设计题目 基于巴特沃斯的滤波器设计与应用

设计题目 基于巴特沃斯的数字滤波器设计 学生信息 姓名 付嘉琦 性别 女 班级 通信1102 学号 1113024054 任务要求： （1）对数字滤波器进行分类研究。分别对有限和无限脉冲响应滤波器进行分析。 （2）对Butterworth滤波器的数字低通型，高通型，带通型，带阻型进行设计 。 （3）在MATLAB环境下实现以上滤波器的滤波特性。 （4）利用低通型Butterworth滤波器进行心电图去噪的尝试。 所需实验设备、器材、软件 应用软件：MATLAB 。 设计与制作方案、所用方法及技术路线 本次课程设计应用MATLAB，以数字信号处理为核心，分别完成低通,带通,带阻,高通数字滤波器,实现基于巴特沃斯的数字滤波器设计。 设计与制作进度 第1周：分析题目，方案设计；第2周：软件设计；第3-4周：系统仿真，完成设计。 设计与制作完成情况 本次课程设计在功能上完成了设计要求，软件仿真完成较好，而且对每个滤波器都进行了滤波，设计完全达到任务要求。 设计与制作收获及总结 通过这次课程设计使我懂得了理论与实际相结合是很重要的，只有把理论知识应用到实践中去，才能真正学以致用，从而提高了自己的实际动手能力和独立思考能力。结果并不是很重要，过程才是美好的经历。 学生签字 年 月 日 设计与制作成绩（五级制） 指导老师签字 年 月 日 教研室意见 教研室主任签字 年 月 日 备注：学生除填写本表相应的内容外，还应撰写一份完整的设计与制作报告（1.题目；2.目的；3.原理；4.器材；5.方案；6.说明等）

I

基于巴特沃斯的数字滤波器设计

基于巴特沃斯的数字滤波器设计

付嘉琦

(陕西理工学院物理与电信工程学院通信专业1102班，陕西 汉中 723000)

指导教师：陈莉

[摘 要]本文分析了国内外数字滤波技术的应用现状与发展趋势，介绍了数字滤波器的基本结构，并深入分

析了该滤波器系统设计的功能特点、实现原理以及技术关键，阐述了使用Matlab进行滤波器设计及仿真的具体方法，而且设计了以Matlab为基础的基于巴特沃斯型的低通、带通、带阻、高通数字滤波器。调试结果表明，本系统功能已达到设计的各项要求。

[关键词] Matlab;巴特沃斯；数字滤波器；

II

基于巴特沃斯的数字滤波器设计

Digital Filter Design with Butterworth

Fu Jiaqi

(Grade11,Class 2,Major of Communication Engineering，School of Physics and telecommunication

Engineering of Shaanxi University of Technology, Hanzhong 723001,China)

Tutor: Chen Li

[Abstract] This paper analyzes the situation of application and development of digital filter technology home and abroad. It introduces the basic structure of a digital filter and deeply analyzes the design features and principles of the filter system and the key technical in the design. Then it describs the use of Matlab in design and simulation of the digital filte design. And design based on Matlab with butterworth lowpass, bandpass, band stop, highpass digital filter .The result enunciation of debug, various functions of this system are already all request of this design. [Keywords] Matlab; Butterworth；Digital Filter;

III

基于巴特沃斯的数字滤波器设计

目录

1.数字滤波器的简介 .................................................................................................................................. 1

1.1 数字滤波器的研究背景 ................................................................................................................ 1 1.2 数字滤波器的研究意义 ................................................................................................................ 1 1.3 数字滤波器的应用现状 ................................................................................................................ 1 1.4 数字滤波器的发展趋势 ................................................................................................................ 3 2.系统的总体设计 ...................................................................................................................................... 4

2.1数字滤波器的实现方法分析 ........................................................................................................ 4 2.2数字滤波器的基本结构 ................................................................................................................ 4

2.2.1 IIR滤波器的基本结构 .................................................................................................... 4 2.2.2 FIR滤波器的基本结构 .................................................................................................... 6 2.2.3 IIR数字滤波器的设计方法 ............................................................................................ 7 2.2.4 FIR数字滤波器的设计方法 ........................................................................................... 8 2.2.5 IIR滤波器与FIR滤波器的分析比较 ............................................................................ 9 2.3数字滤波器的设计原理 ............................................................................................................... 10 2.4本章小节 ....................................................................................................................................... 11 3. 数字滤波器的算法设计 ........................................................................................................................ 12

3.1由模拟滤波器设计IIR数字滤波器 ........................................................................................... 12 3.2巴特沃斯滤波器........................................................................................................................... 12 3.3 MATLAB概述 ........................................................................................................................... 13 3.4用MATLAB设计数字滤波器 .................................................................................................... 14 4.滤波器仿真过程 ..................................................................................................................................... 15

4.1设定系统的仿真对象 ................................................................................................................... 15 4.2系统对象滤波器设计方法 ........................................................................................................... 15 4.3 MATLAB程序仿真及结果分析 ................................................................................................. 15

4.3.1 低通数字滤波器仿真设计 ............................................................................................... 15 4.3.2 带通数字滤波器仿真设计 ............................................................................................... 16 4.3.3 带阻数字滤波器仿真设计 ............................................................................................... 17 4.3.4 高通数字滤波器仿真设计 ............................................................................................... 18 4.3.5数字滤波器整体仿真结果 ................................................................................................ 18

5.总结及体会 ............................................................................................................................................. 21 致谢 ............................................................................................................................................................ 22 参考文献 .................................................................................................................................................... 23

IV

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1.数字滤波器的简介 1.1 数字滤波器的研究背景

当今，数字信号处理(DSP：Digtal Signal Processing)技术正飞速发展，它不但自成一门学科，更是以不同形式影响和渗透到其他学科：它与国民经济息息相关，与国防建设紧密相连；它影响或改变着我们的生产、生活方式，因此受到人们普遍的关注。

MATLAB是由美国Mathworks公司推出的用于数值计算和图形处理的科学计算系统环境。MATLAB是英文MATrix LABoratory（矩形实验室）的缩写。在MATLAB环境下，用户可以集成地进行程序设计，数值计算，图形绘制，输入输出，文件管理等各项操作。除此之外，MATLAB还具有很强的功能扩展能力，与它的主系统一起，可以配备各种各样的工具箱，以完成一些特定的任务。目前，Mathworks公司推出了18种工具箱。用户可以根据自己的工作任务，开发自己的工具箱。

数字化、智能化和网络化是当代信息技术发展的大趋势，而数字化是智能化和网络化的基础，实际生活中遇到的信号多种多样，例如广播信号、电视信号、雷达信号、通信信号、导航信号、射电天文信号、生物医学信号、控制信号、气象信号、地震勘探信号、机械振动信号、遥感遥测信号，等等。上述这些信号大部分是模拟信号，也有小部分是数字信号。模拟信号是自变量的连续函数，自变量可以是一维的，也可以是二维或多维的。大多数情况下一维模拟信号的自变量是时间，经过时间上的离散化(采样)和幅度上的离散化(量化)，这类模拟信号便成为一维数字信号。因此，数字信号实际上是用数字序列表示的信号，语音信号经采样和量化后，得到的数字信号是一个一维离散时间序列；而图像信号经采样和量化后，得到的数字信号是一个二维离散空间序列。数字信号处理，就是用数值计算的方法对数字序列进行各种处理，把信号变换成符合需要的某种形式。例如，对数字信号经行滤波以限制他的频带或滤除噪音和干扰，或将他们与其他信号进行分离；对信号进行频谱分析或功率谱分析以了解信号的频谱组成，进而对信号进行识别；对信号进行某种变换，使之更适合于传输，存储和应用；对信号进行编码以达到数据压缩的目的，等等。

