高中数学椭圆双曲线抛物线历年真题及详解

【考点8】椭圆、双曲线、抛物线

2009年考题

1、（2009湖北高考）已知双曲线则b=( ) A.3 B.

5 C.3 D.2

x2y2x2y21的准线经过椭圆1（b＞0）的焦点，224b2a2选C.可得双曲线的准线为x 1,又因为椭圆焦点为(4b2,0)所以有

c4b21.即b=3故b=3.

2

2、（2009陕西高考）“mn0”是“方程mx2ny21”表示焦点在y轴上的椭圆”的( )

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充要条件 (D) 既不充分也不必要条件

x2y2【解析】选C.将方程mxny1转化为 1, 根据椭圆的定义，要使焦点

11mn22在y轴上必须 满足

11110,0,且，故选C. nmmn3、（2009湖南高考）抛物线y28x的焦点坐标是( )

A．（2，0） B．（- 2，0） C．（4，0） D．（- 4，0）

【解析】选B.由y28x,易知焦点坐标是(,0)(2,0)，故选B.

x24、（2009全国Ⅰ）已知椭圆C:y21的右焦点为F,右准线为l，点Al，线

2p2段AF交C于点B， 若FA3FB,则|AF|=( )

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(A) 2 (B) 2 (C)3 (D) 3

【解析】选A.过点B作BMl于M,并设右准线l及X轴的交点为N，易知FN=1.由题意FA3FB,故|BM|.又由椭圆的第二定义,得

|BF|222|AF|2. 23323x2y25、（2009江西高考）设F1和F2为双曲线221(a0,b0)的两个焦点, 若

abF1，F2，P(0,2b)是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为( )

A． B．2 C． D．3 【解析】选B.由tan6c3c有3c24b24(c2a2),则e2,故选B. 2b3a3252x2y26、（2009江西高考）过椭圆221(ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆

ab于点P，F2为右焦点，若F1PF260，则椭圆的离心率为( ) A．

3211 B． C． D． 3223c3b23b22a,从而可得e【解析】选B.因为P(c,)，再由F1PF260有，故

a3aa选B.

x2y27、（2009浙江高考）过双曲线221(a0,b0)的右顶点A作斜率为1的直线，

ab该直线及双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C．若ABBC，则双曲线的离心率是 ( )

A．2 B．3 C．5 D．10 【解析】选C.对于Aa,0，则直线方程为xya0，直线及两渐近线的交点为B，C，

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a22a2b2a2bababa2ababBC(,),AB,，则有B,,C(,)， 2222abababababababab因2ABBC,4a2b2,e5．

x2y28、(2009山东高考)设双曲线221的一条渐近线及抛物线y=x2+1 只有一

ab个公共点，则双曲线的离心率为( ). A. B. 5 C.

545 D.5 2byxx2y2b【解析】选D.双曲线221的一条渐近线为yx,由方程组a,消去aba2yx1y,

得x2x10有唯一解,所以△=()240,

bca2b2b所以2,e1()25,故选D.

aaaababa9、(2009山东高考)设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ). A.y24x B.y28x C. y24x D. y28x

【解析】选B.抛物线y2ax(a0)的焦点F坐标为(,0),则直线l的方程为

ay2(x),

4a4它及y轴的交点为A(0,),所以△OAF的面积为||||4,解得a8.所以抛物

线方程为y28x,故选B.

10、（2009安徽高考）下列曲线中离心率为6的是( ) 2a21a24a22222x2y2x2y2（A）1 （B）1 （C）xy1 （D）xy1 2442464103 / 36

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6c23b23b21【解析】选B.由e得2,12,2，选B.

2a2a2a2x2y211、（2009天津高考）设双曲线221(a0,b0)的虚轴长为2，焦距为23，

ab则双曲线的渐近线方程为（ ）

A y2x B y2x C y21x Dyx 22【解析】选C.由已知得到b1,c3,ac2b22，因为双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为yxba2x. 2x2y212、（2009宁夏、海南高考）双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为( )

412（A）23 （B）2 （C）3 （D）1

y2x2【解析】选A.双曲线-=1的焦点(4,0)到渐近线y3x的距离为

124d340223,选A.

13、（2009宁夏、海南高考）设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l及抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为（2，2），则直线的方程为_____________.

【解析】抛物线的方程为y24x，

2y14x1Ax1,y1,Bx2,y2,则有x1x2，2y24x2yy242两式相减得，y12y24x1x2，11

x1x2y1y2直线l的方程为y-2=x-2,即y=x答案：y=x

14、 (2009湖南高考)已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四

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边形中，有一个内角

为60 o，则双曲线C的离心率为_____________.

【解析】连虚轴一个端点、一个焦点及原点的三角形，由条件知，这个三角形的两边直角分别是b,c(b是虚半轴长，c是焦半距)，且一个内角是30，即得

bc36tan30，所以c3b，所以a2b，离心率eca22

答案：6 2x2y215、（2009上海高考）已知F1、F2是椭圆C:221（a＞b＞0）的两个焦点，

abP为椭圆C上一点，且PF1PF2.若PF1F2的面积为9，则b=____________.

|PF1||PF2|2a【解析】依题意，有|PF1|•|PF2|18，可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故

222|PF1||PF2|4c有b＝3。 答案：3

x2y216、（2009重庆高考）已知椭圆221(ab0)的左、右焦点分别为

abF1(c,0),F2(c,0)，若椭圆上存在一点P使

ac，则该椭圆的离心率的

sinPF1F2sinPF2F1取值范围为 ．

【解析】方法1，因为在PF1F2中，由正弦定理得

则由已知，得

ac，即aPF1cPF2 PF2PF1PF2PF1sinPF1F2sinPF2F1

设点(x0,y0)由焦点半径公式，得PF1aex0,PF2aex0则

a(aex0)c(aex0)记得x0a(ca)a(e1)由椭圆的几何性质知e(ca)e(e1)5 / 36

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x0a则a(e1)a，整理得

e(e1)2211或或ee2211，又，又ee(0,1)(0,1)，故椭圆的离心率e(21,1) e22e10,解得ee>方法2 由解析1知PF1PF2由椭圆的定义知

c2a2PF1PF22a则PF2PF22a即PF2，由椭圆的几何性质知

aca2a22

PF2ac,则ac,既c22ac-a2ca20,所以e22e10,以下同解析1. >0,

caca答案：21,1

17、（ 2009四川高考）抛物线y24x的焦点到准线的距离是 .

