沙县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案

一、选择题

a12，an1an1． 已知数列an的各项均为正数，

（ ）

A．35 B． 36 C．120 A．40（8）

B．45（8）

C．50（8）

D．121

2． 把“二进制”数101101（2）化为“八进制”数是（ ）

D．55（8）

2

）an+sin

14，若数列则n的前n项和为5，

an1anaan1n3． 已知数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=（1+cos2，则该数列的前10项和为（ ）

A． B．76 C．77 D．35

4． 随机变量x1～N（2，1），x2～N（4，1），若P（x1＜3）=P（x2≥a），则a=（ ） A．1 B．2 C．3 D．4

5． 等差数列{an}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{an}的公差为（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

6． 设,是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ） A．若l，，则l B．若l//， //，则l C．若l，//，则l D．若l//，，则l 7． 方程（x2﹣4）2+（y2﹣4）2=0表示的图形是（ ）

A．两个点 B．四个点 C．两条直线 D．四条直线

8． 若动点A，B分别在直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为（ ） A．3

B．2

C．3

D．4

9． 设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＜0}=（ ） A．{x|x＜﹣2或x＞4} B．{x|x＜0或x＞4} C．{x|x＜0或x＞6} D．{x|0＜x＜4}

10．ABC的外接圆圆心为O，半径为2，OAABAC为零向量，且|OA||AB|，则CA在BC方向上的投影为（ ）

A．-3 B．3 C．3 D．3

11．已知△ABC是锐角三角形，则点P（cosC﹣sinA，sinA﹣cosB）在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

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12．如图甲所示， 三棱锥PABC 的高PO8,ACBC3,ACB30 ，M,N分别在BC 和PO上，且CMx,PN2xx（0，3，图乙的四个图象大致描绘了三棱锥NAMC的体积y与 的变化关系，其中正确的是（ ）

A． B． C. D．1111]

二、填空题

13．已知α为钝角，sin（

14．△ABC中，

15．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是A1D1的中点，点P在侧面BCC1B1上运动．现有下列命题：

①若点P总保持PA⊥BD1，则动点P的轨迹所在曲线是直线； ②若点P到点A的距离为

，则动点P的轨迹所在曲线是圆； ，BC=3，

，则∠C=

．

+α）=，则sin（

﹣α）= ．

③若P满足∠MAP=∠MAC1，则动点P的轨迹所在曲线是椭圆；

④若P到直线BC与直线C1D1的距离比为1：2，则动点P的轨迹所在曲线是双曲线； ⑤若P到直线AD与直线CC1的距离相等，则动点P的轨迹所在曲线是抛物丝． 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）

16．给出下列命题：

（1）命题p：；菱形的对角线互相垂直平分，命题q：菱形的对角线相等；则p∨q是假命题

2

（2）命题“若x﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题为真命题 2

（3）“1＜x＜3”是“x﹣4x+3＜0”的必要不充分条件

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2

（4）若命题p：∀x∈R，x+4x+5≠0，则¬p：

．

其中叙述正确的是 ．（填上所有正确命题的序号） 抽到的概率都为

18．log3

，则总体的个数为 ．

0

﹣（﹣9.8）= ．

17．一个总体分为A，B，C三层，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为15的样本，若B层中每个个体被

+lg25+lg4﹣7

三、解答题

19．如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．

（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；

（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；

（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．

20．设函数f（x）=kx2+2x（k为实常数）为奇函数，函数g（x）=af（x）﹣1（a＞0且a≠1）． （Ⅰ）求k的值； （Ⅲ）当

2

（Ⅱ）求g（x）在[﹣1，2]上的最大值；

时，g（x）≤t﹣2mt+1对所有的x∈[﹣1，1]及m∈[﹣1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

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21．武汉市为增强市民交通安全意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示． （1）分别求第3，4，5组的频率；

（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？

（3）在（2）的条件下，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．

22．已知数列{an}满足a1=，an+1=an+（Ⅰ）证明：bn∈（0，1） （Ⅱ）证明：

=

，数列{bn}满足bn=

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（Ⅲ）证明：对任意正整数n有an

．

23．（本小题满分12分）求下列函数的定义域： （1）fx（2）fx

24．已知向量=（

，1），=（cos，

），记f（x）=

．

2x3； x1. x23x4x5x62（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间； （2）将函数y=f（x）的图象向右平移的零点个数．

