.
别角的关系式关键.
【解】：∵AB∥CD BC∥AD ∴∠A＋∠B＝180° ∠B＋∠C＝180°(两条直线平行，同旁内角互补) ∴∠A＝∠C ∵∠A＝38° ∴∠C＝38° 【变式题组】
01．如图，已知AD∥BC，点E在BD的延长线上，若∠ADE＝155°，则∠DBC的度数为
（ ） A．155° B．50° C．45° D．25°
E D B （第1题图） 1 （第2题图） F 3 2 l1 A B D （第3题图） E C 2 α 1 A C l2 02．（安徽）如图，直线l1 ∥ l2,∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为（ ） A． 50° B． 55° C． 60° D．65°
03．如图，已知FC∥AB∥DE，∠α：∠D：∠B＝2: 3: 4, 试求∠α、∠D、∠B的度数.
【例２】如图，已知AB∥CD∥EF，GC⊥CF，∠B＝60°，∠EFC＝45°，求∠BCG的度数.
B 【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平A 分线相结合，可求各种位置的角的度数，但注意看清角的位置.
G 【解】∵AB∥CD∥EF ∴∠B＝∠BCD ∠F＝∠FCD(两条直线平行，内错角相等)又∵∠B＝60° ∠EFC＝45° ∴∠C D BCD＝60° ∠FCD＝45° 又∵GC⊥CF ∴∠GCF＝90°（垂直定理） ∴∠GCD＝90°－45°＝45° ∴∠BCG＝60°－45°＝E F 15°
【变式题组】 01．如图，已知AF∥BC, 且AF平分∠EAB，∠B＝48°，则∠C的的度数＝_______________
E A D B
C B
O E C
A
D
P N （第3题图）
A B
M C F
02.如图,已知∠ABC＋∠ACB＝120°，BO、CO分别∠ABC、∠ACB，DE过点O与BC平
行，则∠BOC＝___________
03．如图，已知AB∥ MP∥CD, MN平分∠AMD，∠A＝40°，∠D＝50°，求∠NMP的度
数.
（第1题图）
（第2题图）
,.
【例３】如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D． 求证：∠A＝∠F. 【解法指导】
因果转化，综合运用.
逆向思维：要证明∠A＝∠F，即要证明DF∥AC． 要证明DF∥AC, 即要证明∠D＋∠DBC＝180°，
1 即：∠C＋∠DBC＝180°；要证明∠C＋∠DBC A B ＝180°即要证明DB∥EC． 要证明DB∥EC即要
D 3 E 2 F C 证明∠1＝∠3.
证明：∵∠1＝∠2，∠2＝∠3（对顶角相等）所以∠1＝∠3 ∴DB∥EC（同位角相等•两直线平行）∴∠DBC＋∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠C＝∠D ∴∠DBC＋∠D＝180° ∴DF∥AC（同旁内角，互补两直线平行）∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）
【变式题组】
C 01．如图，已知AC∥FG，∠1＝∠2，求证：DE∥FG
F
D 1 A 3 B 2
E G （第1题图）
A 02．如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B． 求证：∠AED＝∠ACB E D 3
1 F 2
03．如图，两平面镜α、β的夹角θ，入射光线AO平行
于β入射到α上，经两次反射后的出射光线O′B平行 于α，则角θ等于_________.
B C （第2题图） α B O θ O/ E A 1 3 β
【例４】如图，已知EG⊥BC，AD⊥BC，∠1＝∠3. 求证：AD平分∠BAC．
【解法指导】抓住题中给出的条件的目的，仔细分析 条件给我们带来的结论，对于不能直接直接得出结论 的条件，要准确把握住这些条件的意图.（题目中的： ∠1＝∠3）
证明：∵EG⊥BC，AD⊥BC ∴∠EGC＝∠ADC＝90° （垂直定义）∴EG∥AD（同位角相等，两条直线平行） B ∵∠1＝∠3 ∴∠3＝∠BAD（两条直线平行，内错角相等） ∴AD平分∠BAC（角平分线定义） 【变式题组】
01．如图，若AE⊥BC于E，∠1＝∠2，求证：DC⊥BC．
B G D D
C
A 1 2 E C
,.
02．如图，在△ABC中，CE⊥AB于E,DF⊥AB于F, AC∥ED，CE平分∠ACB． 求证：∠
EDF＝∠BDF.
A
E F B D C 3．已知如图，AB∥CD，∠B＝40°，CN是∠BCE的平分线. CM⊥CN，求：∠BCM的度
数. A B
N
M
E D C
【例５】已知，如图，AB∥EF，求证：∠ABC＋∠BCF＋∠CFE＝360° 【解法指导】从考虑360°这个特殊角入手展开联想，分析类比， 联想周角.构造两个“平角”或构造两组“互补”的角.
B 过点C作CD∥AB即把已知条件AB∥EF联系起来，这是A
关键.
1 【证明】：过点C作CD∥AB ∵CD∥AB ∴∠1＋∠ABCD
C 2 ＝180°
(两直线平行，同旁内角互补) 又∵AB∥EF，∴CD∥EFF E （平行
于同一条直线的两直线平行） ∴∠2＋∠CFE＝180°(两直线平行， 同旁内角互补) ∴∠ABC＋∠1＋∠2＋∠CFE＝180°＋180°＝360° 即∠ABC＋∠BCF＋∠CFE＝360° 【变式题组】
01．如图，已知，AB∥CD，分别探究下面四个图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系，请
你从所得四个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性.
结论：⑴____________________________ ⑵____________________________
⑶____________________________ ⑷____________________________
A P
C
D B P
A
B
A P
⑴
C
⑵
D
C
⑶
D B P C ⑷
D
A
B
【例６】如图，已知，AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ、∠ψ之间的关系是
,. ∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝180° B A α 【解法指导】基本图形 B A α H 1 β 2 E P ∠P＝α＋β 3 F γ 4 β C D ψ C D 善于从复杂的图形中找到基本图形，运用基本图形的规律打开思路. 【解】过点E作EH∥AB． 过点F作FG∥AB． ∵AB∥EH ∴∠α＝∠1（两直线平行，内错角相等）又∵FG∥AB ∴EH∥FG（平行于同一条直线的两直线平行）∴∠2＝∠3 又∵AB∥CD ∴FG∥CD（平行于同一条直线的两直线平行）∴∠ψ＋∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝∠1＋∠3＋∠4－ψ－∠1－∠2＝∠4＋ψ＝180°
【变式题组】
A 01．如图， AB∥EF，∠C＝90°，则∠α、∠β、∠γ的关系是（ ） α B
A． ∠β＝∠α＋∠γ B．∠β＋∠α＋∠γ＝180°
C
C． ∠α＋∠β－∠γ＝90° D．∠β＋∠γ－∠α＝90°
γ D
02．如图，已知，AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F，∠E＝140°，求∠BFD的度数. β A B E F E
F
C D
////
【例７】如图，平移三角形ABC，设点A移动到点A，画出平移后的三角形ABC. 【解法指导】抓住平移作图的“四部曲”——定，找，移，连. A′ ⑴定：确定平移的方向和距离. ⑵找：找出图形的关键点. l ⑶移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点. A
B′ ⑷连: 按原图形顺次连接对应点.
C′ ////
【解】①连接AA ②过点B作AA的平行线l ③在l截取BB＝AA,则/////
点B就是的B对应点，用同样的方法作出点C的对应点C/.连接AB，BC，/////B CA就得到平移后的三角形ABC.
C
【变式题组】
01．如图，把四边形ABCD按箭头所指的方向平移21cm，作出平移后的图形.
A
D
B
C
02．如图,已知三角形ABC中，∠C＝90°, BC＝4，AC＝4，现将△ABC沿CB方向平移到△
//////
ABC的位置，若平移距离为3, 求△ABC与△ABC的重叠部分的面积.
,.
A
A/ C C/ B B/
03．原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC方向平移BE的距离，就得
到此图形，求阴影部分的面积.（单位：厘米）
A D 8 B 3 5 E C F A
北
演练巩固 反馈提高
01．如图，由A测B得方向是（ ）
30° A．南偏东30° B．南偏东60° B 西 东 C．北偏西30° D．北偏西60°
南 02．命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两直线平行；④平
行于同一条直线的两直线垂直.其中的真命题的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
03．一个学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，两次拐
弯的角度可能是（ ） A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30° B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130° C．第一次向左拐50°，第二次向右拐130° D．第一次向左拐60°，第二次向左拐120° 04．下列命题中，正确的是（ ）
A．对顶角相等 B． 同位角相等 C．内错角相等 D．同旁内角互补 05．学习了平行线后，小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法，是通过折一张
半透明的纸得到的[如图⑴—⑷]
P . P . P . P . ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 从图中可知，小敏画平行线的依据有（ ） ①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行. A．①② B．②③ C．③④ D．①④
06．在A、B两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从A地测得B地的走向是南偏东52°.
现A、B两地要同时开工，若干天后，公路准确对接，则B地所修公路的走向应该是（ ） A．北偏东52° B．南偏东52° C．西偏北52° D．北偏西38°
,.
07．下列几种运动中属于平移的有（ ）
①水平运输带上的砖的运动；②笔直的高诉公路上行驶的汽车的运动（忽略车轮的转动）；③升降机上下做机械运动；④足球场上足球的运动. A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
08．如图，网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置.平移这个图案，使它正好位于左
上角的位置（不能出格）
09．观察图，哪个图是由图⑴平移而得到的（ ）
10．如图，AD∥BC，AB∥CD，AE⊥BC，现将△ABE进行平移. 平移方向为射线AD的方
向. 平移距离为线段BC的长，则平移得到的三角形是图中（ ）图的阴影部分.
D A D A D A D B E A C B E B C B E C C B E D C E 11．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例.
⑴对顶角是相等的角；⑵相等的角是对顶角；
⑶两个锐角的和是钝角；⑷同旁内角互补，两直线平行.
12．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出命题的真假.
⑴互补的角是邻补角； ⑵两个锐角的和是锐角； ⑶直角都相等.
,.
13．如图，在湖边修一条公路.如果第一个拐弯处∠A＝120°，第二个拐弯处∠B＝150°，第
三个拐弯处∠C，这时道路CE恰好和道路AD平行，问∠C是多少度？并说明理由.
湖
E
150° 120° C B D 14．如图，一条河流两岸是平行的，当小船行驶到河中E点时，与两岸码头B、D成°
角. 当小船行驶到河中F点时，看B点和D点的视线FB、FD恰好有∠1＝∠2，∠3＝∠4的关系. 你能说出此时点F与码头B、D所形成的角∠BFD的度数吗？ A B 1 2
F E
3
4 C D
15．如图，AB∥CD，∠1＝∠2，试说明∠E和∠F的关系.
B A 1 3
E F
4
2 P D C
,.
培优升级·奥赛检测
A 01．如图，等边△ABC各边都被分成五等分，这样在△ABCF D 内能与△DEF完成重合的小三角形共有25个，那么在△ABC内由△DEF平移得到的三角形共有（ ）个
E
02．如图，一足球运动员在球场上点A处看到足球从B点沿着BO方向匀速滚来，运动员立即从A处以匀速直线奔B C 跑前去拦截足球.若足球滚动的速度与该运动员奔跑的速度相同，请标出运动员的平移方向及最快能截住足球的位置.（运动员奔跑于足球滚A动视为点的平移）
O B
03．如图，长方体的长AB＝4cm，宽BC＝3cm，DC
高AA1＝2cm. 将AC平移到A1C1的位置上时，平移的距离是___________,平移的方向是
B___________. A
C1
D104．如图是图形的操作过程（五个矩形水平方向的
边长均为a，竖直方向的边长为b）；将线段A1A2向右平移1个单位得到B1B2，得到封闭图
A1
B1
形A1A2B2B1 [即阴影部分如图⑴];将折现A1A2
A3向右平移1个单位得到B1B2B3，得到封闭图形A1A2 A3B3B2B1 [即阴影部分如图⑵]; ⑴在图⑶中，请你类似地画出一条有两个折点的直线，同样的向右平移1个单位，从而得到1个封闭图形，并画出阴影.
⑵请你分别写出上述三个阴影部分的面积S1＝________, S2＝________, S3＝________. ⑶联想与探究：如图⑷，在一矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路在任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分草地面积是多少？
. . .
A1 B1 A1 B1 A2 B2 草地 草地 A1 B1 A2 B2 A3 B3 A4 B4 ⑸ ⑷ ⑴
05．一位模型赛车手遥控一辆赛车，先前进一半，然后原地逆时针旋转α°（0°＜α°＜180°），
被称为一次操作，若5次后发现赛车回到出发点，则α°角为（ ） A．720° B．108°或144° C．144° D．720°或144°
06．两条直线a、b互相平行，直线a上顺次有10个点A1、A2、…、A10，直线b上顺次有
10个点B1、B2、…、B9，将a上每一点与b上每一点相连可得线段.若没有三条线段相交于同一点，则这些选段的交点个数是（ ） A．90 B．1620 C．80 D．2006
A2 B2 A3 B3 ⑵ ⑶
,.
07．如图，已知AB∥CD，∠B＝100°，EF平分∠BEC，EG⊥EF. 求∠BEG和∠DEG.
B 100°
G
F
A
D E
C
08．如图，AB∥CD，∠BAE＝30°，∠DCE＝60°，EF、EG三等分∠AEC． 问：EF与EG
中有没有与AB平行的直线？为什么？
A B
F E
G C D 09．如图，已知直线CB∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，E、F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，
OE平分∠COF.
⑴求∠EOB的度数；
⑵若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值.
⑶在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由.
E B C F
O A
10．平面上有5条直线，其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成的角中，
至少有一个角不超过36°,请说明理由.
,.
11．如图，正方形ABCD的边长为5,把它的对角线AC分成n段，以每一小段为对角线作
小正方形，这n个小正方形的周长之和为多少？ A B
D C
12．如图将面积为a2的小正方形和面积为b2的大正方形放在一起，用添补法如何求出阴影
部分面积？
A F
B E C D 第14讲 平面直角坐标系（一）
考点．方法．破译
1．认识有序数对，认识平面直角坐标系． 2．了解点与坐标的对应关系．
3．会根据点的坐标特点，求图形的面积．
经典．考题．赏析
【例1】在坐标平面内描出下列各点的位置．
A(2，1)，B(1，2)，C(－1，2)，D(－2，－1)，E(0，3)，F(－3，0)
【解法指导】从点的坐标的意义去思考，在描点时要注意点的坐标的有序性． 【变式题组】
01．第三象限的点P(x，y)，满足|x|＝5,2x＋|y|＝1，则点P得坐标是_____________． 02．在平面直角坐标系中，如果m.n＞０，那么（m, |n|）一定在____________象限. 03．指出下列各点所在的象限或坐标轴．
A(－3，0)，B(－2，－
11)，C(2，)，D(0,3)，E(π－3.14，3.14－π) 32,.
【例2】若点P(a，b)在第四象限，则点Q(―a，b―1)在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解法指导】∵P(a，b)在第四象限，∴a＞0，b＜0，∴－a＜0, b－１＜0,故选C． 【变式题组】
01．若点G(a，2－a)是第二象限的点，则a的取值范围是（ ）
A．a＜0 B．a＜2 C．0＜a＜2 B．a＜0或a＞2 02．如果点P(3x－２，２－x)在第四象限，则x的取值范围是____________． 03．若点P(x，y)满足xy＞0，则点P在第______________象限．
04．已知点P(2a－8，2－a)是第三象限的整点，则该点的坐标为___________．
【例３】已知A点与点B(－3，4)关于x轴对称，求点A关于y轴对称的点的坐标． 【解法指导】关于x轴对称的点的坐标的特点：横坐标(x)相等，纵坐标(y)互为相反数，关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标(y)相等．
【变式题组】
01．P(－1，3)关于x轴对称的点的坐标为____________． 02．P(3，－2)关于y轴对称的点的坐标为____________． 03．P(a，b)关于原点对称的点的坐标为____________．
04．点A(－3，2m－１) 关于原点对称的点在第四象限，则m的取值范围是____________． 05．如果点Ｍ(a＋b，ab)在第二象限内，那么点N(a，b) 关于y轴对称的点在第______象限．
【例４】P(3，－4)，则点P到x轴的距离是____________．
【解法指导】P(x，y)到x轴的距离是| y|，到y轴的距离是|x|．则P到轴的距离是|－4|＝4
【变式题组】 01．已知点P(3，5)，Q(6，－５)，则点P、Q到x 轴的距离分别是_________，__________．P
到y轴的距离是点Q到y轴的距离的________倍．
02．若x轴上的点Ｐ到y轴的距离是3，则P点的坐标是__________．
03．如果点B(m＋1，3m－5) 到x轴的距离与它到y轴的距离相等，求m的值．
04．若点(5－a，a－3)在一、三象限的角平分线上，求a的值．
05．已知两点A(－3，m)，B(n，4)，AB∥x轴，求m的值，并确定n的取值范围．
【例５】如图，平面直角坐标系中有A、B两点． (1)它们的坐标分别是___________，___________；
(2)以A、B为相邻两个顶点的正方形的边长为_________； (3)求正方形的其他两个顶点C、D的坐标．
,.
【解法指导】平行x轴的直线上两点之间的距离是：两个点的横坐标的差得绝对值，平行y轴的直线上两点之间的距离是：两个点的纵坐标的差得绝对值．即：A(x1，y1)，B(x2，y2)，若AB∥x轴，则|AB|＝|x1－x2|；若AB∥y，则|AB|＝|y1－y2|
，则(1)A(2，2)，B(2，－1)；(2)3；(3)C(5，2)，D(5，－1)或C(－1，2)，D(－1，－1)．
【变式题组】
01．如图，四边形ACBD是平行四边形，且AD∥x轴，
说明，A、D两点的___________坐标相等，请你依据图形写出A、B、C、D四点的坐标分别是_________、_________、____________、____________．
02．已知：A(0，4)，B(－3，0)，C(3，0)要画出平行四边
形ABCD，请根据A、B、C三点的坐标，写出第四个顶点D的坐标，你的答案是唯一的吗？
03．已知：A(0，4)，B(0，－1)，在坐标平面内求作一点，使△ABC的面积为5，请写出点
C的坐标规律．
【例6】平面直角坐标系，已知点A(－3，－2)，B(0，3)，C(－3，2)，求△ABC的面积．
【解法指导】(1)三角形的面积＝
1×底×高． 2(2)通过三角形的顶点做平行于坐标轴的平行线将不规则的图形割补成规则图形，然后计算其面积．则Ｓ△ABC＝Ｓ△ABD
＝Ｓ△BCD＝
11·3·5－·3·1＝6． 22【变式题组】
01．在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别
为A(―3，―1)，B(1，3)，C(2，－3)，△ABC的面积．
02．如图，已知A(－4，0)，B(－2，2)，C,0，－1)，D(1，0)，求四边形ABDC的面积．
03．已知：A(－3，0)，B(3，0)，C(－2，2)，若D点在y
轴上，且点A、B、C、D四点所组成的四边形的面积为15，求D点的坐标．
【例7】如图所示，在平面直角坐标系中，横、纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形A1B1C1D1、A2B2C2D2……每个正方形四条边上的整点的个数，推算出正方形A10B10C10D10四条边上的整点共有__________个．
【解法指导】寻找规律，每个正方形四条边上的整点个数为S＝8n，
,.
所以S10＝8×10＝80个． 【变式题组】
01．如图所示，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1
变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变成△OA3B3．已知：A(1，2)， A1(2，2)，A2(4，2)，A3(8，2)，B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)．
(1)观察每次变换前后的三角形有何变化？找出规律，按此规律再将三角形△OA3B3变换成△OA4B4，
则A4的坐标是____________，B4的坐标是_____________；
(2)若按(1)题找到的规律将△OAB进行n次变换，得到三角形△OAnBn，推测An的坐标是_____________，Bn的坐标是_____________．
【解法指导】由AA1A2A3、BB1B2B3的坐标可知，每变换一次，顶点A的横坐标乘以2，纵坐标不变，顶点B的横坐标乘以2，纵坐标不变．
如图，已知A1(1，0)，A2(1，1)，A3(－1，1)，A4(－1，－1)，A5(2，－1)…则点A2010的坐标为_______________．
演练巩固 反馈提高
01．若点A(－2，n)在x轴上，则点B(n－1，n＋1)在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
02．若点M(a＋2，3－2a)在y轴上，则点M的坐标是( )
A．(－2，7) B．(0，3) C．(0，7) D．(7，0)
03．如果点A(a，b)，则点B(－a＋1，3b－5)关于原点的对称点是( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 04．下列数据不能确定物体位置的是( )
A．六楼6号 B．北偏西400 C．文昌大道10号 D．北纬260，东经1350
05．在坐标平面内有一点P(a，b)，若ab＝0，则P点的位置是( )
A．原点 B．x轴上 C．y轴上 D．坐标轴上
06．已知点P(a，b)到x轴的距离为2，到y轴的距离为5，且|a－b |＝b－a，则点P的坐标
是_______________．
07．已知平面直角坐标系内两点M(5，a)，N(b，－2)，①若直线MN∥x轴，则a＝______，
b＝__________； ②若直线MN∥y轴，则a＝___________，b＝_________． 08．如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2010次，点P依次落在点P1，
P2，P3，…，P2010的位置，则P2010的横坐标x2010＝___________•
09．按下列规律排列的一列数对，(2，1)，(5，4)，(8，7) …，则第七个数对中的两个数之
和是______________•
,.
10．如图，小明用手盖住的点的坐标可能为（ ）
A．(2，3) B．(2，－3) C．(－2，3) D．(－2，－3) 11．点P位于x轴的下方，距y轴3个单位长度，距x轴4个单位长度，则点P的坐标是
____________．
12．将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序数对(n，m)表示
第n排，从左到右第m个数，则表示实数25的有序数对是______________．
13．已知点A(－5，0)，B(3，0)，
(1)在y轴上找一点C，使之满足S△ABC＝16，求点C的坐标；
(2)在平面直角坐标系内找一点C，使之满足S△ABC＝16的点C有多少个？这样的点有什么规律．
14．若y轴正方向是北，小芳家的坐标为(1，2)，小李家的坐标为(－2，－1)，则小芳家的
________________方向．
15．如图在平面直角坐标系中A(0，1)，B(2，0)，C(2，1.5)
(1)求△ABC的面积；
(2)如果在第二象限内有一点P(a，
1)，试用含a的式子表示四边形ABOP的面积； 2
(3)在(2)的条件下，是否存在一点P，使得四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图所示，在直角坐标系xOy中，四边形OABC为正方形，其边长为4，有一动点P，
自O点出发，以2个单位长度／秒得速度自O→A→B→C→O运动，问何时S△ＰBC＝4？并求此时P点的坐标．
,.
