广义Morrey空间中奇异积分算子和极大算子的加权不等式

维普资讯 http://www.cqvip.com 第１４卷第３期　２ＯＯ２年９月　常德师范学院学报【自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　０ｆａ脚删ｅＴｅａｃｈｅｒｓＵｎｉｖｅｒ￣ｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　ＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）　Ｖ０１．１４　Ｎｏ．３　ＳｅＤ．２００２　Ａｒｔｉｃｌｅ　ＩＤ：１００９—．３８１８（２００２）０３—．００１７—．０４　Ｗｅｉｇｈｔｅｄ　Ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ　ｆｏｒ　Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　Ｍａｘｉｍａｌ　ａｎｄ　Ｓｉｎｇｕｌａｒ　Ｉｎｔｅｇｒａｌ　Ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　ｉｎ　Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　Ｍｏｒｒｅｙ　Ｓｐａｃｅｓ　ＬｌⅢＬａｎ—ｚｈｅ　（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｈｕｎａｎ　Ｕｎｌｖｅ＿￣ｔｙ，Ｃｈａｎｇｓｈａ　Ｈｕｎａｎ，４１００８２）　Ａ］［Ｊ￣ｒａｃｔ＿．Ｔｈｅ　ｗｅｉｇｈｔｅｄ　ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ　ｆｏｒ　ｇｅｎｅｍｌｉｚｅｄ　ｍａｘｉｍａｌ　ｏｐｅｒ－　０（Ｂ１）ｎ（Ｂ２）＝　；　（ｉｉ）ⅡＢｌ　Ｂ２，ｔｈｅｎ　（Ｂ１）　Ｏ（Ｂ２）；０ｉｉ）Ｕ　ｏ（Ｂ（　，　ｒ　Ｕ　ａｔｏｒ　ａｎｄ　ｆｌｇＩｌ】ａｒ　ｉＩ删ｔｏｔ　ｗｅＩｅ　ｏｂｔａｉｎｅｄ．　ｏｐｅ￣ｏｒ　ｉｎ　ｇｅｌｗＪａ］ｉｚｅｄ　Ｍｏｎ￣３，ｓｐａｃｅ８　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｃｈａｔａｃｔｅｒｉｚａｔｉｍｓｆｏｒｎ０ｎ—ｗｅｉｇｈｔｅｄｉｍｑＩｌａｌｉｔｙ　０ｆｍａｘｉｍａｌ　ｏｐｅｒａ・　ｒ））＝　ｘ　Ｅ．　Ｌｅｔ　ｂｅ　ａ　ｐｏｓｉｉｔｖｅ　ｉｎｃｒｅａｓｉｎｇ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｏｎ　Ｒ　ａｎｄ　Ｋｅｙ　ｗｏｌ＇ｄｓ：ｍ嬲ｊｎ瑚ｏｐｅｒａｔｏｒ；　ｆｌｇＩｌ】ａｒ　ｉｍｅｇＩａｌ　ｏｐｅｒａｔｏｒ；ｍｏｒｒｅｙ　ｓｐａｃｅ；Ｃ】（０），，￣ｉｇｈｔ　ＣＩＪ２Ｎ珊岫：　Ｏ１７４．２　Ｉ）ｏｅｍｎｍｔＣ哦ｌｅ：　Ａ　ｓａｔｉｓｆｙ　ｈｅ　ｄｏｔｕｂ￣ｃｏｎｄｉｉｔｏｎ　ｗｉｔｈ　ａ　ｃｏｎｓｔａｎｔ　Ｄ≥１：　（２ｒ）≤却（ｒ），ｆ０ｒ　ａｌｌ　ｒ＞０．　Ｌｅｔ　ｗ　ｂｅ　ａ　ｗｅｉｈｔｇ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｏｎ　ａｎｄ　８　ｂｅ　ａ　ｐｏｓｉｉｔｖｅ　Ｂｏｒｅｌ　ｌｎｅａｓＵｌ￣ｏｎ　ｘ　Ｅ．　