缓和曲线的坐标公式及推导

第一章 缓和曲线的坐标公式

如图1-1所示,其坐标系是以缓和曲线起点ZH为原点O，以切线为x轴，以过原点的曲线半径为 y轴。若原点O至P点的缓和曲线长度为，过P点切线与x轴的交角为β（即半径由∞变至

的中心角）。若P有微小变化至P′时，则增长

，（x,y）增长（

）,

则有以下关系，

图 1-1

得，

（2-1）

由公式(常数)得知，故有

.

.

则

将上式代入（1-1）式中，得

即

（2-2）

以及的关系代入上式得

即

.

.

以代入上式得

（2-3）

上式即为缓和曲线上任一点直角坐标（x,y）的计算公式。

缓和曲线上任一点P的切线与x轴的交角其计算可由前面公式得

，称为缓和曲线螺旋角，或称缓和曲线角。

（弧

度） （2-4）

若将代入（2-4）及（2-3）式中，则有以下结果：

（2-5）

上式即为缓和曲线终点HZ（ZH）的坐标及螺旋角的计算公式。

.

.

第二章 圆曲线要素及计算公式

如图2-1所示，两相邻直线偏角（线路转向角）为

，选定其

图 2-1

连接曲线圆曲线的半径为R，这样，圆曲线和两直线段的切点位置ZY点、YZ点便被确定下来，我们称为对圆曲线相对位置起控制作用的直圆点ZY、圆直点YZ和曲中点QZ为圆曲线三主要点。我们称R、α以及具体体现三主要点几何位置的切线长T、曲线长L、外矢距E和切曲差（切线长和曲线长之差）D为曲线6要素。只要知道了曲线6要素，便可于实地测放出圆曲线。现将圆曲线的元素列下：

：转向角 （实地测出） R：曲率半径（设计给出）

.

.

T： 切线长（计算得出）

L：曲线长（计算得出）

D：切曲差（计算得出）

偏角是在线路祥测时测放出的，圆曲线半径R是在设计中根据线路的等

级以及现场地形条件等因素选定的，其余要素可根据以下公式计算：

第三章 偏角法测设介绍

偏角法是一种极坐标标定点位的方法，它是用偏角和弦长来测设圆曲线细部。

如图3-1所示，1，2…，，…，n为设计之详测点，邻点间距均为c，弦长c所对应的圆心角为。当放样至详测点时，可在ZY点置镜，后视JD方向，拨出偏角

,再自-1点量距C和拨出的视线方向交会，即得出点。

.

.

图 3-1

若弦长c所对应的弧长为C′，可根据弦切角等于其所对应圆心角之半求出各点的偏角

：

实际作业中，有时为了测量和施工的方便，一般要求圆曲线详测点的里程尾数为选定弧长C′的整数倍。但ZY点、YZ点及QZ的里程尾数却不一定为C′的整数倍，这样在曲线的两端则出现小于C′的分弦。

第四章 圆曲线要素计算及测设

根据提供资料，=40º20′（右）,R=100米，转角点JD的桩号为

K3+135.12，用偏角法测设各桩点（规定桩距为20米）。

.

.

切线长：

曲线长:

外矢距：

切曲差：

经计算，T=36.73 L=70.40

E=6.53

根据JD的桩号为K3+135.12，则：

JD桩号 K3+135.12

-) T 36.73 ZY桩

号 K3+098.39

+) L 70.40 YZ桩

号 K3+098.39

-) L/2 35.20

QZ桩

号 K3+133.59 +) D/2 1.53

JD桩

.

.

号 K3+135.12

所以，经计算交点的里程与校核计算相符。

第一节 仪器安置在ZY点上的施测法

一、在ZY点上施测法1

1．计算 根据转折角

和半径R及交点桩计算三主点的桩号为：

ZY： K3+098.39； QZ ：K3+133.59 ；YZ： K3+168.79。

因ZY点的里程为3+098.39，在曲线上，它前面最近的整里程为3+100.00，所以起始弧长=（3+100）-（3+098.39）=1.61（m）。又因点YZ点的里程为3+168.79，在曲线上，它后面最近的里程为3+160.00，弧长=(3+168.79)-(3+160.00)=8.79（m）。

现将计算的偏角值到列表如表4-1，供测设时使用。

为检查计算有无错误，可与总偏角核对。本次研究课题中的总偏

相邻桩点 点 号 里 程 间的弧长 ZY QZ K3+098.39 +100.00 +120.00 K3+133.59 +140.00 +160.00 1.61 20.00 13.59 6.41 20.00 8.79 偏 角 单 角 00º27′40″ 05º43′46″ 03º53′36″ 01º50′11″ 05º43′46″ 02º31′05″ 累 计 值 00º27′40″ 06º11′26″ 10º05′02″ 11º55′26″ 17º38′59″ 20º10′04″ .