培优升级 奥赛检测
01．如果点M(a＋b，ab)在第二象限，那么点N(a，b)在第_____________象限． 02．若点A(6－5a，2a－1)．
(1)点A在第二象限，求a的取值范围；
(2)当a为实数时，点A能否在第三象限，试说明理由；
(3)点A能否在坐标原点处？为什么？ 03．点P{－
11，－[ －|1－| ]}关于y轴对称点的坐标是_____________． 2204．已知点Ａ(2a＋3b，－2)与点B(8，3a＋2b)关于x轴对称，那么a＋b＝__________．
05．已知ａ＜０，那么点Ｐ(－a2－2，2－a)关于原点对称的点在第________象限．
06．已知点P1(a－1，5)在第一、三象限角平分线上，点P2(2，b－8)在第二、四象限角平分
线上，则(－a＋b)2010＝___________．
07．无论x为何实数值，点P(x＋1，x－1)都不在第_________象限•
08．已知点P的坐标为(2－a，3b＋6)，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标为
_________．
09．若点P(x，y)在第二象限，且|x－1|＝2，|y＋3|＝5，则P点的坐标是__________．
10．若点A(2x－3，b－x)在坐标轴夹角的平分线上，且在第二象限，则点A的坐标是
__________． 11．已知线段AB平行于y轴，若点A的坐标为(－2，3)，且AB＝4，则点B的坐标是__________． 12．已知A(－3，2)与点B(x，y)在同一条平行于y轴的直线上，且点B到x轴的距离等于3，
求B点的坐标．
13．如图，B(2，4)，点D从O→C→B运动，速度为1单位长度／秒．
(1)当D在OC上运动时，直线BD能否将长方形ABCD的面积分为1:2两部分，若能，
,.
求点D的坐标，若不能，请说明理由；
y B C D A －2 O x (2)当点D运动到CB上时，经过多长时间△ABD的面积等于求此时D点的坐标．
14．已知：A(a－
1矩形ABCO的面积？并432，2b＋)，以A点为原点建立平面直角坐标系． 53(1)试确定a、b的值；
(2)若点B(2a－
7，2b＋2m)，且AB所在直线为第二、四象限夹角的平分线，求m的值． 5第15讲 平面直角坐标系（二）
考点•方法•破译
1．建立适当的平面直角坐标系描述物体的位置. 2．了解可以用不同的方式确定物体的位置. 3．在同一坐标系中，会用坐标表示平移变换.
经典•考题•赏析
【例1】在平面直角坐标系中，将点A（－2，3）先向左平移2个单位，再向上平移2个单位后得到B点的坐标是 .
【解法指导】在平面直角坐标系中，将点P（x,y）向右或向左平移a个单位，可以得到P’（x+a,y）或P’（x－a,y），将点P（x,y）向上或向下平移b个单位长度，可以得到P’（x,y+b）或P’（x,y－b）.
一句话：右、上作加，左、下作减.即B点的坐标为（－4,5），所以B点的坐标为（－4,5）.
【变式题组】
01．在平面直角坐标系中，将点A（5，－2）先向下平移3个单位，再向右平移2个单位得
,.
到点B的坐标是 .
02. 在平面直角坐标系中，将点M（3，－4）平移到点N（－1,4），是经过了先向 ，
再向 ，而得到的.
03．点A（－5，－b）经过先向下平移3个单位，再向左平移2个单位长度后得到点B（a,
－1），则ab＝ .
【例2】△ABC三个顶点坐标分别是A（4,3）B（3,1）C（1,2） ⑴将△ABC向右平移1个单位，得到△A1B1C1，再向下平移2个单位长度得到△A2B2C2，求△A2B2C2三个顶点的坐标.
⑵将△ABC三个顶点坐标的横坐标都减去5，纵坐标不变得到△A3B3C3，则△A3B3C3与△ABC的大小、形状和位置上有什么关系？
⑶将△ABC三个顶点坐标的纵坐标都加上5，横坐标不变得到△A4B4C4，则△A4B4C4与△ABC的大小、形状和位置上有什么关系？
【解法指导】平移后得到的图形与平移前的图形的大小相等，形状相同. 解：⑴A2(5,1)B2（4，－1）C2（2,0）；
⑵△A3B3C3与△ABC大小相等，形状相同，△A3B3C3是△ABC向左平移5个单位得到的；
⑶A4（4,8） B4（3,6） C4（1,7），△A4B4C4与△ABC大小相等，形状相同，△A4B4C4
是△ABC向上平移5个单位得到的.
【变式题目】
01.如图将三角形向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长
度，则平移后三个顶点的坐标是（ ） A．（1,7），（0,2）（3,5） B（1,7），（0,2）（4,5） C（1,7），（2,2）（3,5） D（1,7），（2,2）（3,3） 02.将正方形向下平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度，
所得到的顶点坐标分别是（－1,2），（3,2），（3，－2），（－1，－2），则平移前该正方形的四个顶点的坐标分别为：
3.如图所示的直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是：A（0,0）B（6,0）C（5,5）
⑴求△ABC的面积；
⑵如果将△ABC向上平移1个单位长度，得到△A1B1C1，再向右平移2个单位长度得到△A2B2C2，试求△A2B2C2三个顶点的坐标；
⑶试说明△A2B2C2与△ABC的形状、大小有什么关系？
【例3】在平面直角坐标中，点A（1,2）平移后的坐标A’（－3,3），按照同样的规律平移其它点，则下列哪种变换符合这种规律（ ）
A．（3,2）→（4，－2） B．（－1,0）→（－5，－4） C（2.5，－1/3）→ (－1.5,2/3) D(1.2,5) → (－3.2,6) 【解法指导】先仔细分析平移规律：点A（1,2）→ A’（－3,3），规律是：横坐标减少4，纵坐标增加1，再依据规律作出正确的判断.
【解】依据坐标平移规律，故选C． 【变式题组】
01．在平面直角坐标系中，点A（－2,3）平移后的坐标为A’（2，－3），按照同样的规律
,.
平移（1，－2），得到 .
02．线段CD是由线段AB平移得到的,点A(－1,4)的对应点C（4,7），则点B（－4，－1）
的对应点D的坐标是 .
03．将点P(m－2,n+1),沿x轴负方向平移3个单位长度得到P1（1－m,2）,求点P的坐标. 04．平面直角坐标系中，△ABC个顶点的坐标分别是A（6,8），B（－2,0），C（－5，－3），
△DEF各顶点的坐标是D（0，3），E（8,11），F（－3,0），请仔细观察这两个三角形各顶点的坐标关系，判断△DEF是不是由△ABC平移得到的？如果是请回答平移规律；如果不是，请说明理由.
【例4】如图是某市市区几个旅游景点的示意图（图中每个小正方形的边长为1个长度单位），请以某景点为原点，画出直角坐标系，并用坐标表示下列景点的位置.
光岳楼 金凤广场 动物园
【解法指导】若以金凤广场为坐标原点O，过点O的水平线为x轴，取向右为正方向；过点O的竖直直线为y轴，取向上为正方向，即可建立平面直角坐标系，各景点坐标的位置就可以表示出来.
【解】以金凤广场为坐标原点O，，建立如图所示的直角坐标系.所以：⑴光岳楼（1,1） ⑵金凤广场（0,0）；⑶动物园（6,5）. 【变式题组】
01．如图为某市旅游景点示意图，试以中心广场为坐标原点建立直角坐标系，用坐标表示各
个景点的位置.
02．如图是传说中的一个藏宝图，藏宝人生前用直角坐标系的方法画了这幅图，现金的寻宝
人没有原来的地图，但知道在该图上有两块大石头A(2,1),B(8,2),而藏宝地的坐标是（6,6），试设法在地图上找到藏宝地点. 【例5】某村是一个古树名木保护模范村，仅百年以上树龄的古树就有5棵，第一棵古松树在小刚家的院子里，第二棵古松树在小刚家东南方向2000米处，第三棵古松树
•
在小刚家北偏西30方向1000米处，第四棵古松树在小刚
•
家正东1000米处，第五棵古槐树在小刚家南偏西45方向1500米处，请你画图表示这五棵古树的位置.
【解法指导】以小刚家为坐标原点，水平线为x轴，正东方向为正方向，取竖直线为y轴，正北方向为正方向
,.
建立平面直角坐标系，再根据这五棵树的方位和数量关系即可确定它们的位置.
【解】以小刚家为坐标原点，水平线为x轴，正东方向为正方向，取竖直线为y轴，正北方向为正方向建立平面直角坐标系，比列尺为1:50000，即1厘米表示500米.那么五棵数的位置如图所示.
【变式题组】
01．如图，为一公园内运动园的平面示意图：A为孔雀
园，B为猴山，C为鹦鹉园，D为天鹅园，E为熊猫园，F为师虎园.现以孔雀园来说：
⑴猴山在孔雀园的北偏东多少度的方向上？要想确定猴山的位置，还需要什么数据？
⑵与孔雀园距离相等的有几个园？它们是什么园？
⑶要确定狮虎园的位置还需要几个数据？请借助刻度尺、量角器，说出狮虎园距鹦鹉园的位置？
【例6】如图，早直角坐标系中，第一次将OAB变换成OA1B1，第二次将OA1B1
变换成OA2B2，第三次将OA2B2变换成OA3B3，已知A（1,3），A1（2,3），A2（4,3）A3（8,3），B（2,0），B1（4,0），B2（8，0），B3（16,0）.
⑴观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再次将OA3B3变换成OA4B4，则A4的坐标是 ，B4的坐标是 ；
⑵若按⑴题找到的规律，将OAB进行了n次变换，得到OAnBn,推测An的坐标是 ，Bn的坐标是 .
【解法指导】此题为猜想题，解这类题一般步骤是： ⑴＜1＞观察：高清观察的对象；
＜2＞分析：分析个数之间的关系，如：和、倍、分等数量关系；
＜3＞对比：在分析个数据的情况下，找出个数据之间的区别和联系，为归纳作准备； ＜4＞归纳：将观察、分析、对比得出的结论用文字或数学式子表示出来； ⑵这种数学方法是从特殊到一半的思想方法.
+1
分析：观察图形，可知An的横坐标是2n,而Bn的横坐标是按2n变化的.
+1
解：⑴A4(16,3),B4(32,0);An(2n,3),Bn(2n,0). 【变式题组】
01.（菏泽.淄博）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点
称为整点，观察图中每一个正方形（实线）四条边上的整点的个数，请你猜想由里向外第10个正方形（实线）四条边上的整点个数共有 个.
【例7】如图所示，在平面直角坐标系中，将坐标为（0,0), (5,0), (4,3), (1,3), (0,0),的点用线段依次连接起来形成一个图案，不画图形，回答下列问题.
若每个点的横坐标保持不变，纵坐标变成原来的2倍，将所得各点用线段依次连接起来，那么所得的图案与原来图案相比有什么变化？
若横坐标保持不变，纵坐标分别加2呢？ 若纵坐标保持不变，横坐标分别加2呢？ 若横坐标保持不变，纵坐标分别乘－1呢？ 若纵坐标保持不变，横坐标分别乘－1呢？
【解法指导】⑴所得图案与原图案相比，图案横向未变，纵向被拉长为原来的2倍； ⑵所得图案与原图案相比，图案的形状、大小未发生改变，它被向上纵向平移了2个单
,.
位；
⑶所得图案与原图案相比，图案的形状、大小未发生改变，它被向右横向平移了2个单位；
⑷所得图案与原图案相比，新图案与原图案关于x轴成轴对称. ⑸所得图案与原图案相比，新图案与原图案关于y轴成轴对称.
欲解此题，只要充分利用图形上点的坐标变化与图形的形状变化之间关系的规律即可.
演练巩固 反馈提高
01．将三角形ABC各顶点的横坐标不变，而纵坐标分别加4，连接三个点所得到三角形是
三角形ABC（ ）
A．向左平移4个单位得到 B．向上平移4个单位得到 C．向右平移4个单位得到 D．向下平移4个单位得到
02. 将三角形ABC各顶点的纵坐标不变，横坐标分别减5，连接三个点所得到三角形是由
三角形ABC（ ）
A．向左平移5个单位得到 B．向右平移5个单位得到 C．向上平移5个单位得到 D．向下平移5个单位得到
03.（日照市）在平面直角坐标系中，把点P(－2,1)向右 平移一个单位，则得到的对应点
’
P的坐标是（ ） A．（－2,2） B．（－1,1） C．（－3,1） D．（－2,0）
04．如右图，将三角形向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后三个顶
点的坐标是（ ）
A．（2,2），（3,4），（1,7） B．（－2,2），（4,3），（1,7） C．（－2,2），（－5,－3），（0,－1）D．（－2,2），（－5,3），（0，－1） 05．利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程如下
⑴根据具体问题确定适当的单位长度；⑵建立平面直角坐标系；⑶在平面直角坐标系内画出各点.其中顺序正确的是（ ） A．⑴，⑵，⑶ B．⑵，⑴，⑶ C．⑶，⑴，⑵ D．⑴，⑶，⑵
06．如图，图是由图1经过变换得到的，下列说法中错误的是（ ）
A．将图1先向右平移4个单位，再向上平移6个单位得到图2 B．将图1先向上平移6个单位，再向右平移4个单位得到图2
•
C．将图1先向上平移6个单位后，再沿y轴翻折180可得到图2
•
D．将图1先向右平移4个单位后，再沿x轴翻折180可得到图2 07．在象棋中，“马走斜”是指“马”从“日”的一个顶点沿着对角线走向另一个顶点，图
中“马”现在的位置用（6,2）表示，要想“马”走现在“帅”的位置（如图），至少需要 步，写出“马”所走的路线（只要写出一种） .
08.（泸州）如图是某市市区四个旅游景点示意图（图中每个小正方形的边长为1个单位长
,.
度），请以某景点为原点，建立平面直角坐标系（保留坐标系的痕迹），请用坐标表示下列景点的位置.
⑴动物园 ，⑵烈士陵园 .
‘’
09.（永州）如图所示，要把线段AB平移，使得点A到达点A(4,2)，点B到达点B，那
‘
么点B的坐标是 .
10．华英学校七年级二班的三位同学：李丽，王明，张倩，他们从家到学校的路线分别是：
⑴李丽出家门口向东走50米，再向南走100米，可到学校； ⑵王明出家门口向西100米，再向南走150米，可到学校； ⑶张倩出家门口向东走100米，再向北走50米，可到学校.
根据以上条件建立坐标系，画出李丽、王明、张倩家的位置及学校的位置.
11. 在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示.
⑴计算△ABC的面积；
⑵将△ABC向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标；
⑶写出所得△A1B1C1和△ABC的形状、大小有什么关系？
培优升级 奥赛检测
01. 在平面直角坐标系内，已知点（2m,m－4）在第四象限内，且m为偶数，那么m的值
为 .
02. 已知点P1（a－1,5）在第一、三象限角平分线上；点P2（2，b－8）在二、四象限角平
分线上，则
2004
（－a+b）＝ .
03．矩形ABCD中，AB＝5，BC＝2，以矩形的对角线交点为坐标原点，平行于边的直线为
坐标轴，建立直角坐标系，则四个顶点的坐标为 . 04．在正方形ABCD中，A、B、C三点坐标分别为（1,2）、（－2,1）、（－1，－2），则顶点
D的坐标为 .
05．无论x为何实数值，点p(x+2,x－2)都不在第象限. 06．如果点A(
b2
,1)在第一象限，则点B(－a,ab)在第（ ）象限. aA．一 B．二 C．三 D．四 07．若点的坐标满足，则点P必在（ ）.
A．原点上 B．x轴上 C．y轴上 D． x或y轴上
22
08．已知x、y实数，且P(x,y)的坐标满足x+y＝0，则点p必在（ ）
A．原点上 B． x轴正半轴上 C． y轴正半轴 D． x轴负半轴上 09．（遵义）如图所示，在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点.
,.
设坐标轴的单位长度为1厘米，整点P从原点O 出发，速度为1厘米/秒，且整点P作向上或向右运动，运动的时间（秒）与整点（个）的关系如下表“
整点P从原点O出发的时间（秒） 可以得到整点P的坐标 1 2 3 … (0,1)(1,0) (0,2)(1,1)(2,0) (0,3)(1,2)(2,1)(3,0) … 可以得到整点P的个数 2 3 4 … 根据上表中的规律，回答下列问题： ⑴当整点P从点O出发4秒时，可以得到的整点P的个术士为 个；
⑵当整点P从点O出发8秒时，在直角坐标系中描出可以得到的所有整点，并顺次连接这
些整点；
⑶当整点P从点O出发 秒时，可以到达整点（16,4）的位置.
第16讲 认识三角形
考点·方法·破译
1．了解与三角形有关的线段(边、高、中线、角平分线)，会画出任意三角形的高、中线、角平分线.
2．知道三角形两边的和大于第三边，两边之差小于第三边. 3．了解与三角形有关的角(内角、外角) . 4．掌握三角形三内角和等于180°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 5．会用方程的思想解与三角形基本要素相关的问题.
6．会从复杂的图形中找到基本图形，从而寻求解决问题的方法.
经典·考题·赏析
【例１】若的三边分别为4，x，9，则x的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________ ；当周长为奇数时，x＝______________.
【解法指导】运用三角形三边关系，即第三边小于两边之和而大于两边之差故5＜x＜13，18＜l＜26；周长为19时，x ＝6，周长为21时，x ＝8，周长为23时，x ＝10，周长为25时，x ＝12，
【变式题组】
01．若△ABC的三边分别为4，x，9，且9为最长边，则x的取值范围是______________，
周长l的取值范围是______________.
,.
02．设△ABC三边为a，b，c的长度均为正整数，且a＜b＜c，a+b+c＝13，则以a，b，c
为边的三角形，共有______________个.
03．用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断）并全部用完，能摆出不同形
状的三角形个数是( ). A．1 B．2 C．3 D．4
【例２】已知等腰三角形的一边长为18cm，周长为58cm，试求三角形三边的长.
【解法指导】对等腰三角形，题目没有交代底边和腰，要给予讨论.当18cm为腰时，底边为58－18×2＝22，则三边为18，18，22. 当18cm为底边时，腰为
5818＝20，则三边2为20，20，18.此两种情况都符合两边之和大于第三边.
解：18cm，18cm，22cm或18cm， 20，20cm. 【变式题组】
01．已知等腰三角形两边长分别为6cm，12cm，则这个三角形的周长是( )
A．24cm B．30cm C．24cm或30cm D．18cm
02．已知三角形的两边长分别是4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三条边的
是( ) A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm 03．等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10两部分，则此等腰三角
形的腰长为______________.
【例３】如图AD是△ABC的中线，DE是△ADC的中线，EF是△DEC的中线，FG是△EFC的中线，若S△GFC＝1cm2，则S△ABC＝______________.
AEGBDFC
【解法指导】中线将原三角形面积一分为二，由FG为△EFC的中线，知S△EFC＝2S△GFC
＝2.又由EF为△DEC中线，S△DEC＝2S△EFC＝4.同理S△ADC＝8，S△ABC＝16.
【变式题组】 01．如图，已知点D、E、F分别是BC、AD、BE的中点，S△ABC＝4，则S△EFC＝______________.
AEFBD(第1题图)CBEAAFD(第2题图)CDFB(第3题图)EC
02．如图，点D是等腰△ABC底边BC上任意一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若一腰
上的高为4cm，则DE+DF＝______________.
03．如图，已知四边形ABCD是矩形(AD＞AB) ，点E在BC上，且AE＝AD，DF⊥AE于
F，则DF与AB的数量关系是______________.
【例４】已知，如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E ＝______________.
,.
AEBC(例4题图)D
【解法指导】这是本章的一个基本图形，其基本方法为构造三角形或四边形内角和，结
AB合八字形角的关系即
CD，∠A+∠B＝∠C+∠D．故连结BC有∠A+∠D＝
∠DBC+∠ACB，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E ＝180°
【变式题组】
01．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E ＝______________.
02．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E +∠F＝______________.
03．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E +∠F ＝______________.
AADB(第1题图)ECADBEF(第3题图)EDB(第2题图)FCC
【例５】如图，已知∠A＝70°，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．则∠BOC ＝ ______________.
AOBC
1∠A+90°.证法如下: ∠BOC2111＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－(180°－∠A)＝
222190°+∠A．所以∠BOC＝125°.
2【解法指导】这是本章另一个基本图形，其结论为∠BOC＝
【变式题组】 01．如图，∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝20°，则∠BOC＝______________.
APOB(第2题图)C,.
AOB(第1题图)CAPOBC(第3题图)
°，点P、O分别是∠ABC、∠ACB的三等分线的交点，则∠OPC＝______________.
03．如图，∠O＝140°，∠P＝100°，BP、CP分别平分∠ABO、∠ACO，则∠A＝______________.
【例６】如图，已知∠B＝35°，∠C＝47°，AD⊥BC，AE平分∠BAC，则∠EAD＝______________.
【解法指导】∵∠EAD＝90°－∠AED＝90°－
A1(∠B+∠BAE)＝ 90°－∠B－(180°－∠B－∠C)＝
2BED(例6题图)C90°－∠B－90°+故∠EAD＝6°.
111∠B+ ∠C＝ (∠C－∠B) ，
222
A【变式题组】
DF01.（改）如图，已知∠B＝39°，∠C＝61°，BD⊥AC，AE平分
∠BAC，则∠BFE＝__________. CBE(说明:原题题、图不符.由已知得∠A＝98°, BD⊥AC，则点D
(第1题图)在CA的延长线上.)
A02．如图，在△ABC中，∠ACB＝40°，AD平分∠BAC，∠ACB的
外角平分线交AD的延长线于点P，点F是BC上一动点(F、D不重合) ，过点F作EF⊥BC交于点E，下列结论:①∠P+∠DEF
FC为定值，②∠P－∠DEF为定值中，有且只有一个答案正确，BD请你作出判断，并说明理由.
GE
P
(第2题图)
B'【例７】如图，在平面内将△ABC绕点A逆时针旋转至
△AB′C′，使CC′∥AB，若∠BAC＝70°，则旋转角α＝CC'______________.
【解法指导】利用平移、旋转不改变图形的形状这条性质来
AB解题.∵CC′∥AB，∴∠C′CA＝∠CAB ＝70°，又AC＝AC′，∴∠C′AC＝180°－2×70°＝40°
【变式题组】
01如图，用等腰直角三角形板画∠AOB＝45°，并将三角板沿OB方向平移到如图所示的虚
线后绕点M逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA的直角α＝______________.
,.
ABEDααA'B'22°OMB(第1题图)AO(第2题图)AB(第3题图)C
02．如图，在平面内将△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到△OA′B′，若点A′在AB上时，
则旋转角α＝______________.(∠AOB＝90°，∠B＝30°)
3．如图，△ABE和△ACD是△ABC沿着AB边，AC边翻折180°形成的，若∠BAC＝130°，则∠α＝______________.
