数学分析(华东师大)第十一章反常积分

第 十 一 章 反 常 积 分

§1 反常积分概念

一 问题提出

在讨论定积分时有两个最基本的限 制 : 积分 区间 的有穷 性和 被积函 数的 有 界性 .但在很多实际问题中往往需要突 破这 些 , 考虑无 穷区 间上的“ 积分\"， 或是无界函数的“积分”， 这便是本章的主题 。

例 1 （ 第二宇宙速度问题 ) 在地球表面垂直发射火箭 （ 图 11 — 1 ) , 要使火 箭克服地球引力无限远离地球 , 试问初速度 v0 至少要多大 ?

设地球半径为 R， 火箭质量为 m, 地面上的重力加速度为 g 。按万有引力定律 ， 在距地心 x（ ≥ R) 处火箭所受的引力为

2

mg R

F = 。

x2

于是火箭从地面上升到距离地心为 r ( 〉 R） 处需作的功为

2

r mg R d x = mg R2 1 1

- .2 R R r x

当 r → + ∞ 时 ， 其 极限 mg R 就是 火箭 无限 远 离地 球 需作

∫ 的 功 .我们很自然地会把这极限写作上限为 + ∞的“ 积分”：

+ ∞

图 11 - 1

∫

R

mg Rx

2

2

r

d x = lim

x

最后 , 由机械能守恒定律可求得初速度 v0 至少应使

1 2

2

r → + ∞ R

∫

mgR

d x = mg R .

2

2

2

6

用 g = 9 .81 ( m6s/） ， R = 6 。371× 10( m) 代入 , 便得

v0 =

2 g R ≈ 11 。2（ km6s/） 。

mv0 = mg R .

例 2 圆 柱形桶 的内壁高 为 h , 内半 径为 R ， 桶底有 一半径为 r 的小孔 ( 图

11 — 2） .试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水 ， 共需多少时间 ？

§1 反常积分概念

265

从物理学知道 ， 在 不计 摩 擦力 的情 形下 ， 当桶 内水 位 高度为 ( h — x ) 时 ， 水从孔中流出的流速 ( 单位 时间内 流过 单位截面积的流量 ) 为

v = 2 g( h - x） ， 其中 g 为重力加速度 .

设在很小一段时 间 d t 内 , 桶 中液 面降 低 的微 小量 为 d x ， 它们之间应满足

πR2 d x = vπr2 d t ,

由此则有

图 11 — 2

d t =

R 2

2

d x , x ∈ [0 ， h] .

r2 g（ h - x ）

所以流完一桶水所需时间在形式上亦可写成“积分\":

h R2

d tf =

x 。 0

2 r2 g（ h - x）

但是在这里因为被积函数是 [0 ， h） 上的无界函数 , 所以它的确切含义应该是

∫ u

tf = lim

-

u → h

∫ r

0

2 d x

2 g( h - x)

2

R 2

= lim —

u → h

2

R ·g r2 2

h — h — u

2 h R g r .

相对于以前所讲的定积分 （ 不妨 称之 为正常 积分 ) 而 言 , 例 1 和例 2 分别 提 出了两类反常积分 。

=

二 两类反常积分的定义

定义 1 设函数 f 定义在无穷区间 [ a, + ∞ ） 上 , 且在任 何有 限区间 ［ a , u］

上可积 。如果存在极限

lim

f （ x) d x = J,∫

u

( 1

）

u→ + ∞ a

则称此极限 J 为函数 f 在 [ a, + ∞ ） 上的无穷限反常积分 ( 简称无穷积分 ) ， 记

作

J =

∫ f （ x) d x ，

a

+ ∞

（ 1′)

并称 f ( x) d x 收 敛 。 如 果 极 限 （ 1) 不 存 在 ， 为 方 便 起 见 , 亦 称

( x） d x

a

a

∫

+ ∞

∫

+ ∞

f

发散 。

类似地 ， 可定义 f 在 （ - ∞ ， b] 上的无穷积分 ：

266

b

第十一章 反 常 积 分

∫ f ( x ）d x = lim∫f ( x) d x 。

b

( 2)

— ∞ u → - ∞ u

对于 f 在 ( - ∞ , + ∞ ） 上的无穷积分 ， 它用前面两种无穷积分来定义 ：

d x f ( x） d x + f （ x) d x , ∫∫ f （ x ) ∫ =

a

— ∞

- ∞

+ ∞

a

+ ∞

（ 3)

其中 a 为任一实数 , 当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的 。

注 1 无穷积分 （ 3) 的收敛性与收敛时的值 ， 都和实数 a 的选取无关 .

注 2 由于无穷积分 （ 3) 是由 (1 ） 、（ 2) 两类无 穷积分来 定义 的 , 因此 ， f 在 任 何有限区间 [ v , u] Ì ( - ∞ , + ∞ ) 上 , 首先必须是可积的 。

注 3

几 何 意 义 是 ： 若 f 在 ∫ f （ x ） d x 收 敛 的

a

+ ∞

［ a , + ∞ ） 上为非负连续函数 , 则图 11 - 3 中介于

曲线 y = f ( x) ， 直线 x = a 以及 x 轴之间那一块向

右无限 延伸的阴影区域有面积 J .

