第九章-多元函数的积分学

第一节 重积分的概念与性质

一、重积分的概念

引例1 曲顶柱体的体积

曲顶柱体是指底是xOy面上的有界闭区域D，它的侧面是以D的边界为准线而母线平行于z轴的柱面的一部分，它的顶面是曲面zf(x,y)，(x,y)D，且f(x,y)0为D上的连续函数，如图所示，现在我们讨论如何计算上述曲顶柱体的体积V。 （1）分割区域D：任取一组曲线网将区域D分割成n个小闭区域：

D1，D2，…，Di，…，Dn，

（2）近似代替：在Di中任取一点(i,i)，用i表示Di的面积，则以Di为底，以f(i,i)为高的平顶柱体的体积为：f(i,i)i，于是有

Vif(i,i)i (i1,2,,n)

（3）作和：

VVif(i,i)i。

i1i1nn（4）取极限：记max{di}，当趋于零时，Vlim1in0f(,)iii1ni

引例2 平面薄片的质量

设有一平面薄片占有xOy面上的有界闭区域D，它在点(x,y)处的面密度为(x,y)0,且在D上连续，现在要计算该薄片的质量M。

首先作分割，将薄片任意分成n个小块，在Di上任取一点(i,i)，用i表示Di的面积，就可得到每个小块薄片质量Mi的近似值：(i,i)i (i1,2,,n) 再通过求和即得平面薄片质量的近似值：MnMi1ni(i,i)i，

i1n 记max{di}，则Mlim1in0(,)iii1i。

1.二重积分的定义

定义 1 设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数，将闭区域D任意分割成n个小闭区域

文档

D1，D2，…，Di，…，Dn，

并用i表示第i个小闭区域Di的面积。在每个小区域Di上任取一点(i,i)Di，作乘积（近似代替）f(i,i)i(i1,2,,n)，并作和

nf(,)iii1ni，记

max{d(Di)}，如果当趋于零时和式的极限limf(i,i)i存在，则称此极限

1in0i1为函数f(x,y)在有界闭区域D上的二重积分，记为

f(,)f(x,y)dlimD0iii1ni，

其中f(x,y)称为被积函数，f(x,y)d称为被积表达式，d称为面积元素，x及y称为积分变量，D称为积分区域，

称为二重积分号。

定理1 （可积的充分条件）若函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，则函数f(x,y)在D上必可积。

定理2（可积的必要条件）若函数f(x,y)在有界闭区域D上可积，则函数f(x,y)在D上必有界。

曲顶柱体体积Vf(x,y)d；非均匀平面薄片质量M(x,y)d。

DD 若f(x,y)0，则由引例1知

f(x,y)d表示曲顶柱体的体积；若f(x,y)0，曲

D顶柱面位于xOy面的下方，故二重积分为负值，其绝对值恰为曲顶柱体的体积，即

f(x,y)d为曲顶柱体体积的负值；若f(x,y)在区域D上正负相间，则f(x,y)d为

DD位于xOy面上方的曲顶柱体体积与位于xOy面下方的曲顶柱体体积的代数和。这一几何意义与一元函数定积分的几何意义完全类似。 2.三重积分的定义

定义2 设三元函数f(x,y,z)是空间有界闭区域上的有界函数，将任意分割成n个小闭区域1，2，…，n，并用Vi表示第i个小区域i的体积。现任取一点

(i,i,i)i，作乘积（近似代替）f(i,i,i)Vi(i1,2,,n)，并作和

f(,,iii1ni)Vi，记max{d(i)}，如果当趋于零时和式的极限

1in文档

limf(i,i,i)Vi存在，则称此极限为函数f(x,y,z)在有界闭区域D上的三重积分，

0i1n记为

f(,,f(x,y,z)dV，即f(x,y,z)dVlim0iii1ni)Vi，其中f(x,y,z)称

为被积函数，f(x,y,z)dV称为被积表达式，dV称为体积元素，x，y及z称为积分变量，

D称为积分区域，称为三重积分号，称为积分区域。

与二重积分相类似，若函数f(x,y,z)在有界区域上连续，则f(x,y,z)在上的三重积分必存在，即f(x,y,z)在上可积。

如果f(x,y,z)0于上，表示物体在(x,y,z)点的体密度，是该物体所占有的空间闭区域，则f(x,y,z)在上的三重积分就为该物体的质量M，即

Mf(x,y,z)dV。

二、重积分的性质

性质1 如果函数f(x,y)，g(x,y)都在D上可积，则对任意常数，，函数

f(x,y)g(x,y)在D上也可积，且有

[f(x,y)g(x,y)]df(x,y)dg(x,y)d。

DDD这一性质称为重积分的线性性质。

性质2 如果函数f(x,y)在D上可积，用曲线将D分成两个闭区域D1，D2，则f(x,y)在D1和D2上仍可积，且有：为重积分的区域可加性。

性质3 如果函数f(x,y)在D上可积，并且在D上f(x,y)0，则

f(x,y)d0。

Df(x,y)df(x,y)df(x,y)d。这一性质称

DD1D2 性质4如果函数f(x,y)，g(x,y)都在D上可积，且在D上有：f(x,y)g(x,y)成立，则

f(x,y)dg(x,y)d。

DD 性质5 如果函数f(x,y)在区域D上可积，则f(x,y)在D上也可积，且有：

f(x,y)dDDf(x,y)d。

文档

性质6 如果f(x,y)1，则有：

d(D)。其中(D)表示D的面积。

D 性质7 如果函数f(x,y)在D上连续，则在D上至少存在一点(,)，使

f(x,y)df(,)(D)。此性质称为二重积分中值定理，称f(,)Df(x,y)dD(D)为函数f(x,y)在区域D上的函数平均值。

性质8 如果函数f(x,y)在区域D上连续可积，m，M为f(x,y)在区域D上的最小值和最大值，则有m(D)f(x,y)dDM(D)。

上述性质对三重积分仍然成立。 例 1 估计二重积分

22sinxcosyxy4。 的值，其中为圆形区域edDD 解 对任意(x,y)D均有1sinxcosy1，故性质8得

1esinxcosye，而(D)4，由e4esinxcosyd4e。 eD第二节 二重积分的计算法

一、直角坐标系下二重积分的计算法 二重积分可表示成

f(x,y)df(x,y)dxdy

DD 设积分区域D可用不等式组1(x)y2(x)，axb 不妨设函数f(x,y)0，则体的体积，如图所示：

f(x,y)dxdy应表示以D为底、以zf(x,y)为顶的曲顶柱

DA(x)2(x)1(x)f(x,y)dy，从而曲顶柱体可视为平行截面为已知的空间体，由定积分可求得

b其体积为：

aA(x)dx。从而得积分等式：D2(x)f(x,y)dxdyf(x,y)dydx。

a1(x)b 若

D为xb型区域：

2(x)1(x)D{(x,y)1(x)y2(x),axb}，则

f(x,y)dxdydxDaf(x,y)dy。

类似的，如果区域D可以用不等式组1(y)y2(y)，cyd

文档

则

f(x,y)dxdyDdcdy2(y)1(y)f(x,y)dx。

例 1 计算

（a）由直线y1，x2及yx围成。（b）由直线xydxdy 其中D为：

Dyx1和抛物线y22x6围成。

解 （a）如图所示：D{(x,y)1yx,1x2}，由公式得

xydxdydxxydyD112x21139(xx)dx。 28 如按y型区域计算，则区域D可表示为：D{(x,y)yx2,1y2}，由公式得

xydxdydyxydxD1y222119(4yy3)dy。 2812(y6)xy1,2y4}，由公式得 24（b）区域D可表示为D{(x,y)y532xydxdydyxydx2yy4ydy36。 122(y6)228D4y1 本题如按x型区域计算麻烦。 例 2 计算

sin(yD2 )dxdy，其中D为是由直线x0，y1及yx所围成的闭区域。

解 如图所示：区域D既是x型域，又是y型域，若按x型区域计算，由公式得

2sin(y)dxdydysin(y)dxysin(y)dyD00021y211cos1。 2二、极坐标系下二重积分的计算法

有些二重积分的积分区域D的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便，且被积函数用极坐标变量r，表达比较简单。这时，可以考虑利用极坐标系来计算二重积分。