演练巩固·反馈提高
01．如图，图中三角形的个数为( )
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
02．如果三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么
BC这个三角形是( ) DEA．锐角三角形 B．钝角三角形 GFC．直角三角形 D．不确定
03．有4条线段，长度分别是4cm，8cm，10cm，12cm，选其中三条组成三角形，可以组成
三角形的个数是( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 04．下列语句中，正确的是( )
A．三角形的一个外角大于任何一个内角
B．三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和 C．三角形的外角中，至少有两个钝角 D．三角形的外角中，至少有一个钝角
05．若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 06．若一个三角形的一个外角大于与它相邻的内角，则这个三角形是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
07．如果等腰三角形的一边长是5cm，另一边长是9cm，则这个三角形的周长是
______________.
08．三角形三条边长是三个连续的自然数，且三角形的周长不大于18，则这个三角形的三
条边长分别是______________. 09．如图，在△ABC中，∠A＝42°，∠B与∠C的三等分线，分别交于点D、E，则∠BDC
的度数是______________.
A,.
AAA2DEB(第9题图)Cαβγ(第10题图)ⅠEFⅡB
D(第11题图)CB134D(第12题图)C10．如图，光线l照射到平面镜上，然后在平面镜Ⅰ、Ⅱ之间来回反射，已知∠α＝55，∠γ
＝75°，∠β＝______________. 11．如图，点D、E、F分别是BC、AD、BE的中点，且S△EFC＝1，则S△ABC＝______________. 12．如图，已知: ∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，则∠DAC＝______________. 13．如图，已知点D、E是BC上的点，且BE＝AB，CD＝CA，
∠DAE＝
1∠BAC，求∠BAC的度数 3BADE(第13题图)C培优升级·奥赛检测
01．在△ABC中，2∠A＝3∠B，且∠C－30°＝∠A+∠B，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．有一个角是30°的直角三角形 D．等腰直角三角形 B． C．
02．已知三角形的三边a、b、c的长都是整数，且a≤b≤c，如果b＝7，则这样的三角形共有
( ) A．21个 B．28个 C．49个 D．个 03．在△ABC中，∠A＝50°，高BE、CF交于O点，则∠BOC＝______________. 04．在等腰△ABC中，一腰上的高与另一腰的夹角为26°，则底角的度数为______________. 05．如图，BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点AE，若∠A＝40°，∠C＝38°，则∠P＝ ______________. DEGP
06．周长为30，且各边长互不相等且都是整数的三角形有多少个? FB C
07．设△ABC三边a、b、c的长度均为自然数，且周长不大于30，并满足(a－b) 2+(a－c) 2+(b
－c) 2＝26，问满足条件的三角形有多少个?(注:全等三角形只算一个)
,.
08．在一次数学小组活动后，小明清理课桌上的三角形模型，经清点，共有11个钝角，15
个直角，100个锐角，于是他把这些数据写在“数学园地”上征答:“共有多少个锐角三角形?”你能回答这个问题吗?
09．现有长为150cm的铁丝，要截成n(n＞2)小段，每段的长为不小于1cm的整数，如果其
中任意3小段都不能拼成三角形，试求n的最大值，此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n段?
10．如图，在△BCD中，BE平分∠DBC交CD于F，延长BC至G，CE平分∠DCG，且
EC、DB的延长线交于A点，若∠A＝30°，∠DFE＝75°. (1)求证: ∠DFE＝∠A+∠D+∠E； (2)求∠E的度数 ；
(3)若在上图中∠CBE与∠GCE的平分线交于E1，∠CBE1与∠GCE1的平分线交于E2，作∠CBE2与∠GCE2的平分线E3，依次类推，∠CBEn与∠GCEn的平分线交于E n+1，请用含有n的式子表示∠E n+1的度数.
ABFDCGE
11．如图，已知OABC是一个长方形，其中顶点A、B的坐标分别为(0，a)和(9，a).点E在
,.
AB上 ，且AE＝
11AB．点F在OC上 ，且OF＝OC，点G在OA上，且使△GEC33的面积为16，试求α的值.
yAEBGOFCx
12．如图，已知四边形ABCD中，∠A+∠DCB＝180°，两组对边延长后分别交于P、Q两点，
∠P、∠Q的平分线交于M，求证PM⊥QM.
QDCMABP
第17讲 认识多边形
考点·方法·破译
1．了解多边形的有关概念，探索并了解多边形内角和和外角和公式.
2．通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形、或正六边形可以镶嵌平面，并能进行镶嵌设计.
经典·考题·赏析
【例１】如图所示是一个六边形.
(1)从顶点A出发画这个多边形的所有对角线，这样的对角线有几条？它们将六边形分成几个三角形？
(2)画出此六边形的所有对角线，数一数共有几条？
【解法指导】本题主要考查多边形对角线的定义，对于n边形，从n边形的一个顶点出发，可引(n－3)条对角线，它们将这n边形分成(n－2)个三角形，n边形一共有
n(n3)条2对角线，
解:(1)从顶点A出发，共可画三条对角线，如图所示，它们分别是AC、AD、AE.将六边
,.
形分成四个三角形:△ABC、△ACD、△ADE、△AEF；
(2)六边形共有9条对角线. 【变式题组】
01．下列图形中，凸多边形有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
02．过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形对角线条数等于边数，
则m＝______，n＝______，k＝________. 03．已知多边形的边数恰好是从这个多边形的一个顶点出发的对角线条数的2倍，则此多边
形的边数是 .
【例２】(1)八边形的内角和是多少度？ (2)几边形的内角和是八边形内角和的2倍？
【解法指导】(1)多边形的内角和公式的推导：从n边形一个顶点作对角线，可以作(n－3)条对角线，并且将n边形分成(n－2)个三角形，这(n－2)个三角形内角和恰好是多边形内角和，等于(n－2)·1800；
(2)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数.
解：(1)八边形的内角和为(8－2)×1800＝10800； (2)设n边形的内角和是八边形内角和的2倍， 则有(n－2)×1800＝10800×2，解得n＝14. 故十四边形的内角和是八边形内角和的2倍. 【变式题组】
01．已知n边形的内角和为21600，求n边形的边数.
02．如果一个正多边的一个内角是1080，则这个多边形是（ ）
A．正方形 B．正五边形 C． 正六边形 D．正七边形 03．已知一个多边形的内角和为10800，则这个多边形的边数是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
04．如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1＝∠2
＝∠3＝∠4＝700，则∠AED的度数为（ ） A．1100 B．1080 C．1050 D．1000
5.当多边形的边数增加1时，它的内角和与外角和（ ）
A．都不变 B．内角和增加1800，外角和不变 C．内角和增加1800，外角和减少1800 D．都增加1800
【例３】一只蚂蚁从点A出发，每爬行5cm便左转600，则这只蚂蚁需要爬行多少路程才能回到点A？
解：蚂蚁爬行的路程构成一个正多边形，其路程就是这个正多边形的周长，根据已知可得这个正多边形的每个外角均为
600，则这个多边形的边数为
3600＝6.所以这只蚂蚁需要爬600行5×6＝30(cm)才能回到点A．
【解法指导】多边形的外角和为3600.
(1)多边形的外角和恒等于3600，它与边数的多少无关.
(2)多边形的外角和的推导方法：由于多边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，所以n边形内角和加外角和等于1800·n，外角和等于n·1800－(n－2)·1800＝3600.
,.
(3)多边的外角和为什么等于3600，还可以这样理解：从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发点时的方向，在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于3600.
(4) 多边形的外角和为3600的作用：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数，求各相等外角的度数.
【变式题组】 01．（无锡）八边形的内角和为_____.度. 02．（永州）如图所示，已知△ABC中，∠A＝400，剪去∠A
后成四边形，则∠1+∠2＝_____ 03．（资阳）n(n为整数，且n≥3)边形的内角和比（n+1）边
形的内角和少____度. 04．（株洲）如图所示，小明在操场上从点A出发，沿直线前进10米后向左转400，再沿直
线前进10米后，又向左转400，……，照这样下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了_____米.
【例４】已知两个多边形的内角和为18000，且两多边形的边数之比为2:5，求这两个多边形的边数.
【解法指导】因为两个多边形的边数之比为2:5，可设两个多边形的边数为2x和5x，利用多边形的内角可列出方程.
解：设这两个多边形的边数分别是2x和5x，则由多边形内角和定理可得： (2x－2)·1800+(5x－2)·1800＝18000，解得x＝2，∴2x＝4，5x＝10， 故这两个多边形的边数分别为4和10.
【变式题组】
01．一个多边形除去一个角后，其余各内角的和为22100，这个多边形是___________
2，则此多边形的边数为_____ 5203．每一个内角都相等的多边形，它的一个外角等于一个内角的，则这个多边形是（ ）
302．若一个多边形的外角和是其内角和的
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 04．内角和与其外角和相等的多边形是___________
【例５】某人到瓷砖商店去购买一种多边形瓷砖，用来铺设无缝地面，他购买的瓷砖不可以是（ ）
A．正三角形 B．长方形 C．正八边形 D．正六边形
【解法指导】根据平面镶嵌的定义可知：在一个顶点处各多边形的内角和为3600，由于正三角形、长方形、正六边形的内角都是3600的约数，因此它们可以用来完成平面镶嵌，而正八边形的每个内角为1350，不是3600的约数，所以正八边形不能把平面镶嵌.
解：选C． 【变式题组】
01．用一种如下形状的地砖，不能把地面铺成既无缝隙，又不重叠的是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．长方形 D．正五边形
02．小明家装修房屋，用同样的正多边形瓷砖铺地，顶点连着顶点，要铺满地面而不重叠，
瓷砖的形状可能有（ ）
A．正三角形、正方形、正六边形 B．正三角形、正方形、正五边形 C．正方形、正五边形 D．正三角形、正方形、正五边形、正六边形 03．只用下列正多边形•能作平面镶嵌的是（ ）
A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形
,.
04．（晋江市）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小
正方形，称为第一次操作；然后将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；……，根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是（ ） A．669 B．670 C．671 D．672 【例６】有一个十一边形，它由若干个边长为1的等边三角形和边长为1的正方形无重叠、无间隙地拼成，求此十一边形各内角的大小，并画出图形.
【解法指导】正三角形的每个内角为600，正方形的每个内角为900，它们无重叠、无间隙可拼成600、900、1200、1500四种角度，根据十一边形内角和即可判断每种角的个数.
解：因为正三角形和正方形的内角分别为600、900，由此可拼成600、900、1200、1500
四种角度，十一边形内角和为(n－2)×1800＝(11－2)×1800＝16200.
因为1200×11＜16200＜1500×11，所以这个十一边形的内角只有1200和1500两种.设1200的角有m个，1500的角有n个，则有1200m+1500n＝16200，即4m+5n＝
此方程有唯一正整数解m1，所以这个十一边形内角中有1个角n10为1200，10个角为1500，此十一边形如图所示.
【变式题组】
01．如图是某广场地面的一部分，地面的是一块正六边形的地砖，周围用正三角形和正
方形的大理石砖镶嵌，从里向外共铺了12层（不包括的正六边形地砖），每一层的外边界都围成一个正多边形，若正六边形的地砖边长为0.5m，则第12层的外边界所围成的多边形的周长是___________. 02．（黄冈）小明的书房地面为210cm×300cm的长方形，若仅从方便平面镶嵌的角度出发，
最适宜选用的地砖规格为（ ） A．30cm×30cm的正方形， B．50cm×50cm的正方形， C．60cm×60cm的正方形， D．120cm×120cm的正方形， 03．正m边形、正n边形及正p边形各取一个内角，其和为3600，求
111的值. mnp
演练巩固·反馈提高
01．在一个顶点处，若正n边形的几个内角的和为______，则此正n边形可铺满地面，没有
空隙. 02．（宜昌市）如图，用同样规格的黑白两种正方形瓷砖铺设正方形地面，观察图形并猜想
,.
填空：当黑色瓷砖为20块时，白色瓷砖为______块，当白色瓷砖为n2（n为正整数）块时，黑色瓷砖为______块.
03．（嘉峪关）用黑白两种颜色的正六边形地板砖按图所示的规律拼成如下若干地板图案：
则第n个图案中白色的地板砖有______块.
04．如图所示的图案是由正六边形密铺而成，黑色正六边形周围的第一层有六
个白色正六边形，则第n层有______个白色正六边形.
05．如果只用一种正多边形作平面镶嵌，而且在每一个正多边形的每一个顶点
周围都有6个正多边形，则该正多边形的边数为（ ） A．3 B． 4 C．5 D．6 06．下列不能镶嵌的正多边组合是（ ）
A．正三角形与正六边形 B．正方形与正六边形 C．正三角形与正方形 D．正五边形与正十边形 07．用两种以上的正多边形镶嵌必须具备的条件是（ ）
A．边长相同
B．在每一点的交接处各多边形的内角和为1800 C．边长之间互为整数倍
D．在每一点的交接处各多边形的内角和为3600，且边长相等 08．（荆门市）用三块正多边形的木板铺地，拼在一起且相交于一点的各边完全吻合，其中
两块木板的边数都是8，则第三块木板的边数是（ ） A．4 B．5 C．6 D．8 09．[自贡(课改)]张珊的父母打算购买形状和大小都相同的正多边形瓷砖来铺卫生间的地面，
张珊特意提醒父母，为了保证铺地面时既没缝隙、又不重叠，所购瓷砖形状不能是（ ） A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正八边形
10．我们常常见到如图所示那样图案的地板，它们分别是由正方形、等边三角形的材料铺成
的，
(1)为什么用这样形状的材料能铺成平整、无空隙的地板？
(2)你想一想能否用一些全等的任意四边形或不等边三角形镶嵌成地板，请画出图形.
11．某单位的地板由三种各角相等、各边也相等的多边形铺成，假设它们的边数为x、y、z，
你能找出x、y、z之间有何种数量关系吗？请说明理由.
,.
12．黑色正三角形与白色正六边形的边长相等，用它们镶嵌图案，方法如下：白色正六边形
分上下两行，上面一行的正六边形个数比下面一行少一个，正六边形之间的空隙用黑色的正三角形嵌满，按第1,2,3个图案[如图(1)、(2)、(3)]规律依次下去，则第n个图案中黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是（ ）
A．n2+n+2，2n+1
B．2n+2，2n+1
C．4n，n2－n+3
D．4n，2n+1
培优升级·奥赛检测
01．在一个多边形中，除了两个内角外，其余内角之和为20020，则这个多边形的边数为
（ ） A．12 B．12或13 C．14 D．14或15
02．有一个边长为4m的正六边形客厅，用边长为50cm的正三角形瓷砖铺满，则需要这种
瓷砖（ ） A．216块 B．288块 C．384块 D．512块 03．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数等于（ ）
A．3600 B．4500 C．00 D．7200
04．从凸n边形的一个顶点引出的所有对角线把这个凸n边形分成了m个小三角形，若m
等于这个凸n边形对角线条数的
4，那么此n边形的内角和为___________. 9,.
05．如图，已知DC∥AB，∠BAE＝∠BCD，AE⊥DE，∠D＝1300，求∠B的度数.
06．如图，小亮从点A出发，沿直线前进10米后向左转300，再沿直线前进10米，又向左
转300，……，照这样下去，他第一次回到出发点A时，一共走了______米. 07．如图，两直线AB、CD平行，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝（ ）
A．6300 B．7200 C．8000 D．9000
08．将一个宽度相等且足够长的纸条打开个结，如(1)，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如
图(2)所示的正五边形，ABCDE，其中∠BAC＝_________.
09．矩形ABCD的边长为16，宽为12，沿着对角线BD剪开，得到两个三角形，将这两个
三角形拼出各种凸四边形，设这些四边形中周长最大为m，周长最小为n，则m+n的值为（ ） A．120 B．128 C．136 D．144
10．对正方形ABCD分划如图①，其中E、F分别是BC、CD的中点，M、N、G分别是OB、
OD、EF的中点，沿分划线可以剪出一副由七块部件组成的“七巧板”
(1)如果设正方形OGFN的边长为1，这七块部件的各块长中，从小到大的四个不同值分别为1、x1、x2、x3，那么x1＝______；各内角中最小内角是_____度，最大内角是_____度；用它们拼成一个五边形如图②，其面积是_____.
(2)请用这块七巧板，既不留下一丝空白，又不相互重叠，拼出两种边数不同的凸多边形，画在下面格点图中，并使凸多边形的顶点落在格点图的小黑点上(格点图中上下左右相邻两点距离都为1).
(3)某合作学习小组在玩七巧板时发现：“七巧板拼成的多边形，其边数不能超过8”.你认为这个结论正确吗？请说明理由.
11．(方案设计题)我们常见到如图的图案地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形形状
的材料铺成的，这样的材料能铺成平整、无空隙的地面.
(1)你能不能另外想一个用一种多边形(不一定是正多边形)的材料铺地的方案，把你想到的方案画成草图；
,.
(2)请你再画一个用两种不同正多边形材料铺地的草图.
12．(俄罗斯萨温布竞赛题)如图，在凸六边形ABCDEF中，已知∠A+∠B+∠C＝∠D+∠E+∠F
成立，试证明：该六边形必有两条对边是平行的.
第18讲 二元一次方程组及其解法
考点·方法·破译
1．了解二元一次方程和二元一次方程组的概念；
2．解二元一次方程的解和二元一次方程组的解的意义； 3．熟练掌握二元一次方程组的解法.
经典·考题·赏析
【例1】 已知下列方程2xm1＋3yn3＝5是二元一次方程，则m＋n＝ . 【解法辅导】二元一次方程必须同时具备三个条件： ⑴这个方程中有且只有两个未知数； ⑵含未知数的次数是1；
⑶对未知数而言，构成方程的代数式是整式. 【解】根据二元一次方程的概念可知：【变式题组】
－
＋
m11，解得m＝2,n＝ －2,故m＋n＝0.
n31,.
01．请判断下列各方程中，哪些是二元一次方程，哪些不是，并说明理由.
⑴2x＋5y＝16 (2)2x＋y＋z＝3 (3)02．若方程2xa1＋3＝y2b
＋
－5
1＋y＝21 (4)x2＋2x＋1＝0 (5)2x＋10xy＝5 x是二元一次方程，则a＝ ,b＝ .
4x23y1003．在下列四个方程组①，②
2x4y914xy122y0，③，x7xy292x3y47x8y5④中，是二元一次方程组的有 （ ）
x45y0A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（十堰中考）二元一次方程组3x2y7 的解是 （ ）
x2y5x4 D． y2x3 y1x3A． B．
y2x1 C． y2【解法辅导】二元一次方程组的解，就是它的两个方程的公共解，根据此概念，此类题
有两种解法：⑴若方程组较难解，则将每个解中的两未知数分别带入方程组，若使方程组都成立，则为该方程组的解，若使其中任一方程不成立，则不是该方程组的解；⑵若方程组较易解，则直接解方程组可得答案.
本例中，方程组较易解，故可直接用加减消元法求解，本题答案选D． 【变式题组】 01．（杭州）若x=1，y=2是方程ax－y＝3的解，则a的值是 （ ）
A．5 B．－5 C．2 D．1 02．（盐城）若二元一次方程的一个解为x2，则此方程可以是 （只要求
y1写一个）
03.（义乌）已知：∠A、∠B互余，∠A比∠B大30°，设∠A、∠B的度数分别为x°,y°,下列
方程组中符合题意的是 （ ）
A． xy180 B．
xy30xy180 C． xy30xy90 D． xy30xy90 xy303x2axby．（连云港）若，是二元一次方程组2，的解，则a＋2b的值为 .
y1axby2【例3】解方程组xy7①
3x5y17②
【解法辅导】当二元一次方程组的一个方程中，有一个未知数的系数为1或－1时，可选用带入法解此方程，此例中①变形得y＝7－x ③,将③带入②可消去y,从而求解.
解：由①得，y＝7－x ③
将③带入②，得 3x＋5(7－x)＝17, 即35－2x＝17 x＝9
,.
故此方程组的解是【变式题组】 1.解方程组：
（南京）⑴x9
y22xy4x4y1 （海淀）⑵
x2y52xy162xy43xy5（花都）⑶ （朝阳）⑷
x2y55x2y232．方程组xy5的解满足x＋y＋a＝0,则a的值为 （ ）
2xy5A．5 B．－5 C．3 D．－3
2xy3①
【例4】解方程组
3x5y11② 【解法辅导】用加减法解二元一次方程组时，要注意选择适当的“元”来消去，原则上尽
量选择系数绝对值较小的未知数消去，特别是如果两个方程中系数绝对值的比为整数时，就选择该未知数为宜，若两系数符号相同，则相减，若系数符号相反，则相加.
本题中，y的系数绝对值之比为5：1＝5，因此可以将①×5，然后再与②相家，即可消去y.
解：①×5得，y＝7－x ③
③＋②,得 ，13x＝26 ∴x＝2 将x＝2代入①得 y＝－1
∴此方程组的解是
【变式题组】 01．(广州)以x2.
y1x1为解的二元一次方程组是 （ ）
y1A．xy0xy0xy0xy0 B． C． D．
xy1xy1xy2xy2x2y32x3y5 （宿迁）⑵
3x8y133x2y1202．解下列方程组：
（日照）⑴axby4x203．（临汾）已知方程组的解为，则2a－3b的值为 （ ）
axby2y1A．4 B．6 C．－6 D．－4
,.
04．已知
2xy5①
，那么x－y的值为 ，x＋y的值为 .
② x2y63x2y2k12①
的解满足x＋y＝6,求k的值.
4x3y4k2②
【例5】已知二元一次方程组【解法辅导】此题有两种解法，一中是由已给的方程组消去k而得一个二元一次方程，此方程与x＋y＝6联立，求得x、y的值，从而代入①或②可求得k的值；另一种是直接由方程组解出x、y，其中x、y含有k,即用含k的代数式分别表示x、y，再代入x＋y＝6得以k为未知数的一元一次方程，继而求k的值.
解：①×2，得， 6x＋4y＝4k＋24 ③ ③－②,得 2x＋7y＝22 ④ 由x＋y＝6，得2x＋2y＝12 ⑤，⑤－④,得 －5y＝－10 ∴y＝2 将y＝2代入x＋y＝6得 x＝4 将
x4带入①得 3×4＋2×2＝2k＋12 ∴k＝2. y2【变式题组】 01．已知⑴mx3ny13xy6与⑵有相同的解，则m＝ ,n＝ .
5xnyn24x2y802．方程组xy5的解满足方程x＋y－a＝0, 那么a的值为 （ ）
2xy53x2yk的解x与y的和为8，求k的值.
2x3yk3A．5 B．－5 C．3 D．－3 03．已知方程组
【例6】解方程组4(x3y)3(xy)16①
3(x3y)5(xy)12②
【解法辅导】观察发现：整个方程组中具有两类代数式，即（x＋3y）和（x－y）,如果我们将这两类代数式整体不拆开，而分别当作两个新的未知数，求解则将会大大减少运算量，当分别求出x＋3y和x－y的值后，再组成新的方程组可求出x、y的值，此种方法称为换元法.