个单位得到y=g（x）的图象，讨论函数y=g（x）﹣k在

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沙县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案（参） 一、选择题

1． 【答案】C

【解析】解析：本题考查等差数列的定义通项公式与“裂项法”求数列的前n项和．由an1an2222an1an4，∴an是等差数列，公差为4，首项为4，∴an44(n1)4n，由an0得

4得

an1anan2n．1111(n1n)，∴数列的前n项和为

an1an2n12n2aan1n1111(21)(32)(n1n)(n11)5，∴n120，选C． 22222． 【答案】D

5320

【解析】解：∵101101（2）=1×2+0+1×2+1×2+0+1×2=45（10）．

再利用“除8取余法”可得：45（10）=55（8）． 故答案选D．

3． 【答案】C

2

【解析】解：因为a1=1，a2=2，所以a3=（1+cos

）a1+sin

2

=a1+1=2，a4=（1+cos2π）a2+sin2π=2a2=4．

=a2k﹣1+1， 即a2k+1﹣a2k﹣1=1．

a2k+1=[1+cos一般地，当n=2k﹣1（k∈N）时，

*

2

]a2k﹣1+sin2

所以数列{a2k﹣1}是首项为1、公差为1的等差数列，因此a2k﹣1=k．

*2

当n=2k（k∈N）时，a2k+2=（1+cos

）a2k+sin

2

=2a2k．

k

所以数列{a2k}是首项为2、公比为2的等比数列，因此a2k=2．

该数列的前10项的和为1+2+2+4+3+8+4+16+5+32=77 故选：C．

4． 【答案】C

【解析】解：随机变量x1～N（2，1），图象关于x=2对称，x2～N（4，1），图象关于x=4对称， 因为P（x1＜3）=P（x2≥a）， 所以3﹣2=4﹣a，

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所以a=3， 故选：C．

【点评】本题主要考查正态分布的图象，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解．

5． 【答案】B

【解析】解：设数列{an}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得2a1+4d=10，a1+3d=7，解得d=2， 故选B．

6． 【答案】C111] 【解析】

考

点：线线，线面，面面的位置关系 7． 【答案】B

2222

【解析】解：方程（x﹣4）+（y﹣4）=0

则x﹣4=0并且y﹣4=0，

2

2

即解得：

， ，

，

，

，

得到4个点． 故选：B．

【点评】本题考查二元二次方程表示圆的条件，方程的应用，考查计算能力．

8． 【答案】A 【解析】解：∵l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0是平行直线， ∵直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0， ∴两直线的距离为

=

，

+

=3

，

∴可判断：过原点且与直线垂直时，中的M到原点的距离的最小值

∴AB的中点M到原点的距离的最小值为

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故选：A

【点评】本题考查了两点距离公式，直线的方程，属于中档题．

9． 【答案】D

【解析】解：∵偶函数f（x）=2x﹣4（x≥0），故它的图象 关于y轴对称，

且图象经过点（﹣2，0）、（0，﹣3），（2，0）， 故f（x﹣2）的图象是把f（x）的图象向右平移2个 单位得到的，

故f（x﹣2）的图象经过点（0，0）、（2，﹣3），（4，0）， 则由f（x﹣2）＜0，可得 0＜x＜4， 故选：D．

【点评】本题主要考查指数不等式的解法，函数的图象的平移规律，属于中档题．

10．【答案】B 【解析】

考点：向量的投影． 11．【答案】B

【解析】解：∵△ABC是锐角三角形， ∴A+B＞

，

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∴A＞﹣B，

﹣B）=cosB，

∴sinA＞sin（

∴sinA﹣cosB＞0， 同理可得sinA﹣cosC＞0， ∴点P在第二象限． 故选：B

12．【答案】A 【解析】

考

点：几何体的体积与函数的图象.

【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的体积与函数的图象之间的关系，其中解答中涉及到三棱锥的体积公式、一元二次函数的图象与性质等知识点的考查，本题解答的关键是通过三棱锥的体积公式得出二次函数的解析式，利用二次函数的图象与性质得到函数的图象，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，是一道好题，题目新颖，属于中档试题.