例 3 讨论无穷积分

+ ∞

d x

图 11 — 3

的收敛性 。

解 由于

∫

1

x

p

( 4）

∫ x

1

u

d x p

=

u

1 1 1 — - 1 ) ,

（ up - p ln u , d x x

p

p ≠ 1 ， p = 1 ，

lim

∫ 1 =

p - 1

+ ∞

， p 〉 1

p ≤ 1 ,

u → + ∞ 1

1 因此无穷积分 (4 ） 当 p 〉 1 时收敛 , 其值为 ； 而当 p≤1 时发散于 + ∞ .

p — 1

从图 11 - 4 看到 ， 例 3 的结论是 很直观 的 ： p

1 的值越大 , 曲线 y = 当 x > 1 时越靠近 x 轴 ， 从 x

而曲线下方的阴影区域存在有限面积的可能性也 就越大 .

例 4 讨论下列无穷积分的收敛性 ：

+ ∞+ ∞

d x d x 1) 2)p ； 2 .2 x( ln x) - ∞ 1 + x

p

∫

∫

解 1 ) 由 于无 穷 积分 是 通 过变 限 定积 分 的 极限来 定义 的 ， 因此 有关定 积分 的换元 积分 法和

图 11 — 4

§1 反常积分概念

267

分部积分法一般都可引用到无穷积分中来 .对于本例来说 , 就有 + ∞

d x + ∞

d t

p p . 2 x ( ln x ） t

=

∫

∫

ln 2

从例 3 知道 ， 该无穷积分当 p > 1 时收敛 ， 当 p≤1 时发散 。

2） 任取实数 a， 讨论如下两个无穷积分 : + ∞

d x d x a

∫

— ∞

a

1 + x

2

和

∫

1 + x

2

。

由于

lim

d x ∫

a

u → - ∞ u

1 + x

2

= lim ( arctan a — arctan u )

u → — ∞

lim

d x ∫

v

π

= arctan a + ，

2

v → + ∞

v → + ∞ a

1 + x

2

= lim ( arctan v - arctan a）

- arctan a , 2

因此这两个无穷积分都收敛 。由定义 1 , + ∞ + ∞ a

d x d x d x

. 2 +2 = π 2 =a- ∞ 1 + x— 1 + x 1 + x

=

π

∫

∫

∫

∞

注 由于上述结果与 a 无关 , 因此若取 a = 0 , 则可使计算过程更简洁些 。 定义 2 设函数 f 定义在区间 （ a ， b］ 上 ， 在点 a 的 任一右 邻域内无

界 ， 但 在 任何内闭区间 [ u , b] Ì （ a , b] 上有界且可积 。如果存在极限

lim

u → a

+

∫f ( x ） d x = J ,

b u

( 5)

则称此极限为无界函数 f 在 ( a ， b] 上的反常积分 ， 记作

J =

f （ x） d x ,∫ ( 5′）

a b

并称 反 常 积 分 f （ x） d x 收 敛 。 如 果 极 限 ( 5) 不 存 在 , 这 时 也 说 反 常

积 分

a

∫

b

f ( x ） d x 发散 。 ∫

a

b

在定义 2 中 , 被积函数 f 在点 a 近旁是无界的 ， 这时点 a 称为 f 的瑕点 ，

而无

界函数反常积分 f ( x ） d x 又称为瑕积分 .

a

∫

b

类似地 ， 可定义瑕点为 b 时的瑕积分 :

b

u

f ( x ）d x 。 ∫f （ x） d x = lim∫

a

u → b

-

a

其中 f 在 ［ a , b） 有定义 , 在点 b 的任一左邻域内无 界 , 但在任何 [ a , u] Ì

［ a ， b)

268

第十一章 反 常 积 分

上可积 .

若 f 的瑕点 c∈ （ a , b） ， 则定义瑕积分

f （ x ）d x ∫f （ x) d x =∫f （ x) d x +∫

a

a

c

b c b

= lim

-

u → c

f ( x) d x + lim∫ ∫f （ x） d x .

a

v → c

+

u b

( 6)

v

其中 f 在 ［ a ， c) ∪ ( c， b] 上有定义 , 在点 c 的 任一领 域内 无界 , 但 在任何

[ a ， u］ Ì ［ a , c) 和 [ v ， b] Ì ( c， b］ 上都可积 .当且仅当 ( 6 ） 式右 边两个 瑕积分都 收敛时 ， 左边的瑕积分才是收敛的 。 又若 a、b 两点都是 f 的瑕点 ， 而 f 在任何 [ u ， v ］ Ì （ a， b） 上可积 ， 这时定义 瑕积分

∫f （ x ) d x =∫f （ x ） d x +∫f ( x) d x

a

a

c

b c b

= lim

u → a

+

f （ x） d x ， ∫f （ x) d x + lim∫

u

v → b

—

c v

c

( 7)

其中 c 为 ( a ， b） 内任一实数 .同样地 ， 当且仅当 （ 7) 式右边两个 瑕积分都 收

敛时 ,

左边的瑕积分才是收敛的 .

1 d x

例 5 计算瑕积分的值 .