解：设x＋3y＝a, x－y＝b, 则原方程组可变形为
4a3b16 3a5b12③ ④
③×3，得 12a＋9b＝12 ⑤ ④×4, 得 12a－20b＝48 ⑥－⑤,得 29b＝0,∴b＝0 将b＝0代入
③，得 a＝4 ∴可得方程组【变式题组】
x3y4x1 故原方程组的解为.
y1xy0,.
01．解下列方程组：
4xyxyx6⑴2 ⑵（湖北十堰）394(xy)5(xy)2x02．（淄博）若方程组310y
75y2a3b13a8.3的解是，则方程组
3a5b30.9b1.24(x2)3(y1)13的解是 （ ） 3(x2)5(y1)30.9A． x6.3 B．
y2.2x8.3 C． y1.2x10.3 D． y2.2x10.3 y0.203．解方程组：
211① x16x3 110②
2x22y1axby16【例7】（第二届“华罗庚杯”中学邀请赛试题）已知：方程组的
cx20y224解应为x8x12，小明解此题时把c抄错了，因此得到的解是，则a2＋b2＋c2
y10y13的值为 .
x8【解法辅导】是方程组的解，则将它代入原方程可得关于c的方程，由题意
y10分析可知：x12是方程ax＋by＝－16的解，由此可得关于a、b的又一个方程，由此
y13三个方程可求得a、b、c的值.
解：34
【变式题组】 01．方程组ax2y7x5x3时，一学生把a看错后得到，而正确的解是，则
cxdy4y1y1a、c、d的值是 （ ）
A．不能确定 B．a＝3, c＝1, d＝1 C． c、d不能确定 D． a＝3, c＝2, d＝ －2 02．甲、乙良人同解方程组求A、B、C的值.
AxBy2x1x2，甲正确解得，乙因抄错C，解得，
Cx3y2y1y6,.
演练巩固 反馈提高
01．已知方程2x－3y＝5,则用含x的式子表示y是 ，用含y的式子表示x是 .
x1axby102．(邯郸)已知是方程组的解，则a＋b＝ .
y14xby203．若(x－y)2＋|5x－7y－2|＝0, 则x＝ , y＝ . 04．已知x2axby7是二元一次方程组的解，则a－b的值为 .
y14xby1－
－
05．若x3mn＋y2nm＝－3是二元一次方程，则m＝ ,n＝ .
06.关于x的方程（m2－4）x2＋(m＋2)x＋(m＋1)y＝m＋5, 当m＝ 时，它是一元一次
方程，当m＝ 时，它是二元一次方程. 07．（苏州）方程组3x7y9的解是 （ ）
4x7y5x23 C． y7x23 D． y7x23 y7x2A． B．
y108．（杭州）已知x1是方程2x－ay＝3的一个解，那么a的值是 （ ）
y1A．1 B．3 C．－3 D． －1
xy109．（苏州）方程组的解是 （ ）
2xy5A． x1 B．
y2x2 C． y3x2 D． y1x2 y1xy5k10．（山东）若关于x、y的二元一次方程组的解也是二元一次方程3x＋3y＝6
xy9k的解，则k的值为 （ ） A．－3344 B． C． D．－ 4433axby2x3a2b11．（怀柔）已知方程组的解为，求的值为多少？
a2baxby4y212.解方程组：
,.
⑴（滨州）2x2y63x4y19 ⑵（青岛）
x2y2xy426(y)7(x3)63⑶ 18(x3)5(2y)532x5y6axby413．已知方程组和方程组的解相同，求代数式3a＋7b的值.
3x5y16bxay8
14． 已知方程组
15．（希望杯试题）m为正整数，已知二元一次方程组3x2yk的解x与y的和为8，求k的值.
2x3yk3mx2y10有整数解，求m2的值.
3x2y0
培优升级 奥赛检测
ykxb①
01．当k、b为何值时，方程组
y(3k1)x2②
⑴有唯一一组解 ⑵无解 ⑶有无穷多组解
,.
02．.当k、m的取值符合条件 时，方程组ykxm至少有一组解.
y(2k1)x403．已知：m是整数，方程组4x3y6有整数解，求m的值.
6xmy265x22y2z204．若4x－3y－6z＝0,x＋2y－7z＝0, (xyz≠0),则式子2的值等于 （ ） 222x3y10z119 B．－ C．－15 D．－13 22ab1bc1ca105．（信利杯赛题）已知：三个数a、b、c满足＝，＝，＝，
ab3ac4ca5abc则的值为 （ ） abbcca1121A． B． C． D．
2061215A．－
06． （广西赛题）已知：满足方程2x－3y＋4m＝11和3x＋2y＋5m＝21的x、y满足x＋3y
＋7m＝20,那么m的值为 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3 07．（广西赛题）若|a＋b＋1|与（a－b＋1）2互为相反数，则a与b的大小关系是 （ ）
A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．a≥b 08．（“华罗庚杯”竞赛题）解方程组
x1x2x2x3x3x4x1997x1998x1998x19991 x1x2x1998x19991999
xy1209.（全国竞赛湖北赛区试题）方程组的解的组数为 （ ）
xy6A．1 B．2 C．3 D．4
10．对任意实数x、y定义运算x※y＝ax＋by，其中a、b为常数，符号右边的运算是通常意
义的加乘运算，已知1※2＝5且2※3＝8，则4※5的值为 （ ） A．20 B．18 C．16 D．14 11．（北京竞赛题）若a、b都是正整数，且143a＋500b＝2001,则a＋b＝ .
,.
12．(华杯赛题）当m＝－5,－4,－3,－1,0,1,3,23,124,1000时，从等式（2m＋1）x＋(2－3m)y
＋1－5m＝0可以得到10个关于x和y的二元一次方程，问这10个方程有无公共解？若有，求出这些公共解.
13．下列的等式成立：x1x2＝x2x3＝x3x4＝ … ＝x99·x100＝x100·x101＝x101·x1＝1,
求x1 ，x2， …x100，x101的值.
第19讲 实际问题与二元一次方程组
考点·方法·破译
1．逐步形成方程思想，进一步适应列方程(组)解决实际问题的新思路. 2．学会用画图，列表等途径分析应用题的方法. 3．熟练掌握各类应用题中的基本数量关系.
4．学会找出每道应用题中所蕴藏的各种等量关系，并依此列出方程组.
经典·考题·赏析
【例1】甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由两地相向而行，1小时20分钟相遇，相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发后半小时追上了拖拉机，这时，汽车、拖拉机各自走了多少千米?
【解法指导】(1)画出直线型示意图理解题意
(2)本题有两个未知数——汽车的行程和拖拉机的行程.有两个相等关系：①相向而行:汽车行驶11小时的路程+拖3,.
拉机行驶1111的路程＝160千米；②同向而行：汽车行驶小时的路程＝拖拉机行驶(1+)322小时的路程.
(3)本题的基本数量关系有:路程＝速度×时间.
解：设汽车的速度为每小时x千米，拖拉机的速度为每小时y千米，根据题意，得
11(xy)16031x(11)y22解这个方程组，得
x90,1111 90(1)165千米，30（1+1）=85千米。3232y30.答:汽车走了】65千米，拖拉机走了85千米.
【变式题组】
01．A、B两地相距20千米，甲从A地向B地前进，同时乙从B地向A地前进，2小时后
二人在途中相遇，相遇后，甲返回A地，乙仍向A地前进，甲回到A地时，乙离A地还有2千米，求甲、乙二人的平均速度.
02．某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他开车以每小时50千米的速度行驶，就
会迟到24分钟；如果以每小时75干米的速度行驶，那么可提前24分钟到达乙地，求甲、乙两地间的距离.
03．某铁路桥长1000m，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用
了1min，整列火车完全在桥上的时间共40s.求火车的速度和长度.
,.
【例2】一项工程甲单独做需12天完成，乙单独做需18天完成，计划甲先做若干天后离去，再由乙完成，实际上甲只做了计划时间的一半便因事离去，然后由乙单独承担，而乙完成任务的时间恰好是计划时间的2倍，则原计划甲、乙各做多少天?
【解法指导】⑴由甲、乙单独完成所需的时间可以看出甲、乙两人的工作效率，设总工作量为1，则甲每天完成
11，乙每天完成； 1218(2)若总工作量没有具体给出，可以设总工作量为单位“1”，然后由时间算出工作效率，
最后利用“工作量＝工作效率x工作时间”列出方程.
xy1解:设原计划甲做x天，乙做y天，则有12181111x12y118122，解方程组，得x8,y6.答:原计划甲做8天，乙做6天.
【变式题组】
01．一批机器零件共1100个，如果甲先做5天后，乙加入合做，再做8天正好完成；如果
乙先做5天后，甲加入合做，再做9天也恰好完成，问两人每天各做多少个零件?
02．为北京成功申办2008奥运会，顺义区准备对潮白河某水上工程进行改造，若请甲工程队单独做此项工程需3个月完成，每月要耗资12万元；若请乙工程队单独做此项工程需6个月完成，每月要耗资5万元.
⑴若甲、乙两工程队合做这项工程，需几个月完成?耗资多少万元?
⑵因种种原因，有关领导要求最迟4个月完成此项工程，请你设计一种方案，既保证按时完成任务，又最大限度节省资金.(时间按整月计算)
【例3】古代有这样一个寓言故事，驴子和骡子一同走，它们驮着不同袋数的货物，每袋货物都是一样重的，驴子抱怨负担太重，骡子说:“你抱怨干吗?如果你给我一袋，那我所负担的就是你的两倍；如果我给你一袋，我们才恰好驮的一样多！”那么驴子原来所驮货物的袋数是多少?
【解法指导】找出本题中的等量关系为：骡子的袋数+1＝2×(驴子的袋数－1)，驴子的袋教+1＝骡子的袋数－1
,.
解:设骡子所驮货物有x袋，驴子有y袋，则依题意可得x12(y1)，解这个
x1y1方程组，得x7y5.答:驴子原来所驮货物有7袋.
【变式题组】
01．第一个容器有水44升，第二个容器有水56升.若将第二个容器的水倒满第一个容器，
那么第二个容器剩下的水是该容器的一半；若将第一个容器的水倒满第二个容器，那么第一个容器剩下的水是该容器的三分之一.求两个容器的容量.
02．(呼市)《一千零一夜》中有这样一段文字:有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部
分在地上觅食.树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下
的鸽子就是整个鸽群的
1；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了.”3你知道树上、树下各有多少只鸽子吗?
【例4】某车间加工螺钉和螺母，当螺钉和螺母恰好配套(一个螺钉配一个螺母)时就可以运进库房.若一名工人每天平均可以加工螺钉120个或螺母96个，该车间共有工人81名.问应怎样分配人力，才能使每天生产出来的零件及时包装运进库房?
【解法指导】这里有两个未知数——生产螺钉的人数和生产螺母的人数.有两个相等关系：(1)生产螺钉的人数+生产螺母的人数＝总人数(81名)；
(2)每天生产的螺钉数＝每天生产的螺母数.
xy81解:设生产螺钉的工人有x名，生产螺母的工人有y名，根据题意，得,解
120x96yx36 方程组，得.y45答:有36名工人生产螺钉.有45名工人生产螺母，才能使每天生产出来的零件及时包装运进库房.
【变式题组】
01．某车间有28名工人生产某种螺栓和螺母，每人每天能生产螺栓12个或螺母18个，为
了合理分配劳力，使生产的螺栓和螺母配套（一个螺栓套两个螺母)，则应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母?
,.
02．木工厂有28人，2个工人一天可以加工3张桌子，3个工人一天可以加工10把椅子，
现在如何安排劳动力，使生产的一张桌子与4把椅子配套?
03．现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底，一个盒身与两个盒底配
成一个完整的盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子?
【例5】一名学生问老师:“你今年多大?”老师风趣地说:“我像你这样大时，你才出生；你到我这么大时，我已经37岁了”.请问老师今年多少岁，学生今年多少岁.
【解法指导】如何找出应用题的等量关系是解决应用题的关健，也是难点，本题中，老师的两句话分别蕴含着两个等量关系，其本质就是根据师生不同时段的年龄差相等.
师生过去的年龄差＝师生现在的年龄差＝师生将来的年龄差，可列表帮助分析: 过去 现在 将来 师 y x 37 生 0 y x 差 y－0 x－y 37－x
xy37x① 【解】设现在老师x岁，学生y岁，依题可列方程组37xy0②解此方程组得x25答:老师今年25岁，学生今年12岁.
y13【变式题组】
01．甲、乙两人聊天，甲对乙说:“当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁.”乙对甲说:
“当我的岁数是你现在的岁数时，你将61岁”.同学们，你能算出这两人现在各是多少岁吗？试试看.
,.
02．6年前，A的年龄是B的3倍，现在A的年龄是B的两倍，A现在的年龄是( )
A．12岁 B．18岁 C．24岁 D．30岁
03．甲对乙风趣地说:“我像你这样大岁数的那年，你才2岁，而你像我这样大岁数的那年，
我已经38岁了.甲、乙两人现在的岁数分别为___________.
【例6】(威海)汶川大地震发生后，各地人民纷纷捐款捐物支援灾区.我市某企业向灾区捐助价值94万元的A，B两种账篷共600顶.已知A种帐篷每顶1700元，B种帐篷每顶1300元，则A、B两种帐篷各多少顶?
【解法指导】本题等量关系有两个：A种帐篷数＋B种帐篷数＝600，1700×A种帐篷数＋1300×B种帐篷数＝940000，若设A、B两种帐篷数分别为x、y，即可得方程组.
【解】设A种帐篷有x顶，B种帐篷有y顶，依题意可列方程组
xy600x400①解这个方程组可得 答：A种帐篷400顶，By2001700x1300y940000②种帐篷200顶.
【变式题组】
01．(桂林)某蔬菜公司收购到某种蔬菜104吨，准备加工后上市销售.该公司加工该种蔬莱的
能力是:每天可以精加工4吨或粗加工8吨.现计划用16天正好完成加工任务，则该公司应安排几天精加工，几天粗加工?
02．(济南)教师节来临之际，群群所在的班级准备向每位辛勤工作的教师献一束鲜花，每束
由4支鲜花包装而成，其中有象征母爱的康乃馨和象征尊敬的水仙花两种鲜花，同一种鲜花每支的价格相同.请你根据第一、二束鲜花提供的信息，求出第三束鲜花的价格. 03．（云南）在“家电下乡”活动期间，凡购买指定家用电器的农村居民均可得到该商品售
价13%的财政补贴.村民小李购买了一台A型洗衣机，小王购买了一台B型洗衣机，两人一共得到财政补贴351元，又知B型洗衣机售价比A型洗衣机售价多500元.求: (1)A型洗衣机和B型洗衣机的售价各是多少元?
(2)小李和小王购买洗衣机除财政补贴外实际各付款多少元?
,.
【例7】已知有三块牧场，场上的草长得一样快，它们的面积分别为31公顷、10公顷3和24公顷.第一块牧场可供12头牛吃4个星期，第二块牧场可供21头牛吃9个星期.试问第三块牧场可供多少头牛吃18个星期?
【解法指导】此题涉及的草量有三种，一是牧场原有生长的草量，二是每周新长出的草量，三是每头牛每周吃掉的草量，分析相等关系时要注意草量“供”与“销”之间的关系:
第一块牧场:原有草量+4周长出的草量＝12头牛4周吃掉的草量； 第二块牧场:原有草量+9周长出的草量＝21头牛9周吃掉的草量； 第三块牧场:原有草量+18周长出的草量＝？头牛18周吃掉的草量.
解:设牧场每公顷原有草x吨，每公项每周新长草y吨，每头牛每周吃草a吨，依题意，得1010xy4412a
3310x10y9921ax10.8a 解这个关于x、y的二元一次方程组，得y0.9a设第三块牧场18周的总草量可供z
则:z头牛吃18个星期，
24x24y1824(10.8a0.9a18)36(头)
18a18a答:第三牧场可供36头牛吃18个星期.
【变式题组】
01．某江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用两
台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完.若想尽快处理好险情，将水在10分钟内抽完，那么至少需要抽水机多少台?
02．山脚下有一池塘，山泉以固定的流量(即单位时间里流入池中的水量相同)不停地向池塘
内流淌，现池塘中有一定深度的水，若用一台A型抽水机则1小时后正好能把池塘中的水抽完;若用两台A型抽水机则要20分钟正好把池塘中的水抽完;若用三台A型抽水机同时抽，则需要多长时闻恰好把池塘中的水抽完?
演练巩固 反馈提高
一、填空：
01．将一摞笔记本分给若于名同学，每个同学6本，则剩下9本;每个同学8本，又差了3
本，则这一摞笔记本共___________本.
,.
02．一个两位数的十位数字与个位数字的和是7，如果这个两位数加上45，则恰好组成这个
个位数字与十位数字对调后的两位数，则这个两位数是__________.
03．现有食盐水两种，一种含盐12%，另一种含盐20%，分别取这两种盐水akg和bkg，将
其配成16%的盐水100kg，则a＝_______，b＝__________.
04．在2006—2007西班牙足球甲级联赛中，凭借最后几轮的优异成绩，皇家马德里队最终
夺得了冠军，已知联赛积分规则是:胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，皇家马德里队在最后12场比赛得到31分，且平、负场次相同，那么皇家马德里队最后12场比赛胜了________场.
05．(重庆)含有同种果蔬但浓度不同的A，B两种饮料，A种饮料重40千克，B种饮料重60
千克.现从这两种饮料中各倒出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合，如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同，那么从每种饮料中倒出的相同的重量是_________千克. 06．.已知乙组人数是甲组人数的一半，若将乙组人数的
1调入甲组，则甲组比乙组人数多315人，则甲、乙两组的人数分别为_______、________.
07．小明家去年节余5000元，估计今年节余9500元，并且今年收人比去年提高15%，支
出比去年降低10%，则小明家去年的收人为_____元，支出为_______元. 二、选择题:
08．某次数学知识竞赛共出了25道试题，评分标准如下:答对1题加4分;答错1题扣1分;
不答记0分.已知李明不答的题比答错的题多2道，他的总分为74分，则他答对了() A．18题 B．19题 C．20题 D．21题
09．甲、乙两地相距120km，一艘轮船往返两地，顺流时用5h，逆流时用6h，这艘轮船在
静水中航行的速度和水流速度分别为( )
A．22km/h，2km/h B．20km/h，4km/h C．18km/h，6km/h D．26km/h，2km/h 10．看图，列方程组:
上图是“龟兔赛跑”的片断，假设乌龟和兔子在跑动时，均保持匀速，乌龟的速度为v1米/小时，兔子的速度为v2米/小时，则下面的方程组正确的是( )
20010v1 A．v25v1000220010v1 C．v25v10001
20010v2 B．v15v1000120010v2 D．v15v1000211．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身10个或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成
一个罐头盒，现有120张白铁皮，设用x张制盒身，y张制盒底，则可得方程组()
A．xy120,40x16y. B．xy120,10x80y.
,.
C．xy120,40y210x. D．以上都不对
12．甲乙两人练习跑步，如果乙先跑10米，甲跑5秒就可追上乙;如果乙先跑2秒，甲跑4
秒就可追上乙.设甲的速度为x米/秒，乙的速度为y米/秒，则可列出的方程组为( )
A．5y105x,4y6x.B．5x5y10,4x6y. C．5x105y,4x6y.
D．5y5x10,4y6x.
三、解答题
13．(贺州)福林制衣厂现有24名制作服装的工人，每天都制作某种品牌的衬衫和裤子，每
人每天可制作这种衬衫3件或裤子5条.
(1)若该厂要求每天制作的衬衫和裤子数量相等，则应各安排多少人制作衬衫和裤子?
(2)已知制作一件衬衫可获得利润30元，制作一条裤子可获得利润16元，若该厂要求每天获得利润2100元，则需要安排多少名工人制作衬衫?
14．(晋江)2010年春季我国西南大旱，导致大量农田减产，下图是一对农民父子的对话内容，请根据对话内容分别求出该农户今年两块农田的花生产量分别是多少千克?
15．(长沙)“5·l2”汉川大地震后，灾区急需大量帐篷，某服装厂原有4条成衣生产线和5
条童装生产线，工厂决定转产，计划用3天时间赶制1000顶帐篷支援灾区.若启用1条成衣生产线和2条童装生产线可以生产帐篷105顶;若启用2条成衣生产线和3条童装
,.
生产线，一天可以生产帐篷178顶.
(1)每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各多少顶?
⑵工厂满负荷全面转产，是否可以如期完成任务?如果你是厂长，你会怎样体现你的社会责任感?
培优升级 奥赛检测
01．(第十七届江苏省竟赛题)美国篮球巨星乔丹在一场比赛中24投14中，拿下28分，其
中三分球三投全中，那么乔丹两分球投中______球，罚球投中_______球.
02．甲、乙分别自A，B两地同时相向步行，2小时后在途中相遇，相遇后，甲、乙步行速
度都提高了1千米/时，当甲到达B地后立刻按原路向A地返回，当乙到达A地后也立刻按原路向B地返回.甲、乙两人在第一次相遇后3小时36分钟又再次相遇，则A，B两地的距离是_____千米.
03．(武汉市选拔赛试题)某人家的电话号码是八位数，将前四位数组成的数与后四位数组成
的数相加得14405，将前三位数组成的数与后五位数组成的数相加得16970，求此人家的电话号码.
04．(第17届“希望杯”邀请赛试题)放成一排的2005个盒子有4010个小球，其中最
左端的盒子中放了a个小球，最右端的盒子放了b个小球，如果任意相邻的12个盒子中的小球共有24个，则( ).
A， a＝b＝2 B． a＝b＝1 C． a＝1，b＝2B．a＝2，b＝1
05．(广西竞赛题)某中学全体师生租乘同类型客车若干辆外出春游，如果每辆车坐22人，
就会余下1人;如果开走一辆空车，那么所有师生刚好平均分乘余下的汽车.问:原先去租多少辆客车和学校师生共多少人?(已知每辆车的容量不多于32人)
,.
06．(河南省竞赛题)司机小李驾车在公路上匀速行驶，他看到里程碑上的数是两位数，1小
时后，看到里程碑上的数恰是第一次看到的数颠倒了顺序的两位数，再过1小时后，第三次看到里程碑上的数又恰好是第一次见到的两位数字之间添上一个零的三位数，这三块里程碑上的数各是多少?
07．(第17届江苏省竞赛题)某城市有一段马路需要整修，这段马路的长不超过3500米，今
有甲、乙、丙三个施工队，分别施工人行道、非机动车道和机动车道.他们于某天零时同时开工，每天24小时连续施工.若干天后的零时，甲完成任务;几天后的18时，乙完成任务;自乙队完成的当天零时起，再过几天后的8时，丙完成任务，已知三个施工队每天完成的施工任务分别为300米、240米、180米，问这段路面有多长?