Ｔｈｅ　ｗｅｉｇｈｔｅｄ　ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ　ｆｏｒ　ｍａｘｉｍａｌ　ａｎｄ　ｓｍｇｕｈｒ　ｎｉｔｅｇｒａｌ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　ｏｎ　（ｐ＞１）ａｎｄ　ＢＭＯ　ｓｐａｃｅｓ　ａｒｅ　ｎｏｗ　Ｄｅｆｍｉｉｔｏｎａ．Ｌｅｔ　１≤Ｐ＜ｏｏ　ａｎｄ　ｆ　ｅ　ａ　ｌｂｏｃａｌｌｙ　ｉｎｔｅ—　ｇｒａｂｌｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｏｎ　ｘ　Ｅ。ｓｅｔ　ｗｅｌｌ　ｕｎｄｅｒｓｔｏｏｄ（ｓｅｅ［２］）．Ａｓ　Ｍｏｎｅｙ　ｓｐａｃｅ　ｍａｙ　ｂｅ　ｃｏｎ—　ｓｉｄｅｒｅｄ　ａｓ　Ｒｎ　ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｐａｃｅｓ，ｉｔ　ｉｓ　ｎａｔｕｌ￣ａｎｄ　ｉｍ—　ＩＩｆＩＩ　・　（　）＝　ｓｕｐ—ｐｏｒｔａｎｔ　ｔｏ　ｓｔｕｄｙ　ｔｈｅ　ｗｅｉｈｔｇｅｄ　ｉｎｅｑｕａｌｉｉｔｓ　ｆｅｏｒ　ｍａｘｉｍａｌ　ａｎｄ　ｓｉ￣ｈｒ　ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　ｏｎ　Ｍｏｒｒｅｙ　ｓｐａｃｅｓ．Ｔｈｅ　ｍａｉｎ　。（南　ｒ））Ｉ　ｙ　ＩＰｄ　）　，　’　ｐｌｌｒ】ｐ０ｓｅ　ｆ　ｏｈｉｔｓ　ａｐｅｒ　ｐｓｉ　ｔｏ　ｓｕｄｔｙ　ｈｅ　ｑｕｅｔｓｔｉｏｎ，ｔｈｅ　ｗｅｉｈｔｇｅｄ　ｗｅ　ｄｅｆｉｎｅ　ｈｅ　ｇｅｎｅｒｔａｌｉｚｅｄ　Ｍｏｎｅｙ　ｓｐａｃｅ　ｏｎ　Ｒ“ｘ　Ｅ　ａｓ　ｆｏｌ—　ｎｅｑ．－！ｉｉｆｉｓ　ｆｅｏｒ　ｔｈｅ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　ｉｎ　Ｍｏｎｅｙ　ｓｐａｃｅｓ　ａｒｅ　ｏｂ—　ｌｏｗｉｎｇ：　ｔａｉｎｅｄ，ａｎｄ　ｔｈｅ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚａｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｎｏｎ—ｗｅｉｈｔｇｅｄ　ｉｎ．　ｅｑｕａｌｉｔｙ　ｏｆ　ｍａｘｉｍａｌ　ｏｐｅｒａｔｏｒ　ａｒｅ　ａｌｓｏ　ｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｓｏｍｅ　ｗｏｒｋ　（Ｒ“ｘ　Ｅ，　）＝｛ｆＥ比（　ｘ　Ｅ）：　ｎ　ｔｉｈｉｓ　ｄｉｒｅｃｔｉ０ｎ　ｗａｓ　ｄ０Ｉｌｅ　ｉＩｌ［１，　ｕｒ　Ｉ℃ｓｕｌｔｓ既ｔｅｎｄ　ｔｈｅ　ｌｌ　’　（　）＜∞｝；　：　Ｗｈｅｎ　Ｒ“ｘ　Ｅ＝Ｒ“，　（　，ｔ）＝ｗ（　）ｄｘ，ｗｅ　ｍａｙ　ｔ　ｔｈｅ　ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　Ｍｏｎｅｙ　ｓｐａｃｅ　ｏｎ　ｏｎｅｓ　ｉｎ　ｔｈｅｓｅ　ｐａｐｅｒｓ．