2.利用导数求函数的极值最值

利用导数求函数的单调区间、极值、最值（不含参）

''''f(x)0f(x)递增f(x)0；f(x)0f(x)递减f(x)0 【知识点1】

1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )

A．y＝sin2x B. y＝xex C．y＝x3－x D．y＝－x＋ln(1＋x)

2．若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像可能是( )A ．．．

3．已知f(x)＝2cos2x＋1，x∈(0，π)，则f(x)的单调递增区间是( )

ππ

A．(π，2π) B．(0，π) C．(，π) D．(0，) 22

4.若0x2x1x2x1A．e－e>ln x2－ln x1 B．e－exxxxeeeeC．x2>x1 D．x212121x21

5.f(x)(x∈R)满足f(1)＝1，且f(x)的导数f′(x)<，则不等式f(x2)<＋的解集为________．（-∞，-1）

222

∪（1，+∞）

练习：

1．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图像如图所示，则导函数y＝f′(x)可能为( ) D

lgx11f(lgx)22.f(x)(x∈R)满足f(1)＝1，且f(x)的导数f′(x)<，则不等式的解集为________．（10，+∞）

2

题型：无参数的函数求单调性问题

1．函数f(x)＝x3＋x2－5x－5

5

的单调递增区间是__________．(－∞，－)，(1，＋∞)

3

2．函数

fxlnxx的单调递增区间是 ． 0,e

11,yln2x1x3．函数的单调递增区间是 ．22

21(,)4．函数f(x)xlnx(x0)的单调递增区间是 e

1(,)2f(x)2xlnx25．函数的单调递增区间是

exyx，函数f(x)的单调减区间是 (,0),(0,1) 6．设函数

7．已知函数f(x)＝x2·ex－1＋ax3＋bx2，且x＝－2和x＝1是f′(x)＝0的两根．

1

(1)求a，b的值：a＝－，b＝－1. (2)求f(x)的单调区间．增:(－2,0)和(1，＋∞), 减:(－∞，－2)

3和(0,1)

练习：

32f(x)2x6x7的单调区间. 1.确定函数

2：设f(x)＝x(ex－1)－

12

x2，求f(x)的单调区间．(－∞，－1)和(0，＋∞)， (－1,0)

【知识点2】一般地，设函数f(x)在点xx0及其附近有定义，

f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值f(x0)；

（1）若对于x0附近的所有点，都有f(x)（2）若对x0附近的所有点，都有f(x)f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值f(x0).

题型2：极值、最值问题

1.下列四个函数，在x=0处取得极值的函数是①y=x3 ②y=x2+1 ③y=|x| ④y=2x （ ）

A.①② B.②③ C.③④ D.①③

6x22.函数y=1x的极大值为（ ） A.3

B.4 C.2 D.5

3.函数y=x3－3x的极大值为m,极小值为n,则m+n为（ ） A.0

D.4

B.1 C.2

4.y=ln2x+2lnx+2的极小值为（ ） A.e－1 B.0 C.－1 D.1

5.y=2x3－3x2+a的极大值为6，那么a等于（ ） A.6 B.0 C.5 D.1

6.曲线y=3x5－5x3共有___________个极值. 2

7.若函数y=x3+ax2+bx+27在x=－1时有极大值，在x=3时有极小值，则a=____,b=____. a=-3，b=-9

8.函数y=2x3－3x2－12x+5在［0，3］上的最大、最小值是___________.5，-15

9.已知函数f(x)＝(x－2)ex. (1)求f(x)的单调区间； (2)求f(x)在区间[0,5]上的最小值．-e

练习：1.f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)上的图象如图，则函数f(x)在(a，b)上的极小值点个数为( )

A．1 B．2 C．3 D．4

2..函数f(x)=x3－3x2+7的极大值为___________.7

3.函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则a的值为________．4或-3

32f(x)x2x3x1，x[0,1]，则函数f(x)的最小值是 ； 1 4.函数

15.设y=f(x)为三次函数，且图象关于原点对称，当x=2时，f(x)的极小值为－1，求函数的解析式.f（x）

=4x3-3x

6.f(x)=x3+ax2+bx+c,当x=－1时，取得极大值7；当x=3时，取得极小值.求这个极小值及a、b、c的值.25，-3，-9，2

7. x2是f(x)(xax2a3)e一个极值点．（1）求实数a的值；（2）求

2x3x[,3]f(x)在2的最大最小值．

1



8.已知f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝ln x－axa>，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的

2

值为________．1

9.f(x)=ax³-6ax²+b.问是否存在实数a,b，使f(x)在[-1,2]上取得最大值3，最小值-29,若存在，求出a,b的值.