1.2 数字滤波器的研究意义

与模拟滤波器相对应，在离散系统中广泛应用数字滤波器。它的作用是利用离散时间系统的特性对输入信号波形或频率进行加工处理。或者说，把输入信号变成一定的输出信号，从而达到改变信号频谱的目的。数字滤波器一般可以用两种方法来实现：一种方法是用数字硬件装配成一台专门的设备，这种设备称为数字信号处理机；另一种方法就是直接利用通用计算机，将所需要的运算编成程序让通用计算机来完成，即利用计算机软件来实现。

模拟滤波器在测试系统或专用仪器仪表中是一种常用的变换装置。例如：带通滤波器用作频谱分析仪中的选频装置；低通滤波器用作数字信号分析系统中的抗频混滤波；高通滤波器被用于声发射检测仪中剔除低频干扰噪声；带阻滤波器用作电涡流测振仪中的陷波器，等等。数字滤波器与模拟滤波器相比，具有精度高、稳定、体积小、重量轻、灵活、不要求阻抗匹配以及能实现模拟滤波器无法进行的特殊滤波等优点。

数字滤波技术是数字信号分析、处理技术的重要分支。无论是信号的获取、传输，还是信号的处理和交换都离不开滤波技术，它对信号安全可靠和有效灵活地传输是至关重要的。在所有的电子系统中，使用最多技术最复杂的要算数字滤波器了。数字滤波器的优劣直接决定产品的优劣。

1.3 数字滤波器的应用现状

在信号处理过程中，所处理的信号往往混有噪音，从接收到的信号中消除或减弱噪音是信号传

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输和处理中十分重要的问题。根据有用信号和噪音的不同特性，提取有用信号的过程称为滤波，实现滤波功能的系统称为滤波器。在近代电信设备和各类控制系统中，数字滤波器应用极为广泛，这里只列举部分应用最成功的领域。 (1) 语音处理

语音处理是最早应用数字滤波器的领域之一，也是最早推动数字信号处理理论发展的领域之一。该领域主要包括5个方面的内容：第一，语音信号分析。即对语音信号的波形特征、统计特性、模型参数等进行分析计算；第二，语音合成。即利用专用数字硬件或在通用计算机上运行软件来产生语音；第三，语音识别。即用专用硬件或计算机识别人讲的话，或者识别说话的人；第四，语音增强。即从噪音或干扰中提取被掩盖的语音信号。第五，语音编码。主要用于语音数据压缩，目前已经建立了一系列语音编码的国际标准，大量用于通信和音频处理。近年来，这5个方面都取得了不少研究成果，并且，在市场上已出现了一些相关的软件和硬件产品，例如，盲人阅读机、哑人语音合成器、口授打印机、语音应答机，各种会说话的仪器和玩具，以及通信和视听产品大量使用的音频压缩编码技术。 (2) 图像处理

数字滤波技术以成功地应用于静止图像和活动图像的恢复和增强、数据压缩、去噪音和干扰、图像识别以及层析X射线摄影，还成功地应用于雷达、声纳、超声波和红外信号的可见图像成像。 (3) 通信

在现代通信技术领域内，几乎没有一个分支不受到数字滤波技术的影响。信源编码、信道编码、调制、多路复用、数据压缩以及自适应信道均衡等，都广泛地采用数字滤波器，特别是在数字通信、网络通信、图像通信、多媒体通信等应用中，离开了数字滤波器,几乎是寸步难行。其中，被认为是通信技术未来发展方向的软件无线电技术，更是以数字滤波技术为基础。 (4) 电视

数字电视取代模拟电视已是必然趋势。高清晰度电视的普及指日可待，与之配套的视频光盘技术已形成具有巨大市场的产业；可视电话和会议电视产品不断更新换代。视频压缩和音频压缩技术所取得的成就和标准化工作，促成了电视领域产业的蓬勃发展，而数字滤波器及其相关技术是视频压缩和音频压缩技术的重要基础。 (5) 雷达

雷达信号占有的频带非常宽，数据传输速率也非常高，因而压缩数据量和降低数据传输速率是雷达信号数字处理面临的首要问题。告诉数字器件的出现促进了雷达信号处理技术的进步。在现代雷达系统中，数字信号处理部分是不可缺少的，因为从信号的产生、滤波、加工到目标参数的估计和目标成像显示都离不开数字滤波技术。雷达信号的数字滤波器是当今十分活跃的研究领域之一。 (6) 声纳

声纳信号处理分为两大类，即有源声纳信号处理和无源声纳信号处理，有源声纳系统涉及的许多理论和技术与雷达系统相同。例如，他们都要产生和发射脉冲式探测信号，他们的信号处理任务都主要是对微弱的目标回波进行检测和分析，从而达到对目标进行探测、定位、跟踪、导航、成像显示等目的，他们要应用到的主要信号处理技术包括滤波、门限比较、谱估计等。 (7) 生物医学信号处理

数字滤波器在医学中的应用日益广泛，如对脑电图和心电图的分析、层析X射线摄影的计算机辅助分析、胎儿心音的自适应检测等。 (8) 音乐

数字滤波器为音乐领域开辟了一个新局面，在对音乐信号进行编辑、合成、以及在音乐中加入交混回响、合声等特殊效果特殊方面，数字滤波技术都显示出了强大的威力。数字滤波器还可用于作曲、录音和播放，或对旧录音带的音质进行恢复等。 (9) 其他领域

数字滤波器的应用领域如此广泛，以至于想完全列举他们是根本不可能的，除了以上几个领域外，还有很多其他的应用领域。例如，在军事上被大量应用于导航、制导、电子对抗、战场侦察；

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在电力系统中被应用于能源分布规划和自动检测；在环境保护中被应用于对空气污染和噪声干扰的自动监测，在经济领域中被应用于股票市场预测和经济效益分析，等等。

1.4 数字滤波器的发展趋势

数字滤波器精确度高、使用灵活、可靠性高，具有模拟设备所没有的许多优点，已广泛地应用于各个科学技术领域, 例如数字电视、语音、通信、雷达、声纳、遥感、图像、生物医学以及许多工程应用领域。随着信息时代数字时代的到来，数字滤波技术已经成为一门极其重要的学科和技术领域。以往的滤波器大多采用模拟电路技术，但是，模拟电路技术存在很多难以解决的问题，例如，模拟电路元件对温度的敏感性，等等。而采用数字技术则避免很多类似的难题，当然数字滤波器在其他方面也有很多突出的优点，在前面部分已经提到，这些都是模拟技术所不能及的，所以采用数字滤波器对信号进行处理是目前的发展方向。

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2.系统的总体设计

2.1数字滤波器的实现方法分析

数字滤波器的实现，大体上有如下几种方法： (1) 在通用的微型机上用软件来实现。

软件可以由使用者自己编写或使用现成的。自IEEE DSP Comm.于1979年推出第一个信号处理软件包以来，国外的研究机构、公司也陆续推出不同语言不同用途的信号处理软件包。这种实现方法速度较慢，多用于教学与科研。

(2) 用单片机来实现。

目前单片机的发展速度很快，功能也很强依靠单片机的硬件环境和信号处理软件可用于工程实际，如数字控制、医疗仪器等。

(3) 利用专门用于信号处理的DSP片来实现。

DSP芯片较之单片机有着更为突出的优点，如内部带有乘法器、累加器，采用流水线工作方式及并行结构，多总线，速度快，配有适于信号处理的指令等，DSP芯片的问世及飞速发展，为信号处理技术应用于工程实际提供了可能。