08．(首届江苏省“数学文化节”能力素质挑战题)如图，长方形ABCD中放置9个形状、大
小都相同的小长方形(尺寸如图)，求图中阴影部分的面积. 09．(第9届“华杯赛”决赛试题)某次数学竞赛前60名获奖.原定一等奖5人，二等奖15人，
三等奖40人;现调为一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人，调整后一等奖平均分数降低3分，二等奖平均分数降低2分，三等奖平均分数降低1分.如果原来二等奖比三等奖平均分数多了7分，求调整后一等奖比二等奖平均分数多几分? \\
mxnyz710.已知x＝2，y＝－1，z＝－3，是三元一次”程组2nx3y2mx5的解，求m2－
xyzk7n＝3k的值.
,.
11．(“希望杯”邀请赛)购买铅笔7支，作业本3本，圆珠笔1支，共需3元，而购买铅笔
10支，作业本4本，圆珠笔1支共需4元，则购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需多少元钱?
12．四边形ABCD的对角线相交于O点，且三角形ABC、BCD、CDA、DAB的面积为5、9、
A 10、6，求三角形OAB、OBC、OCD、ODA的面积.
x u
B D y O z
C
13.（重庆竞赛）某校七年级的新生男女同学的比例为8:7，一年后收转学生40名，男女同
学的比例变为17:15.到九年级时，原校学生有转学来的，统计知净增10名，此时男女同学的比例为7:6.问:该校在七年级时招收的新生中，各招了男女同学多少名?(注:该校七年级新生人数不超过1000人)
第20讲 三元一次方程组和一元一次不等式组
考点·方法·破译
1．了解三元一次方程组和它的解的概念；
2．会解三元一次方程组并会用它解决较简单的应用题； 3．了解一元一次不等式和一元一次不等式组的解集；
4．会解一元一次不等式和一元一次不等式组，并会进行一些简单的应用．
经典·考题·赏析
2xy7①【例１】解方程组5x3y2z2②
3x4y4z16③【解法指导】观察发现，本方程组共有两个三元一次方程，一个二元一次方程．解三元一次方程组的基本思想是消元，将其转化为二元一次方程组来求解．因此，根据本题特点有两种主要思路：一是代入法，将①分别代入②、③消去y，从而得到一个以x、z为未知数的二元一次方程组；二是由②③用加减法消去z得一个以x、y为未知数的方程，再与①联系，得一个二元一次方程组．
解：方法⑴ 将④代入②，由①得：y＝2x－7 ④ 得
,.
5x＋3(2x－7)－3z＝2 即11x＋3z＝23 ⑤ 将④代入③，得
3x－4(2x－7)－4z＝16
即－5x－4z＝－12 ⑥
x211x3z23解二元一次得1
z5x4z122将x＝2代入①得y＝－3
x2∴原方程组的解为y3
1z2方法⑵
②×2得 10x＋6y＋4z＝4 ④ ④＋③得 13x＋2y＝20 ⑤
2xy7x2解方程组得
13x2y20y3将x21代入②得z
2y3x2∴原方程组的解为y3
1z2,.
【变式题组】 1．解下列议程组：
xy1⑴xyz26 2xzy182xy7⑵3y2z8 3x4z4x:y5:3⑶x:z7:2 x2y3z4xy81994
2．解方程组yz6，并且mx＋2y－z＝10，求m的值．
xz4
【例2】北京时间2006年1月23日，科比率领湖人队在洛杉矶迎接多伦多猛龙队的挑战．在比赛中，科比全场46投28中，罚篮命中率高达90%，疯狂砍下职业生涯最高分81分，其中依靠罚球和三分球所得分数比其他投篮得分仅仅少了3分，最终湖人队以122︰104获胜．科比的81分超越了近20年来乔丹69分的得分记录，也成为继张伯伦1962年3月2日对阵纽约尼克斯砍下的NBA单场最高得分记录100分之后，联盟历史上排名第二的单场个人最高分．在篮球比赛中，三分球每投中一个加3分，除此之外其他的投篮每投中一个加2分．若是对方犯规，罚球每中一个，加1分，且在计算命中率时，罚球是单独计算的，不计入总的出手次数，那么通过上面的这则新闻，你能算出科比投中的三分球、二分球和罚球分别是多少个吗？
【解法指导】列方程组解决实际问题时，关键是找出题中的等量关系（注意找全所有的等量关系），然后适当设出未知数，列出各个方程组成方程组．
本题中，等量关系有3个：
⑴科比全场共得81分；⑵科比46投28中，即他的三分球和二分球总共中了28次；⑶罚球和三分球所得的分数比其他投篮得分仅仅少了3分，即三分球和罚球的分数之和比二分球得分少3分．
利用这三点就很容易建立方程组求解．
解：设科比投中x个二分球，y个三分球，z个罚球． 依题意得：
2x3yz81x21解得Ly7 xy283yz2x3z18【变式题组】
1．某车间每天可以生产甲种零件600个或乙种零件300个或丙种零件500个，这三种零件
各一个可以配成一套，现要在63天的生产中，使生产的三种零件全部配套，这个车间应该对这三种零件的生产各用几天才能使生产出来的零件配套？
,.
2．2003年全国足球甲A联赛的前12轮（场）比赛后，前三各比赛成绩如下表．
大连实德队 上海申花队 北京现代队 胜（场） 8 6 5 平（场） 2 5 7 负（场） 2 1 0 积分 26 23 22 问每队胜一场、平一场、负一场各得多少分？
【例3】下列各命题，是真命题的有（ ）
22
①若a＞b,则a－b＞0 ②若a＞b，则ac＞bc
22
④若ac＞bc，则a＞b ⑤若a＞b，则3a＞3b 1
③若ac＞bc，则a＞b
⑥若a＞b，则－3a＋1＞－3b＋
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解法指导】不等式的三条性质，是解决有关不等式的命题的重要依据，深入透彻理解不等式的三条性质的真实内涵，是判断上述各命题的关键．第①题是直接运用不等式的性质
22222
1，完全正确．第②题是将不等式a＞b的两边同乘以c，但c≥0，当c＝0时，ac＝bc，故本题不对．第③题是将ac＞bc的两边同除c得到a＞b，虽然条件知c≠0，但c可正可负，
222
当c＜0时，a＞b就不成立，故本题不对．第④题由条件ac＞bc知c≠0，因而c2＞0,故本题正确．第⑤题中，设a＞b两边同乘以3，满足性质2，故正确．第⑥题中由a＞b得－3a＜－3b．因而－3a＋1＜－3b＋1，因此不对，本小题运用了性质3和性质1．
解：C
【变式题组】
1．下列各命题，正确的有（ ）
①若a－b＞0,则a＞b ②若a＜b,则ac＜bc
③若＞,则a＞b ⑤若a＞b，则
acbc④若a＜b，则
ab ＜22cc2
ab ＞m21m21⑥若a＞b，则a＞ab
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
22
2． ⑴关于x的不等式（m＋1）x＞m＋1解集是________________；
⑵若关于x的不等式（m＋1）x＜m＋1的解集是x＜1，则m满足的条件是_________ 3．若关于x的不等式（2a－b）x＞3a＋b的解集是x＜
集是多少？
7,则关于x的不等式2ax≥3b的解3159x104x①【例4】解不等式组1并把解集在数轴上表示出来． 3x1≤7x②22【解法指导】不等式的解集就是不等式组中每个不等式的公共解集．这就要求首先会解
每个不等式然后会综合不等式组的解集．一般地，对于a＜b，有下列四种情形．
,.
⑴xaxb即同大取大
xbxaxa即同小取小
xb⑵xa⑶axb即大小小大中间找
xb⑷xa无解即大大小小无法找
xb解：由不等式①可得x＞1， 由不等式②得x≤4
综合可得此不等式组的解集是1＜x≤4
－－0 1 2 3 4 5 6 7
【变式题组】
1．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
3x14⑴ 2x≤x25x12≤2(4x3)⑵3x1
122．已知整数x满足不等式3x－4≤6x－2和不等式
＋2＝0，试求5a
3．已知|1－x|＝x－1，则不等式组22x1x-1,并且满足3(x＋a)－5a1＜321的值. 2a5x42x1的解集为________________
3x12x3(x2)2①【例5】若关于x的不等式组a2x有解，则a的取值范围是多少？
x②4x2【解法指导】分别解每个不等式，可得a，若原不等式组有解，由“大小小大中
x2间找”的法则，可知︰在数轴上看，2与示在数轴上如下图：
aa之间必有“空隙”，且2在的左边，将它们表22,.
a 2⑴
2
2 a2⑵
2 ⑶
a 2
显然只有图⑶才符合要求，所以2＜解：由⑴可知：x＞2 由⑵可知：x＜
a,即a＜4． 2a 2∵原不等式有解 ∴2＜
a 2即a＞4
故a的取值范围是a＞4 【变式题组】 1．选择题：
⑴若关于x的不等式组A．a＜3
x2a1≤0有解，则a的取值范围是(
x3a4≥0C．a＞3
D．a≥3
)
B．a≤3
⑵若关于x的不等式组A．a＜1
x3(x2)4无解，则a的取值范围是（
3xa2xC．a＝1
D．a≥1
）
）
B．a≤1
xa≥0⑶若不等式组有解，则a的取值范围是（
12x＞x2A．a＞－1 B．a≥－1 C．a≤1
2．试确定a的取值范围，使不等式组：
D．a＜1
x1x＞1①4 111.5a(a1)＞(ax)0.5(2x1)②22只有一个整数解．
xa13．不等式组的解集中，任一个x的值均不在3≤x≤7的范围内，求a的取值范
xa2围。
,.
输入正整数x 【例6】如图所示，要使输出值y大于100,则输入的最小正整数x是______________.
【解法指导】由计算机编入程序的问题，主要是由题目中设
奇数 偶数 置的不同程序，对输入的不同数值上，其计算路径也不同．，此类题的关键，是读懂题目所给的程序（框图）．本题中，对于输×4 入的正整数x，分奇数和偶数分别进行计算．若x为奇数，则乘
×5 以5，得出输出值y为5x，即y＝5x．若输入的x为偶数，则y
＝4x＋13． ＋13 解：当x是奇数时，由程序运算得5x＞100,解得x＞20，所
输出y 以输入的最小正整数x是21；当x是偶数时，由程序运算得4x
＋13＞100，解得x＞21.75，所以输入的是最小正整数x是22.综上可知，输入的最小正整数x是21．
【变式题组】
1．如下图，当输入x＝2时，输出的y＝_________________
2．根据如图所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值为______________
【例7】解不等式：|x＋3|－|2x－1|＜2
【解法指导】解含有绝对值的不等式，就是要设法脱去绝对值符号，主要有两种方法：一是采用较为常用的“零点分段法”分类去掉绝对值符号．（所谓“零点”，就是指使得每个绝对值符号内的代数式的值为0的未知数的值），再在相应的范围内解一元一次不等式，本题中“零点”即是x＝－3和x＝
111,从而分x＜－3，－3≤x≤，x＞这三个范围分别脱222去绝对值符号而求解．此法可以简单地说成“找零点、两边分”．二是根据绝对值定义可得：
xaaxa，x≥ax≥a或x≤a这样，可以快速脱去绝对值符号，避免复
杂的讨论，如解不等式|3x＋1|＜2，可快速得－x＜3x＋1＜2即－3＜3x＜1，所以－1＜x＜避免了讨论．
解：解法⑴：零点为x＝－3，x＝1)＜2．
解不等式得x＜6，又x＜－3． 所以原不等式的解为x＜－3
②当－3≤x＜
1,31,①当x＜－3时，原不等式化为－(x＋3)＋(2x－21时，原不等式化为(x＋3)＋(2x－1)＜2 2,.
解此不等式得x＜0，又－3≤x＜③当x≥
1，所以原不等式的解为－3≤x＜0 21，原不等式化为（x＋3）－(2x－1)＜2 21解此不等式得x＞2,又x≥,所以原不等式的解为x＞2
2综上所述，原不等式的解为x＜0或x＞2． 解法⑵：由原不等式得： |2x－1|＞|x＋3|－2.
所以2x－1＞|x＋3|－2.① 或2x－1＜|x＋3|－2.②
由①得|x＋3|＜2x＋1→－（2x＋1）＜x＋3＜2x＋1，解得x＞2. 由②得|x＋3|＜3－2x→－（3－2x）＜x＋3＜3－2x．解得x＜0． 综上所述，原不等式的解为x＞2或x＜0． 【变式题组】 1．解不等式（组）：
⑴|x－2|≤2x－10 ⑵|2x＋1|＞x－3 2．若方程3xyk1的解为x,y，且2＜k＜4，则x－y的取值范围是（
x3y3）
A．0＜x－y＜
1 B．0＜x－y＜1 C．－3＜x－y＜－1 D．－1＜x－y＜1 2演练巩固·反馈提高
01．在三元一次方程x－2y＋3z＝5中，若x＝1，y＝－1，则Z＝________________．
2
02．若|x－3z|＋(y－1)＋|2x＋3|＝0，则x＝________，y＝________，z＝_________． 03．已知x︰y︰z＝3︰4︰5，且x＋y＋＋z＝36，则x＝________，y＝________，z＝_________． 04．不等式组2x51的整数解是_________________．
3x8≤106,则m的取值范围是________________． m305．mx－2＜3x＋4的解集是x＞
2x≤306．不等式组x的解集是_________________________．
＜12x2a07．若不等式组的解集是－1＜x＜2，则a＝____，b＝____．
x2b08．若不等式组x3a2的解集是x＜3a＋2，则a的取值范围是_________________．
xa4,.
09．已知方程组10．如果方程
3x2y4a3的解满足x＋y＞0，则a的取值范围是___________．
2x3ya72xa4xb的解不是正数，则a与b的关系是（ ） 3555A．5a≤5b B．5a＜3b C．a＞b D．b＞a
3311．不等式组x1≤3的解集为(
2x6)
A．x＞3 B．x≤4 C．3＜x＜4 D．3＜x≤4 12．三角形三边长为a、b、c，且a＞b，则下列结论正确的有（
①a－c＞b－c；②
）
ababcbca；④ ；③ccababbabaC．①②④
D．①②③④
A．① B．①②③
13．解方程组：
xy10
⑴xz6 yz14
xyz0⑵2xyz7 x3yz8
14．解不等式（组），并将解集在数轴上表示出来．
x1≥01⑴ 334(x1)1
15．解答题：
3x54⑵2x6≥10 1(x3)2≥122x5x5①3⑴关于x的不等式组只有5个整数解，求a的取值范围．
x3xa②2
,.
⑵m取什么整数时，方程组mxy5①2x3my7②的解满足x＞0且y＜0？
培优升级·奥赛检测
01．若－1＜a＜b＜0，则下列式子中正确的是（
A．－a＜－b B．02．一共有（
A．10000
） D．a＞b
2
2
11 abC．|a|＜|b|
）个整数x适合不等式|x－2000|＋|x|≤9999． B．20000 C．9999 D．80000
03．设a,b是正整数，且满足56≤a＋b≤59，0.9＜
a22
≤0.91,则b－a等于（ b ）
A．171 B．177 C．180 D．182
04．当a＞3时，不等式ax＋2＜3y＋b的解集是x＜0，则b＝_____________． 05．已知|3x－4y|＝42，|x－1|≤5，|y＋2|≤4，则x＋y＝_____________．
06．将2004写成若干个质数的乘积，如果a,b,c是这些质数中的三个，且a＜b＜c，那么
关于x、y的方程组bxay1的解是x＝_________,y＝______________．
axcy16507．如果不等式组x10无解，则a的取值范围是______________．
xa008．甲、乙、丙三人进行智力抢答活动．规定：第一个问题由乙提出，由甲、丙抢答，以后
在抢答过程中若甲答对1题，就可提6个问题，乙答对1题就可提5个问题，丙答对1题就可提4个问题，供另两人抢答，抢答结束后，总共有16个问题没有任何人答对，则甲、乙、丙答对的题数分别是________________________． 三、解答题：
09．解不等式|3x＋2|－|x－6|＞1
,.
10．已知：
2x15x3x，求|x－1|－|x＋3|的最大值和最小值． 1≥x32
11．已知a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7是彼此互不相等的正整数，它们的和等于159，求其中
最小的a1的最大值．
12．求满足下列条件的最小正整数n，对于这个数n，有唯一的正整数k，满足
8n7． 15nk13
13．已知：实数a,b满足1≤a＋b≤4，0≤a－b≤1，且a－2b有最大值，求：8a＋2003b
的值．
,.
第21讲 一元一次不等式（组）的应用
考点·方法·破译
1．进一步巩固一元一次不等式和一元一次不等式组的解法及它们的解集的意义，并会简单运用•
2．会列不等式或不等式组解决一些典型的实际问题•
经典·考题·赏析
【例1】当x取何有理数时，代数式
1x2的值不大于1？ 23【解法指导】从题目中找出不等关系来，并依此列出不等式，解此不等式即可求出本题
所求“不大于”，即是小于或等于，类似的还有“不超过”、“不多于”、“顶多为”，另外，“不少于”、“不低于”、“至少为”等，即为“大于或等于”•
解：依题意得
1x2≤1 23去分母，得 3－2(x－2)≤6
去括号，得 3－2x＋4≤6
合并同类项，得 －2x≤6－3－4 即 －2x≤－1 系数化为1，得 x≥∴ 当x取值不小于【变式题组】 01．如果1 211x2时，的值不大于1• 2232(1x)的值是非正数，则x的取值范围是（ ） 3 A．x≤－1 B．x≥－1 C．x≥1 D．x≤1 02．当x取何值时，代数式2x－5的值：
⑴大于0？ ⑵等于0？ ⑶不大于－3？ 03．若代数式
x1x1x1的值不小于的值，求正整数x的值• 632xy元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，其原2【例2】（乐山）某商贩去菜摊买黄瓜，他上午买了30斤，价格为每斤x元；下午他又买了20斤，价格为每斤y元•他以每斤
因是（ ） A．x＜y B．x＞y C．x≤y D．x≥y
【解法指导】若要比较两个有理数a和b的大小，有一种方法就是判断a－b的值的正负：若a－b＝0，则a＝b；若a－b＜0，则a＜b，反之亦然•用这种方法比较两数大小，称
xy的大小的问题，所谓“赔了钱”，2xyxy0变形可得x＞y，故选就是进价30x20y50，也就是30x20y5022之为作差比较法•本题实质就是比较30x＋20y与50B•
,.
【变式题组】
x22x1201．如果比大，则x的取值范围是（ ）
33
A．x＞1 B．x＜1 C．x≤1 D．x≠1
32302．试比较两个代数式xx2x与x1的大小•
03．若代数式3x2x1比3xx1大，求x的取值范围•
【例3】某校餐厅计划购买12张餐桌和一批餐椅，从甲、乙两商场了解到统一餐桌每
张均为200元，餐椅报价每把均为50元•甲商场称：每购买一张餐桌赠餐椅；乙商场称：所有的餐桌、餐椅均按报价的八五折销售，那么什么情况下到甲商场购买更优惠？什么情况下到乙商场购买更优惠？
【解法指导】餐椅的购买数量是个变量，到哪个商场购买更优惠，取决于餐椅的数量多少•把餐椅数量设为x把，到甲、乙两商场购买所需费用分别设为y甲、y乙，它们分别用含x的式子表示，再比较y甲、y乙的大小即可，在求y甲是，应注意x减去12后，在乘以50，即y甲＝200×12＋50(x－12)；同理y乙＝(200×12＋50x)×85%•
解：设学校计划购买x把餐椅，到甲、乙两商场购买所需费用分别为y甲元、y乙元• 根据题意，得：y甲＝200×12＋50(x－12)，即y甲＝1800＋50x，
y乙＝(200×12＋50x)×85%，即y乙2040①当y甲＜y乙时，180050x20402285x• 285x， 2解这个不等式，得x＜32•
即当购买的餐椅少于32把时，到甲商场购买更优惠• ②当y甲＞y乙时，180050x204085x， 2解这个不等式，得x＞32•
即当购买的餐椅多于32把时，到乙商场购买更优惠• ③当y甲＝y乙时，180050x204085x， 2 解这个不等式，得x＝32• 即当购买的餐椅等于32把时，到两家商场购买均可• 【变式题组】 01．某电信公司对电话缴费采取两种方式，一种是每月缴纳月租费15元，每通话1分钟0.20
元；另一种是不交月租费，但每通话1分钟收话费0.30元•请问，用那种缴费方式比较合适？
02．某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10～25人，甲、
乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元•经协商，甲旅行社表示可以给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可以免去一位游客的旅游费用，其余游客八折优惠，该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？ 03．（潍坊）某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸
箱•供应这种纸箱有两种方案可供选择：
方案一：从纸箱厂定制购买，每个纸箱价格为4元；
,.
方案二：由蔬菜加工厂朱琳机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取，工厂需要一次性投入机器安装等费用16000元，每加工一个纸箱还需要成本费2.4元•
⑴若需要这种规格的纸箱x个，请用含x的代数式表示购买纸箱的费用y1（元）和蔬菜加工厂自己加工制作纸箱的费用y2（元）；
⑵假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？并说明理由• 【例4】（潍坊）为了美化校园环境，建设绿色校园，某学校准备对校园中30亩空地进行绿化•绿化采用种植草皮与种植树木两种方式，要求种植草皮与种植树木的面积都不少于3
10亩，并且种植草皮面积不少于种植树木面积的，则种植草皮的最小面积是多少？
2【解法指导】应用题中，要充分挖掘题目中所蕴含的不等关系，一个也不能遗漏，否则就会出错•
注意到题中表示不等关系的关键词语“不少于”，这是列不等式的依据•显然，本题中有三个不等式关系：
①种植草皮与种植树木的面积都不少于10亩；②种植草皮面积不少于种植树木面积的3
，根据这三个不等关系可以求出种植草皮的面积的范围• 2
解：设种植草皮的面积为x亩，则种植树木的面积为(30－x)亩，
x≥10则有30x≥10，解得18≤x≤20•故x的最小值为18•
3x≥(30x)2答：种植草皮的最小面积为18亩• 【变式题组】
01．2007年某厂制定某种产品的年度生产计划，现有如下数据供参考：
⑴生产此产品的现有工人为400人； ⑵每名工人的年工时约计2200小时；
⑶预测2008年的销售量在10万箱到17万箱之间； ⑷每箱需用工4小时，需用料10千克；
⑸目前村料1000吨，2007年还需用料1400吨，到2007年底可补充原料2000吨• 试根据以上数据确定2008年可能生产的产量，并根据产量确定工人人数•
02．某公司在下一年度计划生产出一种新型环保冰箱，下面是公司各部门提出的数据信息；
人事部：明年生产工人不多于80人，每人每年工作时间2400h计算； 营销部：预测明年年销量至少为10000台；
技术部：生产1台电冰箱平均用12个工时，每台机器需要安装5个某种主要部件； 供应部：今年年终库存主要部件1000件，明年能采购到这种主要部件80000件• 根据上述信息，下一年度生产新型冰箱数量应该在什么范围内？ 【例5】（襄樊）“六一”儿童节前夕，某消防官兵了解到汶川地震灾区一帐篷小学的小朋友喜欢奥运福娃，就特意购买了一些送给这个小学的小朋友作为节日礼物•如果每班分10套，那么余5套；如果前面的班级每个班分13套，那么最后一个班虽然分得有福娃，但不足4套•问：该小学有多少个班级？奥运福娃共有多少套？
【解法指导】抓住题中的关键词“虽然分有福娃，但不足4套”来建立不等式组，这是本题的关键所在•
,.