20

1 — x 1 解 被积函数 f （ x) =在 [ 0 , 1 ) 上 连续 , 从 而在 任何 [ 0 ， u] Ì ［ 0 ,

∫ 1）

1 - x

上可积 , x = 1 为其瑕点 .依定义 2 求得

1

d x = lim

— 20 u → 1 1 — x

2

∫

例 6 讨论瑕积分

1 — x

π

arcsin u = . = lim -2 u → 1

0

∫ u

d x 2

的收敛

性 。

∫ 0

1

d x x

q

( q > 0 ） ( 8)

解 被积函数在 (0 , 1 ］ 上连续 , x = 0 为其瑕点 。由于

1 1 - q 1

) , q ≠ 1 , d x ( 1 — u （ 0 < u < 1) ， 1 — qq = u x

— ln u ， q = 1

∫ 故当 0 < q 〈 1 时 ， 瑕积分 (8 ) 收敛 ， 且 1 d x 1 d x 1 ;q = lim q = +u x1 — q 0 x u → 0

∫ ∫ §1 反常积分概念

269

而当 q≥1 时 ， 瑕积分 （ 8) 发散于 + ∞ 。

上述结论在图 11 - 4 中同样能获得直观的反映 .

如果把例 3 与例 6 联系起来 , 考察反常积分

+ ∞

d x

（ 9) p ( p > 0 ） . 0 x

我们定义

1

+ ∞ + ∞ d x d xd x

p =p ， 0 0 + xp x1x

它当且仅当右边的瑕积分和无穷积分 都收 敛时 才收敛 。但 由例 3 与 例 6 的结

∫

∫

∫

∫

果 可知 , 这 两 个 反 常 积 分 不 能 同 时 收 敛 , 故 反 常 积 分 （ 9 ） 对 任 何 实 数 p 都 是 发散的 .

习 题

1 。 讨论下列无穷积分是否收敛 ？ 若收敛 ， 则求其值 : ( 1）

∫+ ∞

xe— d x ; （2) — ∞ xe- x d x ；

x 0

2

∫

+ ∞ 1

+ ∞

2

（ 3) ( 5)

∫∫1 d x ；

0

ex

+ ∞

d x

x

— ∞ + ∞

2

+ ∞

（4)

d x ; ∫ x （ 1 + x)

2 + ∞

（6）4 x+ 4 x + 5

∫

0

;

e— x sin xd x；

（ 7）

∫∫esin xd x ；

- ∞

(8)

∫ 0

+ ∞

d x

2。1 + x

2 . 讨论下列瑕积分是否收敛 ?若收敛 , 则求其值 ： ( 1）

b

d x ；

(2)

（ x —

p

a）

a 2

∫

1

1

d x ;

2

0 1 — x d x;

1 — x2 x d x x （ 3） 0

∫|

1 0 1

d x ； (4)

| x — 1

∫ 0 1 0 1

（ 5)

∫ln x d x ; ∫0

（6）

;

(8）

d x；

∫ 1 — x

（ 7)

d x x - x

2

∫ x（ ln x)

0

b a

p

。

b

3 . 举例说明 ： 瑕积分a f ( x） d x 收敛时,

∫

f2 （ x) d x 不一定收敛 。

∫

∫

+ ∞

a

+ ∞

4 . 举例说明:

f （ x） d x 收敛且 f 在 [ a ， + ∞ ） 上连续时 ， 不一

定有 lim

f （ x） = 0 .

x→ +∞

a x→ +∞

5 . 证明： 若

∫ f （ x ）d x 收敛 ， 且存在极

限 lim

f ( x） = A ， 则 A = 0 .

270

第十一章 反 常 积 分

6 。 证明: 若 f 在[ a, + ∞） 上可导 ， 且 f （ x)d x 与

a

∫

+ ∞

∫

a

+ ∞

f ′( x）d x 都收敛 , 则 f （ x) =

lim 0 。

x→ +∞

§2 无穷积分的性质与收敛判别

一 无穷积分的性质

由定 义 知 道 ， 无 穷 积 分

u

∫ f （ x） d x 收 敛 与 否 , 取 决 于 函 数

a

+ ∞

F( u ) =

f （ x ) d x 在 u → + ∞ 时是否存在极限 .因此可由函数极限的柯西准则导出无∫ 穷

a

积分收敛的柯西准则 .

定理 11 .1 无穷积分

： 任给 ε > 0 ， 存∫ f ( x ） d x 收敛 的充要条件是

a

+ ∞

≥ a， 只要 u1 、u2 > G ， 便

有

在 G

∫

u

2

f ( x ) d x —

∫

a

u

1

u

2

f ( x ）d x

=

a

∫

u 1

f ( x ）d x 〈 ε 。

此外 ， 还可根据函数极限的性质与定积分的性质 ， 导出无穷积分的一些相

应 性质 .

性质 1 若

∫ f

a

+ ∞

1

( x) d x 与

∫ f

a

+ ∞

2

( x) d x 都 收 敛 , k1 、k2 为 任 意 常 数 , 则

∫ ［ k

a

+ ∞

1 1

f（ x) + k2 f2 （ x) ］ d x 也收敛 ， 且

1 1

［ k∫

a

+ ∞

f（ x ) + k2 f2 ( x ) ] d x = k1

∫

+ ∞ a

f1 ( x ) d x + k2

∫

+ ∞ a

f2 ( x) d x .

）

（ 1

性 质 2 若 f 在 任 何 有 限 区 间 ［ a , u］ 上 可 积 ， a < b， f （ x ) d x

与 则

a

∫

+ ∞

( 即同时收敛或同时发散 ) , 且有 ∫ f （ x） d x 同敛态

b

+ ∞

f ( x )d x +∫ f （ x) d x =∫ ∫ f ( x )d x ,

a

a

b

+ ∞ b + ∞

( 2)

其中右边第一项是定积分 .

