广东高一上学期期中数学试题(解析版)

【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系进行判断即可. 【详解】0N，所以A错误； 集合{(1,2)}是点集，集合{2}数集，没有包含关系，故B错误； Q是有理数集，πQ，所以C错误； B．21,2 C．πQ D．1,2,3 空集是任何集合的子集，所以D正确. 故选：D.

2．若集合A1,2，B1,2,5，则AB（ ） A．2 【答案】B

【分析】利用并集的定义即可求解 【详解】因为A1,2，B1,2,5，所以AB1,1,2,5， 故选：B

∣mx10，且BA，则实数m的取值构成的集合为∣x2x60，Bx3．已知集合AxB．1,1,2,5 C．1,2,5 D．1,2,5 （ ） 11A．0,, 23【答案】D

11B．, 2311C．, 2311D．0,, 23【分析】先解出集合A，根据BA，分类讨论求出实数m.

∣x2x603,2. 【详解】Ax因为BA，所以B，B3，B2.

当B时，关于x的方程mx10无解，所以m0； 当B3时，x3是关于x的方程mx10的根，所以m1； 3第 1 页 共 11 页

1当B2时，x=2是关于x的方程mx10的根，所以m.

211故实数m的取值构成的集合为0,,.

23故选：D 4．函数yxA．8 【答案】B

【分析】结合基本不等式求得最小值. 【详解】x1,x10， 9x1的最小值为（ ） x1B．7

C．6

D．2

999x112x117， x1x1x19,x4时等号成立. 当且仅当x1x1x故选：B

5．函数yx22x1，x2,2，则（ ） A．函数有最小值0，最大值9 C．函数有最小值2，最大值9 【答案】A

【分析】求出二次函数的对称轴，判断在区间2,2上的单调性，进而可得最值. 【详解】yx22x1x1对称轴为x=1，开口向上， 所以yx22B．函数有最小值2，最大值5 D．函数有最小值0，最大值5 2x1在2,1上单调递减，在1,2上单调递增， 所以当x=1时，ymin1210， 2当x2时，ymax22219， 所以函数有最小值0，最大值9， 故选：A.

6．不等式ax2bx20的解集为x1x2，则2x2bxa0的解集为 （ ） 1A．x1x 21C．xx2或x 21B．xx1或x 21D．x1x 2第 2 页 共 11 页

【答案】A

【分析】由不等式的解集得到对应方程的根，结合韦达定理，求出a,b，再代入所求的一元二次不等式，即可求解.

【详解】因为不等式ax2bx20的解集为x1x2， 所以1和2是方程ax2bx20的两根， b12a1a则，解得， 2b112a所以不等式2x2bxa0即化为2x2x10，所以(2x1)(x1)0， 解得1x故选：A

2x2ax2，x17．若函数fx是R上的减函数，则实数a的取值范围是（ ） 23ax1，x11. 221 A．，3【答案】D

2B．1， 52 C．，322 D．，3【分析】由f(x)是R上的减函数列不等式，求解实数a的取值范围即可. 【详解】由题意得，a1 解得a1；23a0, 解得a解得a2.

综上得实数a的取值范围为故选：D.

8．下列说法正确的是（ ） 2a2. 32；当x1时12a223a1, 31A．不等式2x11x0的解集为x|x1 2B．若实数a,b,c满足ac2bc2，则ab 2C．若xR，则函数yx41x24的最小值为2

4 D．当xR时，不等式kx2kx10恒成立，则k的取值范围是0，【答案】B

【分析】直接解一元二次不等式即可判断A；根据不等式的性质判断B；根据基本不等式求最值即可判断C；根据不等式恒成立的解法求出k的范围，即可判断D.

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【详解】对A，由(2x1)(1x)0解得x1或x1，故A错误； 2对B，由于c20，对ac2bc2两边同除c2，得到ab，故B正确； 2对C，由于x+42，利用基本不等式知yx421x422，故C错误； kx2kx+1>0对D，①当k=0时，不等式为10，恒成立；②当k0时，若要使不等式恒成立，

k0则，解得0k4，所以当xR时，不等式kx2kx10恒成立，则k的取值范围是[0,4)，故D错误； 故选：B

二、多选题 9．函数fx是定义在R上的奇函数，下列说法中正确的是（ ） A．f(0)0 B．若fx在0,上有最小值－1，则fx在,0上有最大值1 C．若fx在1,上为增函数，则fx在,1上为减函数 D．xR，使f(x)f(x) 【答案】AB

