学法指导】 数学问题解决的思维过程 陈正顺 （浙江省玉环县城关中心小学，浙江玉环３ １７６００） 摘要：数学问题是指不能用现成的数学经验和方法解决的一种情景状态。这里所指的“问题”不是指那些与课本 例题同类型的常规习题，而是指那些非常规性的或者条件不充分、结论不确定的开放性、探究性问题。这些问题不能 直接套用现成公式获得解决，而要调动所学知识系统，运用一定的思维策略，通过一定的思维过程逐步指向问题目 标，使问题在探究中获解。 关键词：缕析问题；求解方案；问题解答；解题过程 数学问题的解决是一个复杂而连续的心理活动过 程，其一般思维过程是：缕析问题信息一确定求解方 案一实施问题解答 反思解题过程，下面以实例加以分 析。 一本数的差，此问题就能顺利获解。这一思路的解题起点 就要从求出原来文艺书有多少本开始。如果学生只能顺 着已知信息的思路，顺向思维来解决问题，这时学生的 思维起点就会想到设出未知数，用方程解。具体从什么 地方人手去解决问题，要根据不同数学问题的性状和学 生擅长的思维习惯及个体思维能力而定，不能定式地～ 概而论。 ３．确定解题步骤。确定解题步骤是指学生在头脑里 整理 解决问题的详细操作程序，即确定先求什么，再 、缕析问题信息 １．理清数学问题信息。数学问题作为一种有待加工 的信息系统，它主要由条件信息、目标信息和运算信息 三部分构成。理解和感知数学问题中的信息元素是解决 问题的第一步。这一步主要是要求实施者明确问题所提 供的条件信息和目标信息。 对数学问题基本信息的感知要做到全面而完整，特 别是对那些综合性强、关系复杂的问题，要注意发现问 题中的隐性信息，充分挖掘有用的信息，这对问题解决 的顺利实施具有重要的意义。例如，在问题“大数和小数 的差是８０．１，小数的小数点向右移一位，刚好与大数相 等。大数和小数各是多少”中，大数和小数之间的倍数关 系这一重要条件信息没给出，而隐藏在“小数点向右移” 句话中，需要学生自己去发现。 二、确定求解方案 一求什么，最后求什么，这里只要求学生能在头脑中初拟 即可，无需写出书面的解题计划。这一环节，放在整个解 决问题的思维过程中来审视，主要是完成如何确定解题 思维发展脉络的问题，在前面已确定的解题起点的基础 上，进一步理清完善整个解题思维沿着什么方向进展下 去，以保证解题时思维能朝着数学问题目标信息的方向 顺利进行，而不至于偏离思维的主航道，影响目标信息 的最后获解。 三、实施问题解答 在第一步理解分析条件信息、目标信息的前提下， 在头脑中已初步形成了数学问题的初始状态，及要解决 的问题的目标状态。这时，解决者的思维就要进一步深 入，提炼数学问题中存在的显性的或隐性的有用信息， 实施问题解答就是将前面制定的解题计划付诸实 施，使问题达到目标状态。这里提倡学生能用不同的方 法来解决问题，数学新课标中提及：“学生要能探索出解 决问题的有效办法，并试图寻找其他方法。”所以，这～ 环节学生承接第二步骤的思考，运用已类化的策略，从 某一思维起点出发，按照既定的解题思路，对数学问题 实施有序地推导、运算，直到得出正确的问题目标结果 为止。 链接各信息问的运算信息，选择解题方法，制定合理的 求解计划，这是实现问题解决的最关键一步。这一过程 由一组复杂的心理活动组成，一般要连续完成以下几方 面的任务。 这一步既是一个执行解题计划的过程，同时也是～ ｌ。类化问题信息。一切数学问题的解决过程总是将 未知的新问题不断地转化成已知的问题的过程，这是解 决数学问题的基本策略。在这一环节就是把数学问题中 呈现的主要信息同解决者原有认知结构中的相关知识 和方法连接起来，并以这些已认知的知识和方法作为解 个检验和修正解题计划的过程。解题时若发现前面制定 的求解方案和解题思路不当或不简便，在实施解答的过 程中要及时加以修正，尽量靠近合理的路子，以减少解 题过程的失误，使问题能较顺利地达成目标状态。 四、反思解题过程 决新问题的依据和基础，重新组合演化成解决新问题所 需的新策略。 数学问题获得求解，并不代表整个解题过程的终 结，还需对上述整个解决问题的过程作明晰的反思，看 解题过程是否合理、简便，结果是否正确。更要从解决问 题的策略方面来整理思路、提升认识，让合理、有效的解 题策略丰富自身解决问题的策略库。这一环节，可做好 下面两方面内容。 ２，寻找解题起点。解决问题的切人点往往有所不同， 具有因人而异的相对灵活性。如在解决例１时，学生一般 都会想到从求科技书人手，求出前后科技书本数之差即 可；另外，学生想到问题中隐含着文艺书的本数是一个 稳定的不变量，只要抓住文艺书这一拐棍，求Ｈ｛前后总 １．检验求解结果。