假设积分区域D满足这样的条件：从极点O出发且穿过闭区域D内部的射线与D的边界至多有两个交点。此时，用极坐标系下的坐标曲线来划分区域D，即用过极点O的一组射线（=常数）及另一组以O为圆心的同心圆（r=常数）来划分区域D，那么除了包含区域D的边界点的小闭区域外，其余小区域均为小曲边四边形，如图所示。考虑一个一般性的小闭区域，即r，各自取微小增量dr，d后所形成的小曲边四边形区域，如图阴影部分。在舍去高阶无穷小的情况下，可把它近似地看成一个小矩形域，矩形的两个边长分别为dr，rd。由此得到极坐标系下二重积分的面积元素为：drdrd。又由直角坐标与极坐标的关系xrcos可知，被积函数f(x,y)f(rcos,rsin)。由此，我们将

yrsin

文档

二重积分

f(x,y)dDD化为极坐标系下的形式，即

f(x,y)df(rcos,rsin)rdrd。此式表明，要将二重积分中的变量由直角坐

D标化为极坐标，只要把被积函数中的x，y分别转换成rcos，rsin，并将面积元素d换成极坐标系下的面积元素rdrd即可。

极坐标系下的二重积分，同样可以化为二次积分来计算。

设积分区域D可用不等式组r1()rr2()，来表示，如图所示。其中

r1()，r2()在区间[,]上连续，且ri()0。(i1,2)。02。

在[,]上任意取定一个值，对应于这个值，D上的点的极径r从r1()变到r2()。于是先以r为积分变量，在区间[r1(),r2()]上作定积分，记为

F()r2()r1()f(rcos,rsin)rdr。

又因为的变化区间为[,]，于是再以为积分变量对F()在[,]上求定积分：

F()d。此积分值便为式中对应的二重积分值。从而得到极坐标系下二重积分化为二次

积分的公式为

Df(rcos,rsin)rdrddr2()r1()f(rcos,rsin)rdr。

若积分区域D由闭曲线rr()围成，且极点O在D的内部，如图所示：右边的二次积分为

20dr()0f(rcos,rsin)rdr

若积分区域D由闭曲线rr()围成，且极点O在D的边界上，如图所示：此时求出使r()0的两个角度及，则右边的二次积分为 例 3 计算

dr()0f(rcos,rsin)rdr。

Dx2y2dxdy，其中D是由x2y21与x2y24所围成的圆环在

第Ⅰ象限部分。

解 如图所示区域D，可用极坐标系下的不等式表示成：D：02，1r2。

由公式得

D7xydxdydr2dr。

1622202 例 4 计算

D4x2y2dxdy，其中D是由x2y22x所围成。

解 D是由圆曲线所围成，如图所示，其边界曲线的极坐标方程为r2cos。由于极

文档

点O在D的边界上，为了确定的积分限，令r2cos，则在极坐标系下可用不等式表示为D：22。积分区域D

22，0r2cos。由式子得

D4xydxdyd22xeD2222cos04r2rdr162。 323 例 5 计算

y2dxdy，其中D为圆域x2y2a2(a0)。

解 D如图所示，用极坐标系下的不等式表示为0ra，02，由式子得

xeD2y2dxdyderrdr(1ea)

002a22利用本例所得结果，可以计算一个重要的反常积分设 D1{(x,y)x2y2R2}，

0exdx。

2D2{(x,y)x2y22R2}，

S{(x,y)xR,yR}。

由图可见，D1SD2由于被积函数ex2y20，所以有

eD1x2y2dxdyeSxeD12x2y2dxdyeD22x2y2dxdy

由例5知而积分

y2dxdy(1eR)，exD22y2dxdy(1e2R)。

2eSx2y2dxdydxeRRRRx2ey2RRRRx2y2x2x2dyedxedyedx4edxRRR0222R11R2x22R2)。 所以 (1e)edx(1e044x令 R，上式两端趋于同一极限，于是得edx

0242第三节三重积分的计算法

一、直角坐标系下三重积分的计算方法

f(x,y,z)dxdydz称为三重积分的直角坐标系形式，称dxdydz为直角坐标系下的体

文档

积元素。

将积分区域投影到xOy面的投影柱面把的边界曲面分成下边界曲面1和上边界曲面2，其方程分别为

1：zz1(x,y) 2：zz2(x,y)

且z1(x,y)z2(x,y)。现在Dxy内任取一点(x,y)过该点作平行于z轴的直线，这直线通过1穿入，然后通过2穿出，穿入点和穿出点的竖坐标分别为z1(x,y)和z2(x,y)，于是先对固定的(x,y)Dxy，在区间[z1(x,y),z2(x,y)]上作定积分点(x,y)在Dxy内变化时，该定积分是Dxy上的二元函数，即(x,y)然后，将(x,y)在Dxy上作二重积分，可以证明，该二重积分

z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz当f(x,y,z)dz。

z2(x,y)z1(x,y)Dxy(x,y)dxdy就为三重积

分的积分值，即

f(x,y,z)dxdydzDxy(x,y)dxdyz2(x,y)f(x,y,z)dzdxdy。

z1(x,y)Dxy 上式右端的二重积分，可视Dxy的类型再化成二次积分，如若Dxy为x型域，即

Dxy{(x,y)1(x)y2(x),axb}。

则

f(x,y,z)dxdydzdxab2(x,y)1(x,y)dyz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz。称此式右端为三次积分。

例 1 计算区域。

其中是由三个坐标面及平面x2yz1所围成的有界闭xdxdydz，

解 将作为xy型空间区域，如图所示： 则 {(x,y,z)0z1x2y,(x,y)Dxy}

其中Dxy{(x,y)x0,y0,x2y1},如图所示。Dxy为x型平面区域，即

Dxy{(x,y)0y11x,0x1}，由公式得 2xdxdydzdx01x20dy1x2y0xdzdx011x20x(1x2y)dy1112。 x(1x)dx0448文档