【分析】利用奇函数定义xR，使f(x)f(x)，结合奇函数与单调性的结论处理判断． 【详解】∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，则xR，使f(x)f(x) D不正确； 令x0，则f(0)f(0)，即f(0)0 A正确； 若fx在0,上有最小值－1，即对x0,，x00,，使得fxfx01 当x,0时，fxfxfx01，即fx在,0上有最大值1 B正确； 根据奇函数在对称区间单调性相同可知C不正确； 故选：AB． 10．下列命题中，真命题的是（ ） A．a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件 第 4 页 共 11 页

B．“x1”是“x21”的充要条件 2C．命题“∃x0∈R，使得x0x010”的否定是“∀x∈R，都有x2+x+1≥0” 2D．命题“∀x∈R，x2+x+1≠0”的否定是“∃x0∈R，x0x010”

【答案】ACD

【分析】利用充分性与必要性判断AB的正确性，根据全称命题与存在命题的关系判断CD的正确性.

【详解】对于A，当a1，b1时，ab1，但是当ab1时，得到a1，b1不一定成立，故

a1，b1是ab1的充分不必要条件，故A正确； 对于B，“x1”是“x21”的充要条件，故B错误； 2对于C, 命题“∃x0∈R，使得x0x010”的否定是“∀x∈R，都有x2+x+1≥0”,故C正确； 2对于D，命题“∀x∈R，x2+x+1≠0”的否定是“∃x0∈R，x0x010”，故D正确.

故选：ACD

m11．已知幂函数fxm2x，则（ ） A．m3 C．(1.5)m(1.4)m 【答案】AC

B．定义域为0, D．f22 【分析】根据fx为幂函数得m可判断A；根据幂函数的解析式可判断B；利用单调性可判断C； 计算f2可判断D.

3【详解】fx为幂函数，m21，得m3,fxx，A对； 函数fx的定义域为R，B错误； 由于fx在R上为增函数，1.51.4,(1.5)3(1.4)3，C对； f2238，f222，D错误， 故选：AC.

12．已知集合A{x|0x6}，Bxm1x4m1，则使ABA成立的实数m的取值范围可以是（ ） 第 5 页 共 11 页

A．m2 32B．m 3C．1m5 4D．1m5 4【答案】AC

【分析】先根据题意得出BA，然后对集合B是空集和不是空集两种情况进行讨论，进而得到答案.

【详解】QAUBA，BA.

2若B不为空集，则m14m1，解得m， 3A{x|0x6}，B{x|m1x4m1}， \\m-1³0且4m16，解得1m5． 4此时1m5． 4若B为空集，则m14m1，解得m综上，实数m满足m故选：AC.

2，符合题意． 325或1m． 43 三、填空题 113．函数f(x)2x的定义域为________． x【答案】(,0)(0,2] 【分析】根据题意列关于x的不等式组即可求解. 2x0fx【详解】由题要使得有意义，则， x0故x2且x0， 从而fx的定义域为(,0)(0,2]， 故答案为：(,0)(0,2].

214．设fx2x1，gx4x5，则gf2_______． 【答案】105

【分析】先求f(2)，再求gf2 2【详解】解：因为fx2x1，gx4x5 所以f22215， 第 6 页 共 11 页

2所以gf2g5455105， 故答案为：105 1115．已知正实数x，y满足1，则x4y最小值为______． xy【答案】9

【分析】利用基本不等式的性质直接求解即可.

11【详解】正数x，y满足：1， xy114yx4yxx4yx4y5529， xyxyxy当且仅当

4yx3，即x2y，x3，y时 “”成立， xy2故答案为：9.

16．关于x的不等式ax2ax20在R上恒成立,则实数a的取值范围是_________． 【答案】(8,0] 【分析】分a=0和a0讨论，a0时根据二次函数开口向下，且与x轴无交点列出不等式即可 【详解】1若a=0,得20,符合题意 a<0a0,由题知,解得8a0 2若2Δ=a+8a<0综上实数a的取值范围是(8,0] 故答案为：(8,0] 四、解答题 17．设全集为R，集合A{x|x3或x9}，Bx|2x9， (1)求AB，AB. (2)求(ðUB)A 【答案】(1)AB{x|2x3或x9}，ABR； (2){x|3x9} 【分析】按定义进行交集、并集、补集运算即可 【详解】（1）AB{x|2x3或x9}，ABR； 第 7 页 共 11 页

（2）ðUB{x|3x9}，(ðUB)A{x|3x9} 18．（1）已知0x1，求yx33x的最大值； （2）已知x0，y0，若xy2，求2xy的最小值． 【答案】（1）

