微分中值定理的证明与应用

微分中值定理的证明与应用

学校：郧阳师专 姓名：欧治国 邮编：442000

摘 要：微分中值定理是微分学的基本定理，是大学数学代数部分的核心内容之一。本文对微分中值定理的证明以及对它的应用范围和应用实例进行阐述。

Abstract：The mid-value theorems is the basic theorems in differential calculus university mathematics algebra part, is one of the core contents. In this paper, the mid-value theorem of proof and its application scope and application example was presented.

关键词：微分中值定理 证明 应用

Keywords: differential mean-value theorem prove use

1.引言

微分中值定理是微分学的理论基础。它们建立了导数值与函数值之间的定量关系，熟练掌握

微分中值定理，有些问题就会迎刃而解。下面介绍微分中值定理的证明和在解题中的应用。

2.证明微分中值定理

1.1罗尔定理：设函数f(x)满足条件：（i）在闭区间a,b上连接;（ii）在开区间a,b上可微；

（iii）f(a)f(b).则在a,b内至少存在一点，使f'()=0.

证明：因为f在a,b上连续，所以有最大值与最小值，分别用M于m表示，现分两种情况讨论：（1）若m=M，则f在a,b上必为常数，从而结论显然成立。

（2）若m1.2.拉格朗日（Lagrange）定理:设函数f(x)满足条件：（i）在闭区间a,b上连续；（ii）在开

区间a,b上可微，则在a,b内至少存在一点，使

f(b)f(a)f'()

ba证明：若f(a)f(b).，本定理的结论即为罗尔定理的结论，这表明罗尔定理是拉格朗日定理的

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一种特殊情形。

设f(a)f(b)，作函数F(x)f(x)f(b)f(a)x。显然F(x)在a,b上连续，且

ba易验证F(a)F(b)，故由罗尔定理，存在(a,b)，使 F'()f'()

f(b)f(a) 0ba1.3柯西（Cauchy）定理：设函数f(x)、g(x)满足条件（i）在闭区间a,b上皆连续，（ii）在

开区间a,b上皆可微；（iii）f'(x)和g'(x)不同时为0；（iv）g(a)g(b)， 则 存在(a,b)，使得

f'()f(b)f(a)。 g'()g(b)g(a)f(b)f(a)(g(x)g(a))。

g(b)g(a)证明：做辅助函数F(x)f(x)f(a)易见F在a,b上满足罗尔定理条件，故存在(a,b)，使得

F'()f'()f(b)f(a)g'()0。

g(b)g(a)因为g'()0（否则由上式f'()也为零），所以即可得证。

柯西中值定理研究的是2个函数的变量关系，当其中一个变量取自变量本身时，它就是拉格朗日定理，所以能用拉格朗日定理解的不等式一定也能用柯西中值定理来解。

3.微分中值定理在解题中的应用

3.1证明等式

例1：证明方程x3xc0（这里c为常数）在区间0,1内不可能有两个不同的实根。

33证 反证法：设f(x)=x3xc， 若x1，x20,1，x122则由罗尔定理知x1,x2，使f'()=0，即33=3（1）=0，

解之得=±1（x1，x2）。矛盾。 所以f(x)=0不能有两个不等实根。

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例2：设0<<<

sinsin。证明存在a,b，使得=cot. 2coscos证 设f(x)=sinx，g(x)=cosx,x,， 则f,g在a,b上满足柯西中值定理条件， 故,，使得

sinsinf'()cos===cot

coscosg'()sin即

sinsin=cot，,

coscos3.2证明不等式

使用中值定理证明不等式，我们应该将要证明的不等式转化形式，转化为 M<

f(b)f(a)f(b)f(a)baF(b)F(a)中值定理条件，然后在证明对一切xa,b有Mf'(x)bbabaaba1，x证 设f(x)=lnx，xa,b 显然f(x)在a,b上满足拉格朗日定理条件，且f'(x)=故a,b，使

f(b)f(a)aba1=f'()=. 即 lnblna=ln=

bab而

111bababa<<，故有：<< bababbabaaba

即

例4：证明：

tanxx>,x0,。 xsinx22证 构造f(x)=tanxsinxx，则：f(0)0

f'(x)=sinxsecxtanxcosx2x

2 =sinx1tanxsinx2x

2 =2sinxsinxtanx2x

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2

f'(0=0 )f''(x)2cosxcosxtan2x2sinxtanxsec2x2 cosxcosx(1tan2x)2sinxtanxsec2x2

=cosx122sinxtanxsec2x2 cosx当x0,1时，>0，>2，sinx0,tanx0，故有f''(x)0 cosxcosx2cosx即 f'(x在故有： )，0上严格单调递增，2 f'(x)f'(0)， 0 x0,

2 进而 f(x)f(0)，0 x0,

2即x0,xtaxn2x有： f(x)sin2f(0 )0 且 sinx0,txan

从而有

tanxx>,x0, xsinx2结语：由此可见掌握微分中值定理对解类似的问题一定能够得心应手，而且使用中值定理解题

的方式有很多，大家不能受限于一种形式上，要根据实际情况寻找最简便的方法。

参考文献：

（1）邓乐斌编 数学分析的理论方法与技巧 华中科技大学出版社 （2）华东师范大学数学系 数学分析 高等教育出版社 （3）温旭辉 对高等数学中基本概念的剖析

（4）王向东主编 数学分析的要领与方法 上海科学技术文献出版社 （5）菲赫金哥尔茨 微积分教程 人民教育出版社

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