【解析】焦点F（1，0），准线方程x1，∴焦点到准线的距离是2 答案：2

x2y218、（2009北京高考）椭圆1的焦点为F1,F2，点P在椭圆上，若|PF1|4，

92则|PF2| ；F1PF2的大小为 .

3， 【解析】∵a29,b22

∴ca2b2927， ∴F1F227，

又PF14,PF1PF22a6，∴PF22， （第19题解答图） 又由余弦定理，得cosF1PF224272242221，

2∴F1PF2120，故应填2,120.

答案：2,120

19、(2009广东高考)已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为

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3,2高中数学椭圆双曲线抛物线历年真题及详解

两个焦点分别为F1和F2,椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12.圆

Ck:x2y22kx4y210(kR)的圆心为点Ak.

(1)求椭圆G的方程 (2)求AkF1F2的面积

(3)问是否存在圆Ck包围椭圆G?请说明理由.

x2y2【解析】（1）设椭圆G的方程为：221 （ab0）半焦距为c;

ab2a12a6 则c , b2a2c236279 3 , 解得c332ax2y2 所求椭圆G的方程为：1.

369(2 )点AK的坐标为(-k,2)

FFF226633226633 SSAAFFFFFF1F12212K1K21211221122（3）若k0，由620212k021512k>00可知点（6，0）在圆Ck外，

0可知点（-6，0）在圆Ck外； 若k0，由(6)20212k021512k>0

不论K为何值圆Ck都不能包围椭圆G.

20、（2009重庆高考）已知以原点O为中心的椭圆的一条准线方程为y离心率e3，M是椭圆上的动点． 243，3（Ⅰ）若C,D的坐标分别是(0,3),(0,3)，求MCMD的最大值；

（Ⅱ）如图，点A的坐标为(1,0)，B是圆x2y21上的点，N是点M在x轴上的射影，点Q满足条件：OQOMON，QABA0．求线段QB的中点P的轨迹方程；

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y2x2【解析】（Ⅰ）由题设条件知焦点在y轴上，故设椭圆方程为221（a ＞b

ab＞ 0 ）.

设ca2b2，由准线方程y2433c3得.由e得，解得 a = 2 ,c 32a2y2= 3，从而 b = 1，椭圆方程为x1 .

4y2 又易知C，D两点是椭圆x1的焦点，所以,MCMD2a4

42 从而MCMD(MCMD2)224，当且仅当MCMD，即点M的坐标2为(1,0) 时上式取等号，MCMD的最大值为4 . （II）如图（20）图，设M(xm,ym),B(xB,yB) Q(xQ,yQ).因为N(xN,0),OMONOQ， 故xQ2xN,yQyM,

22 xQyQ(2xN)2yQ24 ①

因为QABA0,

（1xQyQ）（1xByB）(1xQ)(1xB)yQyB0,

所以xQxB+yQyB=xB+xQ1. ②

记P点的坐标为(xP,yP)，因为P是BQ的中点

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所以2xP=xQ+xB,2yP=yQ+yB.

22+yN=1,，结合①，②得 又因为 xB112222x2y((xx)(yy))(xQxB2yQ2yB22(xQxNyQyN)) ppQBQB4413(52(xQxB1)）xP 441故动点P的轨迹方程为(x)2y21

221、（2009重庆高考）已知以原点O为中心的双曲线的一条准线方程为

x5，离心率e5． 5（Ⅰ）求该双曲线的方程；

（Ⅱ）如题（20）图，点A的坐标为(5,0)，B是圆

x2(y5)21上的点，点M在双曲线右支上，求MAMB的最小值，并求此时M点的坐标；

【解析】（Ⅰ）由题意可知，双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线的方程为

5a25x2y222x1(a0,b0)，设，由准线方程为得，由e5 cab5c5a2b2y2c2得5 解得a1,c5 从而b2，该双曲线的方程为x1；

4a（Ⅱ）设点D的坐标为(5,0)，则点A、D为双曲线的焦点，|MA||MD|2a2 所以|MA||MB|2|MB||MD|≥2|BD| ，B是圆x2(y5)21上的点，其圆心为C(0,5)，半径为

|MA||MB|≥2|BD|≥101

1，故|BD|≥|CD|1101 -1 ,从而

当M,B在线段CD上时取等号，此时|MA||MB|的最小值为101 直线CD的方程为yx5，因点M在双曲线右支上，故x0

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2254245424xy4,y由方程组 解得x

33yx5所以M点的坐标为(5424542,)；

33x2y222、(2009山东高考)设椭圆E: 221（a,b>0）过M（2，2） ，N(6,1)

ab两点，O为坐标原点， （I）求椭圆E的方程；

（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线及椭圆E恒有两个交点A,B,且OAOB？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。

x2y2【解析】（1）因为椭圆E: 221（a,b>0）过M（2，2） ，N(6,1)两点,

ab42111a28x2y2a2b2a28所以解得所以2椭圆E的方程为1

611184b41a2b2b24（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线及椭圆E恒有两个交

ykxm点A,B,且OAOB,设该圆的切线方程为ykxm解方程组得x2y2148x22(kxm)28,

即(12k2)x24kmx2m280,

则△=16k2m24(12k2)(2m28)8(8k2m24)0,即8k2m240

4kmxx1212k22xx2m81212k2,

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k2(2m28)4k2m2m28k22y1y2(kx1m)(kx2m)kx1x2km(x1x2)mm12k212k212k222