如果将空间区域向z轴作投影得一投影区间[e,f]，且能表示成

{(x,y,z)(x,y)Dxy,ezf}。其中Dz是过点(0,0,z)且平行于xOy面的平行截

所得的平面区域，则称是z型空间区域，其特点是：当ezf时，竖坐标为z的平

面截所得的是一个平面区域Dz，如图所示：

当是z型空间区域时，对固定的z[e,f]，我们先在截面区域Dz上作二重积分

f(x,y,z)dxdy，而z在[e,f]区间上变动时该积分为z的函数，即

DZ(z)f(x,y,z)dxdy，然后将(z)在区间[e,f]上求定积分：

DZ(z)dzeffef(x,y,z)dxdydz。可以证明，该定积分值就是三重积分的值，即 DZff(x,y,z)dxdydzef(x,y,z)dxdydz。 DZ如果二重积分

f(x,y,z)dxdy能较容易地算出，其结果对z积分也比较方便，那么就

DZ可以用公式来计算三重积分。

x2y2z2例 2 计算zdxdydz，其中为椭球2221。

abc2解 将视为z型空间区域，如图所示：故可表示成：

x2y2z2其中Dz{(x,y)2212}(czc) {(x,y,z)(x,y)Dz,czc}。

abc则

z2dxdydzdzzdxdyz2(Dz)dz。其中(Dz)表示Dz的面积，由椭圆

cDZcc2cz2z2z212面积的公式得(Dz)a12b12abccc。 z22431zdzabc于是得 zdxdydzab。 c2c152c二、柱面坐标系下三重积分的计算方法

设M(x,y,z)为空间一点，点M在xOy面上的投影点P的极坐标为r，。则这样的三个数r，，z就称为点M记为M(r,,z)的柱面坐标，如图所示：这里规定r，，z

文档

的变化范围为：0r，02，z。 三组坐标面分别为：

r=常数，即以z轴为中心的圆柱面； =常数，即过z轴的半平面；

z=常数，即与xOy面平行的平面。

xrcos显然，点M的直角坐标与柱面坐标的关系为yrsin

zz现在讨论怎样把三重积分

f(x,y,z)dV中的变量从直角坐标变换成柱面坐标，为此，

用三组坐标面r=常数，=常数，z=常数，把区域分成几个小闭区域除了含的边界点的一些不规则小区域外，其余的小区域都是小柱体，先考虑由r，，z各取得微小增量dr，d，dz所构成的小柱体的体积，如图所示：

这个体积等于底面积与高的乘积。现在高是dz，底面积在不计高阶无穷小时为rdrd（即极坐标系中的面积元素）。于是得dVrdrddz，这就是柱面坐标系中的体积元素，再由关系式就可以将三重积分化为柱面坐标形式，即

f(x,y,z)dVf(rcos,rsin,z)drddz

对于上式右端的柱面坐标系下的三重积分的计算，则可化为三次积分来进行，化为三次积分时，积分限可根据r，，z在积分区域中的变化范围来确定。

例3 利用柱面坐标计算三重积分

22zxy，其中是由曲面与平面zdxdydzz4所围成的闭区域。

解 把闭区域投影到xOy面上，得半径为2的圆形闭区域D，将D用极坐标表示为

D{(r,)0r2,02}在D内任取一点(r,)，过该点作平行于z轴的直线，此

2直线通过曲面zxy即zr穿入内，然后通过平面z4穿出外，如图所示：

22因此闭区域可表示成{(r,,z)r2z4,0r2,02}。 则

zdxdydzzrdrddzdrdr2zdz00r22464。 3三、球面坐标系下三重积分的计算方法

设M(x,y,z)为空间内一点，则点M也可用这样三个有次序的数，，来确定，其中为原点O到点M的距离，为有向线段OM与z轴正向的夹角，为从z轴正向来看，自x轴正向按逆时针方向转到有向线段OP的转角，其中P为点M在xOy面上的投影，如图所示：这样的三个数，，称为点M的球面坐标，这里，，的变化范围是：

文档

0，0，02。

三组坐标面分别为

=常数，即以原点为心的球面；

=常数，即以原点为顶点，以z轴为中心轴的圆锥面；

=常数，即过z轴的半平面。

xsincos则点M的直角坐标与球面坐标的关系为ysinsin

zcos现在讨论怎样把三重积分

f(x,y,z)dV中的变量从直角坐标变换成球面坐标，现用

三组坐标面=常数，=常数，=常数把积分区域分成许多小闭区域。考虑由，，

各取得微小增量d，d，d后所成的六面体，如图所示，不计高阶无穷小，可把这个

六面体近似地看作长方体，其经线方向的长为d，纬线方向的宽为sind，向径方向的高为d，于是得dVsinddd。这就是球面坐标系中的体积元素，再由关系式就可将三重积分化为球面坐标形式，即

2If(x,y,z)dVf(sincos,sinsin,cos)2sinddd。

对于式中右端的球面坐标系下的三重积分，可把它化成对，对及对的三次积分来计算。

若积分区域的边界曲面是一个包围原点在内的闭曲面，其球面坐标方程为

(,)，则式子右端的三重积分化为I0d0d02(,)F(,,)2sind，其

中F(,,)f(sincos,sinsin,cos)。特别地，在上式中F(,,)1时，则I为球的体积，即Va432ddsinda。 0003例 4 计算三重积分zdV，其中是由半径为a的球面与半顶角为的内接锥面所

2围成的闭区域，如图所示：

解 由图知，球心在z轴上的点A(0,0,a)处，锥面的顶点在原点O，其轴与z轴重合，则球面方程为2acos，锥面方程为a，可表示成

{(,,)02acos,0,02}，

则

zdV20dd0a2acos04a4cossind(1cos6)

32文档

第四节 曲线积分

一、对弧长的曲线积分

1.对弧长的曲线积分问题举例

引例1 柱面的面积 设是一张母线平行于z轴，准线为xOy面上的曲线L的柱面的一部分，其高度h(x,y)((x,y)L)是L上的连续函数。如图所示。现在来计算的面积A。

如果的高度是常数，那么的面积就等于它的准线L的长度与它的高的乘积，而现在它的高h在L上的各点处各不相同，因此，不能用上述方法来计算。仿照计算曲边梯形面积的方法，我们用L上的点M0，M1，…，Mn把L划分成n个小段，在每一个分点处做z轴的平行线，这样就把分成n条小柱面。现在小弧段Mi1Mi上任取一点(i,i)，用

h(i,i)作为相应小柱面的底边各点的高，从而得到该小柱面面积的近似值h(i,i)si

(i1,2,,n)其中si表示弧Mi1Mi的长度。于是柱面的面积Ah(i,i)si，

i1n记max{si}，取上式0时的极限，就得所求柱面面积的精确值，

1in即Alimh(i,i)si。

0引例2 曲线形构件的质量 为了合理使用材料，有时在设计曲线形构件时，应根据构件各部分受力情况，把构件各点处粗细程度设计的不完全一样，这样得到的曲线形构件的线密度是一个变量，如果把构件看成是xOy面上的曲线弧L，并设L的线密度为(x,y)

((x,y)L)，如图所示：则可按如下方法来计算构件L的质量M。

如果构件的线密度是常量，那么它的质量就等于线密度与构件长度的乘积。然而当线密度是变量时，这方法就不适用了。于是与上例相类似，我们用L上的点M0，M1，…，Mi1，

Mi，…Mn把L划分成n个小弧段，在线密度(x,y)连续变化的条件下，可在小弧段

Mi1Mi上任取一点(i,i)，如图所示：并以(i,i)代替这小弧段上其他点处的线密度，

得到该小弧度质量的近似值为(i,i)si(i1,2,,n)。其中si表示弧Mi1Mi的长度，由此得到整个构件的质量的近似值，即M(,)siii1ni。记max{si}，取