数字滤波器可以用查分方程、单位取样响应以及系统函数等表示。对于研究系统的实现方法，即它的运算结构来说，用框图表示最为直接。

一个给定的输入输出关系，可以用多种不同的数字网络来实现。在不考虑量化影响时，这些不同的实现方法是等效的；但在考虑量化影响时，这些不同的实现方法性能上就有差异。因此，运算结构是很重要的，同一系统函数H(z)，运算结构的不同，将会影响系统的精度、误差、稳定性、经济性以及运算速度等许多重要性能。IIR(无限冲激响应)滤波器与FIR(有限冲激响应)滤波器在结构上有自己不同的特点，在设计时需综合考虑。 2.2数字滤波器的基本结构

作为线形时不变系统的数字滤波器可以用系统函数来表示，而实现一个系统函数表达式所表示的系统可以用两种方法：一种方法是采用计算机软件实现；另一种方法是用加法器、乘法器、和延迟器等元件设计出专用的数字硬件系统，即硬件实现。不论软件实现还是硬件实现，在滤波器设计过程中，由同一系统函数可以构成很多不同的运算结构。对于无限精度的系数和变量，不同结构可能是等效的，与其输入和输出特性无关；但是在系数和变量精度是有限的情况下，不同运算结构的性能就有很大的差异。因此，有必要对离散时间系统的结构有一基本认识。 2.2.1 IIR滤波器的基本结构

一个数字滤波器可以用系统函数表示为：

H(z)bzkk0Nk1Mk1akzkY(z) X(z)(2-1)

由这样的系统函数可以得到表示系统输入与输出关系的常系数线形差分程为：

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y(n)aky(nk)bkx(nk)

k0k0NM(2-2)

可见数字滤波器的功能就是把输入序列x(n)通过一定的运算变换成输出序列y(n)。不同的运算处理方法决定了滤波器实现结构的不同。无限冲激响应滤波器的单位抽样响应h(n)是无限长的，其差分方程如(2-2)式所示，是递归式的，即结构上存在着输出信号到输入信号的反馈，其系统函数具有(2-1)式的形式，因此在z平面的有限区间(0<︱z︱<∞)有极点存在。

前面已经说明，对于一个给定的线形时不变系统的系统函数，有着各种不同的等效差分方程或网络结构。由于乘法是一种耗时运算，而每个延迟单元都要有一个存储寄存器，因此采用最少常熟乘法器和最少延迟支路的网络结构是通常的选择，以便提高运算速度和减少存储器。然而，当需要考虑有限寄存器长度的影响时，往往也采用并非最少乘法器和延迟单元的结构。

IIR滤波器实现的基本结构有： (1)IIR滤波器的直接型结构；

优点：延迟线减少一半，变为N 个，可节省寄存器或存储单元； 缺点：其它缺点同直接I型。

通常在实际中很少采用上述两种结构实现高阶系统，而是把高阶变成一系列不同组合的低阶系统(一、二阶)来实现。 (2)IIR滤波器的级联型结构；

特点：

• 系统实现简单，只需一个二阶节系统通过改变输入系数即可完成； • 极点位置可单独调整； • 运算速度快(可并行进行)；

• 各二阶网络的误差互不影响，总的误差小，对字长要求低。 缺点：

不能直接调整零点，因多个二阶节的零点并不是整个系统函数的零点，当需要准确的传输零点时，级联型最合适。

(3)IIR滤波器的并联型结构。 优点：

• 简化实现，用一个二阶节，通过变换系数就可实现整个系统；

• 极、零点可单独控制、调整，调整α1i、α2i只单独调整了第i对零点，调整β1i、β2i则单独

调整了第i对极点；

• 各二阶节零、极点的搭配可互换位置，优化组合以减小运算误差； • 可流水线操作。 缺点：

• 二阶阶电平难控制，电平大易导致溢出，电平小则使信噪比减小。

a、直接型 b、并联型

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c、串联型

图2-1 IIR滤波器的基本结构

2.2.2 FIR滤波器的基本结构

FIR滤波器[7]的单位抽样响应为有限长度，一般采用非递归形式实现。通常的FIR数字滤波器有横截性和级联型两种。

FIR滤波器实现的基本结构有： (1)FIR滤波器的横截型结构

表示系统输入输出关系的差分方程可写作：

y(n)h(m)x(nm)

m0N1 (2-3)

直接由差分方程得出的实现结构如图2-2所示：

图2-2 横截型(直接型﹑卷积型)

若h(n)呈现对称特性，即此FIR滤波器具有线性相位，则可以简化加横截型结构，下面分情况讨论：

图2-3 为奇数时线形相位FIR滤波器实现结构 图2-4 N为偶数时线性相位FIR滤波器实现结构 (2)FIR滤波器的级联型结构

将H(z)分解成实系数二阶因子的乘积形式：

(2-4)

N0k1

这时FIR滤波器可用二阶节的级联结构来实现，每个二阶节用横截型结构实现。如图所示：

H(z)

h(n)zN1Nb0kb1kz1b2kz2

[N]2 第 6 页 共 27 页

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图2-5 FIR滤波器的级联结构

这种结构的每一节控制一对零点，因而在需要控制传输零点时可以采用这种结构。 2.2.3 IIR数字滤波器的设计方法

目前，IIR数字滤波器设计最通用的方法是借助于模拟滤波器的设计方法。模拟滤波器设计已经有了一套相当成熟的方法，它不但有完整的设计公式，而且还有较为完整的图表供查询，因此，充分利用这些已有的资源将会给数字滤波器的设计带来很大方便，IIR数字滤波器的设计步骤是： (1)按一定规则将给出的数字滤波器的技术指标转换为模拟滤波器的技术指标； (2)根据转换后的技术指标设计模拟低通滤波器H(s)； (3)在按一定规则将H(s)转换为H(z)。

若所设计的数字滤波器是低通的，那么上述设计工作可以结束，若所设计的是高通、带通或 者带阻滤波器，那么还有步骤：

(4)将高通、带通或者带阻数字滤波器的技术指标先转化为低通滤波器的技术指标，然后按上述步 骤(2)设计出模拟低通滤波器H(s)，再由冲击响应不变法或双线性变换将H(s)转换为所需的H(z)。 s-z 映射的方法有：冲激响应不变法、阶跃响应不变法、双线性变换法等。下面讨论双线性变换法。

[8]

双线性变换法是指首先把s 平面压缩变换到某一中介平面s1 的一条横带(宽度为2πT,即从-

sTπT到πT) ,然后再利用ze1的关系把s1平面上的这条横带变换到整个z 平面。这样s 平面与z 平面是一一对应关系, 消除了多值变换性, 也就消除了频谱混叠现象。

s 平面到z 平面的变换可采用tan(1T) (2-5)

2jeej1T21T2eej1T21T2 (2-6)

jj令 js，j1s1有：

sees1T2s1T2ees1T2s1T21es1T (2-7) 1es1T从s1 平面到z 平面的变换,即 zes1T (2-8) 代入上式，得到： s1z1 (2-9)

1z 一般来说，为使模拟滤波器的某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系，可引入代定常数c， ctan(1T) (2-10)

21 第 7 页 共 27 页

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11z则 sc (2-11) 1z1这种s 平面与z 平面间的单值映射关系就是双线性变换。有了双线性变换，模拟滤波器的数字化只须用进行置换。

