2016级高三数学集合函数导数三角函数试题

试题

2016级高三理科数学9月试题（3）

10．已知$f(x)$是定义在$\\mathbb{R}$上的奇函数，且当$x<0$时，$f(x)=2x$，则$f(\\log_{4}{9})$的值为（）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集$U$是实数集$\\mathbb{R}$，$M=\\{x|x^2>9\\}$，$N=\\{x|2A．$\\{x|-3\\leq x<2\\}$

B．$\\{x|2C．$\\{x|-3\\leq x\\leq4\\}$

D．$\\{x|x<3\\}$

2．命题“$\\exists x\\in\\mathbb{R},x^2-3x+2=$”的否定是()

A．$\\forall x\\in\\mathbb{R},x^2-3x+2=$

B．$\\exists x\\in\\mathbb{R},x^2-3x+2\\neq$

XXX{R},x^2-3x+2\\neq$

D．$\\exists x\\in\\mathbb{R},x^2-3x+2>$

3．函数$f(x)=\\dfrac{1}{x}$的渐近线方程为()

A．$y=0$ B．$x=0$ C．$y=x$ D．$y=-x$

4．若$a=30.2$，$b=\\log_{\\pi}{3}$，$c=\\log_{3}{\\cos{\\dfrac{4\\pi}{9}}}$，则$c-b-a=$

5．XXX经营了两家电动轿车销售连锁店，其月利润（单位：元）分别为$2L_1=-5x+9x-1$，$6L_2=300x-2000$（其中$x$为销售辆数）。若某月两连锁店共销售了110辆，则获得的最大利润为（）

6．在$\riangle ABC$中，$\\angle A=60^\\circ$，$AB=1$，$AC=2$，点$D$在$BC$上，且$AD$平分$\\angle BAC$，则$BD=$

7．已知$A=\\begin{pmatrix}1&-1&0\\\\0&1&-1\\\\0&0&1\\end{pmatrix}$，

$B=\\begin{pmatrix}1&0&0\\\\2&1&0\\\\3&4&1\\end{pmatrix}$，则$ABA^{-1}=$

8．设$a$，$b$，$c$均为正数，$n\\in\\mathbb{N}^*$，则$\\dfrac{a^n+b^n}{2}\\geq\\left(\\dfrac{a+b}{2}\\right)^n$成立的充要条件是()

A．$n$为偶数

B．$n$为奇数

XXX为正整数

D．$n$为负整数

9．已知$P(x)$为次数为$n$$(n\\geq2)$的多项式函数，且$P(x)$在$n+1$个不同的实数点上取值为$0$，则$P(x)$的系数中至少有一个为0

A．正确 B．错误

11．函数$f(x)=2\\sin(\\omega

x+\\varphi)$（$x\\in\\mathbb{R}$，$\\omega>0$，

$|\\varphi|<\\dfrac{\\pi}{2}$）的部分图象如图所示，则$f(x)$的单调递减区间为（）

12．若函数$f(x)$满足：在定义域$D$内存在实数$x$，使得$f(x+1)=f(x)+f(1)$成立，则称函数$f(x)$为“以1为周期的周期函数”。若$f(x)$在$[0,1)$上单调递增，且$f(0)=1$，则$f(2016)+f(2017)+f(2018)+f(2019)+f(2020)$的值为()

13．函数$f(x)=e^x+3x$的零点个数是（） A．0 B．1 C．2 D．3

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知$A=\\begin{pmatrix}1&3&1\\\\1&1&1\\\\-1&2&0\\end{pmatrix}$，则$\\det(A^2-2A)=$

14．已知$A$，$B$均为$n$阶方阵，且$AB=BA$，则$(A+B)^n=$

15．已知数列$\\{a_n\\}$满足$a_1=2$，$a_{n+1}=a_n+\\dfrac{1}{a_n}$，则$\\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}a_n=$