1in上式0时的极限，就得到整个构件质量的精确值，即Mlim(i,i)si。

02.对弧长的曲线积分的定义及其性质

文档

以上两个问题虽然涉及的学科领域不同，但都可归结为同一类和式的极限，我们有 定义1 设L是xOy面内以A，B为端点的光滑曲线弧，函数f(x,y)在L上有界，在

L上任意插入一个点列A=M0，M1，…，Mn=B，把L分成n个小弧段，设第i个小弧

段Mi1Mi的长度为si，在Mi1Mi上任取一点(i,i)(i1,2,,n)作和

f(,)siii1ni，记max{si}，如果当0时，这和式的极限存在，则称此极限

1in为函数f(x,y)在L上的对弧长的曲线积分，记作

Lf(x,y)ds，即

Lf(x,y)dslimf(i,i)si。其中f(x,y)称为被积函数，L称为积分曲线弧，ds称

0i1n为弧长元素。此时也称f(x,y)在曲线弧L上是可积的，否则，称f(x,y)在曲线弧L上是不可积的。

对弧长的曲线积分也称为第一类曲线积分。

如果L是闭曲线，即L的两个端点重合，则f(x,y)在L上的第一类曲线积分记为

Lf(x,y)ds。

如果L是分段光滑曲线，即L是由有限条光滑曲线连接而成，则规定f(x,y)在L上的

一类曲线积分等于f(x,y)在各段光滑曲线弧上一类曲线积分的和。

与定积分存在条件相类似，当f(x,y)在光滑曲线L上连续，或者f(x,y)在L上有界且只有有限个间断点时，第一类曲线积分

Lf(x,y)ds一定存在。即f(x,y)在L上可积。

根据第一类曲线积分的定义，前述柱面的面积可以表示为A曲线形构件的质量可以表示为Mh(x,y)ds。

L(x,y)ds。

L3.对弧长的曲线积分的性质 由对弧长的曲线积分的定义，可推得该积分有如下性质（设所涉及的曲线积分都存在）： （1）若f(x,y)1，则

dssLL，（sL表示L的长度）。

（2）线性性质：对任意的,R，则

[f(x,y)g(x,y)]dsLLf(x,y)dsg(x,y)ds。

L（3）对弧长的可加性：设L由L1与L2连接而成，则

文档

Lf(x,y)dsf(x,y)dsf(x,y)ds。

L1L2另外，对弧长的曲线积分的概念，可推广到三元函数f(x,y,z)在空间曲线弧上的形

式，即

f(x,y,z)dslimf(i,i,i)si。其中ds为空间曲线弧长元素。

0i1n4.对弧长的曲线积分的计算方法

对弧长的曲线积分可按下述定理将其转化成定积分来计算。 定理1 设函数f(x,y)在曲线弧L上连续，曲线弧L的参数方程为

x(t) t y(t)(t)0，则曲线积分其中(t)，(t)在[,]上具有一阶连续导数，且(t)22Lf(x,y)ds存在，且

证明略。

Lf(x,y)dsf[(t),(t)](t)2(t)2dt。

由上述公式表明，计算第一类曲线积分

Lf(x,y)ds时，只要把x，y，ds依次换为

(t)，(t)，(t)2(t)2dt，然后从到计算定积分就可以了，这里必须注意，

定积分的下限一定要小于上限，这是因为在上述公式的推导中，小弧段的长度si总是正的，从而ti0，所以必须在时才能保证ti0。 如果曲线L的方程为yy(x)(axb)，则可将其写成参数式代入公式中便可求积分值。

如果曲线的方程为xx(y)，(cyd)则可将其写成参数式代入公式中便可求积分值。

在具体解题时，曲线L选择什么样的方程形式是解题的关键，选择不当可能会给求值

带来不必要的麻烦。

例 1 计算图所示：

解 现在积分曲线L的参数方程可表示成yy(t)(atb)

xtxx(t)(ctd)

ytLyds，其中L是抛物线yx2介于点O(0,0)与点A(1,1)之间的一段，如

xt0t1由公式得 2yt文档

Lyds10t21(2t)2dtt14t2dt01551。 12该积分值恰表示图中阴影部分柱面的面积。

例 2 计算

LR2x2y2ds，其中L为圆周x2y2Rx(R0)闭曲线。

解 如图所示的L，以极角为参数得到L的参数方程为

xRcos2，代入公式得 2yRcossin2LRxyds2Rsin(Rsin2)2(Rcos2)2d2R2。

2222本题若用L的直角坐标方程来计算将相当繁杂。

如果空间光滑曲线弧由参数方程xx(t)，yy(t)，zz(t)(t)给出，函数f(x,y,z)在上连续，则有

f(x,y,z)dsf[x(t),y(t),z(t)]x(t)2y(t)2z(t)2dt。

例 3 计算

f(x2y2z2)ds，其中为螺线xcost，ysint，zt上相应

于t从0到2的一段弧。

解 将螺线参数方程得

f(xyz)ds(cos2tsin2tt2)(sint)2cos2t1dt0222222(342)3二、对坐标的曲线积分

1.对坐标的曲线积分之产生背景是物理学中变力沿曲线所作的功的计算，因此先来研究如何计算变力沿曲线所作的功。

设一个质子在xOy面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B，在移动过程中，这质点受到力 F(x,y)P(x,y)iQ(x,y)j的作用，其中P(x,y)，Q(x,y)在L上连续，现计算在上述移动过程中变力F(x,y)所作的功。如图所示

如果力F是常力，且质点从A沿直线移动到B，那么常力F所作的功W等于两个向量F与AB的数量积，即WFAB。现在力F(x,y)是变力，且质点沿曲线L移动，故功W不能直接按上述公式来计算，解决此问题的关键是如何将变力化为常力，将曲线化为直线，我们用前面处理构件质量的方法来解决这个问题。

在有向线段弧L上依次选取若干个点，将L分成n个小弧段，取其中一个有向小弧段

Mi1Mi来分析。如图所示。

文档

由于Mi1Mi光滑而且很短，可以用有向线段Mi1Mi(xi)i(yi)j来近似代替该弧段，其中xixixi1，yiyiyi1，又由于P(x,y)，Q(x,y)在L上连续，现任取一点(i,i)Mi1Mi，用(i,i)点的力F(i,i)P(i,i)iQ(i,i)j来近似代替Mi1Mi上每一点的力。这样，变力F(x,y)沿Mi1Mi所作的功Wi可以近似地等于常力F(i,i)沿Mi1Mi所作的功：WiF(i,i)Mi1Mi， 即WiP(i,i)xiQ(i,i)yi，则WW[P(,)xiiii1i1nnniQ(i,i)yi]

用表示n个弧段的最大长度，令0取上述和的极限，所得到的极限自然为变力

F(x,y)沿有向曲线弧L所作的功，即Wlim[P(i,i)xiQ(i,i)yi]。

0i1这种和式的极限在研究其他问题时也会时常遇到。我们抛开这类问题的实际背景来研究这种和式的极限，从而引出下面关于对坐标的曲线积分的定义。

定义2 设LAB为xOy面内起点为A，终点为B的一条有向光滑曲线弧，函数

P(x,y)，Q(x,y)在L上有界。在L上沿L的方向任意插入一点列

AM0(x0,y0),M1(x1,y1),,Mi1(xi1,yi1),Mi(xi,yi),,Mn(xn,yn)B将L分成n个有向小弧段：Mi1Mi(i1,2,,n)。设xixixi1，yiyiyi1，任取