性质 2 相当于定积分的积分区间可加性 ， 由它又可导出

∫ f ( x ) d x 收敛的

a

+ ∞

另一充要条件 ： 任给 ε > 0 ， 存在 G ≥ a , 当 u > G 时 , 总有

+ ∞

u

f ( x ） d x < ε 。

§2 无穷积分的性质与收敛判别

271

事实上 , 这可由

+ ∞ a

f （ x ) d x +∫ f （ x ) d x =∫ ∫ f ( x ) d x

a

u

u + ∞

结合无穷积分的收敛定义而得 .

性质 3 若 f 在任何有限区间 ［ a ， u] 上可积 ， 且

有

∫ | f （ x ) | d x 收敛 ，

则

a

+ ∞

∫ f ( x) d x 亦必收敛 , 并有

a

+ ∞

f （ x） d x ≤ ∫ ∫

a

a

+ ∞ + ∞

证 由

∫

a

+ ∞

f （ x ）

( 3）

d x .

f （ x) d x 收敛 , 根据柯西准则 ( 必要性 ) , 任给 ε > 0 ， 存在 G

≥

u

u

a , 当 u2 > u1 〉 G 时 , 总有

. ∫ f （ x ) d x= ∫ f （ x ) d x < ε

2

u

2

1

u

1

利用定积分的绝对值不等式 ， 又有

∫

2

u

u

f ( x ） d x ≤

+ ∞ a

。 ∫ f ( x ) d x < ε

2

u u

1 1

再由柯西准则 ( 充分性 ) ， 证得

又因f ( x) d x ≤

得到不

a

∫ f （ x ) d x 收敛 .

∫

u

+ ∞ 取极限 , 立刻∫ f （ x ） d x （ u > a） ， 令 u →

a

u

等式 (3 ） .

当

∫

a

+ ∞

f （ x ) d x 收敛时 , 称

: 绝对∫ f ( x ）d x 为绝对收敛 。性质 3 指出

a

+ ∞

收敛

的无穷积分 ， 它自身也一定收敛 .但是它 的逆命 题一 般不成 立 , 今 后将举 例说 明 收敛的无穷积分不一定绝对收敛 .

我们称收敛而不绝对收敛者为条件收敛 。

二 比较判别法

首先给出无穷积分的绝对收敛判别法 。

由于 ｜ f ( x ) ｜ d x 关于上限 u 是单调递增的 , 因此 | f ( x ) ｜ d x 收敛

a a

的

∫

u

∫

+ ∞

充要条件是

| f （ x） | d x 存在上界 .根据这一分析 , 便立 即导出下 述比较判 ∫

a

u

别

法 ( 请读者自己写出证明 ） :

定理 11 。2 ( 比较法则 ) 设定义在 [ a , + ∞ ） 上的 两个 函数 f 和 g 都 在任

何

272

第十一章 反 常 积 分

有限区间 [ a ， u］ 上可积 ， 且满足

f （ x) ≤ g （ x ） , x ∈ [ a， + ∞ ） ,

则当 时 ,

｜ f ( x） ｜ d x 必收敛 ( 或者 , 当 ｜ f ( x) | d x 发散 ∫ g( x） d x 收敛时∫∫

a

+ ∞ a

a

a

+ ∞

+ ∞

+ ∞

∫

g ( x ） d x 必发散 ） .

sin x d x 的收敛性 。 例 1 讨论 2

0 1 + x

+ ∞ d x sin x π 1

解 由于 为收敛 =2 ［0 ， + ∞ ） ， 0 1 + x 2 2 ≤ 2 , x ∈ 1 + x1 + x

以及

(§1 例 4 ） , 根据比较法则+ ∞ sin x d x 为绝对收敛 。

2

0 1 + x

，

∫

+ ∞

∫

∫上述比较法则的极限形式如下 ：

推论 1 若 f 和 g 都在任何 ［ a , u] 上可积 , g（ x ) 〉 0 ， 且 lim | f （ x) =

x → + ∞ | c，

g( x )

则有 ：

( i） 当 0 < c < + ∞ 时,

+ ∞ a

∫｜

a + ∞ a

+ ∞

； f （ x ) | d x 与 g( x ） d x 同敛态

a + ∞

∫

a

+ ∞

( ii) 当 c = 0 时 , 由 (ii) ∫ g（ x） d x 收敛可推知∫

f （ x） d x 也收敛 ；

+ ∞

) 当 c = + ∞ 时 ， 由 g（ x ) d x 发散可推知

∫ ∫

a

f ( x ) d x 也发散 。

当选用

∫

1

+ ∞

d x 作为比较对 象

（ x ） d x 时 ， 比较 判别 法及 其 极限 形

∫ g式 成

+ ∞

a xp

为如下两个推论 （ 称为柯西判别法 ） 。

推论 2 设 f 定义于 [ a ， + ∞ ） （ a 〉 0 ） ， 且在 任何 有限区 间 [ a , u］ 上 可积 ,

则有 : 1 ( i） 当 f ( x) ≤ , x∈ ［ a , + ∞ ) ， 且 p 〉 1 时

p

ax1 （ ii) f ( x) ≥ ， x ∈ ［ a , + ∞ ) ， 且 p ≤ + ∞ f （x）1 时 当 散 。

p

∫

+ ∞

f （ x） d x 收敛 ；

d x 发

ax推论 3 设 f 定义于 [ a ， + ∞ ） , 在任何有限区间 ［ a ， u］ 上可积 , 且

∫

则有 :

（ i) 当 p 〉 1 , 0 ≤λ〈 + ∞时∫ ,

a

x → + ∞

lim x

p

f ( x ） = λ .