将数学问题的求解结果返回到实 一１３４— 【学法指导】 例谈与铜反应的几种常见计算 樊丽娟 （河北省大城县第一中学，河北大城０６５９００） 摘要：在铜与的反应中，一般来说，浓产生ＮＯ ，稀产生ＮＯ，由于产物比较复杂，有的时候还要涉 及到多步反应，甚至是循环反应，必须要有清晰的思路和正确的方法，以避免出错。 关键词：；铜；计算；反应 在铜与的反应中，一般来说，浓产生ＮＯ ， 的量等于０．０５ｔｏｏｌ＋０．０６ｔｏｏｌ＝０．１ １ｔｏｏｌ。转移电子的物质的 稀产生ＮＯ，随着反应的进行，的浓度逐渐减小， 量等于铜失去电子的物质的量： 产物由ＮＯ 变为ＮＯ，最终得到的是ＮＯ与ＮＯ 的混合物。参 （１．９２÷６４）ｘ ２＝０．０６ｔｏｏｌ 加反应的转化为生成物时，分为以下三部分：被还 例２：足量的铜与一定量的浓反应得到铜 原的产物ＮＯ 、ＮＯ和未被还原的Ｃｕ（ＮＯ，） 。可以看出被还 溶液和ＮＯ、ＮＯ：、Ｎ ０ 的混合气体，这些气体与１．６８升标 原的无论生成ＮＯ还是生成ＮＯ ，在分子中均含一个 准状况的氧气混合后缓缓通入水中，所有气体完全被水 氮原子，所以生成气体的物质的量与被还原的的物 吸收生成。若向所得铜溶液中加入５ｍｏ￣Ｌ的 质的量应相等。 ＮａＯＨ溶液至ｃｕ 恰好完全沉淀，则消耗ＮａＯＨ溶液的体 在解铜与反应的计算题时，可以抓住“一个关 积是多少毫升？ 系”“两个守恒”“一个技巧”。 分析：此题应用电子守恒法来解答比较简单。铜失 一个关系：起酸性作用的的物质的量是金属物 去电子给中的氮元素，氮原子得电子变为ＮＯ、ＮＯ：、 质的量和金属所带电荷的乘积。 Ｎ ０ 的混合气体，这些气体在与氧气混合后通入水中时 两个守恒：氮元素原子守恒和反应得失电子守恒。 发生氧化还原反应，混合气体中氮原子失去电子重新生 一个技巧：利用离子方程式计算。 成，这部分和与铜反应做氧化剂的的量相 例１：１．９２克铜片与一定量的浓作用收集到标准 等；氧气得电子，在整个过程中铜失去电子数等于氧气 状况下的ＮＯ：和ＮＯ气体共１．１２升，金属铜恰好完全反应， 得到电子数，中的氮原子只是起到一个传递电子的 则反应中消耗的的物质的量为多少摩尔？被还原的 作用。所以参加反应的铜的物质的量为： 的物质的量是多少摩尔？转移电子共多少摩尔？ （１．６８Ｌ÷２２．４Ｕｍｏ１）Ｘ ２＝０．１５ｍｏｌ。消耗ＮａＯＨ溶液的 分析：参加反应的等于被还原的加上未被 体积为：０．１５×２÷５＝０．０６Ｌ＝６０ｍｌ。 还原起酸性作用的。被还原的的物质的量等于 另外，如果遇￣ＵＨＮＯ，和Ｈ ＳＯ 的混合溶液与足量的 气体的物质的量：１．１２Ｌ÷２２．４Ｕｍｏｌ＝０．０５ｔｏｏｌ；起酸性作 金属铜反应时，不能用金属与ＨＮＯ 反应的化学方程式计 用的的物质的量等于铜的物质的量的二倍，即 算，而应用离子方程式计算，因为生成的盐中的ＮＯ （１．９２÷６４）×２＝０．０６ｔｏｏｌ。所以，参加反应的的物质 借助于Ｈ＋ｆ乃继续与金属反应。 （下转１３３页） ＋一＋一＋ ＋”＋一＋一＋一十”＋一—＋－“＋・・十・－＋ —卜“＋・・＋”＋一—＋－一＋ ＋”—－＋一”—＋一＊＋ —，＋一＊—＋一一－－＋－”＋”—－卜一—－＋一一－－＋－一—－＋一 — 一一—＋一一＋一——＋一＊——卜一—－＋一一—卜一—＋一”——＋一一—十一一－－卜一—。＋一一— 一——卜一＋一—卜・ 际问题中去进行检验，看它是否与实际问题情形相吻 在联系是错综复杂的，所以必须依据一定的思维路径， 合，从而更加确定求解结果的准确性。 有序地探寻新的问题解决的方法与途径，至少要对已知 ２．评价解题策略。《数学新课标》提出：“学生要具有 的解题方法、途径重新组合，即要寻求合适的新策略。问 回顾与分析解决问题过程的意识。”所以在问题解决以 题一旦得到解决，学生又可以通过问题解决的过程学到 后，还要主动对求解过程进行反思，特别是对问题解决 新的解决问题的策略，这些新的策略又成为解决其它新 过程巾的思维策略进行评价，分析甑别多种策略中较为 问题的已知策略，在这一解决问题的过程中，学生的潜 合理的方法，提炼解决同类问题常用的一般策略。如果 能无形中得到了充分发挥： 解决过的问题是一个具体问题（如例１），就可引导学生 参考文献： 通过归纳、类比和演化，得到普遍的思维方式，形成解决 【１】刘兼，孙晓天数学课程标准解读ＩＭ１．北京师范大学出版社， 问题的新策略，以期成为解决其它数学问题的又一源动 ２００１ 力。 ‘ 【２】刘元宗．数学问题解决及其教学 课程・教材・教法，２００４（２）． 解决问题的过程，是从条件信息应用一定的运算信 ［３】丁琛．数学问题的解决【Ｍ１东北师范大学出版社，２０００． 息寻求目标信息的过程，由于问题解决中的问题是学习 【４】李光树数学问题解决的学习 小学数学教育，２００７． 者从未遇到过的新问题，在学生看来，数学信息间的内 －１３５－