3；（2）4 4【分析】（1）由题意可得1x0，再将函数变形为yx33x3x1x，然后利用基本不等式求出其最大值， （2）利用基本不等式结合题意可得结果. 【详解】（1）∵0x1，∴1x0， 3x1x因此yx33x3x1x3； 24当且仅当x1x，即x=213，y有最大值； 42（2）∵x0，y0且xy2， ∴2xy22xy4； 当且仅当2xy，即x=1，y=2时，2xy有最小值4． 19．已知函数fx32 x(1)判断函数fx在0,上的单调性，并用定义法证明你的结论； (2)若x2,7，求函数的最大值和最小值. 【答案】(1)减函数，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据定义法证明函数单调性即可求解；（2）根据（1）中的单调性求解最值即可. 【详解】（1）任取x1，x2， 且0x1x2 则fx1fx2717， 723333x2x1322 - x1xxxxx21212因为0x1x2，所以x2x10，x1x20 所以fx1fx20，即fx1fx2， 第 8 页 共 11 页

3所以f(x)=2在区间0,上是减函数． x3（2）因为函数f(x)=2在区间2,7上是减函数， x所以f(x)max=f2177，f(x)min=f7. 2720．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x0时，f(x)x(1x)． (1)当x0时，求f(x)的解析式； (2)若f(x)2，求x的值． 【答案】(1)当x0时，f(x)x(1x)； (2)x=1或x1. 【分析】（1）设x0时，x>0，则fxx1x，再根据偶函数性质即可得x0时，求fx的解析式； （2）分x0和x0两类，分别解不等式即可得答案.

【详解】（1）解：（1）当x0时，x>0，所以fxx1xx1x， 又fx是偶函数，∴fxfx， ∴fxx1xx1xfx， 所以当x0时，f(x)x(1x)； （2）解：当f(x)2时， 当x0时，f(x)x(1x)2，即x2x20，解得x=1（x2舍去）， 当x0时，f(x)x(1x)2，∴. x1（x2舍去）， 综上，x=1或x1.

21．第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬奥会于2022年2月4日开幕.冬奥会吉祥物“冰墩墩”早在2019年9月就正式亮相，到如今已是“一墩难求”，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办.某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元.每生产x万盒，需投入成本h（x）万元，当产量小于或等于50万盒时hx180x100；当产量大于50万盒

2时hxx60x3500，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可

以全部销售完.（利润=销售总价-成本总价，销售总价=销售单价×销售量，成本总价=固定成本+生产中投入成本） (1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式； 第 9 页 共 11 页

(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获得利润最大，最大利润为多少万元.

20x300,0x50y【答案】(1)； 2x140x3700,x50(2)产量为70万盒，最大利润为1200万元. 【分析】（1）根据产量的范围，分段列出函数关系式，即得答案. （2）求出每段函数的最大值，再比较大小即可作答.

【详解】（1）依题意，当0x50时，y200x200(180x100)20x300， 当x50时，y200x200(x260x3500)x2140x3700， 20x300,0x50. 所以销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式为：y2x140x3700,x50（2）当0x50 时，y20x300单调递增，y2050300700，当且仅当x50时取等号； 当x50 时，y(x70)212001200，当且仅当x70时取等号，而7001200， 因此当x70时，ymax1200， 所以当产量为70万盒时，该企业在生产中所获得利润最大，最大利润为1200万元.

22．定义：若函数fx对于其定义域内的某一数x0，有fx0x0，则称x0是fx的一个不动点.

2已知函数fxaxb1xb1a0.

(1)当a1，b2时，求函数fx的不动点； (2)若对任意的实数b，函数fx恒有两个不动点，求实数a的取值范围； (3)在（2）的条件下，若yfx图象上两个点A、B的横坐标是函数fx的不动点，且线段AB的中点C在函数gxx【答案】(1)1和3 (2)0a1 (3)1 【分析】（1）按照不动点的定义计算即可； 2（2）方程有两个不等实根，b4ab10，得到关于b的二次函数，再利用判别式求解即

a的图象上，求实数b的最小值.

5a24a1第 10 页 共 11 页

可； ba2g(x)（3）求出点C坐标，代入，结合x1x2，得到b2，借助二次函数求出最小

5a4a1a值即可.

2【详解】（1）当a1，b2时fxxx3，由x2x3x，解得x3或x=1， 故所求的不动点为1和3.

（2）令fxx，则ax2bxb10① 2由题意，方程①恒有两个不等实根，所以b4ab10， 即b24ab4a0对任意的bR恒成立， 则16a216a0，∴0a1.

xxxx（3）依题意设Ax1,x1，Bx2,x2x1x2，则AB中点C的坐标为12,12， 22a又AB的中点在直线gxx2上， 5a4a1x1x2xxaa122，∴x1x22， 5a4a1225a4a1bba又x1，x2是方程①的两个根，∴x1x2，即2， a5a4a1a∴

a211b2225a4a1∴， 1114521aaa∵0a1，∴

111.所以a时，b的最小值为1.

2a第 11 页 共 11 页