2m28m28k2220要使OAOB,需使x1x2y1y20,即,所以3m8k80, 2212k12km22263m288220又8km40,所以2所以k,所以m2,即m或

3833m82m26,因为直线ykxm为圆心在原点的圆的一条切线, 326m2m28rr所以圆的半径为r,,, 2223m831k31k182m所求的圆为x2y2,此时圆的切线ykxm都满足m832626或m, 3326x2y2而当切线的斜率不存在时切线为x及椭圆1的两个交点为

384(26262626,)或(,)满足OAOB,综上, 存在圆心在原点的圆3333x2y28，使得该圆的任意一条切线及椭圆E恒有两个交点A,B,且OAOB. 34kmxx1212k2因为, 2xx2m81212k24km22m288(8k2m24))4所以(x1x2)(x1x2)4x1x2(, 2212k12k(12k2)222|AB|(x1x2)y1y2228(8k2m24)(1k)(x1x2)(1k)(12k2)2222

324k45k2132k24[14], 2234k4k134k4k1①当k0时|AB|321[1]

1324k24k11 / 36

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因为4k2111所以, 4801k2824k24k32321所以[1]12,

1334k224k所以24时取“=”. 6|AB|23,当且仅当k2346. 326262626,)或(,),所以此时3333②

当k0时,|AB|③

当AB的斜率不存在时, 两个交点为(|AB|46, 3综上, |AB |的取值范围为

446|AB|23即:|AB|[6,23]33

2008年考题

1、（2008全国Ⅱ）设△ABC是等腰三角形，ABC120，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为（ ）

A．122 B． 123 C． 1【解析】选B.由题意2cAB有2aBC2 D．13 3c，由双曲线的定义，

,所以|AC|22csin6002ACBC23c2ca(31)c，∴ec113a231.

2、（2008

2y2x1的离心率e的取值范围是全国Ⅱ）设a1，则双曲线2（ ）

a(a1)2A．(2，2) B．(22，5) C．(2，5) D．(2，5)

是减函数，所以当a1时

【解析】选

a2(a1)22cB.e()1(11)2，因为12aaaa011，所以2e25，即2e5 a3、（2008辽宁高考）已知双曲线9y2m2x21(m0)的一个顶点到它的一条渐近线

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的距离为1，则m（ ）

5A．1 B．2 C．3 D．4

,b1,取顶点(0,1),一条渐近线 【解析】选D.9y2m2x21(m0)a13m3mx3y0,|31|3m2925m4. 15m294、（2008辽宁高考）已知点P是抛物线y22x上的一个动点,则点P到点A(0,2)的距离及P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) A.172 B.3 C.5 D.9

2,0),【解析】选A.依题设P在抛物线准线的投影为P',抛物线的焦点为F,则F(12依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP'||PF|,则点P到点A(0,2)的距离及P到该抛物线准线的距离之和

d|PF||PA||AF|(1)2221722.

5、（2008江西高考）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1MF20的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）

] C．(0,A．(0,1) B．(0,122) D．[2,1) 22【解析】选C.由题知,垂足的轨迹为以焦距为直径的圆,则

cbc2b2a2c2e21

2). 又e(0,1),所以e(0,126、（2008

2y2ax湖南高考）.若双曲线221（a＞0,b＞0）上横坐标为32ab的点到右

焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( )

A.(1,2) B.(2,+) C.(1,5) D. (5,+)

【解析】选B.

e(2,),故选

2ex0ae3aaa3a,3e25e20,e2或e1(舍去),

2c23B.

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高中数学椭圆双曲线抛物线历年真题及详解

7、（2008湖北高考）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：

①a1c1a2c2;②a1c1a2c2;③c1a2a1c2;④c1a1c2 .其中正 确式子的序号是（ ）a2P  F m n l A.①③ B.②③ C.①④ D.②④ 【解析】选B.由焦点到顶点的距离可知②正确，由椭圆的离心率知③正确，故应选B．

8、（2008北京高考）若点P到直线x1的距离比它到点(2,0)的多1，则点P的轨迹为（ ）

A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

【解析】选D.把P到直线x1向右平移一个单位，两个距离就相等了，它就是抛物线的定义。

9、（2008北京高考）“双曲线的方程为

x952x2y1”是“双曲线的准线方程为916”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【解析】选A.a3,b4,c5双曲线的准线方程为x9，但当双曲线方程是52x2y1时，其准线方程也为x9.

5188210、（2008

2y2x福建高考）双曲线221（a＞0,b＞0）的两个焦点为ab14 / 36

F1、F2,若P高中数学椭圆双曲线抛物线历年真题及详解

为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为（ ）

A.(1,3) B.(1,3] C.(3,+) D.[3,)

【解析】选B.如图，设PF2m，F1PF2(0，当

F1 y 2 P P在

m2(2m)24m2cos2c右顶点处），e2a54cos mO F2 x ∵1cos1，∴e(1,3]

另外也可用三角形的两边和大于第三边,及两边差小于第三边,但要注意前者可以取到等号成立,因为可以三点一线.也可用焦半径公式确定a及c的关系。 11、（2008

2y2x海南、宁夏高考）双曲线1的焦距为（ ）

102A. 32 B. 42 C. 33 D. 43

3,2c43，选【解析】选D.由双曲线方程得a210,b22c212，于是c2D.