Ｔｈｒｏｕｇｈｏｕｔ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，Ｃ’ｓ　ｗｉｌｌ　ｄｅ—　ｎｏｔｅ　ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｃｏｎｓｔａｎｔｓ，ｗｈｉｃｈ　ｍａｙ　ｈａｖｅ　ｄｉｆｅｒｅｎｔ　ｖａｌｕｅｓ　ｉｎ　ｅａｃｈ　ｌｉｎｅ　ＸＥ　ｄｅｎｏｔｅｓ　ｔｈｅ　ｃｈａｒｅｔｅｒｉｓｉｔｅ　ｆｎｃｔｕｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｅｔ　Ｅ．　（　，　）＝｛　∈比（　）：　ｓｕｐ—。‘南‘　．，）Ｉ　ｙ）ＩＰｗ（ｙ）ｄｙ）　＝ＩＩｆＩＩ　（”）＜∞｝・　ｉｆ　（ｒ）＝　，　＞ｏ，ｔｈｅｎ　，　＝　一，ｗｈｉｃｈ　ｉｓ　ｃｌａｓｓｉｃａｌ　Ｌｅｔ　Ｅ　ｂｅ　ａ　ｓｅｔ，ｓｕｐｐｏｓｅ　ｗｅ　ｈａｖｅ　ｔｏｐｏｌｏｇｉｃａｌ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｎ　ｔｉｈｅ　Ｃａｒｔｅｓｉａｎ　ｐｒｏｄｕｃｔ　ｘ　Ｅ．　Ｍｏｒｒｅｙ　ｓａｃｐｅ（ｓｅｅ［６］）．　Ｌｅｔ　ｆ　ｅ　ａ　ａｕｙ　ｉｂｎｔｅｇｒａｂｌｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｏｎ　，ｗｅ　ｄｅ—　ｉｆｎｅ　ｔｈｅ　ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　ｍａｘｉｍａｌ　ｏｐｅｒａｔｏｒ　８ｓ　ｆｏｌｏｗｉｎｇ：　，、，　Ｌｅｔ　０　ｂｅ　ａ　ｓｅｔ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｍａｐｐｉｎｇ　ｔｈｅ　ｂａｌｌｓ　ｉｎ　Ｒ“ｉｎｔｏ　ｈｅ　Ｂｏｒｔｅｌ　ｓｅｔｓ　ｉｎ　Ｒ“ｘ　Ｅ　ａｎｄ　ｓａｔｉｓｆｙ．　，（ｉ）Ｉｆ　Ｂｌ，Ｂ２　ａＩｅ　ｂａｉｌｓ　ｉｎ　Ｒ“ｗｉｔｈ　Ｂｌ　ｎ　Ｂ２＝　，ｔｈｅｎ　（１．　（肿ｔ）＝　，面１　Ｉ　ｙ）Ｉ　ｄｙ（　）　×Ｅ；　Ｒｅｃｅｉｖｅｄ　ｄａｔ￣：２０Ｏ１—０４—０２　ｎｉｏｇｔａｔ￣ｙ：ＬＩＵ　Ｌａｎ—ａ￣，（１９６１一）。ｍａｌｅ，Ｄｏｃｔｏｒ，ｈ　踟　ｅｓｔ　＝（舻）Ｉ／Ｐ　ｆｏｒ　ｌ≤ｐ＜∞．　维普资讯 http://www.cqvip.com Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｃｈａｎｇｄｅ　Ｔｅａｃｈｅｒｓ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｉｔｏｎ）　Ｗｈｅｎ　Ｒ　ｘ　Ｅ＝Ｒ　，０（Ｂ）＝Ｂ，ｔ＝０，ｔｈａｔ　（　，　ｆＥ　Ｌ１（Ｒ　，ｔｔＪ）；　０）＝Ｍｆ（ｘ）ｉｓ　ｔｈｅ　Ｈａｒｄｙ　Ｌｉｔｔｌｅｗｏｏｄ　ｍａｘｉｍａｌ　ｏｐｅｒａｔｏｒ．　（２）　：Ｌｖ（Ｒ　，ｔｔＪ）一ＬＰ（Ｒ　×Ｅ，卢），１＜Ｐ≤Ｐ０，　Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ　１．Ｌｅｔ　ｔｔＪ　ｂｅ　ａ　ｗｅｉｇｈｔ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｏｎ　Ｒ　ａｎｄ卢　ｈｔａｔ　ｉｓ　ｅｂ　ａ　Ｂｏｒｅｌ　Ｈｌｅ＿ａ　ｒｅ　ｏｎ　Ｒ　×Ｅ．ｓｕｐｐｏｓｅ　ｔｈａｔ　Ｔ　ｉｓ　ａ　ｌｉｎｅａｒ　ｌ　ｌｌ　ｌＬｅ（Ｒ＂　Ｅ，口）≤Ｃ　ＩＩ　ｆ　ＩＩ，（　，　），ｆｏｒ　ｆＥ　Ｌｅ（Ｒｎ，　ｏｐｅｒａｔｏｒ　ｍａｐｐ吨ｔｈｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ｏｎ　Ｒ　ｉｎｔｏ　ｏｎｅｓ　ｏｎ　Ｒ　ｘ　ｔｔＪ）．　