解：设该小学有x个班，则奥运福娃共有(10x＋5)套， 根据题意，得10x513(x1)4①10x513(x1)②
14
解①得x＞，解②得x＜6•
3
因为x只能取正整数，所以x＝5，此时10x＋5＝55• 答：该小学有5个班级，奥运福娃共有55套• 【变式题组】
01．幼儿园有玩具若干份，分给小朋友，如果每个小朋友分3件，难么还剩59件；如果每
个小朋友分5件，那么最后一个小朋友还少几件，这个幼儿园有多少玩具？有多少个小朋友？
02．某校为了奖励在数学竞赛中获奖的学生，买了若干本课外读物准备送给他们•若每名学
生送3本，则还余8本；若前面每名学生送5本，则最后一名学生得到的课外读物不足3本•设该校买了m本课外读物，有x名学生获奖，请你解答下列问题• ⑴用含x的代数式表示m；
⑵求出该校的获奖人数及所买的课外读物的本数•
【例6】某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，现计划用这两种原料生产A、B两种产品共50件，已知生产一件A产品需要甲种原料9千克，乙种原料3千克；生产一件B产品，需要甲种原料4千克，乙种原料10千克，则工厂安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来•
【解法指导】此为典型的材料供应类设计方案的应用题，题中的不等关系不很明显，但经过认真分析，结合生活实际仍可挖掘出题中所蕴含的不等关系，即生产所使用的甲种原料总量不得超过360千克，乙原料总量不得超过290千克，据此可以列出两个一元一次不等式，从而组成一元一次不等式组•
此类题的不等关系不十分显眼，发掘不等关系是解决此类题之关键所在• 解：设安排生产A种产品x件，则生产B种产品(50－x)件•根据题意，得
9x4(50x)≤360，解这个不等式组，得30≤x≤32• 3x10(50x)≤290因为x需要取整数，所以x可以取30、31、32，对应50－x应取20、19、18•
故可设计三种方案：A种产品30件，B种产品20件；A种产品31件，B种产品19件；A种产品32件，B种产品18件•
【变式题组】 01．（泰州）近期以来，大蒜和绿豆的市场价格离奇攀升，网民戏称“蒜你狠”、“豆你玩”•
以绿豆为例，5月上旬某市绿豆的市场价已达16元/千克•市决定采取价格临时干预措施，调进绿豆以平抑市场价格•经市场调研预测，该市每调进100吨绿豆，市场价格就下降1元/千克•为了既能平抑绿豆的市场价格，又要保护豆农的生产积极性，绿豆的市场价格控制在8元/千克到10元/千克之间（含8元/千克和10元/千克）•问调进绿豆的吨数应在什么范围内为宜？ 02．（深圳）迎接亚运，美化深圳，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙
种花卉搭配A、B两种园艺找些共50个摆放在迎宾大道两侧•已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆•
,.
⑴某校九年级⑴班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来；
⑵若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说明⑴中哪种发案成本最低？最低成本是多少元？
03．（桂林）某校初三年级春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客
车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人；已知36座客车每辆租金400元，42座客车每辆租金440元• ⑴该校初三年级共有多少人参加春游？ ⑵请你帮该校设计一种最省钱的租车方案• ．．．
【例7】（第17届江苏省竞赛题）如果关于x的不等式组7xm≥06xn0的整数解仅为1，
2，3，那么适合这个不等式组的整数对(m，n)共有( )对 A．49 B．42 C．36 D．13 【解法指导】本题属于“由不等式的解集中包含的整数解来确定字母系数的值”这类题，此类题首先根据不等式组的解集包含哪些整数来确定每个边界点的范围，据此求出符合条件的字母系数的值•
解：由此不等式组得到其解集是
mn≤x• 76∵此解集中仅含有整数1，2，3• ∴0mn≤1，即0m≤7，且3≤4 即18n≤24 76故m＝1，2，3，4，5，6，7，n＝19，20，21，22，23，24
故符合此不等式组的整数对(m，n)共有6×7＝42对，即本题选B• 【变式题组】
3xa001．（江苏赛题）已知：关于x的不等式组的整数杰有且仅有4个：－1，0，1，bx22，那么适合这个不等式组的所有可能的整数对(a，b)共有多少个？
演练巩固 反馈提高
01．用不等式表示：
⑴x与2的和小于5________________； ⑵a与b的差是非负数_________________•
xy
02．若x＜y，则x－y______y－2；5－x_______5－y；a2x_______a2y；－_____－；
35
x(a＋1)______ y(a＋1)• 03．不等式组2
2
x5≤12x30的解集是___________，其整数解是__________•
xa004．关于x的不等式组的整数解共有6个，则a的取值范围是 •
32x0,.
05．已知：三角形的两边为3和4，则第三边a的取值范围是_________________• 1
06．若不等式(a－5)x＞1的解集是x＞，则a的取值范围是__________________•
a－507．如果不等式组x73x7的解集是x＞7，则n的取值范围是（ ）
xn A．n≥7 B．n≤ C．n＝7 D．n＜7
08．若abcd＞0，a＋b＋c＋d＞0，则a、b、c、d中负数的个数至少有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 09．如果
2(1x)是非正数，则x的取值范围是（ ） 3D．x≤1
A．x≤1 B．x≥1 C．x≥1
52x≥110．已知：关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
xa0 A．a＞3 B．a≥3 C．0＜a＜3 D．a≤3
11．（河南）甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同
的优惠方案：在甲超市累计购买商品超过300元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超过200元后，超出部分按原价8.5折优惠，设顾客预计累计购物x元（x＞300）•
⑴请用含x的代数式分别表示顾客在两家超市购物所需费用； ⑵试比较顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由•
12．七⑵班共有50名学生，老师安排每人制作一件A型或B型的陶艺品，学校现有甲种制
作材料36kg，乙种制作材料29kg，制作A、B两种型号的陶艺品用料情况如下表：
1件A型陶艺品 1件B型陶艺品 需甲种材料 0.9kg 0.4kg 需乙种材料 0.3kg 1kg ⑴设制作B型陶艺品x件，求x的取值范围；
⑵请你根据学校现有的材料分别写出七⑵班制作A型和B型陶艺品的件数•
,.
13．（济南）某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共有100件，学校计划租用
甲、乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李•
⑴设租用甲种汽车x辆，请你帮助学校设计所有可能的租车方案；
⑵如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，那么请你帮助选择哪一种租车方案更节省费用•
14．（威海）响应“家电下乡”的惠农，某商场决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型
号的电冰箱80台，其中甲种电冰箱的台数是乙种电冰箱台数的2倍，购买三种电冰箱的总金额不超过132000元•已知甲、乙、丙三种电冰箱的出厂价格分别为1200元/台、1600元/台、2000元/台•
⑴至少购进乙种电冰箱多少台？
⑵若要求甲种电冰箱的台数不超过丙种电冰箱的台数，则有哪些购买方案？ 15．（中山）某学校组织340名师生进行长途考察活动，带有行李170件，计划租用甲、乙
两种型号的汽车10辆•经了解，甲车每辆最多能载40人和16件行李，乙车每辆最多能载30人和20件行李•
⑴请你帮助学校设计所有可行的租车方案； ⑵如果甲车的租金为每辆2000元，乙车的租金为每辆1800元，问哪种可行方案使租车费用最省•
,.
培优升级 奥赛检测
9xa≥001．如果不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这三个不等式组的整数a、
8xb0b的有序数对(a，b)共有（ ）对• A．17 B． C．72 D．81 02．（全国数学竞赛题）设a、b、c的平均数为M，a与b的平均数为N，N与C的平均数
为P，若a＞b＞c，则M与P的大小关系是（ ） A．M＝P B．M＞P C．M＜P D．不确定的 03．（第18届江苏省竞赛题）a1、a2、…、a2004都是正数，如果M＝(a1＋a2＋…＋a2003)(a2
＋a2＋…＋a2004)，N＝(a1＋a2＋…＋a2004)( a2＋a2＋…＋a2003)，那么M、N的大小关系是（ ） A．M＞N B．M＝N C．MN D．不确定的 04．（“希望杯”邀请赛试题）设ma2a1a，n，p，若a＜－3，则（ ） a3a2a1 A．m＜n＜p B． n＜p＜m C． p＜n＜m D．p＜m＜n
05．（“希望杯”邀请赛试题）已知：a、b、c、d都是整数，且a＜2b，b＜3c，c＜4d，d＜
50，那么a的最大值是（ ） A．1157 B．1167 C．1191 D．1199
x4x106．（“CHSIO杯”河南省竞赛题）已知关于x的不等式组32的解集为x＜2，那
xa0么a的取值范围是________________•
07．（浙江省复赛题）正六边形轨道ABCDEF的周长为7.2米，甲、乙两只机器鼠分别冲A、
C两点同时出发，均按A→B→C→D→E→F→A→…方向沿轨道奔跑，甲的速度为9.2厘米/秒，乙的速度为8厘米/秒，那么出发后经过_______秒钟时，甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上• 08．（“CHSIO杯”河南省竞赛题）为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备•现
有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水及年消耗费如下表•经计算，该企业购买设备的资金不高于105万元，请你设计，该企业购买方案有_______种•
价格（万元/台） 处理污水量（吨/月） 年消耗费（万元/台） A型 12 240 1 B型 10 200 1 09．（北京市竞赛题）大、中、小三个正整数，大数与中数之和等于2003，中数减小数之差
等于1000，那么这三个正整数的和为_____________• 10．（四川省竞赛题）已知不等式ax＋3≥0的正整数解为1，2，3，则a的取值范围是______
•
,.
11．（黄冈市选拔赛试题）小慧上宝塔观光，他发现：若上了7阶楼梯时，剩下的楼阶梯数
是已上的阶数的3倍多，若再多上15阶楼梯时，已上阶数是剩下的楼梯阶数的3倍多，那么，此宝塔的楼梯一共有多少阶•
12．若正整数x＜y＜z，k为整数，且
111k，试求x、y、z的值• xyz 13．（华杯决赛题）已知：a1＋2a3≥3a2，a2＋2a4≥3a3，a3＋2a5≥3a4，…，a8＋2a10≥3a9，
a9＋2a1≥3a10，a10＋2a2≥3a1，且有a1＋a2＋a3＋…＋a10＝100，求a1，a2，a3，…，a9，a10的值•
,.
第22讲 一元一次不等式（组）与方程（组）的结合
考点·方法·破译
1．进一步熟悉二元一次方程组的解法，以及一元二次不等式组的解法． 2．综合运用一元一次不等式组和二元一次方程组解决一些典型的实际问题．
经典·考题·赏析
【例1】求方程3x+27＝17的正整数解．
【解法指导】一般地，一个二元一次方程有无数个解，但它的特殊解是有限个，如一个二元一次方程的正整数解，非负整数解都是有限个．
求不定方程的正（非负）整数解时，往往借助不等式，整数的奇偶性等相关知识来帮助求解．
解：将方程变形为2y＝17－3x 即y173x 2173x＞0 2172∴x＜即x＜5
33173x又∵y为正整数（即为整数）
2∵y＞0 ∴∴17－3x为偶数 ∴x必为奇数 ∴x＝1，3，5
173x17317 22173x1733当x＝3时，y4
22173x1735当x＝5时，y1
22当x＝1时，y
x=1x=3x=5
故原方程的正整数解为y=7 或y=4 或y=1
【变式题组】
01．求下列各方程的正整数解：
⑴2x+y＝10 (2) 3x+4y＝21
02．有10个苹果，要分给两个女孩和一个男孩，要求苹果不得切开，且两个女孩所得的苹
果数相等，每个孩子都有苹果吃，问有哪几种分法？
,.
【例2】足球联赛得分规定如下：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分•某队在足球联赛的4场比赛中得6分，这个队胜了几场，平了几场，负了几场？
【解法指导】本题中，所有的等量关系只有两个，而未知量有三个•因而所列方程的个数少于未知数的个数，即为不定方程组，但每个未知数量的数目必为非负整数•因此，此题的实质就是滶不定方程的非负整数解的问题．
此方程组有两个方和，三个未知数，解法仍然是消元，即消去某一个未知数后，变为二元一次方程，再仿照例1的解法施行．
解：设该队胜了x场，平了y场 ，负了z场，依题意可得：
x＋y＝4 ①
3x＋y＝6 ②
②－①得：2x－z＝2 ③ 变形得： z＝2x－2 ∵0≤z≤2
∴0≤2x－2≤2 即1≤x≤2 又x为正整数 ∴x＝1，2
相应地，y＝3，0 z＝0，2
答：这个队胜了1场，平了3场，或胜了2，负了2场． 【变式题组】 01．（佳木斯）为了奖励进步较大的学生，某班决定购买甲、乙、丙三种钢笔作为奖品，其
单价分别为4元、5元、6元，购买这些钢笔需要花60元；经过协商，每种钢笔单价下降1元，结果只花了48元，那么可能购买甲种笔（ ）． A．11支 B．9支 C．7支 D．5支
02．一旅游团50人到一旅舍住宿，旅舍的客户有三人间、二人间、单人间三种•其中三人间
的客房每人每晚20元，二人间的客房每人每晚30元，单人间的客房每人每晚50元． (1)若旅游团共住满了20间客房，问三种客房各住了几间？怎样住消费最低？
(2)若该旅游团中，夫妻住二人间，单身住三人间，小孩随父母住在一起，现已知有小孩4人（每对夫妻最多只带1个小孩），单身30人，其中男性17人，有两名单身心脏病患者要求住单人间，问这一行人共需多少间客房？
x－y=a+3
【例3】已知：关于x、y的方程组 若x＞y，求a的取值范围．
2x+y=5a
【解法指导】解本题的指导思想就是构建以a为未知数的不等式•解之即得a的取值范围，构建不等式的依据就是x＞y，而解方程组即可用a的代数式分别表示x和y，进而可得不等式．
x－y＝a＋3x＝2a＋1
解：解方程组 得
2x＋y＝5ay＝a－2
∵x＞y ∴2a＋1＞a－2 解得a＞－3
故a的取值范围是a＞－3．
,.
【变式题组】
01．已知：关于x的方程3x－(2a－3) ＝5x＋(3a＋6)的解是负数，则a的取值范围是_____．
x+y=3a+902．已知：关于x、y的方程组 的解为非负数．
x－y=5a+1
(1)求a的取值范围；
(2)化简｜4a+5｜－｜a－4｜．
03．当m为何值时，关于x的方程
2x+y=5m+6
4．已知方程组 的解x、y都是正数，且x的值小于y的值，求m的取值范围．
x－2y=－17
x6m15m1的解大于1？ x632
x－a＞2
【例4】（凉州）若不等式 的解集是－1＜x＜1，求（a+b）2009的值．
b－2x＞0
【解法指导】解此不等式组得a+2＜x＜
b，而依题意，该不等式的解集又是－1＜x2＜1，而解集是唯一的，因此两解集的边界点分别“吻合”，从而得两等式即得方程组，解之可得a、b之值．
x－a＞2ab 解：解不等式组 得a+2＜x＜
－2x＞02 又∵此不等式组的解集是－1＜x＜1
a+2=－1a=－3a∴ b 解设
=1ab=2a
2∴（a+b）2009＝（－1）2009＝－1
【变式题组】
2a+x＞a01．若 的解集为－1＜x＜2，则a＝___________，b＝_____________．
2－3x＞ax－a≥bb02．已知：关于x的不等式组的解集为3≤x＜5，则的值为（ ）
2x－a＜2b+1a A．－2
B．1 2 C．－4
D． 1 4,.
x4＞x103．若关于x的不等式组3 的解集为x＜2，则a的取值范围是___________． 2x+a＞0b
04．已知：不等式组
x+2＞a+b
的解庥为－1＜x＜2，求（a+b）2008的值．
x－1＜a－b
【例5】（永春）商场正在销售“福娃”玩具和徽章两种奥运商品，已知购买1盒“福娃”玩具和2盒徽章共需145元；购买2盒“福娃”玩具和3盒徽章共需280元•
(1)一盒“福娃”玩具和一盒徽章的价格各是多少元？
(2)某公司准备购买这两种奥运商品共20盒送给幼儿园（要求每种商品都要购买），且购买金额不能超过450元，请你帮该公司设计购买方案•
【解法指导】本题属材料选择类的方程与不等式结合的实际应用题，但方程组与不等式组是分开的•分析可知：第(1)问只需依照题目主干所提供的两个等量关系即可列出二元一次方程组•第(2)问由题目所给不等关系“购买金额不能超过450元”及第(1)问所求出的数据列出不等式，从而求解•
解：(1)设一盒“福娃”玩具和一盒徽章的价格分别为x元和y元．
x+2y=14x=125
依题意，得2x+3y=280 解得y=10
答：一盒“福娃”玩具和一盒徽章的价格分别是125元和10元．
(2)设购买“福娃”玩具m盒，则购买徽章（20－m）盒．
由题意，得125m+10（20－m）≤450，解得m≤2.17．所以m可以取1，2． 答：该公司有两种购买方案．
方案一：购买“福娃”玩具1盒，徽章19盒； 方案二：购买“福娃”玩具2盒,徽章18盆． 【变式题组】
01．(益阳)开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品,小芳用18元钱买了1支钢笔和3
本笔记本;小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本． (1)求每支钢笔和每本笔记本的价格；
(2)校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品， 奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出．
02． (眉山)渔场计划购买甲、乙两种鱼苗共6000尾，甲种鱼苗每尾0.5元，乙种鱼苗每尾
0.8元．相关资料表明：甲、乙两种鱼苗的成活率分别为90%和95%． ⑴若购买这批鱼苗共用了 2600元，求甲、乙两种鱼苗各购买了多少尾？ ⑵若购买这批鱼苗的钱不超过4200元，应如何选购鱼苗？ ⑶若要使这批鱼苗的成活率不低于93%，且购买鱼苗的总费用最低，应如何选购鱼苗？
,.
03．（盐城）整顿药品市场，降低药品价格是国家的惠民之一．根据国家的《药品
定价办法》，某省有关部门规定：市场流通药品的零售价格不得超过进价的15%根据相关信息解决下列问题：
⑴降价前，甲乙两种药品每盒的出厂价格之和为6.6元．经过若干中间环节，甲种药品每盒的零售价格比出厂价格的5倍少2.2元，乙种药品每盒的零售价格是出厂价格的6倍，两种药品每盒的零售价格之和为33.8元．那么降价前甲、乙两种药品每盒的零售价格分别是多少元？ ⑵降价后，某药品经销商将上述的甲、乙两种药品分别以每盒8元和5元的价格销售给医院，医院根据实 际情况决定：对甲种药品每盒加价15%对、乙种药品每盒加价10%后零售给患者．实际进药时，这两种药品均以每10盒为1箱进行包装．近期该医院准备从经销商处购进甲乙两种药品共100箱，其中乙种药品不少于40箱，销售这批药品的总利润不低于900元．请问购进时有哪几种搭配方案？
【例6】认真阅读下面三个人的对话．
小朋友：阿姨，我买一盒饼干和一袋牛奶（递上10元钱入）．
售货员：本来你用10元钱买一盒饼干是多余的，但再买一袋牛奶就不够了．不过今天是儿童节，我给你买的饼干打九折，两样东西请拿好，还有找你的8角钱．
旁边者：一盒饼干的标价可是整数哦！
根据对话内容，试求出饼干和牛奶的标价各是多少？
【解法指导】本题的条件蕴藏在对话中，应学会从对话中获取信息，“用10元钱买一盒饼干是多余的”， 说明一盒饼干的售价小于10元，此不等关系之一；“但再买一袋牛奶就不够了 ”，说明一盒饼干和一袋牛奶的价格之和大于10元，此不等关系之二．对话中还包含有一个等量关系，就是用10元钱买上述两样东西剩余0.8 元钱，即是说一袋牛奶与一盒饼干的价格之和等于10元减去0.8元，由一个方程和两个不等式结合最终可求出答案．
解：设饼干的标价为每盒x元，牛奶的标价为每袋^元.根据题意，得
x＋y＞10 ①0.9x＋y＝10－0.8 ② x＜10 ③
由②，得y＝9.2－9x将其代入①，得x+9.2－9x＞10，解得：x＞8．所以综合③可知8＜x＜10．
又因为x为整数，所以x＝9，y＝9.2－9x＝1.1
即饼干的标价为每盒9元，牛奶的标价为每袋1. 1元． 【变式题组】
01．某次足球联赛A组共6队，比赛规定采取小组循环赛的形式，取前3名进人决赛，记
分方法为胜1场得2 分，负1场扣1分，平1场不得分，问该小组共需比赛几场？某队得了 7分，则它是几胜几负？能否进人决赛？
,.
02．(杭州)宏志高中高一年级近几年来招生人数逐年增加，去年达到550名，其中有面向全
省招收的“宏志班” 学生，也有一般普通班学生．由于场地、师资等条件，今年招生最多比去年增加100人，其中普通班学生可多招20%，“宏志班”学生可多招10%问今年最少可招收“宏志班”学生多少名？
03．把一些书分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本，如果前面的每个学生分5本，
那么最后一个同学分不到3本，这些书有多少本？学生有多少人？
【例7】(北京市竞赛题)已知：a、b、c是三个非负数，并且满足3a+2b+c＝5，2a+b－3c＝1，设m＝3a+b－7 c，设x为m的最大值，y为m的最小值．求xy的值．
【解法指导】要求某一代数式的最大(或最小)值，往往依题意构建一个不等式组：若s≤m≤t，则m的最小值为s，最大值为t．
本题思路亦类此，首先利用前两个等式，将c看作已知量，解关于a、b的二元一次方程组，得到用含c的式子表示a、b的形式，代入第三个等式，得到用含c的式子表示m的形式，同时依据a、b、c均为非负数，得到c的范围，代入m与c的关系式，得m的范围，因而x、y可求．
解：由条件得：
3a＋2b=5－c
解得：
2a＋b=1+3 ca=7c－3 b=7－11 c
则m＝3a+7－7c＝3(7c－3)+ (7－11 c) －7 c ＝3 c－2 由a≥0，b≥0，c≥0得
7c－3≥07－11c≥0 c≥0
13755解得，≤c≤从而x＝－，y＝－故xy＝．
71177711
【变式题组】
01．若a、b 满足3a+5∣b∣＝7，S＝2a2－3∣b∣，则 S 的取值范围是 ．
02．已知：x、y、z是三个非负有理数，且满足3 x+2 y+z＝5，x+y－z＝2，若S＝3 x+ y－z，
则S的取值范围是 ．
演练巩固 反馈提高
一、填空题
01．方程3x+y＝ 10的解有 个，其正整数解有 个．
02．若关于x的不等式(a－1)＜a+5和2x＜4的解集相同，则a的值为 ． 03．已知：关于x的不等式2x－a≥－3的解集如图所示，则a＝ ．
,.