.

YZ K3+168.79 表 4-1

角为=20º10′00″，与计算之总偏角20º10′05″相差05″，这是因为偏角

表计算至秒为止，秒后数值四舍五入所造成的误差，与测量精度无影响，属容许误差。

2、施测方法：

如图4-1所示，将仪器安置在ZY点上，全站仪显示对准0º0′0″，后视JD，然后旋转望远镜，拨至第一桩点K3+100.00的偏角0º27′40″，从ZY点起沿此方向量出第一段曲线长1.61米相应的弦长，定出第一桩点。再拨至第二桩点K3+120.00的偏角6º11′26″，从第一桩点量出第二段曲线长20米相应的弦长，交出第二桩点。依此法逐一测设曲线间所有各桩点。

图 4-1

核对方法：用偏角法测至YZ点，如与预先测得YZ点位置相同，则说明施测之曲线正确。

二、在ZY点上施测法2

.

.

置仪器于ZY点上，也可用曲线内第一整桩点作为累计偏角的起始点进行施测。

1、计算

同前所计算，第一段曲线长为1.61米，相应的偏角为0º27′40″，现将计算的偏角值到列表如表4-2。

每个桩点与第一个桩点 号 ZY 里 程 K3+098.39 点K3+100间的弧长 -1.61 偏 角 单 角 -00º27′40″ 累 计 值 259º32′20″ QZ YZ .

+100.00 +120.00 K3+133.59 +140.00 +160.00 K3+168.79 1.61 0 20.00 33.59 40.00 60.00 68.79 00º27′40 360º00′00″ 0º00′00″ 05º43′46″ 09º37′23″ 11º27′33″ 17º11′19″ 19º42′25″ .

表 4-2

检查方法按总偏角核对，该课题的总偏角为=20º10′00″，与计算之总

偏角19º42′25″+0º27′40″=20º10′05″相差05″，属容许误差。

2、施测方法

将仪器安置在ZY点上，全站仪显示对准359º32′20″后视JD，然后旋转望远镜，拨角度0º27′40″则全站仪显示对在0º0′0″上，从ZY点起沿此方向量出第一段曲线长1.61米相应的弦长，定出第一桩点。再拨至第二桩点K3+120.00的偏角5º43′46″，从第一桩点量出第二段曲线长20米相应的弦长，交出第二桩点。依此法逐一测设曲线间所有各桩点。核对方法同前。此法优点是第一桩点后各桩点，特别是查桩点的偏角查算简单。

第二节 全站仪安置在QZ点上施测法

一、全站仪安置在QZ点上施测法1此法以QZ点为计算起点，算出各桩点偏角。

1、计算

现将计算的偏角值到列表如表4-3，供测设时使用。

点 号 里 程 K3+133.59 相邻桩点间的弦长 偏 角 单 角 累 计 值 356º06′24″ 350º22′38″ QZ （向左） +120 13.59 03º53′36″ 20.00 5º43′46″ +100 1.61 0º27′40″ 349º54′58″ .

.

ZY K3+098.39 K3+133.59 QZ （向右） ZY +140 +160 K3+168.79 6.41 01º50′11″ 01º50′11″ 20.00 8.79 5º43′46″ 07º33′57″ 2º40′06″ 10º05′03″ 表 4-3

检查方法按核对时，此时=10º05′00″，ZY偏角为360º00′00″-349

º54′58″=10º05′02″，YZ偏角为10º05′03″，属容许误差。

2、施测方法

如图4-2，将仪器安置在QZ点上，全站仪显示对准270º00′00″后视JD，然后旋转望远镜，拨角度0º00′00″，此方向即为QZ点之切线方向，然后根据计算之各桩点偏角值与各桩点间曲线长度，自QZ点起分别向ZY和YZ两个方向同前述方法依次测设曲线间各桩点。

核对方法：用偏角法测至ZY、YZ点，如与预先测得ZY、YZ点位置相符，则说明正确。

.

.

图 4-2

二、全站仪安置在QZ点上施测法2

置仪器与QZ点上，也可用ZY点作为计算起点进行施测。

1、计算

现将计算的偏角值到列表如表4-4，供测设时使用。

检查方法按总偏角核对，总偏角=20º10′00″，与计算之总偏角200º10′

05″-180º00′00″=20º10′05″，差05″，属容许误差。

2、施测方法

相邻桩点 点 号 里 程 间的弧长 ZY K3+098.39 +100.00 +120.00 1.61 20.00 13.59 偏 角 单 角 00º27′40″ 05º43′46″ 03º53′36″ 累 计 值 00º27′40″ 06º11′26″ 10º05′02″ .