+ ∞

f ( x ) d x 收敛 ；

+ ∞

( ii) 当 p ≤ 1 , 0 〈 λ≤ + ∞ 时 ,

∫

f ( x） d x 发散 .

a

§2 无穷积分的性质与收敛判别

273

例 2 讨论下列无穷限积分的收敛性 : 1)

∫

1

+ ∞

xe d x；

2 ）

α- x

∫

0

+ ∞

x

d x . 5

x+ 1

2

解 本例中两个被积函数都是非负的 ， 故收敛与绝对收敛是同一回事 。 1） 由于对任何实数 α都有

x

= lim lim x· xe = 0 ， x

x → + ∞ x → + ∞ e

因此根据上述推论 3( p = 2 , λ= 0） , 推知 1 ） 对任何实数 α都是收敛的 .

2

α— x

α+ 2

2) 由于

1 2

lim x 2 · x → + ∞

x = 1 ,

5 x+ 1

1 因此根据上述推论 3( p = ， λ= 1 ) ， 推知 2) 是发散

的 。 2

对于

∫

b

f ( x ) d x 的比较判别亦可类似地进行 .

— ∞

三 狄利克雷判别法与阿贝尔判别法

这里来介绍两个判别一般无穷积分收敛的判别法 。

定理 11 。3 （ 狄利克雷判别法 ） 若 F（ u ） = f （ x ） d x 在 [ a , + ∞ ） 上有界 ，

a

∫

u

g（ x) 在 ［ a ， + ∞ ） 上当 x → + ∞ 时单调趋于 0 ， 则

∫ f （ x ） g（ x ) d x 收敛 .

a

+ ∞

证 由 条 件 设 0 ， 由 于

x → + ∞

f ( x) d x ∫

a

u

≤ M ， u ∈ ［ a , + ∞ ） . 任 给 ε 〉

lim

g （ x ) = 0 , 因此存在 G ≥ a ， 当 x > G 时 , 有

ε

g( x ） 〈 .

4 M

又因 g 为单调函数 ， 利用积分第二中值 定理 （ 定理 9 。10 的推论 ) , 对 于任 何

u2 〉 u1 > G , 存在 ξ∈ ［ u1 , u2 ］ ， 使得

∫

( u∫）

2

u

ξ

f ( x） g（ x) d x = g

u

f ( x ） d x + g（ u2）

1

u

2

1

∫

ξ

f （ x） d x .

u

1

于是有

f （∫ x ） g( x ） d x ≤ 2

u

u

g（ u1 ）f ( x ） d x + g( u2 ） ·· u

∫

ξ

u

2

∫ f ( x ） d x

1 1

ξ

= g（ u1 ) ·∫

a

ξ

f （ x) d x — f （ x ） d x

a

∫

1

u

274

第十一章 反 常 积 分

+ g( u2 ) ·

∫ f （ x ) d x -∫f ( x ） d x

a

a

u 2

ξ

ε ε

< ·2 M + ·2 M = ε 。 4 M 4 M + ∞

根据柯西准则 , 证得

∫ f ( x ) g( x ） d x 收敛 .

a

, g（ x ） 在 [ a ， 定理 11 .4 ( 阿贝尔 （ Abel） 判别法 ) 若 f （ x） d x 收敛

a

+ ∞ ) 上单调有界 ， 则

∫

+ ∞

∫ f （ x ） g ( x ) d x 收敛 。

a

+ ∞

这定理同样可用积分第二中值定理 来证 明 ， 但又 可利用 狄利 克雷判 别法 更 方便地获得证明 ( 留作习题 ） .

+ ∞

cos x 例 3 讨论+ ∞ sin x

d x 与p

1 。 xp d x （ p > 0 ) 的收敛性 1 x

解 这里只讨论前一个无穷积分 , 后者有 完全 相同的 结论 .下面分 两种 情 形

∫

∫

来讨论 ：

（ i） 当 p > 1 时 sin x d x 绝对收敛 。这是因

1

为 p

xsin x 1

≤ p , x ∈ [1 ， + ∞ ） , p

xx+ ∞

sin x + ∞ d x而

d x 收敛 . p , 故由比较法则推知p 当 p 〉 1 时收敛 1 xx

∫

+ ∞

∫

∫

1

（ ii) 当 0 〈 p ≤ 1 时

∫

1

+ ∞

u

sin x d x 条 件 收 敛 .这 是 因为 对 任 意 u ≥ 1 ， 有

∫故

1

p

1 xsin x d x = cos 1 — cos u ≤ 2 ， 而 当 p > 0 时单调趋于 0 ( x → + ∞ ) ，

由狄利克雷判别法推知

另一方面 , 由于

sin x ∫ sin x d x 当 p > 0 时总是收敛的 。 x

1

+ ∞

x

p

p

sinx 1 cos 2 x ≥ ， x ∈ ［ 1 ， + ∞ ) , = 2 x p

2 x x x—+ ∞ + ∞

cos 2 x 1 cos t 其中 d x = d t 满 足 狄 利 克 雷 判 别 条 件 ， 是 收 敛 的 ，

1 2 x 2 2t

而

2

∫

d x

∫

∫ 2 x 是发散的 ， 因此当 0 〈 p ≤ 1 时该无穷积分不是绝对收敛的 。所以它

1

+ ∞

是条

件收敛的 .