12、（2008海南、宁夏高考）已知点P在抛物线y24x上，那么点P到点Q(2，1)的距离及点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（ ）

，1) B．(1，1) C．(1，A．(12) D．(1，2)

442 y F 【解析】选A.点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，o x P Q 如图PFPQPSPQ,故最小值在S,P,Q三点共线时取得，

,1)） 此时P,Q的纵坐标都是1，所以选A。（点P坐标为(14S -2 5，焦点在x轴上且长轴长为26．若13、（2008山东高考）设椭圆C1的离心率为13曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（ ）

2y2xA．221

43

2y2xB．221

1352y2xC．221 34

2y2xD．221

1312【解析】选A.对于椭圆C1，a13,c5,曲线C2为双曲线，c5,a4，b3,标准方程

2y2x为：221. 4315 / 36

高中数学椭圆双曲线抛物线历年真题及详解

14、（2008

2y2x上海高考）设P是椭圆1上的点，若F1,F2是椭圆的两个焦点，

2516则|PF1||PF2|等于（ ）

A．4 B．5 C．8 D．10

【解析】选D.由椭圆的第一定义知|PF1||PF2|2a10.

15、（2008四川高考）已知抛物线C:y28x的焦点为F，准线及x轴的交点为K，点A在C上且|AK|2|AF|，则AFK的面积为( )

（A）4 （B）8 （C）16 （D）32

【解析】选B.∵抛物线C:y28x的焦点为F(2，0) 0)，准线为x2∴K(2，设A(x0,y0)，过A点向准线作垂线AB，则B(2,y0) ∵|AK|2|AF|，又AFABx0(2)x02

B K O y A F x ∴由BK2AK2AB2得y02(x02)2，即8x0(x02)2，解得A(2，4)

|KF||y0|1448故选B ∴AFK的面积为12216、（2008

2天津高考）设椭圆x22y1(m1)上一点

mm12P到其左焦点的距离为3，

到右焦点的距离为1，则P点到右准线的距离为（ ）

2(A) 6 (B) 2 (C) 1 (D) 277

【解析】选

2y2xB.由椭圆第一定义知a2，所以m4，椭圆方程为11e1

43d22所以d2，选B． 17、（2008

2y2x天津高考）设椭圆221(m0,n0)的右焦点及抛物线y28x的焦点

mn相同，离心率为1，则此椭圆的方程为（ ）

22y2xA．12161

2y2xB．16121

2y2xC．48641

2y2xD．64481

【解析】选B.本小题主要考查抛物线、椭圆的方程及几何性质．由已知，抛物线的焦点为(2,0)，椭圆焦点在x轴上，排除A、C，由e1排除D，故选B．

218、（2008

2y2x四川高考）已知双曲线C:1的左右焦点分别为F1,F2，P为C的

91616 / 36

高中数学椭圆双曲线抛物线历年真题及详解

右支上一点，且|PF2||F1F2|，则PF1F2的面积等于( ) （A）24 （B）36 （C）48 （D）96 【解析】选

2y2xC.方法 1：∵双曲线C:1中a3,b4,c5 ∴F1(5,0),F2(5,0) 916∵|PF2||F1F2| ∴|PF1|2a|PF2|61016 作PF1边上的高AF2，则AF18 ∴AF2102826

|PF1||PF2|116648 故选C ∴PF1F2的面积为122方法

2y2x2：∵双曲线C:1中a3,b4,c5 ∴F1(5,0),F2(5,0)

916设P(x0，y0),(x00)， 则由|PF2||F1F2|得(x05)2y02102

x02y02x022又∵P为C的右支上一点 ∴1 ∴y016(1)

9169x02∴(x05)16(1)100 即25x0290x08190

92y x F1 O F2 P x0390（舍去） 解得x021或55∴y016(x01)16[(21)211]48 95952|F1F2||y0|1104848,故选C. ∴PF1F2的面积为122519、（2008

2y2x浙江高考 ）若双曲线221的两个焦点到一条准线的距离之比为

ab3:2,则双曲线的离

心率是( )

（A）3 （B）5 （C）3 （D）5

【解析】选D.本小题主要考查双曲线的性质及离心率问题。依题不妨取双曲线

2a的右准线xc，

a2ca2c2cc则左焦点F1到右准线的距离为

222cacacc，左焦点F1到右准线的距离为

，

依题

c2a2222cca3c,即25，

ac2a2c2a22c17 / 36

高中数学椭圆双曲线抛物线历年真题及详解

c∴双曲线的离心率ea5.选

D

2x2y1（a＞0,b＞0）的一条渐近线为a2b220、（2008重庆高考 ）已知双曲线

ykx(k0),离心率e5k,则双曲线方程为（ ）

2222y2y2y2y2xxxxA．221 B．221 C．221 D．221

a4aa5a4bb5bb【解析】选

bkac5k，c5kC.ea，所以a24b2. aa2b2c22x216y1的左焦点在抛物线y22px的准线上，3p221、（2008重庆高考 ）若双曲线则p的值为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．42

【解析】选C.本小题主要考查双曲线和抛物线的几何性质。双曲线的左焦点坐

pp2p2p2标为：(316,0)，抛物线y2px的准线方程为x2，所以3162，解得：

p4，故选C。

2y2x浙江高考 ）已知F1、F2为椭圆1的两个焦点，过F1的直线交椭25922、（2008

圆于A、B两点，

若|F2A||F2B|12，则|AB|____________。

【解析】本小题主要考查椭圆的第一定义的应用。依题直线AB过椭圆的左焦点F1,

在F2AB中，

|F2A||F2B||AB|4a20，又|F2A||F2B|12，∴|AB|8.