2x－y=m
04．已知方程组，若未知数x、y满足尤x+y＞0，则m的取值范围是 ．
2y－x=13x+2y=2k
05．若方程组的解满足无x＜1且y＞0，则整数k的个数是 ．
2y－x=3
∣x－1∣06．若＝－1则x的取值范围是 ．
x－1
二、选择题
x－y≥bb
07．已知：关于尤的不等式组的解为3≤x＜5，则的值为( )
a2x－a＜2b+1
A．－2 B．－2 C．2 D．1
08．若∣x+1∣＝－1－x，∣3x+4∣＝3x+4．则x取值范围是( )
444
A．－≤x≤－1 B．x≥－1 C．―≤x≤―1 D．―＜x＜―1
333
09．已知：m、n是整数，3 m +2＝5n+3，且3 m +2＞30，5n+3＜40，则mn的值是〈 〕 A．70 B．72 C．77 D．84
10．某次测验共20道选择题，答对一题记5分，答错一题记―2分，不答记0分，某同学
得48分，那么他答对的题目最多是（ ）道． A．9 B．10 C．11 D．12 三、解答题
11．学校举办奥运知识竞赛，设一、二、三等奖共12名，奖品发放方案如下表： 一等奖 1盒福娃和1枚徽章 二等奖 1盒福娃 三等奖 1枚徽章 用于购买奖品的总费用不少于1000元但不超过1100元，小明在购买“福娃”和徽章前，了解到图所示的信息：
⑴求一盒“福娃”和一枚徽章各多少元？
⑵若本次活动设一等奖2名，则二等奖和三等奖应各设多少名？ 12．（宿迁）某花农培育甲种花木2株，乙种花木3株，共需成本1700元；培育甲种花木3
株，乙种花木1 株，共需成本1500元．
⑴求甲、乙两种花木每株成本分别为多少元；
⑵据市场调研，1株甲种花木的售价为760元，1株乙种花木的售价为0元．该花农决定在成本不超过30000元的前提下培育甲乙两种花木，若培育乙种花木的株数是甲种花木的3倍还多10株，那么要使总利润不少于21600元，花农有哪几种具体的培育方案？
,.
13．—项维修工程，若由甲工程队单独做，则40天可以完成，需费用24万元；若由乙工程
队单独做，则60天可以完成，需费用21万元•现打算由甲、乙两工程队共同完成，要使该项目的总费用不超过22万元，则乙工程队至少要施工多少天？
14．足球联赛得分办法是胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分•在一次足球赛中，
南方足球队参加了 14场比赛，至少负了 1场，共积分19分．试推算南方足球队胜、平、负各多少场． 15．（温州）某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两
种长方体形状的无盖纸盒.
⑴现有正方形纸板162张，长方形纸板340张．若要做两种纸盒共100个，设做竖式纸盒x个．①根据题意，完成以下表格：
盒纸板 正方形纸板（张） 长方形纸板（张） 竖式纸盒（个） x 4x 横式纸盒（个） 2(100－x) ②按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案？ (2)若有正方形纸板162张，长方形纸板a张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完．已知290＜a＜306．则求a的值．(写出一个即可)
,.
培优升级 奥赛检测
4x+y=k+1
01．若方程组的解满足条件0＜x+y＜1，则k的取值范围是( )
x+4y=3
A．－4＜k＜1 B．－4＜k＜0 C．0＜k＜9 D．k＜－4
3x+2y=a
02．（浙江省竞赛题)要使方程组的解是一对异号的数，则a的取值范围是( )
2x+3y=2
444
A．＜k＜3 B．a＜ C．a＞3 D．a＜或a＞3
333c
03．已知a+b+c＝0，a＞b＞c，则 的取值范围是 ．
a
04．(新加坡竞赛题）正整数m、n满足8m+9n＝mn+6，则m的最大值是 ． 05．（“希望杯”邀请赛初一试题）（中国古代问题）唐太宗传令点兵，若一千零一卒为一营，
则剩余一人；若一千零二卒为一营，则剩余四人，此次点兵至少有 人． 06．（第15届“希望杯”邀请赛试题）若正整数x、y满足2004x＝15y，则x+y的最小值为 ． 07．（北京市竞赛题）有8个连续的正整数，其和可以表示成7个连续的正整数的和，但不
能表示为3个连续的正整数的和，那么这8个连续的正整数中最大数的最小值是 ． 三、解答题
x－y=a+3
08．已知:关于x的方程组的解满足x＞y＞0，化简∣a∣+∣3－a∣．
2x+y=5a
09．a、b、c、d是正整数，且a+b＝20，a+c＝24，a+d＝22，设a+b+c+d的最大值为M，
最小值为N，求M－N的值．
10．在车站开始检票时，有a(a＞0)名旅客在候车室排队等候检票进站，检票开始后，仍有
旅客继续前来排队检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的，若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以便后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口？
,.
11．（河南省竞赛题）一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒、3粒、4粒或6
粒地取出，最终盒内都剩一粒棋子；如果每次11粒地取出，那正好取完，求盒子里共有多少粒棋子？
12．(“希望杯”初二竞赛题)一个布袋中有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的木球，红球上标
有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3，小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标数字和等于21，则小明摸出的球中，红球的个数最多不超过多少个？ 1+2+3+…+n－k
13．（第20届中学数学竞赛题）已知：n、k皆为自然数，且1＜k＜n，若，
n－1
及n+k＝a，求a的值．
,.
第23讲 数据的收集与整理
考点•方法•破译
1．了解收集数据的方法、会设计简单的调查问卷，收集数据，能根据问题查找相关资料，获得数据信息•
2．通过抽样调查，体会用样本估计总体的思想•
经典•考题•赏析
【例1】下列调查中哪些适用全面调查方式，哪些适用抽样调查方式• (1)为了解某班所有同学的视力情况；
(2)为了解本校七年级400名学生在家承担家务老动的情况； (3)为了解一箱（100只装）灯炮的寿命；
(4)某校为了解全校每个学生的心里健康状况，请一位心里专家对全校学生进行问卷调查；
【解法指导】考察全体对象的调查叫全面调查，光从调查对象中抽取部分对象调查，然后根据
调查的数据推断全体对象的情况，这种调查方式叫抽样调查•
使用全面调查：一是考查对象的数目不多；二是考查对象特殊•
使用抽样调查：一是考查对象的数目很多；二是工作量大；三是收集数据有困难；四是破坏性大．
解：⑴全面调查 （２）抽样调查 （３）抽样调查 （４）全面调查 【变式题组】
01．下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ）
A．调查一批新型节能灯炮的使用寿命 B．调查长江流域的水污染情况
C．调查北京市初中学生的视力情况
D．为保证“神七”的成功发射，对其对零部件进和检查• 02．下列调查中调查方式正确的是（ ）
A．为了调查不同品牌牛奶中三聚氰胺的含量状况，对品牌选择抽样调查• B．为了选择身体条件优秀的适龄青年入伍，对报名人员选择抽样调查• C．为了检测汽车的安全系数所进行的碰撞实验，选择全面调查• D．“神舟”七号发射前对“长征二号F火箭”的检查，属于全面调查• 03．下列抽样调查中所选的样本合适吗？
⑴张老师为了解全班50名学生对英语单词的掌握情况，抽查了5名进行检查• ⑵为了解全校２６个班的课外活动情况，从七年级抽查了两个班进行分析•
⑶为调查全市中学生的上网情况，在全市的300所中学随意抽查50所学校的学生的上网情况•
⑷为了解我国中学多媒体的普及情况，在北京市作了抽样调查•
【例２】某次考试有２０００名学生参加，为了了解２０００名学生的数学成绩，从中抽取了７００名学生的数学成绩进行调查统计分析，在这个问题中有下述４种说法：① ７００名学生是总体的一个样本•②２０００名考生是总体•③７００名考生数学平均成绩可估计总体数学平均成绩•④每个考生的数学成绩是个体，其中正确的说法（ ）
A．1种 B．2种 C．３种 D．４种 【解法指导】总体：要考查的对象的全体是总体称为总体•
个体：组成总体的每一个考查对象称为个体•
,.
样本：被抽取的那些个体组成一个样本• 样本容量：样本中个体的数目称为样本容量•
总体，样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小，在本题中，总体、样本都是指考生的数学成绩，而不是考生•选B．③ ④
【变式题组】
01．为了了解某市七年级200名学生的身高，从中抽取500名学生进行测量，对这个问题，
下列说法正确的是（ ）•
A．2000名学生是总体• B．每个学生是个体•
C．抽取的５００名学生是所抽的一个样本 D．每个学生的身高是个体
【例３】某冰箱厂2008年前三个季度的冰箱产量如下：一季度570台，二季度0台，三季度720台•为了清楚的比较每个季度，请你画出相应的统计图•
【解法指导】根据统计图的特征可知，从条形统计图中可以清楚的看出每个项目的具体数目•所以本题制作条形统计图比较合适•
解：制作的条形统计图如图 制作条形图的一般步骤是： 720 900 0 ⑴根据情况，画两条互相垂直的射线；
600 570 ⑵在水平射线上，适当分配条形的宽度、位置及
问题；
300 ⑶在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况确定单位长度； 一 二 三 季度 ⑷按照数据的大小，画出长度不同的直条并注明数量．
【变式题组】 01．（益阳）汶川大地震发生后，某中学八年级⑴班共40名同学开展了“我为灾区献爱心”
活动•活动结束后，生活委员小林将捐款情况进行了统计,并绘制成如图所示的统计图,求这40名同学捐款的平均数.
人数 16 12 9 3 0 20 30 50 100 金额（元） 【例4】 看到猪肉价格持续上涨,小兰和她的同学对当地去年上半年猪肉价格作了统计:一到六月份每千克的猪肉价格(单位:元)分别是:23,25,28,30,27,29.为了反映该地区一到六月份猪肉价格的变化情况,请你画出相应的统计图.
【解法指导】根据统计图的特征可知,折线统计图能够清楚地表示出数量的变化情况.故应画折线统计图.
解:所画的折线统计图如图所示. 制作折线统计图的步骤是: 根据统计图的资料整理数据;
,.
价格(元/千(2)画横轴、纵轴，横轴纵轴
35都要有单位，按纸面的大小来
303029确定用一定单位长度表示一 28272525定的数量；
20(3)根据数量的多少，在纵 15轴、横轴的恰当位置描出各105点，然后把各点用线段顺次连接起
0来. 二三四五六 月份 【变式题组】 1．（荆门）某住宅小区六月份的1至6日每天的用水量变化情况如图所示,那么这6天的平
均用水量是( )
A．30吨 B．31吨 C．32吨 D．33吨 【例5】小明家10月份的支出情况如下:购物支出120元,医疗支出144元,伙食支出432元,教育支出216元,其它支出288元.为清楚的看出每项支出所占的比例,请你画出相应的统计图.
【解法指导】根据统计图的特征可知,从扇形统计图中能清楚的看到各部分在总体中所占的百
分比,故本题应画扇形统计图.
解(1)计算支出总数:120+144+432+216+288＝1200(元).
其他 (2)计算各项支出占总支出的百分比:购物:120÷1200×100﹪
购物 24% ＝10﹪;医疗:144÷1200×100﹪＝12﹪;伙食:432÷1200×100﹪医疗 10% ＝36﹪;教育:216÷1200×100﹪＝18﹪;其它:288÷1200×100﹪12% 教育 ＝24﹪.
18% 伙食 (3)计算相应扇形所对的角度:购物:360°×10﹪＝36°,医疗:
36% 360°×12﹪＝43.2°,伙食: :360°×36﹪＝129.6°
教育: :360°×18﹪＝.8°,其它: 360°×24﹪＝86.4° (4)制作扇形统计图(如图所示). 制作扇形统计图的步骤;
(1)先算出各部分数量占总数量的百分比; (2)再算出各部分数量的扇形的圆心角度数.
100元 5元 (3)取适当的半径画圆,在圆内画出各个扇形.
8% 12% 10元 (4)在各扇形中标出数量名称和所占的百分数.
50元 20% 【变式题组】
16% 01.(长沙)在一次捐款活动中,某班50名同学分别拿出自己的零花钱,
40元 有捐5元、10元、20元的,还有捐50元和100元的.右图的统计44% 图反映了不同提款数的人数比例,那么该班同学平均每人提款________元.
02．某校七年级D班同学在“你我同心,抗击非典”的募捐活动中,自愿捐款情况如下表:
每人提款数(元) 相应人数
2 5 5 10 10 20 20 15 ,.
根据上表所给的条件,回答下列问题: 该班共有______名学生. 该班共捐款_____元;
根据上表信息制成条形统计图和户型统计图.
【例6】 在“创优”活动中,我市某校开展收集废旧电池活动,该校七年级(1)班为了估计四月份收集废旧电池的个数,随机抽取了该月某7天收集废旧电池的个数,数据如下(单位:个):48,51,53,47,49,50,52.求这7天该班收集废旧电池个数的平均数,并估计四月份(30天)该班收集废旧电池的个数.
【解法指导】先求出样本平均数,再利用样本平均数去估计总体平均数.
4851475349505250(个)7解:这7天收集废旧电池个数的平均数为:
所以估计四月份该班收集废旧电池的个数为50×30＝1500(个).
即这7天收集废旧电池平均数为50个,四月份该班收集废旧电池约1500个. 【变式题组】
01．某水果公司以2元/千克的单价新进了10000千克柑橘,为了合理定出销售价格,水果公
司需将运输损坏的水果成本算到没有损坏的水果售价中,销售人员从柑橘中随机抽取若干柑橘统计损坏情况,结果如下表;
柑橘质量(千克) 损坏的质量(千克) 50 5.50 200 19.94 500 51. 02．如果公司希望全部售完这批柑橘能够获得5000元利株数 润,那么在出售柑橘时,每千克大约定价____元. 20 15
10 03.(天津)为了解某新品种黄瓜的生长情况,抽查了部分
5 黄瓜株上长出的黄瓜根数,得到如图的条形图,观察
图,可知共抽查了_____株黄瓜,并可估计出这个新品0 10 12 14 15黄瓜根数/株 种黄瓜平均每株结_______根黄瓜. 【例7】(北京)在每年年初召开的市人代会上,北京市财政局都要报告上一年度市财政预算情况.以下是根据2004～2008年报告中的有关数据制作的市财政教育预算与实际投入统计图表的一部分.
,.
2004年～2008年北京市财政教育实际投入与预算的差值统计表(单位:亿元)
年份 教育实际投入与预算的差值 2004 2005 6.7 2006 5.7 2007 14.6 2008 7.3 请根据以上信息解答下列问题: 请在表中的空格内填入2004年市财政教育实际投入与预算的差值; 求2004～2008年北京市财政教育实际投入与预算的平均数;
已知2009年北京市财政教育预算是141.7亿元,在此基础上,如果2009年北京市财政教育实际投入按照(2)中求出的平均数增长,估计它的金额可能达到多少亿元?
【解法指导】 观察统计图可知2004年差值为52.2－44.2＝8.
解:(1)2004～2008年北京市财政教育实际投入与预算的差值统计表(单位:亿元)
年份 教育实际投入与预算的差值 2004 8 2005 6.7 2006 5.7 2007 14.6 2008 7.3 86.75.714.67.342.38.46(亿元)55(2),所以2004～2008年北京市财政教
育实际投入与预算差值的平均数是8.46亿元
(3)141.7+8.46＝150.16(亿元).
估计2009年北京市财政教育实际投入可能达到150.16亿元. 【变式题组】
01.(南京)如图是甲,乙两户居民家庭全年支出费用的扇形统计图,根据统计图,下面对全年食品支出费用判断正确的是( )
A.甲户比乙户多 B.乙户比甲户多
C.甲.乙两户一样多 D.无法确定哪户多
衣着 25% 教育 23% 食品 31% 其它 21% 衣着 23% 教育 19% 食品 34% 其它 24%
02. (青岛)某市为调查学生的视力变化情况,从全市九年级学生中抽取了部分学生,统计了每
个人连续三年视力检查的结果,并将所得数据处理后,制成折线统计图和扇形统计图,如图所示.
被抽取学生视力在4.9
被抽取学生2008年的视力分布情况 A 40% B 30% C D10% 20% A:4.9以下 B:4.9～5.1 C:5.1 ～5.2 D:5.2以上 (每组数据只含最小值不含最大值) 人数 以下的人数变化情况
800 500 300 0 2006 2007 2008
(1)
时间(年)
,.
解答下列问题:
该市共抽取了多少名九年级学生?b
若该市共有8万名九年级学生,请你估计该市九年级视力不良(4.9以下)的学生大约有多少人?
根据统计图提供的信息,谈谈自己的感想(不超过30字).
03.(杭州)统计2010年上海世博会前20天日参观人数,得到如下频数分布直方图(部未完
成):
上海世博会前20天日参观人数的 上海世博会前20天日参观人数的频数分布直方图
频数分布表
频数(天) 7
组别(万人) 组中值(万人) 频数 频率 6 7.5～14.5 11 5 0.25 5 14.5～21.5 6 0.30 4 21.5～28.5 25 0.30 3
2 28.5～35.5 32 3 1
人数(万人) 0
11 25 32 ⒈请补全频数分布表和频数分布直方图;
⒉求出日参观人数不低于22万的天数和所占的百分比;
⒊利用以上信息,试估计上海线世博会(会期184天)的参观总人数.
练习巩固. 反馈提高
01．全世界受到威胁的动物种类数,如下表: 动物分类 哺乳类 鸟类 爬行类 两栖类 鱼类 无无脊椎动物类 受到威胁的种类 约1100 约1100 约300 约100 约700 约1900 对于这一组数据一般不用的统计图是( )
A． 扇形统计图 B条形统计图 C．拆线统计图 D．都不可以 02．1994年以后我国历次人口普查情况如下表:
年份 1953 19 1982 1990 2000 人口/亿 5.49 6.95 10.08 11.34 12.95 对于这一组数据一般不用的统计图是( )
03.下列抽查必须用抽样调查方式来收集数据的个数为( )
①检查一大批灯泡使用寿命的长短;②调查某一城市居民家庭收入状况;③了解全班学生的身高情况;④检查某种药品的疗效.
A．1个 B． 2个 C．3个 D．4个
04.(济南)如图所示,表示某校一位初三学生平时一天的作息时间安排,临近中考他又调整了
自己的作息时间,准备再放弃1个小时的睡觉时间,原运动时间的
1和其它活动时间的21,全部用于在家学习,那么现在用于在家学习的时间是( ) 2A．3.5小时 B．4.5小时 C．5.5小时 D．6小时 05.(武汉)近几年来,国民经济和社会发展取得了新的成就,农村经济快速发展,农民收入不
断提高.如图统计的是某地区2004～2008农村居民人均年纯收入.根据图中信息,下列判断:①与上一年相比,2006年的人均年纯收入增加的数量高于2005年人均年纯收入增
,.
0加的数量;②与上一年相比,2007年人均年纯收入的增长率为;③
若按2008年人均年纯收入的增长率计算,2009年人均年纯收入将达到
0元.其中正确的是( )
A．只有①② B．只有②③ C．只有①③ D．只有①②③
小时 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
5000 4500 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 人均年收入/元 4140 3587 3255 2622 2936 年2004 2005 2006 2007 2008
(第5题图)
份
在学校睡觉(第4题图)
在家学习运看动电视其它活动内容
9 8 76 0
06.(绍兴)如图是小敏五次射击的折线图,根据图中信息,则此五次成绩的平均数是_____环. 07.(重庆)在暑期社会实践活动中,小明所在小组同学与一家玩具生产厂家联系,给该厂组装
玩具,该厂同意他们组装240套玩具.这些玩具分为工A、B、C三种型号,它们的数量比例以及每人每小时组装各种型号玩具的数量如图.若每人组装同一型号玩具的速度都相同,根据以上信息完成下列填空:
(1)从上述统计图可知,A型玩具有______套,B型玩具有_____套,;
(2)若每人组装A型玩具16套与组装C型玩具12套所花的时间相同,那么ɑ的值为____,每人每小时组装C型玩具______套.
成10 (环) A型55% B型 C型25% A B C 项目
(7题图2)
绩8 2a－2 a
08.(浙江)衢州市的总面积是8837平方千米,总人口是247万人(截至2006年),该市有6个
县(市、区)，统计各县（市、区）的行政区域面积及平均每万人拥有面积如图所示• ⑴行政区域面积最大的是哪个县（是、市、区），这个县（市、区）约有多少面积？（精确到1平方米）
1 2 34(第6题图)
5
次 (7题图1)
,.
⑵衢州市的人均拥有面积是多少（精确到1平方米），6个县（市、区）中有几个县(市,区)的有均拥有面积超过衢州市人均拥有面各积? (3)江山市约有多少人(精确到1万人)?
衢州市各县（市、区）行政区域面积统计图
衢州市各县（市、去）平均每万人拥有面积统计图面积/平方千米
龙游县开化县25.17% 12.88% 柯城区6.%
常山县12.44% （1）衢江区19.78%70605040302010063.43.734.7933.314.85县（市区）柯城区衢江区江山市常山县开化县龙游县28.48江山市22.84% （2）
09.(深圳)某商场对今年端午节这天销售A、B\\C三种品牌粽子的情况进行了统计，绘制如
图所示的统计图•根据图中信息解答下列问题：
销售量（个） 1200 1400 1200 1000 C品牌 800 ５０% 600 400 400 品牌 200
0 A品牌 B品牌 C品牌 哪一种品牌粽子的销售量最大？ 补全图中的条形图；
写出A品牌粽子在图中所对应的圆心角的度数；
根据上述统计信息，明年端午节期间该商场对A、B、C三种品牌的粽子如何进货？请你提一条合理化的建议• 10.(苏州)2007年5月30日.‘‘六一”国 际儿童节来临之际,某初级中学开展了向山区“希
望小学”损赠图书活动国.全校1200名学生每人捐赠一定数量图书.已知各年级人数比例分布扇形统计图如图(1)所示.学校为了了解各年级捐赠情况,从各年级随机抽查了部分学生,进行了捐赠情况的统计调查,绘制成如图(2)的频数分布直方图.
人均捐赠(册) 七年级35% 八年级30% 九年级35% (1)
(2)
0 七年年年级 级 级 6 5 4.5 年级
,.
根据以上信息解答下列问题:
从图(2)中,我们可以看出人均捐赠图书最多的是______年级; 估计九年级共捐赠图书多少册? 全校大约共捐赠图书多少册?