例 4 证明下列无穷积分都是条件收敛的 ：

§2 无穷积分的性质与收敛判别

275

∫

1

+ ∞

sin xd x ,

2

∫

1

+ ∞

cos xd

x ，

2

2

∫

1

+ ∞

xsin xd x 。

4

证 前两个无穷积分经换元 t = x得到

∫ sin t d t ∫ sin xd x =，2 t

2

1

1

+ ∞

+ ∞

∫ cos t d t 。 ∫ cos xd x =

2 t

2

1

1

+ ∞ + ∞

由例 3 已知它们是条件收敛的 。

对于第三个无穷积分 ， 经换元 t = x而得4 1

2

+ ∞ xsin xd x = + ∞ sin td t ,

21 1

2

∫

∫

它也是条件收敛的 .

从例 4 中三个无穷积分的收敛性可 以看到 ， 当 x → + ∞ 时被 积函数 即使 不 趋于零 ， 甚至是无界的 , 无穷积分仍有可能收敛 。

习 题

1 。 证明定理 11 。2 及其推论 1 。

2 . 设 f 与 g 是定义在 [ a , + ∞ ）上的函数 , 对任何 u > a , 它 们在 [ a ， u] 上 都可积 。证明 ： 若

∫

a

+ ∞

f（ x) d x 与

2

∫

a

+ ∞

2

g（ x） d x 收 敛 , 则 f （ x） g（ x) d x 与 [ f （ x) + g( x ) ］d x 也

a a

都 2

∫

+ ∞

∫

+ ∞

收敛 。

3 . 设 f 、g、h 是定义 在 ［ a ， + ∞ ) 上 的 三 个 连 续 函数 , 且 成 立 不等 式 h （ x ) ≤ f ( x ） ≤ g（ x) 。证明 :

(1） 若

； 则 f （ x) d x 也收敛 ∫ h( x )d x 与∫ g（ x) d x 都收敛 , ∫

a

a

a

+ ∞ + ∞ + ∞

（2） 又若 h（ x ）d x =

a

∫

+ ∞

则 f ( x） d x = A . ∫ g（ x) d x = A ，∫

a

a

+ ∞

+ ∞ + ∞

4 。 讨论下列无穷积分的收敛性 :

+ ∞

d x ( 1） ;

3

（2)

∫0 0

∫

1 + ∞

x d x ；

x

x+ 1 d x 1 +

6）; x

d x ；(4)

4

1 — e

+ ∞

∫（ 5∫）

( 3)

1

+ ∞

ln( 1 + x) （n

∫

0

x arctan x d x;

1 1 + x3 + ∞ m

xd x( n、m ≥ 0 ） .

1 + x

n

x

5 。 讨论下列无穷积分为绝对收敛还是条件收敛 ：

( 1）

∫sin + ∞ 1

x d x ；

+ ∞ 0

(2 ） x

sgn( sin x）

d x ； 2

1 + x

276

第十一章 反 常 积 分

x cos x （ 3) d x;+ ∞

）0 100 + x

∫+ ∞ e

(4

ln（ ln x)

sin x d x .ln x 6 。 举 例 说 明：

+ ∞ a

∫

+ ∞ a

f （ x) d x 收 敛 时

∫ ； ∫

a

+ ∞ 2

f( x) d x 不 一 定 收敛

+ ∞ a

f ( x )d x 绝 对 收 敛时 ,

∫ f

a

+ ∞

2

（ x） d x 也不一定收敛 .

， 且 f ( x) = 0 ， 则 f∫ f （ x )d x 绝对收敛 ∫lim

a

x →+ ∞

+ ∞

2

7 . 证明: 若 （ x) d x 必定收敛 。

, 则 lim f （ x) = 0 , 且 f ( x) 8 。 证明: 若 f 是 [ a , + ∞) 上的单调函数 , 且 f ( x）d x 收敛

a

x→ +∞

∫

+ ∞ a

+ ∞

1 = o x , x →+ ∞ 。

9 . 证明: 若 f 在 [ a , + ∞ ） 上一致连续 , 且

, 则 f （ x) = 0 . ∫ f （ x） d x 收敛

lim

x→ +∞

10 。 利用狄利克雷判别法证明阿贝尔判别法 .