(i,i)Mi1Mi。如果当各小弧段长度的最大值0时，和式P(i,i)xi的极限

i1n总存在且其值不变，则称此极限值为函数P(x,y)在有向曲线弧L上对坐标x的曲线积分，

记为

Q(,)yP(x,y)dx。类似地，如果limL0iii1ni总存在且其值不变，则称此极限值为

函数Q(x,y)在有向曲线弧L上对坐标y的曲线积分，记为

Q(x,y)dy。即

LiiiP(,)xP(x,y)dxlimL0iii1ni，

Q(,)yQ(x,y)dylimL0i1n，其中P(x,y)，

Q(x,y)称为被积函数，L称为积分弧段，P(x,y)dx及Q(x,y)dy称为被积表达式。

以上两个对坐标的曲线积分也称为第二类曲线积分。

与第一类曲线积分相类似，若P(x,y)，Q(x,y)在有向光滑曲线弧L上连续，则对坐

文档

标的曲线积分

为了叙述问题方便，以后总假设P(x,y)，P(x,y)dx及Q(x,y)dy都存在。

LLQ(x,y)在L上连续。

应用上经常出现的是常把它写成

P(x,y)dxQ(x,y)dy，这种合并起来的形式，为简便起见，

LLP(x,y)dxQ(x,y)dy。

L有了对坐标的曲线积分定义，变力沿曲线所作的功可表示成：WP(x,y)dxQ(x,y)dy

L如果有向曲线弧L为分段光滑有向曲线连接而成，我们规定函数沿着有向曲线弧L的

对坐标的曲线积分等于在各段光滑有向曲线上对坐标的曲线积分之和。

对坐标的曲线积分有时用向量式表示比较简单。记F(x,y)P(x,y)iQ(x,y)j，

dr(dx)i(dy)j，则式中所表示的对坐标的曲线积分可表示成：F(x,y)dr，其中被

L积表达式为二向量的数量积。

根据对坐标的曲线积分定义，可得出对坐标的曲线积分有如下性质：

（1）如果L可分成L1和L2两段曲线弧的和，则

F(x,y)drLL1F(x,y)drF(x,y)dr。

L2（2）

。 kF(x,y)drRF(x,y)dr（k为常数）

LL（3）设LAB为有向曲线弧。LBA为与L方向相反但曲线相同的有向曲线弧，则

F(x,y)drLLF(x,y)dr。

上述对坐标的曲线积分定义可类似地推广到积分弧段为空间有向光滑曲线弧的情形：

P(,,P(x,y,z)dxlim0iii1nni)xi，

Q(,,Q(x,y,z)dylim0iii1ni)yi，

R(,,R(x,y,z)dxlim0iii1i)zi。

若记 FP(x,y,z)iQ(x,y,z)jR(x,y,z)k，dr(dx)i(dy)j(dz)k， 则

PdxQdyRdzFdr为空间有向曲线弧上的对坐标走曲线积分的向量式。

当L或为闭曲线时，对坐标的曲线积分记为：

Lf(x,y)dr或f(x,y,z)dr。

文档

2.对坐标的曲线积分的计算方法

定理2 设P(x,y)，Q(x,y)在有向曲线弧L上连续，L的参数方程为x(t)当参

y(t)数t单调地由变到时，点M(x,y)从L的起点A沿L移动到终点B，(t)，(t)在以

和为端点的区间上具有一阶连续导数，且(t)2(t)20，则曲线积分

P(x,y)dxQ(x,y)dy存在，

L且

LP(x,y)dxQ(x,y)dy{P[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dt.

公式表明，计算对坐标的曲线积分时，只要把x，y，dx，dy依次换为(t)，(t)，

(t)dt，(t)dt，然后从L的起点所对应的参数值到L的终点所对应的参数值求定

积分即可。

如果L的方程是以直角坐标形式yf(x)或xg(y)给出，则其参数方程可表示成：

yf(t)xg(t)或再确定L的起终点对应的参数值和，代入公式即可。 ytxt公式可推广到空间曲线由参数方程x(t)，y(t)，z(t)给出的情形，这样便得到

P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dz

{P[(t),(t),(t)](t)Q[(t),(t),(t)](t)R[(t),(t),(t)](t)}dt

例 1 计算

L其中曲线L是上半椭圆xacost，y2dxx2dy，ybsint由A(a,0)到

B(a,0)。

解 L如图所示，当t0时对应起点A，当t时对应终点B，于是，由公式得

422222ydxxdy[bsint(asint)acostbcost]dtab。 L0322例 2 计算

Ly2dx，其中L为（1）圆心在原点O，半径为a的上半圆周由A(a,0)到

B(a,0)（2）从点A(a,0)沿x轴到点B(a,0)的直线段。

解 L如图所示

（1）L的参数方程为xacost，yasint，t0时对应起点A，t时对应终

文档

点B。于是，由公式得：

4222ydxasint(asintdt)ab L032（2）L的参数方程为：y0，xt，t由a沿x轴到a，于是，由公式得：

Ly2dx02dt0。

aa由例2的结果可以看出，虽然两个曲线积分的被积函数相同，起点和终点也相同，但所走的路径不同，得出的值并不相等。

例 3 计算

L2xydxx2dy，其中

2（1）抛物线yx上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧； （2）抛物线xy上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧；

（3）有向折线OAB，这里O，A，B分别是点O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)。 解 L如图所示

（1）L的参数方程为：yt，xt，t从0变到1，所以得（2）L的参数方程为：xt，yt，t从0变到1，所以得（3）

2222xydxxL2dy1。

L2xydxx2dy1。

L2xydxx2dy2xydxx2dy2xydxx2dy，

OAABOA的参数方程为：y0，xt，t从0变到1，于是得2xydxx2dy0。

OAAB的参数方程为：x1，yt，t从0变到1，于是得2xydxx2dy1。

OA故

L2xydxx2dy011。

由例3的结果可以看出，同一被积函数，L的起、终点相同，虽然沿不同的路径，但曲线积分的值都相等。

例 4 计算

xdx3zy32dyx2ydz，其中是从点A(3,2,1)到点B(0,0,0)的直线段

AB。

解 直线AB的方程为：

xyz，故其参数方程为：x3t，y2t，zt，t从32111变到0，由公式得

x3dx3zy2dyx2ydz[(3t)333t(2t)22(3t)22t]dt087。 4三、两种曲线积分的关系

设有向曲线弧LAB的参数方程为x(t)，起点A，终点B分别对应参数，y(t)不妨设，即L沿t增加的方向，函数(t)，(t)在以和为端点的区间上具有一

文档

(t)0，又设P(x,y)，Q(x,y)在L上连续，于是，由对阶连续导数，且(t)22坐标的曲线积分计算公式有：

LP(x,y)dxQ(x,y)dy{P[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dt。

又因为曲线L的切向量为t{(t),(t)}，它的方向余弦为

cos(t)(t)(t)22，cos(t)(t)(t)22。由对弧长的曲线积分的计算

[P(x,y)cosQ(x,y)cos]dsL(t)(t)P[(t),(t)]Q[(t),(t)]2222(t)(t)(t)(t)2(t)2dt(t){P[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dt 由此可见，平面曲线L上的两类曲线积分之间有如下关系：