16．已知$A$，$B$是两个$n$阶方阵，且$\\det(A+B)=\\det(A-B)$，则$\\det(A^2-B^2)=$

三、解答题：本大题共4小题，每小题10分，共40分。

17．已知函数$f(x)=\\dfrac{\\ln{(x+1)}}{\\sqrt{1-x^2}}$，求$f(x)$的单调增区间和最小正周期。

18．已知函数$f(x)=\\dfrac{1}{1+\\cos{x}}$，求$f(x)$的渐近线方程。

19．已知数列$\\{a_n\\}$满足$a_1=1$，

$a_{n+1}=a_n+\\dfrac{1}{a_n}$，证明：$n\\geq2$时，$a_n>\\sqrt{n}$。

20．已知函数$f(x)=\\ln(x^2-4x+5)$，$g(x)=\\dfrac{1}{x-2}$，$h(x)=\\dfrac{1}{x^2-4x+3}$，求$f[g[h(x)]]$的定义域和值域。

6.已知函数$f(x)=\\sin x+\\cos x$，且$f(x)=3f(x)$，则$\an 2x$的值是（）。

14.给出如下四个命题：

①若“$p$或$q$”为真命题，则$p$、$q$均为真命题； ②命题“若$x\\geq 4$且$y\\geq 2$，则$x+y\\geq 6$”的否命题为“若$x<4$且$y<2$，则$x+y<6$”；

③在$\riangle ABC$中，“$A>30^\\circ$”是“$\\sin A>\\frac{1}{2}$”的充分非必要条件；

④命题“$\\exists x\\in \\mathbb{R}。e^x=1$”的充要条件。

15.把函数$y=f(x)$的图象向右平移$3$个单位，得到$y=2\\sin(3x-\\frac{\\pi}{4})$的图象，则函数$y=f(x)$的解析式是？

7.“$a=2$”是“函数$f(x)=x^2+3a-2$在区间$(-\\infty,-2]$内单调递减”的（）。

A。充分非必要条件 B。必要非充分条件 C。充要条件 D。既非充分又非必要条件

8.曲线$C:y=x(x\\geq 0)$在点$x=1$处的切线为$l$，则由曲线$C$、直线$l$及$x$轴围成的封闭图形的面积是（）。

9.已知$f(x)=\\begin{cases}2x+3x+1 &(x\\leq 0)\\\\ ax+e^x &(x>0)\\end{cases}$，$f(x)$在$x=0$处可导，求实数$a$的值。

16.已知函数$f(x)=ax-3x+1(x\\in \\mathbb{R})$，若对于任意的$x\\in [-1,1]$，都有$f(x)\\geq 0$成立，则实数$a$的值为（）。

17.（本小题满分10分）（原创）已知函数$f(x)=2\\sin x+2\\sqrt{3}\\sin x\\cdot \\cos x$。

1）求$f(x)$的最小正周期；

2）求函数$f(x)$在区间$[\\frac{\\pi}{2},\\frac{3\\pi}{2}]$上的取值范围。

18.（本小题满分12分）（原创）已知点$(2,99)$在函数$f(x)=\\log(x+b)$的反函数的图象上。

1）求实数$b$的值；

2）若$|\\,f(1-2x)-f(x)|<1$，求$x$的取值范围。

19.（本小题满分12分）（文）已知全集$U=\\mathbb{R}$，非空集合$A=\\{x|x^2-2ax+a^2-1\\geq 0\\}$，集合$B=\\{x|1-a-2ax-x^2\\geq 0\\}$。

1）若$A\\cap B=\\{x|1\\leq x<2\\}$，求$a$的值； 2）若$A\\cup B=[-1,3]$，求$a$的取值范围。

21.（本小题满分12分）已知集合$A$为函数$f(x)=\\log_2(1+x)-\\log_2(1-x)$的定义域，集合$B=\\{x|x^2-2ax+a^2\\leq 0\\}$。

1）若$A\\subseteq B$，求$a$的值； 2）若$A\\cap B=[-2,2]$，求$a$的取值范围。

22.（本小题满分12分）已知函数$f(x)=x(x+a)-\\ln x$，其中$a$为常数。

1）当$a=-1$时，求$f(x)$的极值。

当$a=-1$时，$f(x)=x(x-1)-\\ln x$，$f'(x)=2x-1-\\frac{1}{x}$，令$f'(x)=0$，解得$x=\\frac{1}{2}$，$f''(x)=2+\\frac{1}{x^2}>0$，所以$x=\\frac{1}{2}$是$f(x)$的极小值点。