答案：8

23、（2008天津高考）已知圆C的圆心及抛物线y24x的焦点关于直线yx对称.直线

4x3y20及圆C相交于

A,B两点，且

|AB|6,则圆C的方程

为 .

18 / 36

高中数学椭圆双曲线抛物线历年真题及详解

(032)2【解析】抛物线的焦点为(1,0)，所以圆心坐标为(0,1)，r310， 2522圆C的方程为x2(y1)210 答案：x2(y1)210

24、（2008山东高考）已知圆C:x2y26x4y80．以圆C及坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 ．

【解析】圆C:x2y26x4y80当y0x26x80,得圆C及坐标轴的交点分别为

(2，0),(4，0),则a2,c4,b12,所以双曲线的标准方程为

22x2y1 412答案：

2x2y1 41225、（2008

2y2x江苏高考）在平面直角坐标系xOy中，椭圆221(ab0)的焦距为

ab22c，以O为圆心，a为半径作圆M，若过P(ac，0)作圆M的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为

A 【解析】设切线PA、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA，所以2a△OAP 是等腰直角三角形，故c2a，解得ec2a2y ． O B P x 答案：2

226、（2008上海高考）若直线axy10经过抛物线

a y24x的焦点，则实数

．

【解析】直线axy10经过抛物线y24x的焦点F(1,0),则a10a1. 答案：1

27、（2008全国Ⅰ）已知抛物线yax21的焦点是坐标原点，则以抛物线及两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．

a1，y1x21【解析】由抛物线yax21的焦点坐标为(0,41a1)为坐标原点得，则44412 及坐标轴的交点为(0,1),(2,0),(2,0)，则以这三点围成的三角形的面积为1219 / 36

高中数学椭圆双曲线抛物线历年真题及详解

答案：2.

28、（2008全国Ⅰ）在△ABC中，ABBC，cosB过点C，则该椭圆的离心率e ．

【解析】（一）设AB2c，则BC2c，由余弦定理得：

AC＝4c24c2－24c2cosB10c，2a2c10c16c,a8c,ec3

3333a87则AC2AB2BC22ABBCcosB25 （二）设ABBC1，cosB189AC5，2a158,2c1,e2c3.

3332a83. 答案：87．若以A，B为焦点的椭圆经

1829、（2008重庆高考）如题（21）图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足： PMPN2.

（Ⅰ）求点P的轨迹方程;

PM12（Ⅱ）设d为点P到直线l： x的距离，若PM2PN,求的值.

d2【解析】（I）由双曲线的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长2a=2的双曲线.

因此半焦距c=2，实半轴a=1，从而虚半轴b=3, 所以双曲线的方程为x (II)方法一：

由（I）及图，易知|PN|1,因|PM|=2|PN|2, ①

知|PM|>|PN|,故P为双曲线右支上的点，所以|PM|=|PN|+2.

20 / 36

2

y2=1. 3高中数学椭圆双曲线抛物线历年真题及详解

②

将②代入①，得2||PN|2-|PN|-2=0，解得|PN|=|PN|=

117. 4117117,舍去,所以 44因为双曲线的离心率e==2,直线l:x=是双曲线的右准线，故c1|PN|

=e=2, a2所以d=12|PN|,因此

|PM|2|PM|4|PN|2d|PN||PN|4|PN|117 方法二：

设P（x,y），因|PN|1知 |PM|=2|PN|22|PN|>|PN|,

故P在双曲线右支上，所以x1. 由双曲线方程有y2=3x2-3. 因此

|PN|(x2)2y2(x2)23x234x24x1.

从而由|PM|=2|PN|2得

2x+1=2(4x2-4x+1)，即8x2-10x+1=0. 所以x=

51758(舍去x=178). 有|PM|=2x+1=9174

d=x-1=11728. 故

|PM|d91748117117. 21 / 36

d

高中数学椭圆双曲线抛物线历年真题及详解

x2y230、(2008湖北高考) 已知双曲线C:221(a0,b0)的两个焦点为

abF:(2,0),F:(2,0),点P(3,7)的曲线C上.

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）记O为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l及双曲线C相交于不同的两点

E、F，

若△OEF的面积为22,求直线l的方程

x2y21（0＜【解析】(Ⅰ)方法1：依题意，由a+b=4，得双曲线方程为2a4a22

2

a2＜4），将点（3，

或a2＝2，

7）代入上式，得

972.解得a=18（舍去）122a4ax2y2故所求双曲线方程为1.

22方法2：依题意得，双曲线的半焦距c=2.

2a=|PF1|－|PF2|=(32)2(7)2(32)2(7)222, ∴a2=2，b2=c2－a2=2.

x2y2∴双曲线C的方程为1.

22(Ⅱ)方法1：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方

程并整理，

得

①

∵直线I及双曲线C相交于不同的两点E、F,

2k1,1k0,∴ 223＜k＜3,(4k)46(1k)＞0，(1－k2)x2－4kx－6=0.

22 / 36

高中数学椭圆双曲线抛物线历年真题及详解

∴k∈(

②

设E(x1,y1),F(x2,y2)，则由①式得x1+x2=

4k6,xx,于是 121k21k2

－

3,1)∪(1,

3

).

|EF|=(x1x2)2(y1y2)2(1k2)(x1x2)2=1k2•223k2(x1x2)4x1x21k•|1k2|22

而原点O到直线l的距离d＝

112∴SΔOEF=d•|EF|•221k221k22,

•223k2223k21k•. 22|1k||1k|若SΔOEF＝22，

即

223k222k4k220,2|1k|解得

k=±2,

满足②.故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=2x2和y2x2.