PdxQdy(PcosQcos)ds。

LL其中(x,y)，(x,y)为有向曲线弧L上点(x,y)处切线向量的方向角。

当时，由于切向量t{(t),(t)}，此时cos0，cos0，在式子两边同乘以1，式子仍然成立。

类似地可知，空间曲线上的两类曲线积分之间仍有如下的关系：

PdxQdyRdz(PcosQcosRcos)ds。其中(x,y,z)，(x,y,z)，

LL(x,y,z)为有向曲线弧上点(x,y,z)处的切线向量的方向角。

两类曲线积分之间的关系也可用向量的形式表达，例如，空间曲线上的两类曲线积分之间的关系可写成如下形式：

FdrFtds或FdrF0t0ds。其中

F{P,Q,R}，t0{cos,cos,cos}为有向曲线弧上点(x,y,z)处单位切向量， drt0ds{dx,dy,dz}称为有向曲线元，Ft0为向量F在向量t0上的投影。

第五节 曲面积分

一、对面积的曲面积分

在定义对面积的曲面积分之前，我们先对空间曲面作一些说明。所谓曲面是光滑曲面，是指曲面上各点处都具有切平面，且当点在曲面上连续移动时，切平面也连续转动。对于空间有界曲面，其上任意两点距离的最大值称为曲面的直径。有界曲面的边界闭曲线总假定为光滑或分段光滑的曲线，在此前提下来定义对面积的曲面积分。

文档

1．对面积的曲面积分的概念与性质

在本章第四节关于如何计算曲线形构件的质量的讨论中，如果把曲线改为曲面，并相应地把线密度(x,y)改为面密度(x,y,z)，小曲线弧段的长度si改为小块曲面的面积

Si，把第i小段弧上的任一点(i,i)改为第i小块曲面上任一点(i,i,i)，那么，当面

密度(x,y,z)连续时，曲面的质量M就是下列和的极限：Mlim其中表示n小块曲面的直径的最大值。

定义1设是一片光滑有界曲面，函数f(x,y,z)在上有界。将任意划分成n个小块曲面1，2，…，n，记第i小块小曲面i的面积为Si，任取一点

0(,,iii1ni)Si，

(i,i,i)i (i1,2,,n)，作和f(i,i,i)Si，如果当各小块曲面直径的最

i1n大值0时，这和式的极限总存在，则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面上的对面积的

曲面积分，记为

f(,,f(x,y,z)dS，即f(x,y,z)dSlim0iii1ni)Si。其中

f(x,y,z)称为被积函数，称为积分去面，dS称为曲面面积元素。

对面积的曲面积分又称为第一类曲面积分。

对于分片光滑曲面，我们规定函数在上的对面积的曲面积分等于函数在上的各光滑片上对面积的曲面积分的和。若为闭曲面，常将

f(x,y,z)dS写成f(x,y,z)dS。

可以证明，当函数f(x,y,z)在光滑曲面上连续时，对面积的曲面积分一定存在。 由定义可直接推得对面积的曲面积分有下列性质： （1）当f(x,y,z)1时，（2），为常数，则

dS为曲面的面积。

[f(x,y,z)g(x,y,z)]dSf(x,y,z)dSg(x,y,z)dS。

（3）若由1与2两部分构成，记12则

f(x,y,z)dSf(x,y,z)dSf(x,y,z)dS

12根据对面积的曲面积分的定义，面密度为连续函数(x,y,z)的光滑曲面的质量M，

文档

可表示为(x,y,z)在上的对面积的曲面积分：M(x,y,z)dS。

2.对面积的曲面积分的计算方法

对面积的曲面积分可转化为二重积分来计算，为了推导这一转化公式，我们先来推导曲面面积元素dS的直角坐标形式。

设光滑曲面由方程zz(x,y)给出，D为曲面在xOy面上的投影区域，函数

z(x,y)在D上具有一阶连续偏导数zx(x,y)和zy(x,y)。

在闭区域D上任取一直径很小的闭区域D其面积记为d，在D上任取一点

P(x,y)，对应曲面上有一点M(x,y,z(x,y))，点M在xOy面上的投影点为P，

点M处曲面的切平面设为T，以小闭区域D的边界为准线作母线平行于z轴的柱面，

这柱面在曲面上截下一小片曲面。由于D的直径很小，则S就近似等于dA。如图所示。设点M处曲面的法向量指向与z轴成锐角，则dAd。由于法向量cos22}，故cosn{zx,zy,12212212(zx)(zy)2，所以dA1(zx)(zy)d。

2即SdSdA1(zx)(zy)d。

上式即为曲面面积元素dS在直角坐标系下的形式。有了这一形式，就可以将曲面积分

f(x,y,z)dS转化为二重积分。

定理1 设光滑有界曲面的方程为：zz(x,y)，在xOy面上的投影区域为Dxy，若zz(x,y)在Dxy上存在一阶连续偏导数，且f(x,y,z)在上连续，则

f(x,y,z)dSf[x,y,z(x,y)]Dxy2212(zx)(zy)d。

证明略。

如果积分曲面是由方程xx(y,z)或yy(z,x)给出，也可类似地将对面积的曲面积分化成yOz面或zOx面上的二重积分。

例 1 计算曲面积分出的顶部。如图

12222xyzadS，其中是球面被平面zh(h0)截z解 的方程为： za2x2y2，在xOy面上的投影区域Dxy为圆形区域：

文档

22x2y2a2h2。又由于1(z)(z)xyaaxy222，由公式得：

1adSdxdy， 222zDxyaxy21由极坐标，得 dSd00za2h2aradr2aln。 22har例 2 计算曲面积分图所示。

2222xyza，其中为球面上y0的半球面。如yd解 的方程为：ya2x2z2，在zOx面上的投影域Dzx为圆形域：

aaxz22222x2z2a2。又由于1(yx)(yz)。由公式的变形得：

222ydaxzDzxaa2x2z2dxdya3。

二、对坐标的曲面积分

1．对坐标的曲面积分的概念及性质

由于对坐标的曲面积分的定义与曲面的侧有关，故在将定义之前先对曲面的定侧（或定向）作一点说明。

空间曲面有双侧与单侧之分，通常我们遇到的曲面都是双侧的，例如将xOy面置于水平位置，由zz(x,y)表示的曲面存在上侧与下侧；一张包围空间有界区域的闭曲面（如球面）存在内侧与外侧，以后我们总假定所考虑的曲面是双侧曲面。

在讨论对坐标的曲面积分时，需要指定曲面的侧，我们可以通过曲面上各点的法向量的指向来定出曲面的侧，例如，对于曲面zz(x,y)，如果取它的法向量n的指向朝上，我们就认为取定了曲面的上侧；此时也可用法向量与z轴正向的夹角余弦来定曲面的侧，若

cos0，则取曲面下侧；若cos0，则取曲面上侧；又如，对于闭曲面如果取它的法

向量的指向朝外，我们就认为取定了曲面的外侧，这种取定了法向量的指向亦即选定了侧的曲面，就称为有向曲面。

设是有向曲面，在上取一小块曲面，其面积记为S，把投影到xOy面上得一投影区域，该区域的面积记为()xy。假定上各点处的法向量与z轴的夹角的余弦cos有相同的符号（即cos在上不变号）。我们规定在xOy面上的投影(S)xy文档