Ｅ，ａｎｄ　（１）Ｔ　ｉｓ　ｂｏｕｎｄｅｄ　ｆｒｏｍ　ＬＰｏ（　，ｔｔＪ）ｉｎｔｏ　０（Ｒ　×　Ｅ，卢）ｗｉｈｔ（ｔｔＪ，卢）∈ＣＩ（０），ｔｈａｔ　ｉｓ　Ｆｉｒｓｔ，ｗｅ　ｐｒｏｖｅ　ｓｅｖｅｒａｌ　ｔｅｃｈｎｉｃａｌ　ｌｅｌｌｌｎｌ１ｆ．　［ｅｍｍａ　１．Ｌｅｔ　１≤Ｄ≤２　，ｔｈｅｎ　‘　￣Ｃｔｏ（　…，　ＥＲ　，　（ｒ１）／　（ｒ２）≤ｃｄ／ｄ，　．　ｗｈｅｒｅ　１＜Ｐ０≤∞；　ｆｏｒ　ａｎｙ　０＜ｒ２＜ｒ１．　（２）Ｔｈｅｒｅ　ｅｘｉｓｔｓ　ａ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　Ｋ　ｏｎ　Ｒ　ｘ　Ｒ　×Ｅ＼　［ｅｍｍａ　２．Ｌｅｔ（ｔｔＪ，卢）∈Ｃｌ（０），１≤Ｄ＜２　，ｆｏｒ　ａ　｛（　，　，ｔ）：　∈Ｒ　，ｔ∈Ｅ｝ｓｕｃｈ　ｔｈａｔ　ｌｏｃａｌｌｙ　ｉｎｔｅｇｒａｂｌｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｇ　ｏｎ　Ｒ　ｘ　Ｅ，ｌｅｔ　ｌ　Ｉ　ｇ（ｘ，Ｙ，ｔ）Ｉ　ｄｕ（ｙ）＜∞，（　，ｔ）　０（２Ｂ），　ｇ＊（　）＝　Ｊ　）Ｉ　ｇ（Ｙ，ｔ）Ｉ　ｄｌｆ（ｙ，ｔ）　ｎａｄ　ｆｏｒ　ｈＴｅｎ，ｆｏｒ　１≤Ｐ＜∞，　ｆＥ　Ｌ　（　）ｗｉｔｈ　ｓｕｐｐｌｅ＿Ｂ＝Ｂ（Ｙ　，ｒ），ｔｈｅ　ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ　｝ｌｏｌｄｓ：　Ｊ　Ｉ　）Ｉ　Ｐｚ；＜　（　））（　）ｄ　≤　（ｒ）Ｉ　Ｉｆ　ｌｌ　，ｔ）＝ｌ　（　，Ｙ，ｔ）　ｙ）ｄｙ，　ｏｆｒ　ａｎｙ　ｂａｌｌ　Ｂ（ｘ０，ｒ）　Ｒ　ａｎｄｆＥ　’　（Ｒ　，ｔｔＪ）．　（　，ｔ）　０（２Ｂ），　Ｌｅｍｍａ　３．Ｌｅｔ　ｇ≥０　ｂｅ　ａ　ｌｏｃａｌｌｙ　ｉｎｔｅｇｒａｂｌｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｍｏｒｅｏｖｅｒ，ｗｈｅｎ（　，ｔ）　０（２ｋＢ），ｙＥＢ．ｗｅ　ｈａｖｅ　ｏｎ　Ｒ　ｘ　Ｅ　ａｎｄ卢ｂｅ　Ｂｏｒｅｌ　ｉｎｅＲｓｕＦｅ　ｏｎ　Ｒ　ｘ　Ｅ，ｔｈｅｎ　Ｉ　ｋ（ｘ，Ｙ，ｔ）一　（　，Ｙ　，ｔ）Ｉ≤　（２一　）Ｉ　２ｋＢ　Ｉ～，ｆ０ｒ　ｎａｙ　ｋ≥１，　（１）　（　）≤　，ｆ）∈　｝　ｈｗｅｒｅ￡：　＿＋Ｒ　ｉｓ　ａ　ｉｎｃｒｅａｓｉｎｇ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｎａｄ　Ｊ。￡（ｔ）　』　Ｉ　ｆ（川ｇ　）　ｔ一　ｄｔ＜∞．ｈＴｅｎ　ｗｅ　ｃａｌｌ　Ｔ　ｈｔｅ　ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　ｓｉｎｇｕｌａｒ　ｉｎｔｅ一　ｏｆｒ　ａｌｌ　＞０：　ａｌ　ｏｐｅｒａｔｏｒ．　ｈＷｅｎ　Ｒ　ｘ　Ｅ＝Ｒ　，￡（ｔ）＝ｔ３，０＜　≤１，Ｔ　ｉｓ　ｎｏｎ　（２）Ｊ　Ｉ　川）ＩＰｇ（川）　（川）　—ｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎ　Ｃａｌｄｅｒｏｎ　Ｚｙｇｍｕｎｄ　ｏｐｅｒａｔｏｒ（ｓｅｅ［２］）．　