一、选择题1．复数
3＋2i
2－3i＝( )
A．iB．－iC．12－13iD．12＋13i[答案]A
[解析]
3＋2i2－3i＝(3＋2i)(2＋3i)(2－3i)(2＋3i)＝6＋9i＋4i－6
13
＝i. 2．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(
) A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i [答案]C
[解析]由题意知A(6,5)，B(－2,3)，AB中点C(x，y)，则x＝6－22＝2，y＝5＋3
2
＝4，
∴点C对应的复数为2＋4i，故选C.
3．若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i表示的点在虚轴上，则实数m的值是(
)
A．－1 B．4 C．－1和4 D．－1和6 [答案]C
[解析]由m2
－3m－4＝0得m＝4或－1，故选C.
[点评]
复数z＝a＋bi(a、b∈R)对应点在虚轴上和z为纯虚数应加以区别．虚轴上包括
原点(参见教材104页的定义)，切勿错误的以为虚轴不包括原点．
4．(文)已知复数z＝11＋i
，则－z·i在复平面内对应的点位于
(
)
A．第一象限B．第二象限C．第三象限
D．第四象限[答案]B
[解析]z＝1－i－1i－1＋1112，z＝2＋2，z·i＝－22i.实数－2，虚部2，对应点第二象限，
故选B.
(理)复数z在复平面上对应的点在单位圆上，则复数z2＋1
z(
)
A．是纯虚数
B．是虚数但不是纯虚数C．是实数D．只能是零[答案]C
[解析]
解法1：∵z的对应点P在单位圆上，
∴可设P(cosθ，sinθ)，∴z＝cosθ＋isinθ.
则z2＋1cos2θ＋isin2θ＋1z＝cosθ＋isinθ＝
2cos2θ＋2isinθcosθcosθ＋isinθ＝2cosθ为实数．
解法2：设z＝a＋bi(a、b∈R)，∵z的对应点在单位圆上，
∴a2＋b2＝1，
∴(a－bi)(a＋bi)＝a2＋b2＝1，
∴z2＋1z＝z＋1z＝(a＋bi)＋(a－bi)＝2a∈R.
5．(2010·广州市)复数(3i－1)i的共轭复数．．．．是( )
A．－3＋iB．－3－iC．3＋iD．3－i[答案]A
[解析]
(3i－1)i＝－3－i，其共轭复数为－3＋i.
6．已知x，y∈R，i是虚数单位，且(x－1)i－y＝2＋i，则(1＋i)
x－y
的值为( A．－4 B．4 C．－1 D．1
－1，122在)
[答案]A
[解析]由(x－1)i－y＝2＋i得，x＝2，y＝－2，所以(1＋i)
x－y
＝(1＋i)4＝(2i)2＝－4，
故选A.
7．(文)复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z＝z1·z2在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案]D
[解析]
∵z＝z1z2＝(3＋i)(1－i)＝4－2i，∴选D.
(理)现定义：eiθ
＝cosθ
＋isinθ，其中i是虚数单位，
e为自然对数的底，θ∈R，
且实数指数幂的运算性质对
eiθ都适用，
若a＝C50cos5θ－C52cos3θsin2θ＋C54cosθsin4θ，
b＝C51cos4θsinθ－C53cos2θsin3θ＋C55sin5θ，那么复数a＋bi等于(
)
A．cos5θ＋isin5θB．cos5θ－isin5θC．sin5θ＋icos5θD．sin5θ－icos5θ[答案]A
[解析]
a＋bi＝C50cos5θ＋iC51cos4
θ
sinθ＋i2C52cos3θsin2θ＋i3C53cos2θsin3θ＋i4C54cosθsin4θ＋i5C55sin5θ＝(cosθ＋isinθ)5＝(eiθ
)5＝ei(5θ
)＝cos5θ＋isin5θ，选A.
8．(文)已知复数a＝3＋2i，b＝4＋xi(其中i为虚数单位)，
若复数
a
b
∈R，
则实数x的值为(
)
A．－6 B．6 C.8
3D．－
8
3[答案]C
[解析]
a3＋2i(3＋2i)(4－b＝4＋xi＝xi)16＋x2
＝12＋2x8－3x16＋x2
＋
16＋x2i∈R，∴8－3x16＋x2＝0，∴x＝8
3
.
(理)设z＝1－i(i是虚数单位)，则z2
＋2
z
＝(
)
A．－1－iB．－1＋iC．1－iD．1＋i[答案]C
[解析]
∵z＝1－i，∴z2
＝－2i，2z＝2
1－i
＝1＋i，
∴z2
＋2
z
＝1－i，选C.
9．在复平面内，复数
2
1－i
对应的点到直线y＝x＋1的距离是( )
A.22B.2C．2 D．22[答案]A
[解析]
∵21－i＝2(1＋i)1(1－i)(1＋i)＝1＋i对应点为(1,1)，它到直线x－y＋1＝0距离d＝2
＝2
2，故选A.
10．(文)设复数z满足关系式z＋|－
z|＝2＋i，则z等于( )
A．－3
4＋iB.34－iC.34＋iD．－3
4－i
[答案]C
[解析]
由z＝2－|－
z|＋i知z的虚部为
1，设z＝a＋i(a∈R)，则由条件知
a＝2－
a2＋1，∴a＝3
4
，故选C.