方法2：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整理，

得(1－k2)x2－4kx－6＝0. ① ∵直线l及比曲线C相交于不同的两点E、F，

2k1,1k0,∴

22(4k)46(1k)＞0，3＜k＜3.∴k∈(－3,1)∪(1,3). ② 设E(x1,y1),F(x2,y2)，则由①式得

223k2|x1－x2|＝(x1x2)24x1x2. ③ 22|1k||1k|23 / 36

高中数学椭圆双曲线抛物线历年真题及详解

当E、F在同一支上时（如图1所示），

1212SΔOEF＝|SΔOQF－SΔOQE|=|OQ|•||x1||x2|||OQ|•|x1x2|；

当E、F在不同支上时（如图2所示），

SΔOEF＝SΔOQF＋SΔOQE＝|OQ|•(|x1||x2|)|OQ|•|x1x2|.

综上得SΔOEF＝|OQ|•|x1x2|，于是 由|OQ|＝2及③式，得若SΔOEF＝2

223k2SΔOEF＝

|1k2|121212.

223k22，即22k4k220,解得2|1k|k=±2,满足②.

故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=2x2和y=22.

x2y231、（2008四川高考）设椭圆221,ab0的左右焦点分别为F1,F2，离心

ab率e2，右准线为l，M,N是l上的两个动点，FMF2N0 12（Ⅰ）若F1MF2N25，求a,b的值；

（Ⅱ）证明：当MN取最小值时，FMF2N及F1F2共线。 1【解析】由a2b2c2及eac2，得a22b2 222x2a F1002a，，F22a，，l的方程为

设M2a，y1，N2a，y2

322则F1MF2N2a，y1，2a，y2

由FMF2N0得 13y1y2a2＜0 ①

2（Ⅰ）由F1MF2N25，得

24 / 36

高中数学椭圆双曲线抛物线历年真题及详解

322ay25 ② 1222ay25 ③ 2222由①、②、③三式，消去y1,y2，并求得a24 故a2,b22 2（Ⅱ）MN2y1y22y12y222y1y22y1y22y1y24y1y26a2 当且仅当y1y2666a或y2y1a时，MN取最小值a 222322此时，F1MF2N2a，y12a，y222a,y1y222a,02F1F2

故FMF2N及F1F2共线。 1

2007年考题

1．（2007全国Ⅰ）已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0)，(4,0)，则双曲线方程为（ ）

x2y2x2y2x2y2x2y2A．1 B．1 C．1 D．1

412124106610b212，(4,0)，【解析】选A．已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0)，则c=4，a=2，x2y2双曲线方程为1，选A。

412x2y22、（2007辽宁高考）双曲线1的焦点坐标为（ ）

1690)，(7，0) B．(0，7)，(0，7) A．(7，0)，(5，0) D．(0，5)，(0，5) C．(5，0)，(5，0)，选C. 【解析】选C．因为a=4，b=3，所以c=5，所以焦点坐标为(5，25 / 36

高中数学椭圆双曲线抛物线历年真题及详解

x2y23、（2007四川高考）如果双曲线1上一点P到双曲线右焦点的距离是2，

42那么点P到y轴的距离是（ ）

（A）

4626 （B） （C）26 （D）23 33【解析】选A．由点P到双曲线右焦点(6,0)的距离是2知P在双曲线右支上．又由双曲线的第二定义知点P到双曲线右准线的距离是是x2646，故点P到y轴的距离是． 3326，双曲线的右准线方程34、（2007陕西高考）抛物线x2y的准线方程是（ ）

（A）4y+1=0 (B)4x+1=0 (C)2y+1=0 (D)2x+1=0 【解析】选A.P=，准线方程为y=12P1，即4y10，选A. 24x2y25、（2007天津高考）设双曲线221(a0，b0)的离心率为3，且它的一条ab准线及抛物线y24x的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）

x2y2Ａ．1

1224x22y21 Ｃ．33

x2y2 Ｂ．1

4896x2y2 Ｄ．1

362a2【解析】选D．∵抛物线y4x的准线为x1,故有1------①

cx2y2c又∵双曲线221(a0，b0)的离心率为3,故有:3-------②,

aba①②得到a3,进而求出c3,b26,

x2y2∴双曲线的方程为1.

3626 / 36

高中数学椭圆双曲线抛物线历年真题及详解

x2y26、（2007全国Ⅱ）设F1，F2分别是双曲线221的左、右焦点。若双曲线上

ab存在点A，使∠F1AF2=90º，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（ ） (A)

5 2 (B)

10 2 (C)

15 2 (D) 5 x2y2【解析】选B．设F1，F2分别是双曲线221的左、右焦点。若双曲线上存在

ab点A，使∠F1AF2=90º，且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中

2a|AF1||AF2|2，2c|AF1|2|AF2|210，∴ 离心率e10，选B。 27、（2007全国Ⅱ）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）

