平面向量专题复习试卷(含答案)

一、课前回顾

1. 平面向量基本定理

如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1,2使a1e12e2。 注：平行向量就是共线向量。 2. 数量积

rrrrrrrrrrrr①ababcos，其中0,为a和b的夹角；

rrr②bcos称为b在a的方向上的投影。

3. 定比分点的坐标公式

uuuuruuuruuuruuuur 点P分有向线段PP12所成的比的：PP1PP2 。当P内分线段PP12时，0；uuuur当P外分线段PP12时, 0.

定比分点坐标公式 中点坐标公式 三角形重心公式 1 xy

1 x1x2x2 yy2y12 x1x21 y1y21(x1x2x3y1y2y3,) 33二、考点练习

考点一：平面向量的基本概念和运算

rr【1】 设a与b为非零向量，下列命题：

rrrr①若a与b平行，则a与b向量的方向相同或相反；

rrrr②若ABa,CDb, a与b共线，则A、B、C、D四点必在一条直线上；

rarrrrrrrrrr③若a与b共线，则abab； ④若a与b反向，则arb

b其中正确命题的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B

rruuuruuur【解析】正确的应该是①④。①显然正确；②a与b共线，即AB//CD，A、B、C、D四点

rrrrrrrrrrabab不一定在一条直线上；③与共线，则，ab1b，ab1b；rrrrrrrrrrrb④若a，b为非零向量，则共线的a与b满足a与b同向时aar，a与b反向时

brrrbaar。

b

rruuurrruuurrruuurrr【2】 设a、b是两个不共线向量。AB2akb,BCab,CDa2b，A、B、D共

线，则k（ ）

A．0 B．1 C．-1 D．2 【答案】C

uruuuruuurrrrrrrrrrrrr2akb2ab2ab， 【解析】BDBCCDaba2b2ab，  ∴22且 k， ∴ k1。

考点二：向量的坐标运算

【3】已知平面向量a(1,2),b(2,m)，且a∥b，则2a3b=（ ） A．（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10） 【答案】C

rrrr【解析】由a//b，得m4，所以，2a3b(2,4)(6,12)(4,8)。

rrrrr【4】已知平面向量a=（1，－3），b=（4，－2），ab与a垂直，则是（ ）

A. －1 B. 1 【答案】A

C. －2

D.2

rrrrrr【解析】由于ab4,32,a1,3,aba

∴43320，即101001。

考点三：平面向量的定比分点

【5】D、E、F分别为ABC的边BC、CA、AB上的中点，且BCa，CAb，下列命题中正确命题的个数是（ ）

uuuruuuruuurruuuruuurr1ruuur1rr1r1r①ADab；②BEab；③CFab；④ADBECF0。

2222 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D

【解析】图略，ADACCDuuuruuuruuuruuur1uuuruuur1r1rCA(ACCB)ab222

ruuuruuurruuuruuurr1ruuu1rruuu，，abBEBCCEabCFCAAF22

uuuruuuruuuruuur【6】 设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且DC2BD,CE2EA,uuuruuuruuuruuuruuuruuurAF2FB,则ADBECF与BC（ ）

A.反向平行 【答案】A

B.同向平行

C.互相垂直

D.既不平行也不垂直

uuuruuuruuuruuur1uuuruuur1uuuruuur2uuur【解析】ADBECF(ABBC)(BAAC)(CAAB)

333uuurur2uuur1uuur2uuur1uuur1uuur2uuCAABBCCBBCCB，与BC反向平行。

33333 3

【7】设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，ADuuuruuuruuurDE1AB2AC，则12的值为（ ）

A.0

B.

12AB,BEBC,若2311 C. D.1 42【答案】A

uuuruuuruuur1uuur2uuur1uuur2uuuruuurr2uuur1uuu【解析】DEDBBEABBCAB(BAAC)ABAC，

2323631所以12。

2

考点四：平面向量在平面几何中的应用

【8】在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F. 若ACa, BDb,则AF（ ）

1r1r2r1r A．ab B. ab

4233【答案】B 【解析】

1r1rC. ab

241r2rD.ab 33

AO111a，ADAOODab 222AE1111111(AOAD)abaab 2222224令AFAE,1，则有AFAE(AD11DB)(AD(DCCB)) 44(AD(DAAC))24uuurrr4，代入AFab中得选项B正确。故选B。

3243414ADAC，根据C,F,D三点共线，有

241，解得

【9】O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足

uuuruuuruuuruuurABACruuur),[0,),则P的轨迹一定通过△ABC的（ ） OPOA(uuu|AB||AC| A．外心 【答案】B

B．内心

C．重心

D．垂心

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurABACABACruuur),[0,),uuur,uuur分别指的是与AB,AC同向的单【解析】AP(uuu|AB||AC||AB||AC|uuur位向量，所以AP过角A的角平分线，故P的轨迹一定通过△ABC的内心。

uuuruuuruuurr【10】已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若3OA4OB5OC0，则△AOC的

面积为（ ） A.

213 B. C. 5210D.

65

【答案】A

uuuruuuruuuruuuruuuurOC16，令角AOC为，【解析】3OA5OC4OB，两边同时取模，得92530OAg则cos，所以sin

3142，故SVAOC11。 5255uuuruuuruuurr【11】设点O在△ABC的内部，且有OA2OB3OC0,则△ABC与△AOC的面积比（ ）

【答案】D

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurr【解析】令OPOA,OQ2OB,OR3OC，则OPOQOR0，则O点为△PQR

的重心，则SPOQSPORSQOR，再根据对应边的比例关系可以得出选项D为正确答案。 A.

35 B. C.2 D.3 23uuuruuuruuurr【12】设点O在△ABC的内部，且有3OA4OB5OC0,则△ABC与△AOC的面积比（ ）

A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 【解析】同上题。

考点五：平面向量与三角函数、函数等知识的结合（一般出现在大题中）

rrrr【13】已知向量a(3sinx,cosx),b(cosx,cosx) ,函数f(x)2ab1，则f(x)的

最小正周期为（ ）

A.2 B. C.【答案】B

【解析】f(x)23sinxcosx2cosx13sin2xcos2x2sin(2x所以T。

2 D.24



6)考点六：平面向量与解析几何的交汇与融合

【14】平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A(3,1),B(1,3)，若点C满足

uuuruuruuurOC0AOB，其中,R，且1，则点C的轨迹方程为（ ）

A. 3x2y110 B. (x1)2(y2)25 C. 2xy0 D. x2y50 【答案】D

【解析】令C点坐标为(x,y)，则根据题意有(x,y)(3,3)，得3xy，10

3yx，再由1可得答案为D。 10