§3 瑕积分的性质与收敛判别

类似于无穷积分的柯西收敛准则以及其后 的三个性 质 , 瑕积分 同样可由 函 数极限 lim

+ a u →

f （ x ） d x 的原意写出相应的命题 。 ∫f ( x) d x =∫

u

a

b b

定 理 11 。5 瑕积分 f ( x ） d x( 瑕点为 a) 收敛的充要条件是 : 任给ε> 0 , 存

a

∫

b

在 δ 〉 0 ， 只要 u1 、u2 ∈ （ a ， a + δ） ， 总有

f （ x ) d x -∫ f ( x) d x∫ = ∫ f （ x )d x < ε 。

b

b

2u

u

1

u

2

u

1

性质 1 设 函数 f1 与 f2 的 瑕 点 同为 x = a , k1 、k2 为 常 数 ， 则 当瑕 积 分

f( x） d x 与f( x) d x 都 收敛 时 ， 瑕积 分∫ ∫ ∫[ k

1

2

b

b

b

1 1

f( x) + k2 f2 （ x ) ] d x 必

定 收

a

a

a

敛 , 并有

b

b

1 1

∫［ k

a

f( x） + k2 f2 ( x ) ] d x =

k1

∫

a

f1 ( x ） d x +

k2

∫ f

a

b

2

（ x ) d x 。）

( 1

性质 2 设 函 数 f 的 瑕 点 为 x = a, c ∈ （ a ， b ) 为 任 一 常 数 . 则 瑕 积

分

f ( x ） d x 与∫ ∫f ( x ） d x 同敛态 ， 并有

a

a

b

c

b

b

c

f （ x ) d x =f （ x ） d x ， ∫ ∫f （ x） d x +∫

a

a

c

（ 2)

其中 f （ x ） d x 为定积分 。

c

∫

b

§3 瑕积分的性质与收敛判别

277

性质 3 设函数 f 的瑕点为 x = a ， f 在 （ a ， b] 的任一内闭区间 [ u , b］ 上可

b b

f （ x） d x 收

积 。则当 f ( x） d x 也必定收敛 , 并有

a a

敛时，

b

∫ ∫b

∫f ( x) d x ≤∫ f （ x) d x .

a

a

b

（ 3)

同样地 ， 当

∫ f （ x ）

a

敛 。又称收敛而不绝

a

d x 收敛时 ， 称 f ( x) d x 为绝对收∫

b

对收敛的瑕积分是条件收敛的 。

判别瑕积分绝对收敛的比较法则及其推论如下 ：

定理 11 。6 ( 比较法则 ） 设定义在 （ a ， b] 上的两个函数 f 与 g ， 瑕点 同为 x

= a， 在任何 [ u ， b] Ì ( a , b] 上都可积 , 且满足

f ( x ) ≤ g（ x) ， x ∈ （ a ， b] . 则当 g（ x ) d x 收 敛时 ,

a

b

∫

b

f ( x) ∫ f ( x ) d x 必定 收 敛 （ 或者 , 当∫

a

a

b b

d x 发散

时 ，

g ( x ） d x 亦必发散 ) . ∫

a

f

推论 1 又若 g（ x） > 0 , 且 lim

（ i) 当 0 〈 c 〈 + ∞ 时 ,

b

+

x → a

： （ x = c， 则有

） b

∫

b

g( x)

f （ x ) d x 与 g( x ） d x 同敛态 ；

a

b

∫

a

（ ii） 当 c = 0 时 , 由

a

∫g（ x ) d x 收敛可推知∫ f ( x) a

d x 也收敛 ;

∫

当选用∫ b a

( iii） 当 c = + ∞ 时 , 由

知

d x ∫g（ x） d x 发散可推

a

b b

f ( x ） d x 也发散 .

a

（ x —

作为比 较对象 g( x） d x 时 ， 比较法则及其 推论 1 成 为

p

a a)

∫

b

如下的推论 :

推论 2 设 f 定义于 ( a , b] , a 为其瑕点 ， 且在任何 [ u ， b］ Ì （ a ， b］ 上可积 , 则有 ：

( i） 当 f ( x) ≤

1 ( x - a)

1 ( ii） 当 f （ x） ≥p

( x - a)

时 ，

p

， 且 0 < p 〈 1 时 , f ( x） d x 收敛 ;

a

b

∫

b

， 且 p ≥ 1 f （ x) d x 发散 。

a

∫

推论 3 设 f 定义于 ( a ， b] ， a 为其瑕点 , 且在任何 [ u ， b］ Ì ( a , b] 上可积 。 如果

lim （ x —

x → a

+

a）

p

f ( x ） = λ,

则有 :

278

第十一章 反 常 积 分

; （ i） 当 0 〈 p 〈 1 ， 0≤λ〈 + f ( x） d x 收敛

∞时

a

∫ ∫ a b

b

（ ii） 当 p ≥ 1 , 0 〈 λ≤ + ∞ 时 f （ x） d x 发散 . 例 1 判别下列瑕积分的收敛性 ：

1）

∫

1

ln x d x； 2

2) 0 x 解 本例两个瑕 积 分 的被 积 函数 在 各自 的 积分 区 间 上分 别 保持 同 号——— 在 （ 0 , 1］ 上恒为负 , 敛与 绝

ln x x

对收敛是同一回事 . ln xx 在 （ 1 , 2 ] 上 恒为 正———所以 它们 的瑕 积 分收

∫ x d x 。 1 ln x

31) 此瑕积分的瑕点为 x = 0 。由上述推论 3 ， 当取 p = 〈 1 时 ， 有

4

所以瑕积分 1） 收敛 .