为(S)xy()xy,cos0()xy,cos0 0,cos0其中cos0，也就是()xy0的情形。在xOy面上的投影(S)xy实际上就是给

在xOy面上的投影区域的面积赋予一个正负号。类似地可定义在yOz面和zOx面

上的投影(S)yz和(S)zx。

引例 流向曲面一侧的流量 设稳定流动（即流速与时间t无关）的不可压缩流体（设密度为1）的速度场由v(x,y,z)P(x,y,z)iQ(x,y,z)jR(x,y,z)k给出，是速度场中的一片有向有界曲面，P(x,y,z)，Q(x,y,z)，R(x,y,z)都在上连续，求在单位时间内流向曲面指定侧的流体的质量，称其为流量，记为。

如果流体流过平面上面积为A的一个闭区域，且流体在这闭区域上各点处的流速为常向量v，又设n为该平面的单位法向量，如图所示：那么在单位时间内流过这闭区域的流体组成一个底面为A，斜高为v的斜柱体。如图所示：

当(v,n)2时，这斜柱体的体积为 AvcosAvn这也就是通过闭区域A流向n所指一侧的流量（因为密度1）；当v,n2向n所指一侧的流量为零，而Avn0，故Avn；

当(v,n)时，显然流体通过闭区域A流

2时，这时我们仍把Avn称为流体通过闭区域A流向n所指一侧的流量，

它表示流体通过闭区域A实际上是流向n所指一侧的流量为Avn，因此，不论当

(v,n)为何值，流体通过闭区域A流向n所指一侧的流量均为Avn。

由于现在考虑的不是平面区域而是一片曲面，且流速v也不是常向量，因此所求流量不能直接用上述方法来计算。解决此问题的关键在于如何化曲面为平面，化变向量为常向量。处理这类问题最有效的方法就是我们引入各种积分概念的引例中一再使用的方法----微元法。

将曲面任意分成n个小块曲面i，用Si表示它的面积(i1,2,,n)，在是光滑的v在上连续的前提下，只要i的直径很小，我们就可以用i上任意一点

(i,i,i)处流速v(i,i,i)vi代替i上任一点处的流速，以点(i,i,i)处曲面的单位法向量ni代替i上任一点的单位法向量，此时可将i近似视为平面（即用点

(i,i,i)的切平面代替i），则通过i的流量i近似为viniSi(i1,2,,n)，

文档

如图所示。于是通过流向指定一侧的流量i1niviniSi。由于

i1nvi(i,i,i)P(i,i,i)iQ(i,i,i)jR(i,i,i)k， nicosiicosijcosik，

故[P(,,iii1ni)cosiQ(i,i,i)cosiR(i,i,i)cosi]Si，

由于 cosiSi(Si)yz，cosiSi(Si)zx，cosiSi(Si)xy， 因此可近似表示成：

[P(i,i,i)(Si)yzQ(i,i,i)(Si)zxR(i,i,i)(Si)xy]。

i1n当各小块曲面的直径的最大值0时，上述和式的极限存在，则该极限就是流量的精确值。抽取它们的具体意义，就得到下列对坐标的曲面积分的概念。

定义2 设为光滑的有向有界曲面，函数R(x,y,z)在上有界。把任意分成n块小曲面i，其面积记为Si，i在xOy面上的投影记为(Si)xy。任取(i,i,i)i，作和

R(,,iii1nni)(Si)xy。如果当各小块曲面的直径的最大值0时，极限

limR(i,i,i)(Si)xy总存在，则称此极限为函数R(x,y,z)在有向曲面对坐标x，

0i1记为R(x,y,z)dxdy，即R(x,y,z)dxdylimR(i,i,i)(Si)xy。 y的曲面积分，

n0i1其中R(x,y,z)称为被积函数，称为积分曲面，R(x,y,z)dxdy称为积分表达式。 类似地可以定义函数P(x,y,z)在有向曲面上对坐标y，z的曲面积分及函数Q(x,y,z)在有向曲面上对坐标z，x的曲面积分

nP(x,y,z)dydz，

Q(x,y,z)dzdx分别为：

P(,,P(x,y,z)dydzlim0iii1ni)(Si)yz，

Q(,,Q(x,y,z)dzdxlim0iii1i)(Si)zx

以上三个对坐标的曲面积分又称为第二类曲面积分。

文档

与对面积的曲面积分相类似，若P(x,y,z)，Q(x,y,z)，R(x,y,z)在有向光滑曲面上连续时，则上述三个对坐标的曲面积分是存在的。为了叙述问题方便，以后我们总假设P，

Q，R在上是连续的。

在应用上经常出现的是：

P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy，这

种合并起来的形式，为简便起见常把它写成：

P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy。

有了对坐标的曲面积分定义，上面所讨论的流向指定一侧的流量可表示为：

P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy。

如果有向曲面是分片光滑的有向曲面，我们规定函数在上对坐标的曲面积分等于函数在各片光滑有向曲面上对坐标的曲面积分之和。

对坐标的曲面积分有时用向量式表示比较简单，记

A(x,y,z)P(x,y,z)iQ(x,y,z)jR(x,y,z)k，dS(dydz)i(dzdx)j(dxdy)k。

则式中所表示的对坐标的曲面积分可表示成：

A(x,y,z)dS，其中被积表达式为二向量

的数量积。

对坐标的曲面积分具有对坐标的曲线积分相类似的一些性质，现将其叙述如下：

（1）

。 kA(x,y,z)dSkA(x,y,z)dS（k为常数）

（2）如果把分成1和2，则

A(x,y,z)dSA(x,y,z)dSA(x,y,z)dS。

12此性质可推广到分成1，2，…，n有限块的情形。 （3）设是有向曲面，表示与取相反侧的有向曲面，则

A(x,y,z)dSA(x,y,z)dS。

上式表明，当积分曲面改变为相反侧时，对坐标的曲面积分要改变符号。因此，关于

对坐标的曲面积分，我们必须注意积分曲面所取的侧，这一点与对面积的曲面积分是不同的。

当为闭曲面时，对坐标的曲面积分为：

A(x,y,z)dS。

2.对坐标的曲面积分的计算方法

与对面积的曲面积分相类似，对坐标的曲面积分的计算也是通过对曲面向坐标面投影之后，将其转化成在投影域上的二重积分来计算，针对曲面积分

介绍这种转化方法——分面投影法。 计算

R(x,y,z)dxdy。

xyR(x,y,z)dxdy时，需将曲面用方程zz(x,y)(x,y)D文档

表示出来，其中

Dxy为曲面在xOy面上的投影区域。若不能统一用一个方程zz(x,y)来表示，则需

将分成几块，使每一块都可以用一个这样的方程来表示。若zz(x,y)在Dxy上存在一

}。设n与z轴正向的夹角为，阶连续偏导数，则上任一点的法向量为n{zx,zy,1则当cos0时，表示曲面取上侧；当cos0时，表示曲面取下侧。

定理2 设曲面的方程为zz(x,y)，(x,y)Dxy，其中Dxy为曲面在xOy面上的投影区域，如果z(x,y)在区域Dxy上存在一阶连续偏导数，且函数R(x,y,z)在上连续，则