2.2.4 FIR数字滤波器的设计方法

IIR滤波器[7]的优点是可利用模拟滤波器设计的结果，缺点是相位是非线性的，若需要线性相位，则要用全通网络进行校正。FIR滤波器的优点是可方便地实现线性相位。

FIR滤波器单位冲激响应h(n)的特点： 其单位冲激响应h(n)是有限长(),系统函数为：

H(z)h(n)zn

n0N1 (2-12)

在有限Z平面有(N-1)个零点，而它的(N-1)个极点均位于原点z=0处。 FIR滤波器线性相位的特点：

如果FIR滤波器的单位抽样响应h(n)为实数，而且满足以下任一条件： 偶对称h(n)＝h(N-1-n) 奇对称h(n)＝h(N-1-n)

其对称中心在n＝(N-1)/2处，则滤波器具有准确的线性相位。

(1)窗函数设计法：

一般是先给定所要求的理想滤波器频率响应Hd(ej)，由Hd(ej)导出hd(n)，我们知道理想滤波器的冲击响应hd(n)是无限长的非因果序列，而我们要设计的是hd(n)是有限长的FIR滤波器，所以要用有限长序列hd(n)来逼近无限长序列hd(n)，设：

hd(n)12Hd(ej)ejd

即：

(2-13)

常用的方法是用有限长度的窗函数w(n)来截取

h(n)(n)hd(n)

(2-14)

这里窗函数就是矩形序列RN(n),加窗以后对理想低通滤波器的频率响应将产生什么样的影响呢?根据在时域是相乘关系,在频域则是卷积关系：

H(ej)12Hd(ej)WR[ej()]d

(2-15)

其中,为矩形窗谱, H(ej)是FIR滤波器频率响应. 通过频域卷积过程看的幅度函数H(ω)的起伏现象,可知,加窗处理后，对理想矩形的频率响应产生以下几点影响：

(1)使理想频率特性不连续点处边沿加宽，形成一个过渡带，其宽度等于窗的频率响应的主瓣宽度。

(2)在截止频率的两边的地方即过渡带的两边，出现最大的肩峰值，肩峰的两侧形成起伏振荡，其

振荡幅度取决于旁瓣的相对幅度，而振荡的多少，则取决于旁瓣的多少。

(3)改变N，只能改变窗谱的主瓣宽度，改变ω的坐标比例以及改变的绝对值大小，但不能改变主

瓣与旁瓣的相对比例(此比例由窗函数的形状决定)。

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(4)对窗函数的要求

a、窗谱主瓣尽可能窄，以获取较陡的过渡带；

b、尽量减小窗谱的最大旁瓣的相对幅度；即能量集中于主瓣，使肩峰和波纹减小，增大阻带的衰减。

(2)频率采样法： 窗函数设计法是从时域出发，把理想的hd(n)用一定形状的窗函数截取成有限长的h(n)，来近似理想的hd(n)，这样得到的频率响应逼近于所要求的理想的频率响应。 频率抽样法则是从频域出发，把给定的理想频率响应加以等间隔抽样得到

然后以此作为实际FIR滤波器的频率特性的抽样值H(k)，即

Hd(k)Hd(ejw)|2

kN，

(2-16)

知道H(k)后，由DFT定义可唯一确定有限长序列 h(n)，利用这N个频域抽样值H(k)同样利用频率内插公式可得FIR滤波器的系统函数H(z)，及频率响应 ，即：

频率抽样法内插公式：

频率抽样法小结

1zNH(z)N1Wk0N1H(k) k1Nz(2-17)

优点：可以在频域直接设计，并且适合于最优化设计。

缺点：抽样频率只能等于 2π/N 的整数倍，或等于2π/N 的整数倍加上π/N。因而不能确保截止频率的自由取值，要想实现自由地选择截止频率，必须增加抽样点数N，但这又使计算量增

大。

为了提高逼近质量，减少通带边缘由于抽样点的陡然变化而引起的起伏振荡。有目的地在理想频率响应的不连续点的边缘，加上一些过渡的抽样点，增加过渡带，减少起伏振荡。

2.2.5 IIR滤波器与FIR滤波器的分析比较

前面已经介绍了IIR和FIR数字滤波器的设计方法，选择哪一种滤波器取决于每种类型滤波器的优点在设计中的重要性。为了能在实际工作中恰当地选用合适的滤波器，现将两种滤波器特点比较分析[]如下：

(1) 选择数字滤波器是必须考虑经济问题，通常将硬件的复杂性、芯片的面积或计算速度等作为衡量经济问题的因素。在相同的技术指标要求下，由于IIR数字滤波器存在输出对输入的反馈，因此可以用较少的阶数来满足要求，所用的存储单元少，运算次数少，较为经济。例如，用频率抽样法设计一个阻带衰减为20dB的FIR数字滤波器，要33阶才能达到要求，而用双线性变换法只需4～5阶的切比雪夫IIR滤波器就可达到同样的技术指标。这就是说FIR滤波器的阶数要高5～10倍左右。

(2) 在很多情况下,FIR数字滤波器的线性相位与它的高阶数带来的额外成本相比是非常值得的。对于IIR滤波器，选择性越好，其相位的非线性越严重。如果要使IIR滤波器获得线性相位，又满足幅度滤波器的技术要求，必须加全通网络进行相位校正，这同样将大大增加滤波器的阶数。就这一点来看，FIR滤波器优于IIR滤波器。

(3) FIR滤波器主要采用非递归结构，因而无论是理论上还是实际的有限精度运算中他都是稳定的，有限精度运算误差也较小。IIR滤波器必须采用递归结构，极点必须在z平面单位圆内才能稳定。对于这种结构，运算中的舍入处理有时会引起寄生振荡。 第 9 页 共 27 页

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(4) 对于FIR滤波器，由于冲激响应是有限长的，因此可以用快速傅里叶变换算法，这样运算速度可以快得多。IIR滤波器不能进行这样的运算。

(5) 从设计上看，IIR滤波器可以利用模拟滤波器设计的现成的闭合公式、数据和表格，可以用完整的设计公式来设计各种选频滤波器。一旦选定了已知的一种逼近方法(如巴特奥兹，切比雪夫等)，就可以直接把技术指标带入一组设计方程计算出滤波器的阶次和系统函数的系数(或极点和零点)。FIR滤波器则一般没有现成的设计公式。窗函数法只给出了窗函数的计算公式，但计算通带和阻带衰减仍无显式表达式。一般FIR滤波器设计仅有计算机程序可资利用，因而要借助于计算机。

(6) IIR滤波器主要是设计规格化、频率特性为分段常数的标准低通、高通、带通和带阻滤波器。FIR滤波器则灵活很多，例如频率抽样法可适应各种幅度特性和相位特性的要求。因此FIR滤波器可设计出理想正交变换器、理想微分器、线性调频器等各种网络，适应性很广。而且，目前已经有很多FIR滤波器的计算机程序可供使用。

表2-1 两种滤波器特点比较分析

设计方法 FIR滤波器 一般无解析的设计公式，要借助计算机程序完成 可得到幅频特性(可以多带)和线性相位(最大优点) 极点全部在原点(永远稳定)无稳定性问题 高 非递归系统 一般无反馈，运算误差小 IIR滤波器 利用AF的成果，可简单、有效地完成设计 只能得到幅频特性，相频特性未知，如需要线性相位，须用全通网络校准，但增加滤波器阶数和复杂性 有稳定性问题 低 递归系统 有反馈，由于运算中的四舍五入会产生极限环 设计结果 稳定性 阶数 结构 运算误差