ln x ln x λ= lim x · = - lim 1

++

x x → 0 x → 0

—

x 4

1 = lim （ 4 x 4 ) = 0 ,

3 4

+x → 0

2) 此瑕积分的瑕点为 x = 1 。当取 p = 1 时 , 由

x ( x — 1 ) · = lim x — 1 = 1 , λ = lim + +

ln x ln x x → 1 x → 1

推知该瑕积分发散 。 最后举一个既是无穷积分又

是瑕积分的例子 . 例 2 讨论反常积分

的收敛性 。

Φ(α） =

∫

0

+ ∞

xd x

1 + x

α- 1

解 把反常积分 Φ（ α） 写成

1

α— 1

Φ（α） =

x d x +

0 1 + x 1

= I(α) + J(α) 。

∫ x ∫ 1 d x+ x

+ ∞ α- 1

（ i) 先讨论 I（α) 。当 α- 1≥ 0 ， 即 α≥1 时它 是定积 分 ； 当 α〈 1 时它是瑕 积 分 , 瑕点为 x = 0 .由于

x

lim x1 - α· = 1 ， +1 + x x → 0

根据定理 11 .6 推论 3 ， 当 0 〈 p = 1 — α< 1 ， 即 α> 0 且 λ= 1 时 , 瑕 积分 I

α- 1

（α) 收

§3 瑕积分的性质与收敛判别

279

敛 ; 当 p = 1 - α≥1 ， 即 α≤0 且 λ= 1 时 ， I （α） 发散 。

( ii） 再讨论 J（α） , 它是无穷积分 .由于

lim x2 - α· x = lim x = 1 ,

x → + ∞ x→ + ∞ 1 + x 1 + x 根据定理 11 。2 推论 3 ， 当 p = 2 - α〉 1 , 即 α〈 1 且 λ= 1 时 , J（α） 收敛 ; 而当 p = 2 — α≤1 , 即 α≥1 且 λ= 1 时 , J(α) 发散 。

综上所述 ， 把讨论结果列如下表 :

α- 1

α I （ αJ( α) Φ(α） α≤ 0 发散 收敛 发散 0 〈 α〈 1 收敛 收敛 收敛 α≥1 定积分 发 散 发 散

由此可见 , 反常积分 Φ(α) 只有当 0 〈 α< 1 时才是收敛的 。

习 题

1 . 写出性质 3 的证明 。

2 。 写出定理 11 。6 及其推论 1 的证明 。 3 . 讨论下列瑕积分的收敛性 :

d x ; ( 1)

2

(2 ）

2

0 （ x — 1 ）

（ 3）

1 d x

;

∫π

sin x 362/

d x ;

∫x ln x

d x ;0 1 - x 0

1

0

（4 ）

∫（ 7∫）

（ 5)

0

x ln x

1

arctan x ∫

π62/

d x ；1 - x3 （6 ) 1 1 1 sin d x;

α

）

0 x x

1 — cos x 0 d x; m

x+ ∞

e- x ln x d x 。

∫ (8

0

4 。 计算下列瑕积分的值 （其中 n 为正整数 ) :

( 1)

∫0

1

xd x 。 （ ln x ) n d x ; 0 1 — x (2 ）

π62/

1n

π62/

5 。 证明瑕积分 J =

示 ： 利用

∫

π

ln（ sin x ）d x 收敛 , 且 J = - ln 2 .（ 提∫

0

ln （sin x） d x

=

0

2

ln（ cos x )d x , 并将它们相加 。) ∫

0

π62/

6 . 利用上题结果 ， 证明 ：

π

θln( sin θ）dθ = - ln 2； ( 1) 0 2

π

2

∫（ 2）

∫π

dθ = 2πln 2 。

0 1 - cos θ

θsin θ

280

第十一章 反 常 积 分

总 练 习 题

1 。 证明下列等式 :

p - 1 1 + ∞ x x - p

( 1） d x =d x , p > 0；

0 x + 1 1 x + 1

p - 1 + ∞ + ∞ x x — p

( 2） d x =d x , 0 < p 〈 1 。

0 x + 1 0 x + 1

∫∫∫

∫ 2 . 证明下列不等式 ：

（ 1) π 〈

∫1

d x 〈

π ;

40 2 2 2 1 — x + ∞ 11 - x 2

（ 2) ed x < 1 + 。 〈 1 — 0 2 2e 1 e ∫

3 。 计算下列反常积分的值 :

+ ∞

( 1) ( 3)

e

0 + ∞

— ax

cos bxd x( a 〉 0 ) ； (2)

∫ e

0 π62/ 0

+ ∞

- a x

sin bxd x( a > 0 ) ；

∫0

ln x d x ;

21 + x

+ ∞ 0

λ

（4)

ln( tan θ) dθ . ∫

4 . 讨论反常积分

bx d x （ b ≠ 0 ) , λ取何值时绝对收敛或条件收敛 . ∫ sin x

5 。 证明： 设 f 在 [0 ， + ∞ ) 上连续 ， 0 < a 〈 b . (1） 若 lim f ( x） = k , 则

x→ +∞

∫

0

b f （ ax） — f

d x = ( f （0) — k） ln ；

（ bx） a

+ ∞

x

(2） 若

∫

a

+ ∞

f( x) x

d x 收敛 , 则

+ ∞

6 。 证明下述命

题 :

∫

0

b f （ ax) —

d x = f (0） ln . f ( bx) a

x

(1） 设 f 为［ a , + ∞） 上的非负连续函数 .若 x f （ x ）d x 收敛 , 则 f （ x) d x 也收敛 .

a

a

∫

+ ∞

∫

+ ∞

（2） 设 f 为 [ a , + ∞ ） 上的连续可微函数 ， 且当 x → + ∞ 时 ， f ( x） 递减地 趋于

0 , 则

( x) d x 收敛 . f （ x） d x 收敛的充要条件为 x f ′∫ ∫

a

a

+ ∞

+ ∞

●