积分号前的符号当取上侧时为正，当取R(x,y,z)dxdyR[x,y,z(x,y)]dxdy。

Dxy下侧时为负。

类似地，计算

P(x,y,z)dydz及Q(x,y,z)dzdx时，将分别用方程xx(y,z)及

yy(z,x)来表示，并将曲面分别向yOz面及zOx面上的投影，则可得相应的计算公式

如下：

P(x,y,z)dydzP[x(y,z),y,z]dydz。当cos0时，右端取正；当

Dyzcos0时，右端取负，其中为曲面的法向量n与x轴正向的夹角。

Q(x,y,z)dzdxQ[x,y(x,z),z]dzdx，当cos0时，右端取正；当cos0时，

Dzx右端取负，其中为曲面的法向量n与y轴正向的夹角。

若计算形如式子所示的对坐标的曲面积分，则需将其分别计算。将分别向三个坐标面投影，方可求得结果，因而称此方法为分面投影法。

例 3 计算

xyzdxdy，其中为球面x2y2z21取其外侧。

解 由于曲面积分是对x，y进行的，所以需将曲面用显示方程zz(x,y)来表示，由于取球面的外侧，故需将分成上、下两块，如图所示：上块1的方程为：

z1x2y2，下块2的方程为：z1x2y2，1，2在xOy面上的投影域

均为Dxy{(x,y)xy1}，按题意：1取上侧，2取下侧。于是，由公式得

22xyzdxdyxyzdxdyxyzdxdy0。

12例 4 计算

(xy)dzdx，其中为平面xy3z1位于第一卦限部分，取的法

文档

向量与y轴正向成钝角的一侧。

x进行的，解 由于曲面积分是对z，所以需将曲面用显式方程y1x3z来表示，

1在zOy面上的投影域为：Dzx{(z,x)0x1,0z(1x)}。

3按题意，取左侧，如图所示。于是由公式的推广式得：

1。 (xy)dzdx[(x(1x3z)]dzdx9Dzx当所计算的对坐标的曲面积分为式中的形式时，用分面投影法比较麻烦，下面介绍一

种经一次投影便可求得的曲面积分之值的方法—合一投影法。

定理3 设曲面的方程为zz(x,y)，Dxy为在xOy面上的投影域，若z(x,y)在区域Dxy上存在一阶连续偏导数，且P，Q，R在上连续，则

P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdyP[x,y,z(x,y)](zx)Q[x,y,z(x,y)](zy)R[x,y,z(x,y)]dxdyDxy

此式右端的符号当取上侧时取正；当取下侧时取负。

事实上，当的方程为zz(x,y)，(x,y)Dxy时，其单位法向量

zyz1xn{cos,cos,cos},,222y)21(zy)21(zy)21(z)(z)(z)(zxxx由于dydzcosdS，dzdxcosdS，dxdycosdS，因此可将dydz，dzdx都转换成dxdy，即dydzcosdScoscoscosdSdxdy(zx)dxdy， coscosdzdxcosdScoscoscosdSdxdy(zy)dxdy，于是有 coscosxyPdydzQdzdxRdxdy[P(z)Q(z)R]dxdy。

对上式右端应用公式转化成在Dxy上的二重积分便得公式。

曲面积分只需经一次的投影便可转化成一个二重积分来计算，故称该方法为合一投

影法。

例 5 计算

2(zx)dydzzdxdy，其中是旋转抛物线z12(xy2)介于平面2文档

z0与z2之间部分的下侧。

解 由于定向曲面可用方程z12故我们可将所求积分合一地(xy2)来统一表示，

2转化成xOy面上的投影区域为Dxy{(x,y)x2y24}，如图所示。

zxx，zyy，由于取下侧，故由公式得

12122222(zx)dydzzdxdy(xy)x(x)(xy)dxdy42Dxy12122222(xy)xx(xy)dxdy42Dxy

由于Dxy关于y轴对称，(xy)x关于x为奇函数，故计算时先积x后积y，则其积分值为零，于是得

2(zx)dydzzdxdy142221222x(xy)dxdy4Dxy2122x(xy)dxdy2Dxy222211dr2cos2r2rdrdr3cos2r3dr8000022

顺便指出，当可用方程yy(z,x)或xx(y,z)表示时，则可将向zOx面或yOz面投影，可得到类似于公式的另外两个合一投影公式。 三、两种曲面积分的关系

设有向曲面由方程zz(x,y)给出，在xOy面上的投影区域为Dxy，函数

zz(x,y)在区域Dxy上存在一阶连续偏导数，R(x,y,z)在上连续，如果取的上侧，}。 则上任一点处的法向量n{zx,zy,1coszx1(zx)(zy)22；coszy1(zx)(zy)22；cos11(zx)(zy)22

由对坐标的曲面积分的计算公式得

R(x,y,z)dxdyR[x,y,z(x,y)]dxdy。

Dxy由对面积的曲面积分的计算公式得

R(x,y,z)cosdSR[x,y,z(x,y)]dxdy

Dxy由此便得

R(x,y,z)dxdyR(x,y,z)cosdS

文档

如果取下侧，则由公式有

R(x,y,z)dxdyR[x,y,z(x,y)]dxdy，

Dxy但这时cos11(zx)(zy)22，因此公式仍成立。

类似地可推得

P(x,y,z)dydzP(x,y,z)cosdS，

Q(x,y,z)dzdxQ(x,y,z)cosdS

合并三个式子，得两类曲面积分之间的关系：

PdydzQdzdxRdxdy[PcosQcosRcos]dS。

其中cos，cos，cos是有向曲面上点(x,y,z)处的法向量的方向余弦。

两类曲面积分之间的关系也可写成如下的向量形式：

AdSAndS 或 AdSAdS。

n其中A{P,Q,R}，n{cos,cos,cos}为有向曲面上点(x,y,z)处的单位法向量；

dSndS{dydz,dzdx,dxdy}，称为有向曲面元；An为向量A在向量n上的投影。

两种曲面积分之间的关系，可使两种曲面积分相互转化，为曲面积分的计算提供了方

便。实际上，合一投影法就是利用了这种关系使对坐标的曲面积分得以简化的。

第六节 多元函数积分学的应用

二、多元函数积分的几何应用

例 1 求半径为R的球的表面积。

解 取上半球面的方程为zR2x2y2，它在xOy面上的投影区域为

D{(x,y)x2y2R2}，由公式得上半球面的面积S1为

22由于zxS1dS1zxzydxdy，

DxRxyR222，zyyRxy222，

故 S1DRR2x2y2dxdyd022R0R2r2rdr2R2。

整个球面面积S2S14R.

2．体积的计算

若J为空间区域，则积分为上的三重积分，此时(J)()为区域的体积，

文档

即

()Vdxdydz。

例 2 求由球面xyz2az(a0)与锥面xyz围成的含有z轴部分的体积。

解 由曲面围成的空间区域，如图所示：由公式得空间区域的体积V为：

222222Vdxdydz。在xOy面上的投影区域为：D{(x,y)x2y2a2}

故 V20ddr0aaa2r20rdza3。

3.弧长的计算

在式中，若J为平面或空间曲线弧L或，则式的积分为对弧长的曲线积分，此时

(J)(L)或()为曲线弧的弧长，即(L)sLds或()ds。

LL例 3 求圆柱螺线：xacost，yasint，zkt上，相应于t从0到2的一段弧长。

解 由公式得

S2020[x(t)]2[y(t)]2[z(t)]2dt

22222(asint)(acost)kdt2ak文档