≤ｃＪ　Ｉ　）Ｉ　Ｐｇ　（　）ｄ　，　Ｗｅ　ｒｅｃａｌｌ　ｈｔｅ　ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ　ｈｔｅｏｒｅｍ（ｓｅｅ［２］［３］［７］）．　ｆｌ０ｒ　ａｌｌ　１＜Ｐ＜∞．　．Ｉ１Ｉｌｅ０舢Ａ．Ｌｅｔ　１＜Ｐ＜∞，（ｔｔＪ，卢）∈ＣＩ（０），ｔｈｅｎ　Ｌｅｍｍａ　４．Ｌｅｔ　Ｔ　ｂｅ　ｔｈｅ　ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　ｓｉ，ｃｕｌａｒ　ｉｎｔｅｇｒａｌ　（１）卢（｛（　，ｔ）∈Ｒｎ×Ｅ：　，￡）＞　｝）≤　ｏｐｅｒａｔｏｒ　ｎａｄ卢ｂｅ　Ｂｏｒｅｌ　ｎｌｅａｓ１．１ｌ￣ｏｎ　Ｒｎ　ｘ　Ｅ，ｔｈｅｎ　Ｃ２　Ｊ　Ｉ　）Ｉ　ｏｔ（　）ｄ　，ｆｏｒ　ａｌｌ　＞０　ｎａｄ　（１）　，ｆ）∈　）Ｉ＞　｝ｇ（川）　（　）≤　ｆＥ　Ｌ　（Ｒ　，ｗ）；　Ｃ２一　Ｊ　Ｉ厂（　）Ｉ　ｇ　（　）ｄ　，　（２）　：　（　，ｔｔＪ）一　（　×Ｅ，卢），ｔｈａｔ　ｉｓ　ｆｌ０ｒ　ａｌｌ　＞０；ａｎｄ　ｇＩ＞０　ｏｎ　Ｒ　ｘ　Ｅ；　ＩＩ　ＩＩ，（　Ｅ．口）≤Ｃ　ＩＩ厂ＩＩ，（　，　（２）Ｊ　Ｅ　ｌ　ｒｆ（　）ＩＰｇ（川）　（川）　ｆｏｒ　ａｌｌｆＥ　ＬＰ（　，ｔｔＪ）．　．Ｉ１Ｉｌｅ０舢Ｂ．Ｌｅｔ　Ｔ　ｂｅ　ｔｈｅ　ｇｅｎｅｒａｈｚｅｄ　ｓｉｎｇｕｌａｒ　ｉｎｔｅ一　≤ｃＪ　ｌ　）Ｉ　Ｐｇ　（　）　，Ｐ＜∞・　ｏｐｅｒａｔｏｒ，ｔｈｅｎ，ｆｏｒ（ｔｔＪ，卢）∈ＣＩ（０），ｗｅ　ｈａｖｅ　ｆ０ｒ　ａｌｌ　１＜Ｐ≤Ｐｏ　ａｎｄ　ｇ≥０　ｏｎ　Ｒ　×Ｅ．　（１）卢（｛（　，ｔ）∈Ｒ　ｘ　Ｅ：Ｉ　ｒｆ（　，ｔ）Ｉ＞　｝）≤　Ｐｒｏｏｆ　ｏｆ　Ｌｅｍｍａ　１．Ｌｅｔ　２ｋｒ２＜　ｌ＜２　２，ｈｗｅｒｅ　ｉｎｔｅｇｅｒ　ｋ≥０，ｔｈｅｎ　ｂｙ　ｔｈｅ　ｄｏｕｂｌｉＩｌｇ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ　ｏｆ　，ｗｅ　ｃＡ　Ｊ　Ｉ　）Ｉ　ｏｔ（　）ｄ　，ｆｏｒ　ａｌｌ　＞０　ｎａｄ　ｈａｖ　维普资讯 http://www.cqvip.com ＬＩＵ　ｌ＿ａｎ—ｚｈｅ　Ｗｅｉｇｈｔｅｄ　Ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ　ｆｏｒ　Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　Ｍａｘｉ珈　Ｎ。～　ａｒＩｄ　ＳｉｎｇＩｌｌａｒ　Ｉｎｔ昭　Ｏ嘣ａｌ０巧ｉｎ　ｃｅｎｅ　Ｍ０　１９　（ｒ１）≤　（２　ｒ２）≤Ｄｋ　≤２“‘　（ｒ２）　（ｂ）Ａ　ｓｉｍｉｌａｒ　ａｒｇｕｍｅｎｔ　ａｓ（ａ）ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　Ｉ．ｅｍｍａ　３　（２）ａｎｄ　Ｉ．ｅｍｍａ　２，ｗｅ　ｃａｎ　ｏｂｔａｉｎ（ｂ）．　Ｔｈｉｓ　ｃｏｍｐｌｅｔｅｓ　ｔｈｅ　ｐｒｏｏｆ　ｏｆ　ＴｈｅｏｒｅｍＩ．　Ｉｆ　；１．ｗｅ　ｃａｎ　ｇｅｔ　（ｒ２）≤２“（ｒｌ／ｒ２）　（ｒ２）　ｗｈｉｃｈ　ｙｉｅｌｄｓ　ｔｈｅ　ｃｏｎｃｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｌｅｍｍａ・　ＰｒｏｏｆｏｆＩａｍａｍａ　２．