A． B．

133 3 C． D．

1232

【解析】选D．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴ a2b，椭圆的离心率

ec3，选D。 a22y28、（2007全国Ⅱ）设F1，F2分别是双曲线x1的左、右焦点．若点P在双曲

9线上，且PF1PF20，则PF1PF2（ ）

A．10 B．210 C．5 D．25 y2【解析】选B．设F1，F2分别是双曲线x1的左、右焦点．若点P在双曲线

92上，且PF1PF20，则PF1PF22|PO|=|F1F2|210，选B。 9、（2007安徽高考）椭圆x24y21的离心率为（ ）

（A）

3 2 （B） （C）

27 / 36

342 2（D）

2 3高中数学椭圆双曲线抛物线历年真题及详解

【解析】选A．椭圆x24y21中，a1,b，∴c1233，离心率为，选A。 22x2r210、（2007安徽高考）如图，F1和F2分别是双曲线221(a0,b0)ab的两个焦点，

A和B是以O为圆心，以OF1为半径的圆及该双曲线左支的两个交

点，且△F2AB是等

边三角形，则双曲线的离心率为（ ） （A）3 （B）5 （C）

5 2（D）13

x2r2【解析】选D．如图，F1和F2分别是双曲线221(a0,b0)的两个焦点，

ab以OF1为半径的圆及该双曲线左支的两个交点，且△F2AB A和B是以O为圆心，

是等边三角形，连接AF1，∠AF2F1=30°，|AF1|=c，|AF2|=3c，∴ 2a(31)c， 双曲线的离心率为13，选D.

x2y211、（2007北京高考）椭圆221(ab0)的焦点为F1，F2，两条准线及x轴

ab的交点分别为M，N，若MN≤F1F2，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）

10，Ａ． 2

2Ｂ．0，2



1，1 Ｃ． 2

21Ｄ．， 2x2y2【解析】选D．椭圆221(ab0)的焦点为F1，F2，两条准线及x轴的交点

aba2a2分别为M，N，若|MN|2，|F1F2|2c，MN≤F1F2，则2c，该椭圆离心

cc率e≥

221，取值范围是，，选D。 22

12、（2007江苏高考）在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴

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高中数学椭圆双曲线抛物线历年真题及详解

上，一条渐近线方程为x2y0，则它的离心率为（ ）

A．5 B．ab125 C．3 D．2 2【解析】选A．由得b2a ca2b25a ，ec5 选A. ax2y213、（2007福建高考）以双曲线1的右焦点为圆心，且及其渐近线相切

916的圆的方程是（ ）

A C

B D

【解析】选A．右焦点即圆心为（5，0），一渐近线方程为yx，即4x3y0，

r|200|4，圆方程为(x5)2y216，即A 543，选A.

x2y214、（2007湖南高考）设F1，F2分别是椭圆221（ab0）的左、右焦点，

ab若在其右准线上存在P, 使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（ ）

A．0， B．0， C．22332

，1 2

D．3，1 3a2b2y【解析】选D．由已知P(,y)，所以F1P的中点Q的坐标为(,)，由

c2c2 kFP1cycyb4222,kQF22,kFPkQF21,y2b2. bb2c21c2b2a2c222yb（2-2）=(a-c)(2-)cc2

2a=(a2-c2)(3-2)c2 y2(a2c2)(3113)0(3)0,1e. e2e2329 / 36

高中数学椭圆双曲线抛物线历年真题及详解

当kFP1a230时，kQF2不存在，此时F2为中点，c2ce.

c33e1. 3综上得

x2y215、（2007湖南高考）设F1、F2分别是椭圆221ab0的左、右焦点，P

ab是其右准线上纵坐标为3c（c为焦半距）的点，且F1F2F2P，则椭圆的离心率是（ ）

A．

315121 B. C. D. 2222

a2a2【解析】选D．由已知P（,3c），所以2c(c)2(3c)2化简得

cca22c20ec2. a2x2y2116、（2007江西高考）设椭圆221(ab0)的离心率为e，右焦点为F(c，0)，

ab2方程ax2bxc0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)（ ） Ａ．必在圆x2y22内 Ｂ．必在圆x2y22上 Ｃ．必在圆x2y22外 Ｄ．以上三种情形都有可能 【解析】选A．由e=得a=2c，b=3c，所以x1x2所

以

点

P(x1，x2)12cab3c1,x1x2， a2a2到圆

314心（0，0）的距离为

2x12x2(x1x2)22x1x272， 4所以点P在圆内，选A.

0)所得的线段及抛物17、（2007江西高考）连接抛物线x24y的焦点F及点M(1，线交于点A，

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高中数学椭圆双曲线抛物线历年真题及详解

设点O为坐标原点，则三角形OAM的面积为（ ）

Ａ．12 Ｂ．2 Ｃ．12 Ｄ．2 【解析】选B．线段FM所在直线方程xy1及抛物线交于点A(x0,y0),则：

xy113S1(322)2，故选B. y322.2OAM022x4yx2y218、（2007湖北高考）双曲线C1:221(a0，b0)的左准线为l，aby D O L M x 3232左焦点和

右焦点分别为F1和F2；抛物线C2的准线为l，焦点为F2；C1及C2F1F2MF1的一个交点为M，则等于（ ） MF1MF2F1 F2 A．1 B．1 C． D．

1212

【解析】选A．由题设可知点M同时满足双曲线和抛物线的定义， 且在双曲线右支上,故 由定义可得

MF1MF22a MF2MDMF1cMDa2ac2a2 MF1,MF2caca2ac2cacac1故原式2acc 2a2aacaca，选A

x2y219、（2007浙江高考）已知双曲线221(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，

abF2，P是准线上一点，且PF1PF2，PF1PF24ab，则双曲线的离心率是（ ）

Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．3

【解析】选B．设准线及x轴交于A点. 在RtPFF中, PFPFFFPA,

1212124ab2ab4a2b2a2a22PA 又PAF1AF2A 2(c)(c),

2ccccc31 / 36

高中数学椭圆双曲线抛物线历年真题及详解

化简得c3a ,e3 故选答案B.