2）若$f(x)$是区间$(0,1)$内的单调函数，求实数$a$的取值范围。

当$x\\in(0,1)$时，$f'(x)=2x+a-\\frac{1}{x}>0$，所以

$a>\\frac{1}{x}-2$，当$x$取到最小值时，即$x=1$时，$a>-1$。又因为$f(x)$是$x(x+a)$和$\\ln x$的和，所以$x$越小，$f(x)$越小，即$f(x)$在$(0,1)$上单调递增，所以$a>0$。综上所述，$a>0$且$a>-1$，即$a>0$。

3）过坐标原点可以作几条直线与曲线$y=f(x)$相切？请说明理由。

f(x)$的一阶导数为$f'(x)=2x+a-\\frac{1}{x}$，二阶导数为$f''(x)=2+\\frac{1}{x^2}$。当$f'(x)=0$时，$x=\\frac{1}{2}$或

$x=-\\frac{1}{a}$，当$x=\\frac{1}{2}$时，$f''(\\frac{1}{2})>0$，$f(x)$在$x=\\frac{1}{2}$处取得极小值，当$x=-\\frac{1}{a}$时，$f''(-\\frac{1}{a})>0$，$f(x)$在$x=-\\frac{1}{a}$处取得极小值。因为过坐标原点的切线斜率为$f'(0)$，所以当

$a>\\frac{1}{2}$时，$f'(0)0$，$f(x)$在$x=0$处取得极小值，过原点的切线与曲线$y=f(x)$相切的条数为$2$；当$a0$，$f(x)$在$x=0$处取得极小值，过原点的切线与曲线$y=f(x)$相切的条数为$2$。综上所述，过坐标原点可以作$1$条或$2$条直线与曲线$y=f(x)$相切。

22.（理）已知函数$f(x)=x\\ln x$，$g(x)=ax-x(a\\in R)$。

1）求$f(x)$的单调区间和极值点。

f(x)$的一阶导数为$f'(x)=\\ln x+1$，二阶导数为

$f''(x)=\\frac{1}{x}>0$，所以$f(x)$在$(0,+\\infty)$上单调递增，极小值点为$x=1$，极小值为$f(1)=0$。

2）求使$f(x)\\leq g(x)$恒成立的实数$a$的取值范围。

当$f(x)\\leq g(x)$恒成立时，$x\\ln x\\leq ax-x$，即$x\\ln x-x+a\\cdot x\\leq 0$，令$h(x)=x\\ln x-x+a\\cdot x$，则$h'(x)=\\ln x+a-1$，令$h'(x)=0$，解得$x=e^{1-a}$，当$x=e^{1-a}$时，$h''(x)=\\frac{1}{x}>0$，所以$x=e^{1-a}$是$h(x)$的极小值点，当$x=e^{1-a}$时，$h(e^{1-a})=ae^{1-a}-e^{1-a}<0$，即$a<\\frac{1}{e-1}$。综上所述，$a<\\frac{1}{e-1}$。

3）当$a=2$时，求$C\\cup B\\cap A$。

当$a=2$时，$g(x)=2x-x^2$，$g'(x)=2-2x$，$g''(x)=-2<0$，所以$g(x)$在$(0,1)$上单调递增，在$(1,+\\infty)$上单调递减，$g(1)=2$是$g(x)$的最大值。$C=\\{x|x^2-5x+6<0\\}=(2,3)$，$B=\\{x|x(x-2)(x-3)<0\\}=(0,2)\\cup(3,+\\infty)$，$A=\\{x|x(x-2)<0\\}=(0,2)$，所以$C\\cup B\\cap A=(2,3)\\cap(0,2)=(2,2)$。