二、填空题

13．【答案】 ﹣

【解析】解：∵sin（∴cos（=sin（

﹣α）=cos[+α）=，

＜α＜π，

， +α）=， ﹣（

+α）]

．

∵α为钝角，即∴∴sin（∴sin（

＜

﹣

﹣α）＜0， ﹣α）=﹣

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=﹣=﹣

，

故答案为：﹣．

【点评】本题考查运用诱导公式求三角函数值，注意不同角之间的关系，正确选择公式，运用平方关系时，必须注意角的范围，以确定函数值的符号．

14．【答案】 【解析】解：由根据正弦定理

=

，a=BC=3，c=得：

，

sinC==，

又C为三角形的内角，且c＜a， ∴0＜∠C＜则∠C=

．

，

故答案为：

【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，正弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，同时注意判断C的范围．

15．【答案】 ①②④

【解析】解：对于①，∵BD1⊥面AB1C，∴动点P的轨迹所在曲线是直线B1C，①正确； 对于②，满足到点A的距离为②正确；

对于③，满足条件∠MAP=∠MAC1 的点P应为以AM为轴，以AC1 为母线的圆锥，平面BB1C1C是一个与轴AM平行的平面，

又点P在BB1C1C所在的平面上，故P点轨迹所在曲线是双曲线一支，③错误； 对于④，P到直线C1D1 的距离，即到点C1的距离与到直线BC的距离比为2：1， ∴动点P的轨迹所在曲线是以C1 为焦点，以直线BC为准线的双曲线，④正确； 对于⑤，如图建立空间直角坐标系，作PE⊥BC，EF⊥AD，PG⊥CC1，连接PF， 设点P坐标为（x，y，0），由|PF|=|PG|，得

22

，即x﹣y=1，

的点集是球，∴点P应为平面截球体所得截痕，即轨迹所在曲线为圆，

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∴P点轨迹所在曲线是双曲线，⑤错误． 故答案为：①②④．

【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了圆锥曲线的定义和方方程，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．

16．【答案】 （4）

【解析】解：（1）命题p：菱形的对角线互相垂直平分，为真命题．命题q：菱形的对角线相等为假命题；则p∨q是真命题，故（1）错误，

2

（2）命题“若x﹣4x+3=0，则x=3或x=1”，即原命题为假命题，则命题的逆否命题为假命题，故（2）错误，

22

（3）由x﹣4x+3＜0得1＜x＜3，则“1＜x＜3”是“x﹣4x+3＜0”的充要条件，故（3）错误， 2

（4）若命题p：∀x∈R，x+4x+5≠0，则￢p：

．正确，

故答案为：（4）

【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及复合命题的真假关系，四种命题，充分条件和必要条件以及含有 量词的命题的否定，知识点较多，属于中档题．

17．【答案】 300 ．

【解析】解：根据分层抽样的特征，每个个体被抽到的概率都相等， 所以总体中的个体的个数为15÷故答案为：300．

【点评】本题考查了样本容量与总体的关系以及抽样方法的应用问题，是基础题目．

18．【答案】

【解析】解：原式=+lg100﹣2﹣1=+2﹣2﹣1=，

．

=300．

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故选：

【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．

三、解答题

19．【答案】

【解析】

【分析】（I）由已知中DE⊥平面ABCD，ABCD是边长为3的正方形，我们可得DE⊥AC，AC⊥BD，结合线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDE；

（Ⅱ）以D为坐标原点，DA，DC，DE方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，分别求出平面BEF和平面BDE的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角F﹣BE﹣D的余弦值；

（Ⅲ）由已知中M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．根据AM∥平面BEF，则直线AM的方向向量与平面BEF法向量垂直，数量积为0，构造关于t的方程，解方程，即可确定M点的位置． 【解答】证明：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC． 因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD， 从而AC⊥平面BDE．…（4分）