(理)若复数z＝a＋i
1－2i(a∈R，i是虚数单位)是纯虚数，则|a＋2i|等于(
)
A．2 B．22C．4 D．8 [答案]
B
a－2
5＝0[解析]
z＝a＋i1－2i＝(a＋i)(1＋2i)a－22a＋15＝5＋5
i是纯虚数，
∴
2a＋1
，
5
≠０∴a＝2，
∴|a＋2i|＝|2＋2i|＝22. 二、填空题
a b
z i
11．规定运算c d
＝ad－bc，
若
－i
2
＝1－2i，
设i为虚数单位，
则复数z＝________.
[答案]1－i
z i
[解析]
由已知可得
－i
2
＝2z＋i2
＝2z－1＝1－2i，∴z＝1－i.
12．若复数z1＝a－i，z2＝1＋i(i为虚数单位)，
且z1·z2为纯虚数，
则实数a的值为________．
[答案]－1
[解析]
因为z1·z2＝(a－i)(1＋i)＝a＋1＋(a－1)i为纯虚数，所以a＝－1.
13．(文)若a是复数z1＋i
1＝
2－i的实部，b是复数z2＝(1－i)3的虚部，则ab等于________．[答案]
－25[解析]
∵zi(1＋i)(2＋i)1
3
1＝
1＋2－i
＝
(2－i)(2＋i)
＝5＋5i，∴a＝1
5
.
又z2＝(1－i)3＝1－3i＋3i2－i3＝－2－2i，∴b＝－2. 于是，ab＝－2
5
.
(理)如果复数
2－bi1＋2i
(i是虚数单位)的实数与虚部互为相反数，
那么实数b等于________．
[答案]
－23[解析]
2－bi
2－bi1－1＋2i＝1＋2i·2i1－2i＝2－2b5－b＋45
i，由复数的实数与虚数互为相反数得，
2－2b5＝b＋4
5
，解得b＝－2
3
.
14．(文)若复数z＝sinα－i(1－cosα)是纯虚数，则α＝________. [答案](2k＋1)π(k∈Z)
sinα＝0
α＝kπ[解析]
依题意，
1－cosα≠０
，即
α≠2kπ
，所以α＝(2k＋1)π(k∈Z)．
[点评]新课标教材把《复数》这一章进行了精简，不再要求复数的三角形式以及复
杂的几何形式和性质；对于复数的模的要求很低，了解概念就行．主要考查复数的代数形式以及复数的四则运算，
这是我们复习的重点，
不要超过范围．
(理)设i为虚数单位，复数z＝(12＋5i)(cosθ＋isinθ)，
若z∈R，
则tanθ的值为________．
[答案]－5
12
[解析]
z＝(12cosθ－5sinθ)＋(12sinθ＋5cosθ)i∈R，
∴12sinθ＋5cosθ＝0，∴tanθ＝－512.
三、解答题
15．已知复数z＝
a2－7a＋6
a＋1＋(a2－5a－6)i(a∈R)．试求实数a分别为什么值时，
z分别为：
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
a2－5a－6＝0
[解析]
(1)当z为实数时，
a＋1≠０
，
∴a＝6，∴当a＝6时，z为实数．
a2－5a－6≠０
(2)当z为虚数时，
a＋1≠０
，
∴a≠－1且a≠6，
故当a∈R，a≠－1且a≠6时，z为虚数．
a2－5a－6≠０
(3)当z为纯虚数时，
a2－7a＋6＝0a＋1≠０
∴a＝1，故a＝1时，z为纯虚数．
17．将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为
1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次，
记第一次出现的点数为
a，第二次出现的点数为
b.
(1)设复数z＝a＋bi(i为虚数单位)，求事件“z－3i为实数”的概率；
a－b＋2≥０
(2)求点P(a，b)落在不等式组
0≤a≤４表示的平面区域内
(含边界)的概率．
b≥０
[解析](1)z＝a＋bi(i为虚数单位)，z－3i为实数，
则a＋bi－3i＝a＋(b－3)i为实数，则b＝3.
依题意得b的可能取值为1,2,3,4,5,6，故b＝3的概率为1
6
.即事件“z－3i为实数”的概
率为16
.
(2)连续抛掷两次骰子所得结果如下表：
1
23456 1(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6) 2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6) 3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6) 4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6) 5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6) 6
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
由上表知，
连续抛掷两次骰子共有36种不同的结果．
不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)．
由图知，
点P(a，b)落在四边形ABCD内的结果有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、
(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(4,6)，共18种．
181
所以点P(a，b)落在四边形ABCD内(含边界)的概率为P＝＝.
362
16．求满足z＋1z－1＝1且z＋2
z
∈R的复数z. [解析]
设z＝a＋bi(a、b∈R)，
由z＋1
z－1＝1?|z＋1|＝|z－1|，
由|(a＋1)＋bi|＝|(a－1)＋bi|，
∴(a＋1)2＋b2＝(a－1)2＋b2，得a＝0，∴z＝bi，又由bi＋2
bi∈R得，
b－2
b＝0?b＝±2，∴z＝±2i.
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