Ｂｙ（　，　）∈Ｃｌ（０）ａｎｄ　１≤Ｄ　＜２“，ｗｅ　ｎ　Ｊ　Ｉ　）Ｉ　文毗　））（　）　＝Ｊ　（　）Ｉ　）Ｉ　文　（　（　）ｄ　＋　Ｊ　＋ｌＢ（ｘＩ　ｆ（训　ｒ））（舢　ｏ，ｒ　（　）≤ｃ［　Ｉ　）Ｉ　（　）ｄ　＋　）∑ｋ＝０２叫　）Ｉ　）Ｉ　（　≤ｃ∑２一　（２川ｒ）ｌｌ　）　（　）　≤ｃ∑（２一　）　（ｒ）ｌｌ　）ｌｌ　．　（　）　≤　（ｒ）ｌ　ｌ・　（　）　Ｐｒｏｏｆ　ｏｆ　Ｌｅｍｍａ　３．Ｌｅｔ　ｇ（　，ｔ）ｄｆｌ（ｘ，ｔ）＝ｄａ（　，　ｔ），ｇ　（　）＝ｗ（ｘ），ｔｈｅｎ　ｉｔ　ｉｓ　ｏｂｖｉｏｕｓ．ｔｈａｔ（　，口）∈Ｃｌ　（０）ａｎｄ　ｔｈｕｓ　ｂｙ　Ｔｈｅｏｒｅｍ　Ａ，ｗｅ　ｇｅｔ　ｔｈｅ　ｃｏｎｃｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｉ．ｅｍｍａ　３．　ＰｒｏｏｆｏｆＩａｍａｍａ　４．Ｓｉｍｉｌａｒ　ｔｏ　Ｉ．ｅｍｍａ　３，ｗｅ　ｃａｎ　ｇｅｔ　ｔｈｅ　ｃｏｎｃｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｉ．ｅｍｍａ　４　ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　Ｔｈｅｏｒｅｍ　Ｂ．　Ｎｏｗ，ｗｅ　ｃａｌｌ　ｇｅｔ．　Ｔｈｅｏｒｅｌｌｌ　１．Ｌｅｔ　１≤Ｄ＜２“，（Ｉｏ，，　）∈Ｃｌ（０），ｔｈｅｎ　（ａ）卢（｛（　，ｔ）∈　（　（　０，ｒ））：＂Ｍｅｆ（ｘ，ｔ）＞　｝）　≤ＣＡ｜Ｐ　ｌｌ　・　（　）　（ｒ０）　ｆｏｒ　ａｌｌ　ｆ６　ＬＰ，　（Ｒ“，Ｉｏ，），１≤Ｐ＜∞，　＞０　ａｎｄ　ｂａｌｌ　Ｂ（ｘ０，ｒ）　Ｒ“；　（ｂ）ｌｌ　ｌ　ｌ・　（卢）≤Ｃ　ＩＩ　ｆ　ＩＩ　・　（　ｆｏｒ　ａｌｌ　ｆ６　ＬＰ＇　（Ｒ“，　）ａｎｄ　１≤ｑ＜Ｐ＜∞．　Ｐｒｏｏｆ．ａ）Ｆｉｘ　ａ　ｂａｌｌ　Ｂ＝Ｂ（ｘｏ，ｒｏ）　Ｒ．Ｔａｋｉｎｇ　ｇ（　，ｔ）＝ＸＯ（Ｂ）（　，ｔ）ｉｎ　Ｉ＿ｅｍｍａ　３（１）ａｎｄ　ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　Ｌｅｍｍ２，ｗｅ　曲　（Ｉ（ｘ，ｔ）∈　（　：～ＭＪ（ｘ，ｔ）＞　｝）　＝Ｊ　，　Ａｚ口（　）（　，ｔ）ｄｌｆ（　，ｔ）　≤ＣＡ呻Ｊ　Ｉ　）Ｉ　Ｐｘｏ（　　）（　）ｄ　≤ＣＡ一　（ｒ０）ｌｌ厂ｌｌ　・　（　）　ＴｌｌｌｅＯｌ－ｅｌｌｌ　２．Ｌｅｔ　１≤Ｄ≤２“，ｔｈｅｎ　ｔｈｅ　ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ　ｓｔａｔｅ—　ｍｅｎｔｓ　ａｒｅ　ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ：　（ａ）　：Ｌｐ，　（Ｒ“）一　・　（Ｒ“×Ｅ，卢），　ｆｏｒ　１≤ｑ＜Ｐ＜ｏ０；　（ｂ）ｐ（｛（，，，ｔ）∈Ｏ（Ｂ（ｘ，ｒ））：　，，，ｔ）＞　｝）　≤　一　（ｒ）Ｉ　Ｉｆ　ＩＩ　・　，　ｆｏｒ　１≤ｑ＜Ｐ＜∞ａｎｄ　ｂａｌｌ　Ｂ（　，ｒ）　Ｒ“，　＞０；　ｃ）　ｉｓ　ａ　Ｃａｒｌｅｓｏｎ　Ｉｌ１ｅａｓｕ　，ｔｈａｔ　ｉｓ，ｆｏｒ　ａｎｙ　ｂａｌｌ　Ｂ　，　（０（Ｂ））≤ＣＩＢＩ．　Ｐｒｏｏｆ．Ｉｔ　ｉｓ　ｏｂｖｉｏｕｓ　ｔｈａｔ（ａ）　（ｂ）．　（ｂ）　（ｃ）．Ｆｉｘ　ａ　ｂａｌｌ　Ｂ＝Ｂ（　０，　０）．　