2.3数字滤波器的设计原理

数字滤波器根据其冲激响应函数的时域特性，可分为两种，即无限长冲激响应(IIR)滤波器和有

限长冲激响应(FIR)滤波器。IIR滤波器的特征是，具有无限持续时间冲激响应。这种滤波器一般需要用递归模型来实现，因而有时也称之为递归滤波器。FIR滤波器的冲激响应只能延续一定时间，在工程实际中可以采用递归的方式实现，也可以采用非递归的方式实现。数字滤波器的设计方法有多种，如双线性变换法、窗函数设计法、插值逼近法和Chebyshev逼近法等等。随着MATLAB软件尤其是MATLAB的信号处理工作箱的不断完善，不仅数字滤波器的计算机辅助设计有了可能，而且还可以使设计达到最优化。

数字滤波器设计的基本步骤如下： (1)确定指标

在设计一个滤波器之前，必须首先根据工程实际的需要确定滤波器的技术指标。在很多实际应用中，数字滤波器常常被用来实现选频操作。因此，指标的形式一般在频域中给出幅度和相位响应。

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幅度指标主要以两种方式给出。第一种是绝对指标。它提供对幅度响应函数的要求，一般应用于FIR滤波器的设计。第二种指标是相对指标。它以分贝值的形式给出要求。在工程实际中，这种指标最受欢迎。对于相位响应指标形式，通常希望系统在通频带中具有线性相位。运用线性相位响应指标进行滤波器设计具有如下优点：①只包含实数算法，不涉及复数运算；②不存在延迟失真，只有固定数量的延迟；③长度为N的滤波器(阶数为N-1)，计算量为N/2数量级。因此，本文中滤波器的设计就以线性相位FIR滤波器的设计为例。

(2)逼近

确定了技术指标后，就可以建立一个目标的数字滤波器模型。通常采用理想的数字滤波器模型。之后，利用数字滤波器的设计方法，设计出一个实际滤波器模型来逼近给定的目标。

(3)性能分析和计算机仿真

上两步的结果是得到以差分或系统函数或冲激响应描述的滤波器。根据这个描述就可以分析其频率特性和相位特性，以验证设计结果是否满足指标要求；或者利用计算机仿真实现设计的滤波器，再分析滤波结果来判断。

滤波器的性能指标

我们在进行滤波器设计时，需要确定其性能指标。一般来说，滤波器的性能要求往往以频率响应的幅度特性的允许误差来表征。以低通滤波器特性为例，频率响应有通带、过渡带及阻带三个范围。

在通带内： 1- AP≤| H(ejω)| ≤1 |ω|≤ωc 在阻带中： |H(ejω)| ≤ Ast ωst ≤|ω|≤ωc 其中ωc 为通带截止频率, ωst为阻带截止频率，Ap为通带误差, Ast

为阻带误差。

与模拟滤波器类似，数字滤波器按频率特性划分为低通、高通、带通、带阻、全通等类型，由于数字滤波器的频率响应是周期性的，周期为2π。各种理想数字滤波器的幅度频率响应如图所示： 图2-6低通滤波器频率响应幅

度特性的容限图

图2-7 各种理想数字滤波器的幅度频率响应

2.4本章小节

本章主要介绍了IIR滤波器和FIR滤波器的性能指标、设计方法和各自的特点及优势。分析本次要讨论的问题，根据需要，从技术指标上来看两种均可实现；从实现设计方法来看，IIR较为合适；从完成设计所用的硬件成本来看，IIR更为适宜。因此，决定采用IIR算法来进行设计。

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3. 数字滤波器的算法设计

3.1由模拟滤波器设计IIR数字滤波器

在之前的部分中已经说明，理想的滤波器是非因果的，即物理上不可实现的系统。工程上常用的模拟滤波器都不是理想的滤波器。但按一定规则构成的实际滤波器的幅频特性可逼近理想滤波器的幅频特性，例如巴特奥兹(Butterworth)、切比雪夫(Chebyshev)滤波器和椭圆滤波器等。 3.2巴特沃斯滤波器

巴特沃斯波器(Butterworth 滤波器)

特点：具有通带内最大平坦的振幅特性，且随f↗，幅频特性单调↘。 其幅度平方函数：

A()Ha(j)221j1jc2N (3-1)

N为滤波器阶数，如图3-1

图3-1 巴特沃斯滤波器振幅平方特性

通带： 使信号通过的频带 阻带：抑制噪声通过的频带

过渡带：通带到阻带间过渡的频率范围 Ωc ：截止频率。

过渡带为零

理想滤波器 阻带|H(jΩ )|=0

通带内幅度|H(jΩ)|=cons.

H(jΩ)的相位是线性的

图3-1中，N增加，通带和阻带的近似性越好，过渡带越陡。 通带内，分母Ω/Ωc<1, ( Ω/Ωc)2N<1，A(Ω2)→1。

过渡带和阻带，Ω/Ωc>1， ( Ω/Ωc)2N>1, Ω增加， A(Ω2) 快速减小。

2Ω=Ωc, A(2)1,A(c)1,幅度衰减，相当于3db衰减点。

2A(0)2振幅平方函数的极点

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Ha(S)•Ha(S)1(1S)2Njc (3-2)

可见，Butter worth滤波器 的振幅平方函数有2N个极点，它们均匀对称地分布在|S|=Ωc的圆周上。

考虑到系统的稳定性，知DF的系统函数是由S平面左半部分的极点(SP3，SP4，SP5)组成的，它们分别为：

系统函数为：

Ha(s)3 c(SSp3)(SSp4)(SSp5)Sp3ce2j3,Sp4c,Sp5ce2j3 (3-3)

(3-4)

1令  c  ，得归一化的三阶BF：

如果要还原的话，则有

Ha(s)1

2(s/c)2(s/c)2(s/c)13Ha(s)1S2S2S132 (3-5)

(3-6)

3.3 MATLAB概述

MATLAB是美国MathWorks公司开发的一种功能极其强大的高技术计算语言和内容极其丰富的软件库，集数值计算、矩阵运算和信号处理与显示于一身。该软件最初是由美国教授Cleve Moler创立的。1980年前后，他在教线性代数课程时，发现用其他高级语言编程时极不方便，便构思开发了MATLAB，即矩阵实验室（Matrix Laboratory）。该软件利用了当时代表数值线性代数领域最高水平的EISPACK和LINPACK两大软件包，并且利用Fortran语言编写了最初的一套交互式软件系统，

[5]MATLAB的最初版本便由此产生了。

最初的MATLAB由于语言单一，只能进行矩阵的运算，绘图也只能用原始的描点法，内部函数只有几十个，因此功能十分简单。1984年该公司推出了第一个MATLAB的商业版，并用C语言作出了全部改写。现在的MATLAB程序是MathWorks公司用C语言开发的，第一版由steve Bangert主持开发编译解释程序，Steve Kleiman完成图形功能的设计，John Little和Cleve Moler主持开发了各类数学分分析的子模块，撰写用户指南和大部分的M文件。接着又添加了丰富的图形图像处理、多媒体功能、符号运算和与其它流行软件的接口功能，使MATLAB的功能越来越强大。

[6]MTALAB系统主要由以下五个部分组成：

(1)MATALB语言体系。 MATLAB是高层次的矩阵／数组语言，具有条件控制、函数调用、数据结构、输入输出、面向对象等程序语言特性。利用它既可以进行小规模端程，完成算法设计和算法实验的基本任务，也可以进行大规模编程，开发复杂的应用程序。

(2)MATLAB工作环境 。这是对MATLAB提供给用户使用的管理功能的总称。包括管理工作空间中的变量据输入输出的方式和方法，以及开发、调试、管理M文件的各种工具。