11.(济南)新华社4月3日发布了一则由生产监督管理局统计的信息:2003年1月
至2月全国共发生事故17万多起,各类事故发生具体统计如下:
事故类型 事故数量 1962 1417 115815 173967 死亡人数 (单位:人) 610 1409 1639 17290 20948 死亡人数占各类事故总死亡人数的百分比 火灾事故(不含森林、草原火灾) 773 铁路伤亡事故 工矿企业伤亡事故 道路交通事故 合计 请你计算出各类事故死亡人数的百分比,并填入上表(精确到0.01); 为了更清楚地表示出问题①中的百分比,请你画出扇形统计图;
请根据你所学的统计知识提出问题(不需作解答也不要解释,但所提的问题应是利用表中所提供数据能不解的.).
培优升级 奥赛检测
01．观察市统计局公布的“十五”时期重庆市农村居民的年人均收入每年比上年增长率的统
计图,下列说法正确的是( )
A,2003年农村居民人均收入低于2002年
B．农村居民年人均收入每年比上年增长率低于9%的有2年. D．农村居民年人均收入每年比上年的增长率有大有小, C．农村居民年人均收入最多的是2004年 但农村居民年人均收入在持续增加. 02．一般地,家庭用电量(千瓦时)与气温(℃)有一定的的关
系.图(1)表示某年12个月中每月的平均气温;图(2)表示某家庭在这年12个月中每月的用电量.根据图中信息得到下列判断:(1)气温最高时,用电量最多;(2)气温最低时,用电量最少;(3)当气温大于某一值时,用电量随气温升高而增加(或降低而减少);(4)当气温小天某一值时,用电量随气温降低而增加(或升高而减少).其中正确的判断共有( ).
A．4个 B．0个 C．2个 D．1
30 25 20 15 10 5 气温 140 用电量 （图2） 120 100 80 60 40 20 月份 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
(图1) 月份
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
,.
03．菱湖是全国著名的淡水鱼产地，某养鱼专业户为了估计他承包的鱼塘有多少条鱼（假设
这个塘里养的是同一种鱼），先捕上１００条做标记，然后放回鱼塘里，过了一段时间，待带标记的鱼完全和鱼塘里的鱼混合后，再捕上１００条，发现其中带标记的鱼有１０条，鱼塘里大约有鱼（ ）•
A1600条 B．1000条 C．８００条 D．６００条 04．（浙江）某住宅小区六月份中１日至６日每天用水量变化情况如图，那么这６天的平均
用水量是（ ）•
A．30吨 B．３１吨 C．３２吨 D．３３吨
05．(聊城)如图所示，是某企业６月份各项支出金额占该月总支出金额的比例情况统计图，
该月总支出金额为４０万元，７月份由于原料提价需增加１万元支出•如果在总支出金额不变的情况下，压缩管理支出，那么７月份绘制的统计图中，管理支出所占区域的扇形圆心角度数为（ ）•
A．25° B．27° C．30° D．36°
06．(第九届“华北赛”试题)下表是2004年１月５日世界部分城市的气温： 东莫法纽旧曼悉北卡开伦巴柏罗汉圣温京 斯兰约 金谷 尼 京 拉罗 敦 黎 林 马 城 地哥科 克山 奇 尼 华 福 5 -6 -5 4 5 23 15 -2 11 9 2 -7 -9 3 -1 12 -8 表中单位是摄氏度，这些城市中平均气温是_________度，气温最低的城市是___________. 07．新华高科技股份限公司董事会决定今年用１３亿资金投资发展项目，现有６个顶目可供
选择•每个项目或者被全部投资，或者不被投资，各项目所需投资金额和预计平均收益如下表：
项目 A B 2 C 6 0.6 D 4 0.4 E 6 0.9 F 8 1 投资（亿元） 5 收益（亿元） 0.55 0.4 如果要所有投资的项目的收益总额不得低于1.6亿元，那么应当选择投资的项目是____时，投资的收益额最大• 08．如图中的折线，ABC为甲地向乙地打长途电话所需付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)
之间的函数关系的图像，从图中可知，通话2分钟需付电话费______元，通话4分钟需付电话费______元•
09.（第十五届希望杯初一）某地上半年降雨量如图所示，那么在该地25平方米范围内，上
半年平均每日降雨________立方米•
,.
24 y(元) 4.4
A B 2.4
t(分钟)
1 2 3 4 5 6 (第8题图)
1
2 3 4 5 (第9题图)
6
C mm 12 10 5 18 15 月
10.（南平）为了帮助贫困失学儿童，某团发起“爱心储蓄”活动，鼓励学生将自己压岁
钱和零花钱存入银行，定期一年，到期后可取回本金，而把利息捐给贫困儿童，其有学生1200人，如图甲所示，是该校各年级学生人数比例分布的扇形统计图，乙图是该校学生人均存款情况的条形统计图•
⑴九年级学生人均存款多少元？ ⑵该校学生人均存款多少元？
⑶已知银行一年期定期存款的年利率是2.25%（“爱心储蓄”免收利息税），且每351元能提供给一位失学儿童一学年的基本费用，那么该校一学年能帮助多少贫困失学儿童？
11．快乐公司决定按图给出的比例，从甲、乙、丙三个工厂共购买200件同种产品A，已知
这三个工厂生产的产品A的优品率如表所示：
⑴求快乐公司从丙厂购买多少件产品A？
⑵求快乐公司所购买的200件产品A的优品率；
⑶你认为快乐公司能否能过调整从三个工厂所购买的200件产品A，使其优品率上升3%，若能，请问应从甲厂购买多少件产品A？请说明理由•
12．（江西）某班为了从甲、乙两同学中选出班长，进行了一次演讲答辩与民主测评•A、B、
C、D、E五位老师作为评委，对“演讲答辩”情况进行评价，全班50位同学参与了民主测评，结果如下表所示：
,.
规则：演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分再算平均分”的方法确定；民主测评得分＝“好”票数2分+“较好”票数1分+“一般”票0分；
综合得分＝演讲答辩得分(1a)民主测评得分a(0.5a0.8)
⑴当a0.6时，甲的综合得分是多少？
⑵a在什么范围内时，甲的综合得分高？a在什么范围内时，乙的综合得分高？ 13．（辽宁）初中生的视力状况受到全社会的广泛关注，某市有关部门对全市3万名初中生
的视力状况进行了一次抽样调查，图中是利用所得数据绘制的分布直方图（长方形的高表示该组人数），根据图中所提供的信息回答下列问题：
⑴本次调查共抽测了多少名学生？ ⑵在这个问题中样本指什么？
⑶如果视力在4.95.1（含4.9，5.1）均属正常，那么全市有多少初中生的视力正常？ 14．（“祖冲之杯”初中数学竞赛题）某校学生参加数学竞赛的有120名男生、80名女生，参
加英语竞赛的有120名女生、80名男生•已知该校总共有260名学生参加竞赛，其中75名男生两科竞赛都参加了，那么参加数学竞赛而没有参加英语竞赛的女生人数是多少人？
,.
模拟试题（一）
一．选择题（每小题3分，计36分） 01．2的倒数是（ ）
11 D． 2202．若x＝ 2时是关于x的一元一次方程ax＋2＝0的解，则a的值是（ ）
A．2 B．1 C．1 D．2
A．2 B．2 C．
03．我国已有1000万人接种“甲流疫苗”，1000万用科学计数法表示为（ ）
A．1 10 B．1010 C．10010 D．10001004．单项式3ab与2ab合并同类项，结果正确的是（ ）
A．1 B．ab C．ab D．ab 05．如果a＝a，那么a的取值范围是（ ）
A．a0 B．a0 C．a0 D．a0 06．下列变形中，不正确的是( )
A．a(bcd)abcd B．a(bcd)abcd C．ab(cd)abcd D．ab(cd)abcd 07．如图，已知AOCBOD90,若AOB135,
则COD( )
A．30 B．45 C．60 D．75 08．下列各角中，不能用三角板直接画出的是（ ）
A．15 B．30 C．45 D．50 09．一个正方体的平面展开图不可能是（ ）
2276
10．随着通讯市场竞争日益激烈，移动公司的手机市场话费收费标准在原标准的基础上每分
钟降低了a元后，再次下调25%，现在的收费标准是每分钟b元，则原收费标准是每分钟（ ）元
4434ba B．ba C．ba D．ba 53111．下列说法：①若AC＝BC,则C为AB的中点 ②若AOCAOB,则OC是AOB2A．
的平分线 ③ab，则ab ④若ab，则ab，其中正确的有（ ） A．4个 B．3个 C．2 个 D．1个
22,.
12．如图O是AB上一点，COA90,OD平分AOC,OE
平分BOC,下列结论：① DOE90 ② OC平分
③DOECOEBOD180
④AODBOE,其中正确的是（ ） A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．①③④
二．填空题（每小题4分，计16分）
13．请写出一个解为2的一元一次方程
14．在数轴上，若A点表示x，点B表示—5，A．B两点之间的距离为7，则x＝
15．仔细观察下列图形，当梯形的个数是10时，图形的周长是
16．在直线l上取A．B．C三点，使得AB4cm,BC3cm，如果O是线段AC的中点，
则线段OB的长为
三．解答题（总计68分）
17．（1）423(5) （2）3(4)(2)(2)(1)
18．解方程（每小题4分，计8分）
（1）3x54x1 （2）
19．先化简，后求值（本题6分）
（1）化简2(abab)(2ab2ab)2
（2）当(2b1)3a20，求上式的值
2222232101
3x15x7 146,.
20．（本题6分）如图，点O为直线AB上一点，BOC80,OE是BOC的角平分线，
2AOF3COF. (1)求AOF的度数；
（2）试说明OC平分EOF的理由.
21．（本题7分）已知x2y值.
22．（本题7分）如图，已知C是线段AB的中点，D是AC上一点，ADCD2cm,若
AB＝16cm,求CD长．
1222(z2)20，求代数式xyzxyyzxz的2 23．（本题7分）“五一”期间，某校4位教师和若干名学生组成的旅游团，报到“神龙架”旅
游风景区旅游，甲旅行社的收费标准是：如果4张全票，则其余人按七折优惠；乙旅行社的标准是：5人以上可（含5人）购团体票，旅游团体票按原价的八折优惠，这两家旅行社的全票价格为每人300元，
（1）若有10位学生参加该旅游团，问选择哪家旅行社更省钱？
（2）参加旅游团的学生人数为多少时，两家旅行社收费一样？
,.
24．（本题7分）两把长度相同的尺子AB．CD的一边与直线l重合．（1）如图1，尺子AB
和CD的一部分重叠在一起，写出线段AC．BD的大小关系，并简要说明理由；
（2）如图2，一把尺子不动，另一把尺子沿直线l直线移动，（1）中的结论还成立吗？简要说明理由．
25．（本题12分）如图已知数轴上有三点A．B．C，AB＝BC，点C对应的数是200，且BC
＝300.
（1）求A对应的数；
（2）若动点P．Q分别从A．C两点同时出发向左运动，同时动点R从A点出发向右运动，当点Q．R相遇时，点P．Q．R即停止运动，已知点P．Q．R的速度分别为每秒10个单位长度，5个单位长度，2个单位长度，M为线段PR的中点，N为线段RQ的中点，问多少秒时恰好满足MR＝4RN？
,.
（3）若点E．D对应的数分别为—800．0，动点K．L分别从E．D两点同时出发向左运动，点K．L的速度分别为每秒10个单位长度，5个单位长度，点G为线段KL的中点，问：点L在从点D运动到点A的过程中，LCAG的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，请说明理由.
23
附加题（本题10分，不计入总分）
（第7届“华杯赛”邀请赛）电子跳蚤游戏盘为ABC,AB8a,AC9a,BC10a，如果电子跳蚤开始时在BC边上P0点，BP04a，第一步跳蚤跳到AC边上P1点，且
CP1CP0,第二步跳蚤从P1跳到AB边上P2点且AP2AP1,第三步跳蚤从P2跳到BC边上P3点，且BP3BP2…跳蚤按上述规则跳下去，第2001次落在P2001点，请计算P0点与P2001点之间的距离.
,.
模拟试卷（二）
一．选择题（每小题3分，共36分）
01．下列命题中，是真命题的有（ ）
①同位角相等②对顶角相等③过一点有且只有一条直线与已知直线平行④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
A．1个 B.2个 C.3个 D.4个 02．邻补角是指( )
A.相邻的两个角 B .和为180°的两个角 C.有一条边公共的两个角 D.相邻且互补的两个角
03．如图，AB∥CD,∠B＝120°，∠C＝25°，则∠E的大小为（ ）
A.145° B.95° C.85° D.75°
ABDHGAEECDBFC第3题
第4题
04．如图，DH ∥EG∥BC，且DC∥EF，则图中与∠1相等的角（不含∠1）的个数是（ ）
A．2个 B．4个 C．5个 D．6个
05．有一条直的等宽纸带，按如图折叠，纸带重叠部分中的∠α的度数（ ）
A.30° B.60° C.75° D.80° 06．点P（－m，n）到x轴，y轴的距离之和是（ ）
A.－m＋n B.m＋n C.|－m＋n| D.|－m|＋|n| 07．点P(a,b)且a*b＞0，a＋b＜0，则点P在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
08．在同一坐标系中，直线AB∥CD，且直线AB与x轴的交点为（3，0）直线CD与x轴
的交点为（－2，0），则直线CD是有直线AB（ ）得来的. A.向右平移5个单位长度 B. 向右平移1个单位长度
CC. 向左平移1个单位长度 D. 向左平移5个单位长度
D09．如右图，图有（ ）个三角形
A.5 B.6 C.7 D.8 F10．一个三角形中，至少有一个内角度数不会大于（ ） AEA.15° B.30° C.45° D.60°
第9题图 11．若一个多边形的每一个内角都是135°，则它的边数是（ ）
A.7 B.8 C.9 D.10
12．如右图，BO．CO分别平分∠ABC和∠ACB，连结AO并延长交
BC于点D，BM．CM分别平分∠ABC和∠ACB的外角，直线MC和直线BO交于点N，OH⊥BC于点H，有下列结论︰ ①∠BOC＋∠BMC＝180° ②∠N＝∠DOH
ABNOBDHCM（第12题图）,.
③∠BOD＝∠COH ④若∠CBA＝∠CAB，则MN∥AB. 其中正确的个数有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二．填空（每小题4分，共16分）
13．写出一个位于第四象限的点，且它到x轴距离小于到y轴的距离___________________. 14．两个角α和β，它们的两边分别平行，且α＝2β－30°.则α＝_____________.
A15．如图∠ABC中，AD是高，BE是∠ABC的角平分线，
若∠BAD＝36°，那么∠BFD＝_________. E16．黑色等边三角形与白色正六边形的边长相等，用它们镶36°嵌图案，方法如下︰白色正六边形分上下两行，上面的F一行的正六边形个数比下面一行少一个，正六边形之间BCD的空隙用黑色的正三角形嵌满，按1，2，3个图案所示
规律依次下去则第n个图案中，黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是( )
A.n＋n＋2，2n＋1 B.2n＋2,2n＋1 C.4n，n－n＋3 D.4n,2n＋1 三．解答题（共68分） 17．（本题7分）如图，已知∠1＝∠D＝78°，∠2＝62°，
AE∥BC.求∠DCB的度数. D
AE
2
1BC
18.（本题8分）如图，A．B．C在同一直线上，∠1＝∠2，
∠E＝∠3，试说明︰AD∥BE.
E D 2341
ACB
19.（本题8分）如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋
AF∠E＋∠F的度数.
D C
E20.（本题8分）如图，三角形ABC三个顶点的坐标分别B为A
2
2
,.
（2，3），B（－2，0）C（5，0），将三角形ABC沿x轴负方向平移2个单位，再沿y轴负方向平移1个单位，得到三角形A1B1C1.
（1）画出三角形A1B1C1，并分别写出三个顶点的坐标； （2）求三角形A1B1C1的面积.
y
4 A(2,3)3
2
1 x–4–3–2–1O12345
C(5,0)B(-2，0)–1
–2
–3 –421.（本题8分）点P（2m＋1，3m－2）.
（1）若点P到x轴的距离为7，求m的值；
（2）若点P到x轴的距离是它到y轴距离的2倍，求m的值.
22.（本题9分）如图，△ABC纸片中，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内部.
（1）若∠A＝65°，∠B＝75°，∠1＝20°，则∠C＝__________. （2）试探究求∠1．∠2与∠C之间的数量关系，并简要说明理由.
A
1C D
2B
23．（本题9分）如图，△ABC中，AD是∠BAC的E平分线，线段BE⊥AC于E，交直线AD于点F.
（1）若△ABC为锐角三角形，试判断∠ABC与∠C，∠BFD之间存在何种等量关系，请证明；
（2）若∠BAC是钝角，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？如不成立，又有怎样的结论？请画图证明. C
E
D
F AB 24．（本题11分）在平面直角坐标系中∠DEQ的顶点E
EOCByAxQ,.
阻碍x轴负半轴上，DQ交x轴于C，EC平分∠DEQ，过D的直线交坐标轴于A．B且∠ADE＝∠BDC.
（1）若∠ABE＝20°，求∠Q的度数.
（2）若DH⊥AB交x轴于G,交y轴于H，试探究求∠Q与∠OHD之间的数量关系，并加以证明.
y
A EOGC HQ
xB附加题（本题10分，不计入总分）
25．如图，凸四边形ABCD中，S△ABD＞S△BCD，在AD上找一点E,使BE平分四边形ABCD
的面积，那么点E的画法是怎样的？
BC
DA
,.
模拟试卷（三）
一．选择题（每小题3分，共36分）
01．有下列命题︰
①平行于同一条直线的两条直线互相平行. ②垂直于同一条直线的两条直线互相垂直
③两直线平行，内错角相等. ④同旁内角互补. 其中正确的命题有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 02．点P（a＋5，a－2）到x轴的距离是3，则a＝（ ）
A.5 B.－1 C.5或－1 D.－2或－8
03．边长为3，a＋2，5的三条线段首尾顺次连接组成三角形，且a为偶数，则组成的三角
形周长是（ ）
FA.12 B.13 C.14 D.12或14
04．如图，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝110°，延长AD至F，延长CD至
DEE，连结EF，则∠E＋∠F的值为（ ）
A.110° B.30° C.50° D.70° ACB2xy305．以方程组 的解（x，y）为坐标的点在（ ）
3x4y10 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
06．若点A（a,3），B(2,b)是与y轴平行的直线上的两点，且到x轴的距离相等，则点M
点（a，b）的坐标是( )
A.（2，3） B.（2，－3） C.（－2，3） D.（－2.－3）
07．若a﹤b，则下列式子正确的是（ ）
A.5－a﹤5－b B.ac﹤bc C. －5a＋1﹥－5b＋1 D.08．如右图，△ABC中，CD平分∠ACB的外角∠ACE
交直线BA于点D，下列各组角中，错误的一组是（ ）
A.∠BAC＝81°，∠B＝39°，∠ACB＝60° B.∠BAC＝79°，∠B＝41°，∠ACB＝60° C.∠BAC＝73°，∠B＝40°，∠ACB＝67° D.∠BAC＝63°，∠B＝67°，∠ACB＝50° 09．已知2
2
ab .c21c21DABCEx2mxny1是方程组的解，则m．n的值为（ ） y1mynx8m2m2m1m1 B. C. D.
n1n3n8n2 A.
,.
10．下列四个统计图中，用来表示不同品种的奶牛的平均产奶量最为合适的是（ ）
11．下列正多边形的组合中，能够进行平面镶嵌的是（ ）
A.正八边形和正六边形 B.正五边形和正八边形 C.正六边形和正三角形 D.正五边形和正六边形
12．已知，a，b，c均为△ABC的三条边，且a﹤b，则下列结论中正确的有（ ）
①c－a﹤c－b ②ac﹤bc ③
2
2
abc ④（a－c）（c－1）﹤b（c－1） c1c1A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二．填空题（每小题3分，共12分）
13．若2x＋3y－1＝y－x－8＝x＋6，则2x－y＝___________. 14．一个多边形的外角和是内角和的
2，则这个多边形的边数是 ___________. 7x84x115．不等式组13的解集是___________.
x4x2216．在图①中区阴影等边三角形的中点，连成一个等边三角形，将其挖去，得到图②；对图
②中的每个阴影等边三角形各边按照先前的做法，得到图③……如此继续，如果图①的等边三角形面积为1，则第n个图形中所有阴影三角形面积的和为_______.
三．解答题（共72分）
17．（本题15分）解方程组︰
xyxy63xy5 （1） （2）2 35x2y25.24(xy)5(xy)23x2yz13 （3）xy2z7
2x3yz12
,.
18．（本题10分）解下列不等式(组)，并将解集在数轴上表示出来︰
13x32x115x21x （1） （2）(6x4) 24635x122(4x3)
19．（本题6分）若方程组4x3yk的解中x﹥y，求k的取值范围.
2x3y5 20．（本题7分）如图，BE与CD交于点A，CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的平分
线.
（1）试探究︰∠F与∠B，∠D之间的关系； （2）若∠B:∠D:∠F＝2:4:x，求x的值. ED1
2
AF
3
4 BC 21．（本题7分）甲．乙两地相距36千米，一部分为上坡路，其余全为下坡路，一人骑车往
返于甲．乙两地之间，上坡时速度为12千米/时，下坡时速度为18千米/时，且此人由甲地到乙地比由乙地到甲地少用半小时，求此人由甲地到乙地所用的时间.
22．（本题7分）将若干只鸡放入若干个笼中，若每个笼里放4只鸡，则有一鸡无笼可放；
若每个笼里放5只鸡，则有一笼无鸡可放，那么至少有多少鸡，多少个笼？
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23.（本题9分）（青岛）某学校组织八年级学生参加社会实践活动，若单独租用35座客车
若干辆，则刚好坐满；若单独租用55座客车，则可以少租一辆，且余45个座位. （1）求该校八年级学生参加社会实践活动的人数；
（2）已知35座客车的租金为每辆320元，55座客车的租金为每辆400元，根据租车资金不超过1500元的预算，学校决定同时租用这两种客车共4辆（可以坐不满），请你根据本次社会实践活动所需车辆的租金.
24.（本题11分）如图，点A（5，0），点B（0，m）.
（1）若S△AOB＝10，求点B的坐标；
（2）若m﹥0，作∠ABO的外角平分线BE，再作∠BAO的平分线AC，两线交于点C，
求∠BCA的度数；
（3）在（2）中，再作BE1平分∠ABE，AC1平分∠CAB，两直线交于点C1；又作BE2
平分∠ABE1，AC2平分∠C1AB，两线交于点C2，……，作BE10平分∠ABE9,AC10平分∠C9AB,两线交于点C10，试求∠BC10A的度数. y
E
B
C
x OA
附加题︰（本题10分，不计入总分）
x-12yz325．已知︰非负数x．y．z满足，设ω＝3x＋4y＋5z，求ω的最大值234和最小值,
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