ｆｏｒ（　，ｔ）∈０（Ｂ），ｗｅ　ｈａｖｅ　）≥（　）Ｊ　Ｉ　），）Ｉ　ｄｙ）　，　Ｔａｋｉｎｇｆ＝ｚ　，ｔｈｅｎ　ｚ　（　，ｔ）＞　１，ｓｏ　ｔｈａｔ（ｂ）ｉｍ—　ｐｌｉｅｓ　ｔｈａｔ　Ｂ（０（Ｂ））≤　（｛（　，ｔ）∈０（Ｂ）：　＂ＭｑＸ　（　，ｔ）＞　Ｉ｝）　≤　（ｒｏ）ｌ　ｌＺ　ＩＩ　＝　（　ｓｕ　ｐ。（南ｋ　），）　≤　（　＋　≥ｒ０　＼　ｕｐ（　蔓　］，　Ｆｕｒｔｈｅｒ，　（　毋　）≤　／　Ｉ　Ｂ　ｌ　￣　≤Ｉ　Ｂ　Ｉ／　（ｒｏ），　ａｎｄ　（　）≤ｓ　ｕｐ（　）　≤Ｃ　Ｉ　Ｂ　Ｉ／　（ｒｏ）　ｂｙ　Ｌｅｍｍａ　１，ｔｈｕｓ　（０（Ｂ））≤Ｃ　Ｉ　Ｂ　Ｉ．　（ｃ）　（ａ）．Ｆｉｘ　ａ　ｂａｌｌ　Ｂ＝　（　ｏ，　ｏ）．　ＦｏｒｆＥ　’　（Ｒ“），ｐｕｔ　）＝　）ｚ　（　）＋ｆ（ｘ）ＸＢｃ（　）＝ｇ（　）＋＾（　）　Ｔａｋｉｎｇ　０＜ｅ＜１　ｓｏ　ｔｈａｔ　１＜ｐｅ／ｑ．ｓｍｃｅ　维普资讯 http://www.cqvip.com Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｔ＂Ｃｈａｎ￣ｅ　Ｔｅａｃｈｅｒｓ　ｔｌｎｉｖｅｒｒ．Ｃｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｌｉｏｎ）　）Ｉ　ｐ≤　）（　）ｐｄｐ＋　）（　）ｐｄ　＝Ｉ＋ＩＩ，　Ｗｅ　ｇａｉｎ，ｂｙ　ＨＳｌｄｅｒ　ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ　ａｎｄ　Ｔｈｅｏｒｅｍ　Ａ，　Ｉ≤ｃＪ咖）（　）　≤　）（　）　≤ｃｊ　Ｉ　）Ｉ　ｄ　≤ｃｐ（ｒ０）ＩＩｆＩＩ　Ｅ，・　；　Ｆｏｒ　ＩＩ，ｌｅｔ（　，ｆ）∈　（　ｓｉｎｃｅ　ｓｕｐｐ　ｈ　Ｂｃ，Ｗｅ　ｏｂｔａｉｎ　（　）≤　（肋‘面１　ｋ．ｒ）Ｉ＾（，，）　，，）　≤≤　　∈　ｒｓｕ—ｐ　（ｎ‘　ｋ　Ｉ而　。，）。　，　，ｙ，　　。　。　≤ｃ　ｕｐ　Ｉｌ　ｆ　ｌｌ　≤ｃ　ｂ　Ｌ舶ｍｌａ　１，ＳＯ　ｔＩｌａｔ　ＩＩ≤　（ｒｏ）ｐ（　（　））ＩＩｆＩＩ　・，／ＩＢＩ　≤　（ｔｏ）ＩＩｆｌｌ　・，；　ｔｈｍ　ＩＩ　ｌｌ　卢）≤Ｃ　ＩＩｆｌｌ　Ｔｈｅ　ｐｒｏｏｆ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｔｈｅｏｒｅｍ　ｉｓ　ｃｏｍｐｌｅｔｅ．　＇ＩｌｌｅＯｌ￣ｌｎ　３．Ｌｅｔ　ｂｅ　ｔｈｅ　ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　ｓｉｎｇｕｌａｒ　ｉｎｔｅ—　ｇ瞄ｄ￣ｅｍｔｏｒ，１≤Ｄ＜２　ａｎｄ（　，』９）∈Ｃｔ（Ｏ），ｔｈｅｎ　（ａ）ｐ（｛（　，ｔ）∈０（８）：Ｉ　，ｔ）Ｉ＞Ａ｝）　≤Ｃ，Ｉ一。　（ｔｏ）ｌｌ　・，（　），　ｆｏｒ，∈Ｌ１．　（　，　），Ａ＞０　ａｎｄ　ｂａｌｌ　Ｂ（ｘｏ，Ｉ＂０）　；　（ｂ）ＩＩ　ＩＩ　・，（　）≤Ｃ　ＩＩｆＩＩ　・，（　），　，∈　’　（　，　），１＜ｐ≤ｐｏ，Ｐ＜∞．　Ｐｍ０ｆ．（ａ）．Ｆｉｘ　ａ　ｂａｌｌ　Ｂ＝Ｂ（ＸＯ，１＂０）　，ａｎｄ　ｔａｋｉｌｌｇ　ｇ＝　口（　）ｉｎ　Ｉｅｍｒ￣４（１）ａｎｄ　ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ＬｅＩＩⅡＴｌａ　２，　Ｗｅ　ｇｅｔ　Ｊ９（｛（　，ｔ）∈　（　）：Ｉ　，ｔ）Ｉ＞Ａ｝）　Ｊ　ＩＸｏ（　）　≤Ｃ，ＩＩ１Ｊ　Ｉ　）Ｉ　Ｘｏ（　　（　）ｄ　≤Ｃ，ｔ一　（ｒ０）ｌｌ　・，（　）．　