(3)图形句相系统 。这是MATLAB图形系统的基础，包括完成2D和3D数据图示、图像处理、动画生成、图形显示等功能的高层MATLAB命令，也包括用户对图形图像等对象进行特性控制的低层MATLAB命令，以及开发GUI应用程序的各种工具。

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(4)MATLAB数学函数库。这是对MATLAB使用的各种数学算法的总称。包括各种初等函数的算法，也包括矩阵运算、矩阵分析等高层次数学算法。

(5)MATLAB应用程序接口(API)。这是MATLAB为用户提供的一个函数库，使得用户能够在MATLAB环境中使用C程序或FORTRAN程序，包括从MATLAB中调用于程序(动态链接)，读写

[7]MAT文件的功能。

除此之外，MATLAB系统还具有如下特点： （1）具有易学易用的语言体系； （2）具有交互式的工作环境； （3）具有多层面的图像处理系统；

（4）具有丰富高效的MATLAB工具箱； （5）具有便利的程序接口（API）; （6）应用领域广泛；

（7）嵌入了面向对象编程语言。 MATLAB中的信号处理工具箱内容丰富，使用简便。在数字信号处理中常用的算法，如FFT，卷积，相关，滤波器设计，参数模型等，几乎都只用一条语句即可调用。数字信号处理常用的函数有波形的产生、滤波器的分析和设计、傅里叶变换、Z变换等，如： 波形产生：

sawtooth（锯齿波或三角波） Diric（Dirichlet或周期sinc函数） rand（白噪声信号波形） square（方波）sinc（sinc或 函数） chirp（chirp信号波形） 滤波器的分析：

abs（求幅值） angle（求相角）

conv（求卷积） freqz（数字滤波器频率响应） impz（数字滤波器的冲击响应） zplane（数字系统零极点图） IIR滤波器设计：

butter（巴特沃思数字滤波器）cheby1（切比雪夫I型） cheby2（切比雪夫II型）maxflat（最平滤波器） ellip（椭圆滤波器）yulewalk（递归数字滤波器） bilinear（双线性变换）impinvar（冲激响应不变法）

可以看出MATLAB是一个功能十分强大的系统，是集数值计算、图形管理、程序开发为一体的环境。除此之外，MATLAB还具有很强的功能扩展能力，与它的主系统一起，可以配备各种各样的工具箱，以完成一些特定的任务。用户可以根据自己的工作任务，开发自己的工具箱。在国际学术界，MATLAB已经被确认为准确、可靠的科学计算标准软件。在许多国际一流学术刊物上，（尤其是信息科学刊物），都可以看到MATLAB的应用。 在设计研究单和工业部门，MATLAB被认作进行高效研究、开发的首选软件工具。如美国National Instruments公司信号测量、分析软件LabVIEW，Cadence公司信号和通信分析设计软件SPW等，或者直接建筑在MATLAB之上，或者以MATLAB为主要支撑。 3.4用MATLAB设计数字滤波器

传统的数字滤波器的设计过程复杂，计算工作量大，滤波特性调整困难，影响了它的应用。利用MATLAB信号处理工具箱(Signal Processing Toolbox)可以快速有效的设计由软件组成的常规数字滤波器的设计方法。利用MATLAB设计滤波器，可以随时对比设计要求和滤波器特性调整参数，直观简便，极大的减轻了工作量，有利于滤波器设计的最优化。

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4.滤波器仿真过程

4.1设定系统的仿真对象

对象：一个含有10Hz、30Hz和60Hz的混合正弦波信号X=sin(2*pi*t*10)+ sin(2*pi*t*30)+ sin(2*pi*t*60),通过一个设计的IIR带通巴特沃斯滤波器（buttord）后，使输入的混合信号中频率为10Hz、30Hz、60Hz的正弦波信号分别通过低通、带通、带阻、高通滤波器，而其他频率的正弦波信号大大衰减。 4.2系统对象滤波器设计方法

对象滤波器设计方法：MATLAB信号处理工具箱提供了各种滤波器设计函数及滤波器实现函数,根据本系统对象,采用buttord函数设计创建一低通模拟椭圆滤波器,然后再采用lp2bp函数将模拟低通；滤波器转换成模拟带通滤波器,最后采用bilinear函数现双线性变换法把模拟滤波器转换成数字滤波器。buttord函数调用格式为[z,p,k]=buttap(N),其中n为滤波器阶数,rp为该滤波器在通带内的最大衰减,rs为在阻带内的最小衰减；lb2bp函数的调用格式[At,Bt,Ct,Dt]=lp2bp(A,B,C,D,Wo,Bw),其中Wo为中心频率，Bw为带宽；[At1,Bt1,Ct1,Dt1]=bilinear(At,Bt,Ct,Dt,Fs)，其中Fs为抽样频率。 滤波器技术指标：通带下截止频率Wp1=20Hz，通带下截至止频率Wp2=40Hz,在通带内的最大衰减rp为0.3，在通带内的最小衰减rs为40，抽样频率Fs为200Hz。 4.3 MATLAB程序仿真及结果分析

4.3.1 低通数字滤波器仿真设计

程序如下：

fs=200;t=(1:200)/fs; x1=sin(2*pi*t*10);x2=sin(2*pi*t*30); x3=sin(2*pi*t*60);X= x1+ x2+ x3;

subplot(3,1,1)plot(t,X);title('混合正弦波信号X(t)-滤波前'); grid on; wp=10*2*pi;ws=20*2*pi;Rp=0.3; Rs=40; [N,Wn]=buttord(wp,ws,Rp,Rs,'s')%估计滤波器最小阶数 [z,p,k]=buttap(N); %模拟滤波器函数引用

[A,B,C,D]=zp2ss(z,p,k); %返回状态转移矩阵形式 [AT,BT,CT,DT]=lp2lp(A,B,C,D,Wn); %频率转换

[b,a]=ss2tf(AT,BT,CT,DT); %返回传递函数形式 [bz,az]=impinvar(b,a,fs); %调用脉冲相应不变法 [H,W]=freqz(bz,az); %返回频率响应 subplot(3,1,2);plot(W*fs/(2*pi),abs(H));

xlabel('幅值frequency/Hz'); ylabel('magnitude'); Y=filter(bz,az,X);subplot(3,1,3);plot(t,Y); title('滤波后信号-Y');grid on;axis([0 1 -1 1]);

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运行结果如下图4-1：

50-500.20.40.60.81混合正弦波信号X(t)-滤波前magnitude10.500204060幅值frequency/Hz滤波后信号-Y8010010-100.20.40.60.81

图4-1 低通滤波器

结果分析：

可以看到近似加有噪声的混合信号经过低通数字滤波器后分离出10HZ的频率分量。之所以选取上面的叠加信号X（t）作为原始信号，是由于在设计中此信号频率较低，观察方便，更能直观地可反映滤波器实际的滤波情况。由上图可看出结果符合设计要求。 4.3.2 带通数字滤波器仿真设计

程序如下：

Fs=200;t=(1:200)/Fs;x1=sin(2*pi*t*10);x2=sin(2*pi*t*30);x3=sin(2*pi*t*60);

X= x1+ x2+ x3;subplot(3,1,1)plot(t,X);title('混合正弦波信号X(t)-滤波前');grid on; wp1=25;wp2=40;rp=0.2;rs=40;wp1=2*pi*wp1;wp2=2*pi*wp2;

Bw=wp2-wp1;Wo=sqrt(wp2*wp1);[N,Wn]=buttord(wp,ws,Rp,Rs,'s')%估计滤波器最小阶数 [z,p,k]=buttap(N); %模拟滤波器函数引用

