2007-12线性代数(A卷考题及答案)_

卷)

试卷编号 （ 2007 至 2009 学年 第一学期 ）

课程名称： 线性代数 考试时间： 110 分钟 课程代码： 7100500 试卷总分： 100 分 考试形式： 闭卷 学生自带普通计算器: 不允许

题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 总分 得分 评卷 教师 一、填空题（每小题3分，共15分）

得分 1、 设A是三阶方阵，且det(A)=-1,则det(-2A)=_______.

1002、设A=021，则A-1

=_______ 0013、等价的线性无关向量组所含向量的个数_______

11214、设实对称矩阵A1203是二次型f(x1,x2,x3)的矩阵，则二次型f(x1,x2,x3)的一般表132示式为_______.

5、设A为实对称矩阵，T11,1,3与23,2,aT分别是属于A的相异特征值1与2的特征

向量，则a =_______.

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

得分 1．下列等式中正确的是（ ）

A．AB2A2ABBAB2

B．ABTATBT

C．AB　ABA2B2

D．A23AA3A

2．设1,2是非齐次线性方程组AXb的两个解，则下列向量中仍为方程组解的是（ ）

A．222

B．12 C．

12 D．

3125 3．设10是可逆矩阵A的一个特征值，则2A必有一个特征值是（ ）

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A．

120 B．

1 C．20 20D．

2 022224．二次型f(x1,x2,x3,x4)x1x25x34x42x1x2的秩为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

5．设1，2是矩阵A的属于特征值的特征向量，则以下结论正确的是（ ） A．1+2是对应的特征向量 C．1，2一定线性相关 得分 B．21是对应的特征向量 D．1，2一定线性无关

三、（8分）(本大题共两小题各4分) 计算行列式：

21(1)D001210012100 (2)D1210022100021000. 21

得分 四、（6分）

101，求1A210 (EA)325

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得分 五、(12分)（本大题共两小题各6分）

12a1（1）设矩阵A2310的秩为2，求a,b

41ab

20020（2）已知矩阵001与矩阵0y01x0000相似，求 x,y. 1

得分 六、（10分）。

给定齐次线性方程组

x1x2x3x40, x1x2x3x40,

xxxx0.3412 （1）当满足什么条件时，方程组的基础解系中只含有一个解向量？

（2）当=1时，求方程组的通解；并给出方程组所有解所组成的解空间的维数.

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得分 七、（8分）判定二次型fx1,x2,x32x126x224x322x1x22x1x3的正定性.

得分

22八、（12分）求一个正交变换xpy使二次型fx1,x2,x33x123x22x34x1x2化为标准型.

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得分 九、（8分）

1，3，1,2=-1，1，-1，3,3=5,-2,31,,7的一8,-9,4=-1, 求向量组1=1，个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表出.

TTTT

得分 a2b1十、（6分）设矩阵A有特征值1，相应的特征向量为,求a,b.

3b2a1

课程名称： 线性代数 考试时间：110分钟 课程代码： 7100500 试卷总分： 100 分

线 一、填空题参及参考评分标准：

参考评分标准：填写正确得3分，不填或填错得0分（本大题共5小题，每小题3分，总计15分）

参：

01021、8 2、012-12 3、相等 4、x122x3+x1x22x1x36x2x3 5、3/5

001第 5 页 共 9 页

二、选择题参及参考评分标准：

参考评分标准：填写正确得3分，不填或填错得0分（本大题共5小题，每小题3分，总计15分）

参：

1、A 2、D 3、D 4、C 5、B 三、参考答题要点及参考评分标准（8分）：

21(1) D00121001210210032r212r110120000r434r312012100 122100321r323r20043001210003210………………………3分

00431000=5………………………4分

1D0(2) 0221000210012020011412按照第一列展开11012211210010100………2分 2=1+2815=1-2*8=-15…………………4分

*注：其它解法给分参照执行。

四、参考答题要点及参考评分标准（6分）：

001EA200……………………………………2分

3260EAE23100032600011110000110000101000120260010132601201000120010260321

0000001101000120100012020632101033412001100001100……………5分

00第 6 页 共 9 页

0012所以(EA)1=33412……………6分

100*注：其它解法给分参照执行。

五、参考答题要点及参考评分标准：（12分）

a112a1122(1)A23100712a41ab073ab4a1120712a2…4分 00a1b2 所以a1,b2时秩为2 ………………………………………………6分 (2) 由特征值的性质得：

20+x2y1xy10(1)………………………………2分

2y(1)A=2 (2) …………………………………4分

由(1)、(2)求得：x0,y1…………………………………………6分 *注：其它解法给分参照执行。

六、参考答题要点及参考评分标准：（10分）

111111111111110102………………………………2分 0012(1) 当1时方程组的基础解系中只含有一个解向量………………………………3分

(2) 当=1时求解如下

111111111111

11100001 0000-1-110对应齐次方程组的基础解系为1=，2=.

0100所以其通解为c11c22.c1、c2R………………………………8分 此解空间的维数为2. ………………………………10分

*注：其它解法给分参照执行。

七、参考答题要点及参考评分标准：（8分）

f的矩阵为

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2A1116010………………………………1分 4由于 a1120 …………………………………………………3分

a11a21a122a2211110…………………………………5分 62A1116010380 ……………………………7分 4即奇数阶顺序主子式为负，偶数界顺序主子式为正，故二次型f为负定………8分 *注：其它解法给分参照执行。

八、参考答题要点及参考评分标准：（12分） f的矩阵为

3A203AE2023023000………………………………1分 20022(5)(1)0

12,21,35 ……………………4分

对于12 对应的特征向量0,0,1，单位化为p10,0,1………6分 对于21 对应的特征向量1,1,0，单位化为p2对于35 对应的特征向量1,1,0，单位化为p3TTTT1T1,1,0……………8分 21T1,1,0,………10分 2故要求的正交变换为xpy，其中：pp1,p2,p3……………………11分

22标准型为 f2y12y2………………12分 5y3*注：其它解法给分参照执行。

九、参考答题要点及参考评分标准：（8分） 向量组对应的矩阵为

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11A3110001113110052895720013171200100010000100122432720057714120014481000120057001400…………2分

其一个最大无关组为1,2.…………………………………………4分

3722*注：其它解法给分参照执行。

十、参考答题要点及参考评分标准：（6分）

312;4122…………………………………………8分

a12b1因为AEX0 ……………………3分

3b2a11所以a12b0a1,b1.……………………6分

2a3b10*注：其它解法给分参照执行。

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