4）命题$p:x\\in A$，命题$q:x\\in B$，若$q$是$p$的必要条件，求实数$a$的取值范围。

当$q$是$p$的必要条件时，$B\\subseteq A$，即$x(x-2)(x-3)<0$时，$x(x-2)<0$，解得$x\\in(0,2)$，所以$B\\subseteq A$的

条件是$a\\in(-\\infty,2)$。又因为$p$和$q$是命题，所以它们的真假性只有两种情况，即$p$为真$q$为假或$p$为假$q$为真。当$p$为真$q$为假时，$x\\in A$但$x\\notin B$，即$x(x-2)(x-3)<0$但$x(x-2)(x-3)\\geq 0$，解得$x\\in(2,3)$，所以$a\\in(-\\infty,2)\\cap[2,+\\infty)=(-\\infty,+\\infty)$；当$p$为假$q$为真时，$x\\notin A$但$x\\in B$，即$x(x-2)(x-3)\\geq 0$但$x(x-2)<0$，解得$x\\in(0,2)$，所以$a\\notin(-\\infty,2)\\cap[2,+\\infty)=-\\{2\\}$。综上所述，$a\\in(-\\infty,+\\infty)-\\{2\\}=(-\\infty,2)\\cup(2,+\\infty)$。

2.（理）已知$P=x^3-3x-18\\leq 0$，$S=x^2-x-2\\leq m-1$。

1）若$(P\\cup S)\\subseteq P$，求实数$m$的取值范围。

当$(P\\cup S)\\subseteq P$时，$x^3-3x-18\\leq 0$且$x^2-x-2\\leq 0$，即$x\\in[-2,-1]\\cup[2,3]$，$P\\cup S=\\{x|x^3-3x-18\\leq 0\ext{或}x^2-x-2\\leq m-1\\}=[-3,-1]\\cup[2,3]$，所以$(P\\cup S)\\subseteq P$的条件是$[-3,-1]\\cup[2,3]\\subseteq[-2,-1]\\cup[2,3]$，即$[-3,-1]\\subseteq[-2,-1]$，$[2,3]\\subseteq[2,3]$，所以$m\\in(-\\infty,+\\infty)$。

2）是否存在实数$m$，使得“$x\\in P$”是“$x\\in S$”的充要条件，若存在，求出$m$的取值范围；若不存在，请说明理由。

当“$x\\in P$”是“$x\\in S$”的充要条件时，$x^3-3x-18\\leq 0$的解集等于$x^2-x-2\\leq 0$的解集，即$x^3-3x-18\\leq 0$的解集等于$[-2,-1]\\cup[2,3]$。$x^3-3x-18=0$的三个实根为$x_1=-3$，$x_2=2$，$x_3=3$，所以$x^3-3x-18<0$的解集为$x\\in(-\\infty,-3)\\cup(-3,2)\\cup(2,3)\\cup(3,+\\infty)$，与$[-2,-1]\\cup[2,3]$不相等，所以不存在实数$m$使得“$x\\in P$”是“$x\\in S$”的充要条件。

所以f(x)的最小正周期为T=2π/2=π。由x2-3x-18≤0得-3≤x≤6，所以P=[-3,6]。由x-2≤m-1得3-m≤x≤1+m，所以S=x3-m，有x∈[3-m,1+m]。要使(P∪S)⊆P，则S⊆P。若S=∅，则m<1；若S≠∅，则3-m≥-3，解得1≤m≤5.综上可知，m∈(-∞,5]。

1) 由题意，“x∈P”是“x∈S”的充要条件，则满足S=P。即3-m≤-3且1+m≥6，解得m≥2.所以m∈[2,5]。

2) 解：f(x)=2sin(2x-π/6)+1，因为x∈[π/6,7π/6]，所以2x-π/6∈[0,2π]，即f(x)在区间[π/6,7π/6]上的取值范围是[0,3]。

18.解析：(1) 因为点(2,99)在函数f(x)=lg(x+b)的反函数的图像上，所以点(99,2)在函数f(x)=lg(x+b)的图像上，所以XXX(99+b)=2，解得b=1.(2) 由(1)知f(x)=lg(x+1)。