[A,B,C,D]=zp2ss(z,p,k); %把模拟低通滤波器原型转换成模拟低通滤波器 [At,Bt,Ct,Dt]=lp2bp(A,B,C,D,Wo,Bw); %把模拟低通滤波器转换成带通滤波器 [At1,Bt1,Ct1,Dt1]=bilinear(At,Bt,Ct,Dt,Fs); %双线性变换法把模拟滤波 [num,den]=ss2tf(At1,Bt1,Ct1,Dt1); %器转换成数字滤波器 [H,W]=freqz(num,den); subplot(3,1,2)plot(W*Fs/(2*pi),abs(H)); title('频率响应特性');grid on; xlabel('频率/Hz');ylabel('幅值')；

Y=filter(num,den,X);subplot(3,1,3);plot(t,Y); title('滤波后信号-Y');grid on;axis([0 1 -1 1]); 运行结果如下图4-2：

50-500.20.40.60.81混合正弦波信号X(t)-滤波前1频率响应特性幅值0.500204060频率/Hz滤波后信号-Y8010010-100.20.40.60.81

图4-2 带通滤波器

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结果分析：

可以看到近似加有噪声的混合信号经过带通数字滤波器后分离出30HZ的频率分量。选取上面的叠加信号X（t）作为原始信号，是因为此信号频率较低，观察方便，更能直观地可反映滤波器实际的滤波情况。由上图可看出结果符合设计要求。 4.3.3 带阻数字滤波器仿真设计

程序如下：

Fs=200;t=(1:200)/Fs;x1=sin(2*pi*t*10);

x2=sin(2*pi*t*30);x3=sin(2*pi*t*60);X= x1+ x2+ x3;

subplot(3,1,1)plot(t,X);title('混合正弦波信号X(t)-滤波前');grid on; wp1=25;wp2=40;rp=0.2;rs=40; wp1=2*pi*wp1;wp2=2*pi*wp2; Bw=wp2-wp1;Wo=sqrt(wp2*wp1);

[N,Wn]=buttord(wp,ws,Rp,Rs,'s')%估计滤波器最小阶数 [z,p,k]=buttap(N); %模拟滤波器函数引用

[A,B,C,D]=zp2ss(z,p,k); %把模拟低通滤波器原型转换成模拟低通滤波器 [At,Bt,Ct,Dt]=lp2bs(A,B,C,D,Wo,Bw); %把模拟低通滤波器转换成带阻滤波器 [At1,Bt1,Ct1,Dt1]=bilinear(At,Bt,Ct,Dt,Fs); %双线性变换法把模拟滤波 [num,den]=ss2tf(At1,Bt1,Ct1,Dt1); %器转换成数字滤波器 [H,W]=freqz(num,den);subplot(3,1,2)

plot(W*Fs/(2*pi),abs(H));title('频率响应特性');grid on; xlabel('频率/Hz');ylabel('幅值');Y=filter(num,den,X); subplot(3,1,3);plot(t,Y); title('滤波后信号-Y'); grid on;axis([0 1 -1 1]);

运行结果如下图4-3所示：

50-500.20.40.60.81混合正弦波信号X(t)-滤波前1频率响应特性幅值0.500204060频率/Hz滤波后信号-Y8010010-100.20.40.60.81

图4-3 带阻滤波器

结果分析：

可以看到近似加有噪声的混合信号经过带阻数字滤波器后分别使10HZ和60HZ的频率分量通

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过，滤出了30HZ的信号。在设计中可直观地可反映滤波器实际的滤波情况。由上图可看出结果符合设计要求。

4.3.4 高通数字滤波器仿真设计

程序如下：

fs=200;t=(1:200)/fs;x1=sin(2*pi*t*10);

x2=sin(2*pi*t*30); x3=sin(2*pi*t*60); X= x1+ x2+ x3;subplot(3,1,1) plot(t,X);title('混合正弦波信号X(t)-滤波前');grid on; wp=70*2*pi;ws=55*2*pi;Rp=0.3;Rs=40;

[N,Wn]=buttord(wp,ws,Rp,Rs,'s')%估计滤波器最小阶数 [b1,a1]=zp2tf(z,p,k);[b2,a2]=lp2hp(b1,a1,Wn);

[b,a]=bilinear(b2,a2,fs)；[H,W]=freqz(b,a); %返回频率响应 subplot(3,1,2);plot(W*fs/(2*pi),abs(H)); %画图

grid on；xlabel('幅值frequency/Hz'); ylabel('magnitude');Y=filter(b,a,X); subplot(3,1,3);plot(t,Y);title('滤波后信号-Y'); grid on;axis([0 1 -1 1]); 运行结果如下图4-4：

50-500.20.40.60.81混合正弦波信号X(t)-滤波前magnitude10.500204060幅值frequency/Hz滤波后信号-Y8010010-100.20.40.60.81

图4-4 高通滤波器

结果分析：

可以看到近似加有噪声的混合信号经过高通数字滤波器后分离出60HZ的频率分量，滤除了其他带外噪声。之所以选取上面的叠加信号X（t）作为原始信号，是由于在设计中此信号频率较低，观察方便，更能直观地可反映滤波器实际的滤波情况。由上图可看出结果符合设计要求。 4.3.5数字滤波器整体仿真结果

程序如下：

Fs=200;t=(1:200)/Fs;x1=sin(2*pi*t*10); x2=sin(2*pi*t*30);x3=sin(2*pi*t*60);

X= x1+ x2+ x3;subplot(5,2,[1,2])；plot(t,X);t itle('混合正弦波信号X(t)-滤波前');grid on; %低通

wp=10*2*pi;ws=20*2*pi;Rp=0.3;Rs=40;

[N,Wn]=buttord(wp,ws,Rp,Rs,'s')%估计滤波器最小阶数

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[z,p,k]=buttap(N); %模拟滤波器函数引用

[A,B,C,D]=zp2ss(z,p,k); %返回状态转移矩阵形式 [AT,BT,CT,DT]=lp2lp(A,B,C,D,Wn); %频率转换

[b,a]=ss2tf(AT,BT,CT,DT); %返回传递函数形式 [bz,az]=impinvar(b,a,Fs); %调用脉冲相应不变法 [H,W]=freqz(bz,az); %返回频率响应

subplot(5,2,3); plot(W*fs/(2*pi),abs(H)); grid on

xlabel('幅值frequency/Hz'); ylabel('magnitude'); Y=filter(bz,az,X); subplot(5,2,4);plot(t,Y);title('滤波后信号-Y');grid on;axis([0 1 -1 1]); %高通

wp=70*2*pi;ws=55*2*pi;Rp=0.3;Rs=40;

[N,Wn]=buttord(wp,ws,Rp,Rs,'s')%估计滤波器最小阶数 [b1,a1]=zp2tf(z,p,k);[b2,a2]=lp2hp(b1,a1,Wn); [b,a]=bilinear(b2,a2,Fs)

[H,W]=freqz(b,a); %返回频率响应

subplot(5,2,5);plot(W*fs/(2*pi),abs(H));

grid on；xlabel('幅值frequency/Hz'); ylabel('magnitude');

Y=filter(b,a,X);subplot(5,2,6);plot(t,Y);title('滤波后信号-Y');grid on;axis([0 1 -1 1]); %带通

wp1=25;wp2=40;rp=0.2;rs=40;wp1=2*pi*wp1; wp2=2*pi*wp2; Bw=wp2-wp1;Wo=sqrt(wp2*wp1);