（ｂ）Ａ　ｓｉｍｉｌａｒ　ａｒｇｔ￣ｅｎｔ　ａｓ（ａ）ｂｙ　ｕｓ　ｋ釉ＩＩＩａ　４（２）　ａｎｄ　Ｉｅｍｍａ　２，Ｗｅ　ｇｅｔ（ｂ）．　Ｉｆ　（ｒ）＝，，Ｗｅ　ｗｒｉｔｅ　・　＝　一．　Ｃｏｍｌ￣ｒｙ１．Ｌｅｔ　０＜　＜，ｌ，（ｔｌ，，ｐ）∈Ｃｌ（　），ｔｈｅｎ　（ａ）．ＦｏｒｆＥ　’　（　，　），１≤ｐ＜∞，Ａ＞０　ａｎｄ　Ｂ＝Ｂ（Ｘ０，１＂０）ｃＲ　，Ｗｅ　ｈａｖｅ　＿ｐ（｛（　，Ｉ）∈　（　）：　，Ｉ）＞Ａ｝）　≤１２１一　圬Ｉｌ　・。（　）；　（ｂ）．ＦｏｒｆＥ　’　（　，　），１≤ｇ＜Ｐ＜∞，ｗｅ　ｈａｖｅ　Ｉ　ｌ　ｌ．ａ（卢）≤Ｃ　ＩＩＹｌｌ　，ａ（　）　Ｃｏｒｏｌ￣２．Ｌｅｔ　ｂｅ　ｔｈｅ　ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　ｓ　ｉｍｅ—　ｇ啊ｄ　ｏｐｅｒａｔｏｒ，０＜　＜，ｌ，（　，ｐ）∈Ｃｌ（０），ｔｈｅｎ　（ａ）．ＦｏｒｆＥＬ　・　（Ｒ　，　），Ａ＞０　ａｎｄ　Ｂ＝Ｂ（Ｘ０，１＂０）　Ｒ，Ｗｅ　ｈａｖｅ　ｐ（｛（　，ｔ）∈０（Ｂ）：Ｉ　，ｒ）Ｉ＞Ａ｝）　≤Ｃ，Ｉ　圬ｌ　ｌ・。（　）；　（ｂ）ＦｏｒｆＥ　’　（　，　），１＜Ｐ＜Ｐｏ，Ｐ＜∞，　ｗｅ　ｈａｖｅ　ＩＩ　Ｉ　・ａ（　）≤Ｃ　ＩＩｆＩＩ　・ａ（　）　Ｒｅｍｕ￣ｒｋ．Ｔｈｅ　ｒｅｓｄｔ￣ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐｌｌｐｅｒ　ａＩｅ　ａ　ｇｅⅢ硼山ｚａ－　ｄｏｎ　ｏｆｔｈｅ　Ｉｅｓｕｌｔｓ　ｉｎ［１］［４］［５］，ｗｈｅｒｅ　ｔｈｅ　ｓｐｅｃｉａｌ　ｃａｓｅ　×Ｅ＝Ｒ　，　＝ｄｘ，　；１　ｗｌ舾ｃ０ｎｓｉｄｅｒｅｄ．　口　目　Ｓ　１　Ｆ．Ｃ＿Ｎ￣－ｅｍ　ａｎｄ　ｌＶ１．Ｆｍ￣ｅａ．Ｍｏｎｅｙ印ｄ嘲ａｒｌｄ　ＨａＩｄｙ—　ＩＡｔｔｌｅ￣ｔ　ｍａ】【ｉ咖ｌ如ｒ　［Ｊ］．Ｒｅｎｄ．Ｍｍ．，１９８＂／，（７）：　２７３—２７９．　２　Ｊ．Ｇ￣－ｉａ—Ｃｕｅｒ￣ａｎｄ　Ｊ．Ｌ。￣ｌｂｉＯ　ｄｅ　Ｆｒ￣ｅｉａ．ｗ　Ｉ啪ｎｉｎｅｑｕａｌｉｉｔｅｓ　ａｒｌｄ　Ｉｅ　吨［Ｊ］．Ｎｏｒｔｈ—Ｈｄｌ￣ｔ，　１９８５．　３　Ｉｉｕ　．ｗ啦　ｖｅｃ　ｖａｌＩ】ｅｄｉ　ｄｅｓｆｏｒｇｅ￣－ａｌ－　ｉｚｅｄ幽ｌｇＩｌｌａｒ　ｉＩ　叩哪ｌ０ｆｓ［Ｊ］．Ｎ０ｒＩｌｌｅ略【锄№ＩｔｌＩ．Ｊ．，　１９９４。１０（３）：３６６—３７１．　４　Ｔ日　Ｍｉ　，Ｂ０哪曲　嘲ｏｔ＂８０ｌｎｅ　ｃａｌｓｓｉｃ　０ｐ　Ｏｎ　ｇｅ响　ｌＶＩ￣ｅｙ　ｓｐ艄［ｃ］．Ｈａｒｍｏｎｉｃ　Ｉａｌｙｓｉｓ，Ｐｒｏ－　傥ｅｄｉＩｌ铲ｏｔ＂ａ伽　＿嗍ｌｃｅ　ｈｅｌｄ　ｉｎ　Ｓｅ　，Ｊａｐａｎ，１９９０，１８３　—１１１９．　５　Ｊ．Ｐｅｅ￣ｅ．Ｏｎ。０ｍｒｄ岫０ｌ１　０ｐｅｒａ姗ｈ　一一叩岫－ｃｅｓ　ｉｎｖｍ￣ｔ［Ｊ］．Ａｎｎ，Ｍ毗．ＰＩｌｒａ．　．，１９６６，７２：２９５—３０４．　６　Ｊ．Ｐｅｅ￣ｅ．ＯｎｔｈｅｔＩｌｅｃ　ｏｔ＂／２一一ｓｐａｃｅｓ［Ｊ］．Ｊ．Ｆｕ邶．ＡＩｌａ１．　１９６９，４：７１—８７．　７　Ｆ．Ｊ．Ｒｕｉｚ　ａｎｄ　Ｊ．Ｌ．Ｔｏｒｒｅａ．ｗｅｉｇｌｌ自ｅｄ咖ｍ唧ｌａ】ｉ　ｅｓｆｏｒ　ａ　ｇｅｎｅｒａｌ胧　咖ｌ叩响　［Ｊ］．　，Ｍｍ，１９１１１１，２６．３２７—　３４１３．　（Ｔｏ　Ｐ．２４）