20.(1) 作出函数f(x)的图像，可知函数f(x)在(-∞,-2)上单调递减，在(-2,+∞)上单调递增，故f(x)的最小值为f(x)min=f(-2)=1.(2) 对于命题p：m+2m-2≤1，故-3≤m≤1；因为|f(1-2x)-f(x)|1，故m>2或m<-2.综上可得，m∈(-∞,-2)∪(2,+∞)。

21.因为x+1>0，所以XXX(x+1)存在，又因为x+1>2-2x，所以XXX(2-2x)-XXX(x+1)=lg[(2-2x)/(x+1)]<1，即1<[(2-2x)/(x+1)]<10.解得-33/10由于“p或q”为真，“p且q”为假，则当p真q假时，解得-2≤m≤1.当p假q真时，解得m2.

实数m的取值范围是(-∞,-3)∪[-2,1]∪(2,+∞)。

要使函数f(x)=lg(1+x)-XXX(1-x)有意义，需-1因为A∩B=∅，所以A⊄B。反之，若A⊄B，可取-a-1=2，则a=-3，a小于2，所以a≥2是A∩B=∅的充分非必要条件。

对任意x>0，有lnx+1/x0得01，即a≥lna/(2a^2-a-1)。

所以实数a的取值范围是[1,2)∪(2,3)∪[3/2,∞)。 1) 当$a=-1$时，$f'(x)=2x-1$，所以$f(x)$在区间$(0,1)$内单调递减，在$(1,+\\infty)$内单调递增。于是$f(x)$有极小值$f(1)=0$，无极大值。

2) 易知$f'(x)=2x+a$，所以$h(x)$在$(0,1)$单调递增，在$(1,+\\infty)$单调递减。所以$h(x)_{max}=h(1)=1$，所以$a\\geq1$。当$a\\geq1$时，$f(x)\\leq g(x)$恒成立。

3) 假设存在实数$m$，使得方程

$3f(x)/4x+11/x^2+m+g(x)=0$在区间$(0,1)$内单调递增，所以$3f'(x)/4x^2-22/x^3\\geq0$或$f'(1)\\leq0$，解得实数$a$的取值范围是$(-\\infty,-1]\\cup[1,+\\infty)$。

由题意可得$f'(x)=2x+a$。

设切点$(t,t+at-\\ln t)$，则切线方程为$y=(2t+a-)(x-t)+t^2+at-\\ln t$。即方程$6\\ln x+8m+x^2-8x=0$有三个不等实根，令$\\varphi(x)=6\\ln x+8m+x^2-8x$。

设$h(t)=t^2-1+\\ln t(t>0)$，则$h'(t)=2t+1/t$，所以$h(t)$在区间$(0,+\\infty)$内单调递增。又$h(1)=0$，故方程$(※)$有唯一实根$t=1$，从而满足条件的切线只有一条。

因为过原点，所以$0=(2t+a-)(-t)+t^2+at-\\ln t$，化简得$t-1+\\ln t=(※)$。

varphi'(x)=2x-8$，由$\\varphi'(x)>0$得$03$，由

$\\varphi'(x)<0$得$1$\\varphi(x)$的极大值为$\\varphi(1)=-7+8m$，$\\varphi(x)$的极小值为$\\varphi(3)=-15+6\\ln3+8m$。若方程$2m+x-8x^2=0$有三个不等实根，则函数$\\varphi(x)$的图象与要使方程$6\\ln x+8-8x=0$有三个不等实根的图象相切，即$\\varphi(1)=-7+8=1$，所以$m=\\dfrac{7}{2}$。

根据不等式-7+8m>7153和-ln3，根据函数Φ(x)的图像可知必须满足以下条件：m的取值范围为884-15+6ln3+8m。

因此，存在实数m，使得方程3f(x)/4x+m+g(x)=0有三个不等实根，且m的取值范围为(m>7153-8m+7)/8另外，由于ax-1>=lnx+1，令h(x)=ax-lnx-1，则h'(x)=a-1/x。当a1时，由h'(x)>0得x>1/a，由h'(x)<1得1