[N,Wn]=buttord(wp,ws,Rp,Rs,'s')%估计滤波器最小阶数 [z,p,k]=buttap(N); %模拟滤波器函数引用

[A,B,C,D]=zp2ss(z,p,k); %把模拟低通滤波器原型转换成模拟低通滤波器 [At,Bt,Ct,Dt]=lp2bp(A,B,C,D,Wo,Bw); %把模拟低通滤波器转换成带通滤波器 [At1,Bt1,Ct1,Dt1]=bilinear(At,Bt,Ct,Dt,Fs); %双线性变换法把模拟滤波 [num,den]=ss2tf(At1,Bt1,Ct1,Dt1); %器转换成数字滤波器 [H,W]=freqz(num,den);subplot(5,2,7)plot(W*Fs/(2*pi)； abs(H));title('频率响应特性');grid on;

xlabel('频率/Hz');ylabel('幅值');Y=filter(num,den,X); subplot(5,2,8);plot(t,Y);

title('滤波后信号-Y');grid on;axis([0 1 -1 1]); %带阻

wp1=20;wp2=40;rp=0.2;rs=40;wp1=2*pi*wp1; wp2=2*pi*wp2; Bw=wp2-wp1;Wo=sqrt(wp2*wp1);

[N,Wn]=buttord(wp,ws,Rp,Rs,'s')%估计滤波器最小阶数 [z,p,k]=buttap(N); %模拟滤波器函数引用

[A,B,C,D]=zp2ss(z,p,k); %把模拟低通滤波器原型转换成模拟低通滤波器 [At,Bt,Ct,Dt]=lp2bs(A,B,C,D,Wo,Bw); %把模拟低通滤波器转换成带阻滤波器 [At1,Bt1,Ct1,Dt1]=bilinear(At,Bt,Ct,Dt,Fs); %双线性变换法把模拟滤波 [num,den]=ss2tf(At1,Bt1,Ct1,Dt1); %器转换成数字滤波器 [H,W]=freqz(num,den);subplot(5,2,9)；

plot(W*Fs/(2*pi),abs(H));title('频率响应特性');

grid on;xlabel('频率/Hz');ylabel('幅值');Y=filter(num,den,X); subplot(5,2,10);plot(t,Y);

title('滤波后信号-Y');grid on;axis([0 1 -1 1]);

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运行结果如下图4-5：

图4-5 滤波器综合设计图

结果分析：

可以看到近似加有噪声的混合信号X(t)分别经过低通，带通，带阻，高通数字滤波器后通过各自符合的频率分量，滤除了其他的带外噪声。叠加信号X（t）作为原始信号，是由于在设计中此信号频率较低，观察方便，更能直观地可反映滤波器实际的滤波情况。低通数字滤波器分离出10HZ的频率分量；带通数字滤波器分离出30HZ的频率分量；带阻数字滤波器分别使10HZ和60HZ的频率分量通过，滤出了30HZ的信号；高通数字滤波器分离出60HZ的频率分量，滤除了其他带外噪声。由上图可看出结果符合设计要求。

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基于巴特沃斯的数字滤波器设计

5.总结及体会

采用MATLAB设计滤波器，使原来非常繁琐复杂的程序设计变成了简单的函数调用，为滤波器的设和实现开辟了广阔的天地，尤其是Matlab工具箱使各个领域的研究人员可以直观方便地进行科学研究与工程应用。其中的信号处理工具箱、图像处理工具箱、小波工具箱等更是为数字滤波研究的蓬勃发展提供了可能。MATLAB 信号处理工具箱为滤波器设计及分析提供了非常优秀的辅助设计工具, 在设计数字滤波器时, 善于应用MATLAB进行辅助设计, 能够大大提高设计效率。

本文在数字滤波器的设计过程中，采用的设计方法是基于MATLAB的数字滤波器的设计。本文通过IIR数字滤波器的设计实例，说明如何利用MATLAB来完成数字滤波器的设计。窗函数法中相位响应有严格的线性,不存在稳定性问题, 设计简单。双线性变换不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象，但会产生频率混碟现象，使数字滤波器的频响偏移模拟滤波器的频响。

由滤波器的频谱图和滤波前后的语音信号的频谱图对比可知本设计选用双线性变换法设计的IIR滤波器比较好。在同样的技术指标的要求下，IIR滤波器所要求的阶数N也比较小，实现起来比较容易。

事实上IIR滤波器系统函数的极点可以在单位圆内的任何位置，实现IIR滤波器的阶次较低，所用的存储单元较少，效率高，且IIR数字滤波器能够保留一些模拟滤波器的优良特性。但是这些特性是以牺牲线性相位频率特性为代价的，即用Butterworth、chelbchev滤波器的幅度频率特性，得到的滤波器往往是非线性的。在许多电子系统中，对幅度频率特性和线性相位特性都有较高的要求，所以IIR滤波器在这些系统中往往难以胜任。有限长单位冲激响应(FIR)数字滤波器具有以下优良的特点：可在设计任意幅度频率特性滤波器的同时，保证精确、严格的线性相位特性。FIR数字滤波器的单位冲激响应h(n)是有限长的，可以用一个固定的系统来实现，因而FIR数字滤波器可以做成因果稳定系统。

我将把我本次毕业设计的心得和体会简述如下：

(1) 类型寻优 确定好所需要设计的滤波器用途后，首先对其进行性能需求分析，明确该系统应该达到的各种性能指标，其次，拟定多种滤波器类型，对这些方案采用Matlab进行仿真，进行综合分析和比较，选择出最佳的滤波器类型作为本设计方案，然后，依据其性能指标编写matlab程序，确定二阶节系数。

(2) 系统思维 必须有系统的设计思维，把每一个细节都放到整个系统中考虑，考虑整个系统设计的可行性、完整性、稳定性和功能的实现，这样才不会局限在细节上，才能快速的完成性能优越的硬件设计。

(3) 把握细节 系统也是由细节构成的，在把握整个系统思维的基础上把握每一个细节，因为每一个细节都有可能决定整个系统的性能。

(4) 勇于尝试 系统即使经过了非常严格的论证也仍然可能存在问题，或许面对问题一时没有很好的解决方案，但是有一个或许可行的大胆的想法，不要犹豫，试一试吧。勇于尝试往往能够找到更好的解决方法。

(5) 保持自信 无论遇到什么困难，我都相信自己一定能够找到解决的方法，有的时候只要稍微再用一点力、使一点劲，结果就会不一样。

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基于巴特沃斯的数字滤波器设计

致谢

光阴似箭，岁月如梭，短暂而充实的四年大学生活即将接近尾声。本文是大四第一个学期最后的学习任务。伴随着新年的气息，论文也到了敲定之际，在此，我想表达一下我的感激之情。

诚挚地感谢陈莉等老师的帮助和精心指导！本文是在陈莉老师的指导和支持下完成的。同时，我要感谢我们学院给我们授课的各位老师，正是由于他们的传道、授业、解惑，让我学到了许多知识，并从他们身上学到了如何求知治学、如何为人处事。我也要感谢我的母校中南大学，是她提供了良好的学习环境和生活环境，让我的大学生活丰富多姿，为我的人生留下精彩的一笔。

衷心感谢11级通信班的同学们，我们一起学习、一起研究，共同进步，平日里大家关于课程设计的讨论给了我很多启发，我在次深表谢意；

最后，向我的亲爱的家人表示深深的谢意，他们给予我的爱、理解、关心和支持是我不断前进的动力。

愿所有的老师、同学们、朋友们合家欢乐，一生平安！

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基于巴特沃斯的数字滤波器设计

参考文献

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