解：（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．

0

因为BE与平面ABCD所成角为60，即∠DBE=60°， 所以

．

，

，

．

，

． ，即

．

，B（3，3，0），C（0，3，0），

由AD=3，可知则A（3，0，0），所以

设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则令

，则=

．

为平面BDE的法向量，

因为AC⊥平面BDE，所以所以cos

．

．

．…（8分）

因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）． 则． 因为AM∥平面BEF，

所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2． 此时，点M坐标为（2，2，0）， 即当

时，AM∥平面BEF．…（12分）

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20．【答案】 ∴k=0．

22

【解析】解：（Ⅰ）由f（﹣x）=﹣f（x）得 kx﹣2x=﹣kx﹣2x，

fx2x2x

（Ⅱ）∵g（x）=a（）﹣1=a﹣1=（a）﹣1

①当a2＞1，即a＞1时，g（x）=（a2）x﹣1在[﹣1，2]上为增函数，∴g（x）最大值为g（2）=a4﹣1．

②当a2＜1，即0＜a＜1时，∴g（x）=（a2）x在[﹣1，2]上为减函数， ∴g（x）最大值为

．

∴

，

（Ⅲ）由（Ⅱ）得g（x）在x∈[﹣1，1]上的最大值为

22

∴1≤t﹣2mt+1即t﹣2mt≥0在[﹣1，1]上恒成立

令h（m）=﹣2mt+t，∴

2

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即

所以t∈（﹣∞，﹣2]∪{0}∪[2，+∞）． 析解决问题的能力，属于中档题．

21．【答案】

第4组的频率为0.04×5=0.2， 第5组的频率为0.02×5=0.1； （2）第3组的人数为0.3×100=30， 第4组的人数为0.2×100=20， 第5组的人数为0.1×100=10； 因为第3，4，5组共有60名志愿者，

【点评】本题考查函数的奇偶性，考查函数的最值，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，考查学生分

【解析】解：（1）由题意可知第3组的频率为0.06×5=0.3，

所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者， 每组抽取的人数分别为：第3组

=3；第4组

=2；第5组

=1；

应从第3，4，5组各抽取3，2，1名志愿者．

（3）记第3组3名志愿者为1，2，3；第4组2名志愿者为4，5；第5组1名志愿者为6； 在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者有：

（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6）， （2，3），（2，4），（2，5），（2，6）， （3，4），（3，5），（3，6）， （4，5），（4，6）， （5，6）；

共有15种，第4组2名志愿者为4，5；至少有一名志愿者被抽有9种， 所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为

．

【点评】本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，频率分布直方图，考查计算能力．

22．【答案】

【解析】证明：（Ⅰ）由bn=∴

，且an+1=an+

，得

，

，下面用数学归纳法证明：0＜bn＜1．

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①由a1=∈（0，1），知0＜b1＜1， ②假设0＜bk＜1，则∵0＜bk＜1，∴

*

，

，则0＜bk+1＜1．

综上，当n∈N时，bn∈（0，1）； （Ⅱ）由∴

，可得，

=

， =

．

故；

（Ⅲ）由（Ⅱ）得：

，

故由

．

知，当n≥2时，

=

．

【点评】本题考查了数列递推式，考查了用数学归纳法证明与自然数有关的命题，训练了放缩法证明数列不等 式，对递推式的循环运用是证明该题的关键，考查了学生的逻辑思维能力和灵活处理问题的能力，是压轴题．

23．【答案】（1）,11,；（2）1,23,4． 【解析】

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考

点：函数的定义域. 1

【方法点晴】本题主要考查了函数的定义域的求解，其中解答中涉及到分式不等式的求解、一元二次不等式的求解、集合的交集运算等综合考查，着重考查了学生的推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中正确把握函数的定义域，列出相应的不等式或不等式组是解答的关键，同时理解函数的定义域的概念，也是解答的一个重要一环. 24．【答案】

，1），=（cos，=

sin+cos+=sin（+

， ，k∈Z．

，4kπ+

]，k∈Z；

），记f（x）=）+，

．

【解析】解：（1）∵向量=（∴f（x）=∴最小正周期T=2kπ﹣则4kπ﹣

≤+

cos+=4π， ≤2kπ+

≤x≤4kπ+

故函数f（x）的单调递增区间是[4kπ﹣（2））∵将函数y=f（x）=sin（+：y=g（x）=sin[（x﹣

+

）+的图象向右平移

）+，

个单位得到函数解析式为

）]+ =sin（﹣）+﹣k，

∴则y=g（x）﹣k=sin（x﹣∵x∈[0，

]，可得：﹣

≤x﹣≤π，

∴﹣≤sin（x﹣∴0≤sin（x﹣

）≤1， ）+≤，

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∴若函数y=g（x）﹣k在[0，

∴实数k的取值范围是[0，]．

]上有零点，则函数y=g（x）的图象与直线y=k在[0，

]上有交点，

∴当k＜0或k＞时，函数y=g（x）﹣k在当0≤k＜1时，函数y=g（x）﹣k在当k=0或k=时，函数y=g（x）﹣k在点的判断方法，考查计算能力．

的零点个数是0；

的零点个数是2；

的零点个数是1．

【点评】本题是中档题，考查向量的数量积的应用，三角函数的化简求值，函数的单调增区间的求法，函数零

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