2220、（2007海南、宁夏高考）已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，点

P，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2x1x3， 则有（ ） 1(x1Ａ．FPＢ．FPFP1FP231FP2FP3

2222

Ｃ．2FP2FP Ｄ．FP2FP·FP131FP3

p2【解析】选C．由抛物线定义知， 2(x2)(x1)(x3),2FP2FP1FP3.

y221、（2007辽宁高考）设P为双曲线x1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个

122p2p2焦点，若|PF1|:|PF2|3:2，则△PF1F2的面积为（ ） A．63 B．12 C．123 D．24

【解析】选B．因为|PF1|:|PF2|3:2，设|PF1|3x,|PF2|2x，根据双曲线定义得

|PF1||PF2|3x2xx2a2，所以|PF1|6,|PF2|4,|F1F2|213，

1(213)2526242，△PF1F2为直角三角形，其面积为6412，故选B.

222、（2007广东高考）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点

在原点O，且过点P(2,4)， 则该抛物线的方程是 ．

【解析】设所求抛物线方程为y2ax,依题意422aa8,故所求为y28x. 答案：y28x

23、（2007山东高考）设O是坐标原点，F是抛物线y22px(p0)的焦点，A是抛物线上的一点，FA及x轴正向的夹角为60，则OA为________.

【解析】过A 作ADx轴于D，令FDm，则FA2m，pm2m，mp。

OA(p21p)2(3p)2p. 2232 / 36

高中数学椭圆双曲线抛物线历年真题及详解

答案：

21p 224、（2007江苏高考）在平面直角坐标系xOy中，已知ABC顶点A(4,0)和C(4,0)，

x2y2sinAsinC顶点B在椭圆1上，则 .

259sinB【解析】利用椭圆定义和正弦定理 得 ac2510 b=2×4=8

sinAsinCac105

sinBb845答案：

4x2y225、（2007上海高考）已知双曲线1，则以双曲线中心为焦点，以双曲

45线左焦点为顶点的抛物线方程为_____

x2y2【解析】双曲线1的中心为O（0,0），该双曲线的左焦点为F（－3,0），

45则抛物线的顶点为

（－3,0），焦点为（0,0），所以p=6，所以抛物线方程是y212(x3) 答案：y212(x3)

x2y226、（2007上海高考）以双曲线1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦

45点为焦点的抛物线方程是 ．

x2y2【解析】双曲线1的中心为O（0,0），该双曲线的右焦点为F（3,0），

45则抛物线的顶点为（0,0），焦点为（3,0），所以p=6，所以抛物线方程是y212x。 答案：y212x

27、（2007福建高考）已知正方形ABCD，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为__________；

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高中数学椭圆双曲线抛物线历年真题及详解

b2c121 【解析】设c=1，则2a2c22aa12eaa21答案：21

28、（2007福建高考）已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为 。

b2c21【解析】由已知C=2，3b23aa243aa4,e

aa42答案：

1 2x2y229、（2007辽宁高考）设椭圆1上一点P到左准线的距离为10，F是该

2516椭圆的左焦点，若点M满足OM(OPOF)，则|OM|= ．

582x2y225)，由【解析】椭圆1左准线为x，左焦点为（-3，0），P（,332516312已知M为PF中点，∴点M的坐标为M（,答案：2

2342)，所以|OM|32422()2()2

3330、（2007安徽高考)如图，曲线G的方程为y2=2x（y≥0）.以原点为圆心，以

t（t >0）为半径的圆分别及

曲线G和y轴的正半轴相交于点A及点B.直线AB及x轴相交于点C.

（Ⅰ）求点A的横坐标a及点C的横坐标c的关系式； （Ⅱ）设曲线G上点D的横坐标为a＋2，求证： 直线CD的斜率为定值.

【解析】（Ⅰ）由题意知A(a，2a)．

22y G:y22x

2因为OAt，所以a2at．由于t0，故有ta2a．（1） B xy由点B(0，t)，C(c，0)的坐标知，直线BC的方程为1． ct34 / 36

A D O a a2 Ｃ x 高中数学椭圆双曲线抛物线历年真题及详解

又因点A在直线BC上，故有将（1）代入上式，得acac2a1， t2a1，解得ca22(a2)．

a(a2)（Ⅱ）因为D(a2，2(a2))，所以直线CD的斜率为

kCD2(a2)2(a2)2(a2)1．

a2ca2(a22(a2))2(a2)所以直线CD的斜率为定值．

31、（2007广东高考）在平面直角坐标系xoy中，已知圆心在第二象限、半径为22x2y2的圆C及直线yx相切于坐标原点O．椭圆21及圆C的一个交点到椭圆两

a9焦点的距离之和为10． (1)求圆C的方程；

(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长．若存在，

请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】 (1)设圆心坐标为(m，n)（m<0，n>0）,则该圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=8已知该圆及直线y=x相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则

mn2=22 即mn=4 ①

又圆及直线相切于原点，将点(0，0)代入圆的方程得m2+n2=8 ② 联立方程①和②解得

m2 n2故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8 2xy9225 (2)a=5，∴a2=25，则椭圆的方程为 + =1

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高中数学椭圆双曲线抛物线历年真题及详解

其焦半距c=259=4，右焦点为(4，0)，那么OF=4。

要探求是否存在异于原点的点Q，使得该点到右焦点F的距离等于OF的长度4，我们可以转化为探求以右焦点F为圆心，半径为4的圆(x─4)2+y2=16及(1)所求的圆的交点数。

124

通过联立两圆的方程解得x=，y=

即存在异于原点的点Q(45，55125)，使得该点到右焦点F的距离等于OF的长。

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