.

QZ YZ K3+133.59 +140.00 +160.00 K3+168.79 倒镜 6.41 20.00 8.79 表 4-4

180º00′00″ 01º50′11″ 05º43′46″ 02º31′06+″ 191º55′13″ 1977º38′59″ 200º10′05″ 将仪器安置在QZ点上，全站仪显示对准00º00′00″后视ZY点。根据计算之各桩点偏角值与各桩点间曲线长度，同前述方法逐个测点QZ点前半个曲线的各桩点后，将全站仪显示对在QZ点的偏角10º05′02″上，然后倒镜，再依次测设QZ点后半个曲线间的各桩点。

核对方法：用偏角法测至YZ点，如与预先测得YZ点位置相符，则说明正确。 三、将全站仪安置在YZ点亦可施测，其方法与置仪器在YZ点相同，但偏角方向相反，施测时要用反拨偏角值，360º减去其弦切角方向为偏角值。

第三节 全其它施测法

如果前述方法不宜测定曲线全部桩点，则可将全站仪安置在曲线上任意适当的桩点进行施测。如图4-3所示，若仪器在K3+120点，将全站仪显示对准00º00′00″或对准K3+100点的偏角00º27′40″，倒镜后视ZY点或后视K3+100点，并固定下盘，反转望远镜为正镜，是全站仪显示对准K3+133.59的偏角10º05′02″上，亦可定出K3+133.59点。同法依次测设曲线间其它各桩点。

.

.

.

.

图 4-3

平曲线主点名称及缩写表

名 称 交点 转点 圆曲线起点 圆曲线中点 圆曲线终点 公切点 第一缓和曲线起点 第一缓和曲线终点 第二缓和曲线起点 第二缓和曲线终点

简 称 直圆点 曲中点 圆直点 直缓点 缓圆点 圆缓点 缓直点 汉语拼音缩写 JD ZD ZY QZ YZ GQ ZH HY YH HZ 英语缩写 IP TP BC MC EC CP TS SC CS ST §11-4 圆曲线测设

摘要内容：圆曲线是具有一定曲率半径的圆弧线，其测设一般分两步进行。先测设对圆曲线起控制作用的主点桩，即圆曲线的起点（ZY）、中点（QZ）和终点（YZ）；然后在主点桩之间进行加密，按规定桩距测设圆曲线的其它各点，称之为圆曲线的详细测设。 讲课重点：圆曲线测设元素的计算、测设。 讲课难点：圆曲线详细测设的方法。 讲授重点内容提要： 一、圆曲线测设元素的计算

设交点JD的转角为α，圆曲线半径为R，则圆曲线的测设元素可按

.

.

下列公式计算：

切线长曲线长外 距切曲差TRtanLR2180ERsec2D2TL 1

二、圆曲线主点测设 1.主点里程的计算

交点JD的里程是由中线丈量中得到，根据交点的里程和圆曲线测设元素，即可推算圆曲线上各主点的里程并加以校核。

ZY里程JD里程TYZ里程ZY里程LQZ里程YZ里程L/2DJD里程QZ里程2 (校核)（注意：圆曲线终点里程YZ应为圆曲线起点里程ZY加上圆曲线长

L，而不是交点里程加切线长T，即YZ里程≠JD里程+T。因为在路线转

折处道路中线的实际位置应为曲线位置，而非切线位置。）

2.主点的测设 定向、量距。

§11-3 路线转角的测定和里程桩设置

摘要内容：转角是指交点处后视线的延长线与前视线的夹角，以α表示，转角有左右之分。位于延长线右侧的，为右转角y；位于延长线左侧

.

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的，为左转角z。转角可直接测量或测量交点坐标反算。

里程桩的设置是标定道路中线具体位置的工作。 讲课重点：转角概念、里程桩类型 讲课难点：中桩的设置桩距及精度要求。 讲授重点内容提要： 一、路线转角的测定

1.转角：是指交点处后视线的延长线与前视线的夹角，以α表示。 （说明：转角有左右之分，位于延长线右侧的，为右转角αy；位于延长线左侧的，为左转角αz。在路线测量中，转角通常是通过观测路线右角β计算求得。

当右角β<180º时，为右转角αy=180º-β 当右角β>180º时，为左转角αz=β-180º

.