2017数学2考研真题及答案详解

绝密★启用前

2017年全国硕士研究生入学统一考试

数学（二）

（科目代码302）

考生注意事项

1.答题前，考生必须在试题册指定位置上填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置上填写

报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。

2.考生须把试题册上的试卷条形码粘贴条取下，粘贴在答题卡“试卷条形码粘贴位置”框中。不按规定粘贴条形码而影响评卷结果的，责任由考生自负。

3.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。 4.填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔或者钢笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。

5.考试结束后，将答题卡和试题册按规定一并交回，不可带出考场。

考生姓名： 考生编号：

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．

1cosx,x0（1）若函数f(x)在x0处连续，则（ ） axb,x0(A)ab1 2

(B)ab1 2

(C)ab0

(D)ab2

''（2）设二阶可导函数f(x)满足f(1)f(1)1,f(0)1且f(x)0，则（ ）

(A)f(x)dx0101B1f(x)dx0D1f(x)dx0f(x)dx011(C)f(x)dxf(x)dx101

（3）设数列xn收敛，则（ ）

(A)当limsinxn0时，limxn0 (B)当lim(xnnnnxn)0时，limxn0

nn(C)当lim(xnxn2)0时，limxn0 (D)当lim(xnsinxn)0时，limxn0

nnn（4）微分方程的特解可设为 （A）Ae（C）Ae2xe2x(Bcos2xCsin2x) （B）Axe2xe2x(Bcos2xCsin2x) xe2x(Bcos2xCsin2x) （D）Axe2xe2x(Bcos2xCsin2x)

2x（5）设f(x,y)具有一阶偏导数，且对任意的(x,y)，都有

f(x,y)f(x,y)0,0，则 xy（A）f(0,0)f(1,1) （B）f(0,0)f(1,1) （C）f(0,1)f(1,0) （D）f(0,1)f(1,0)

（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线vv1(t)（单位：m/s），虚线表示乙的速度曲线vv2(t)，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为t0（单位：s），则（ ） （A）t010

（B）15t020

（C）t025

（D）t025

v(m/s)1020051015202530t(s)

011（7）设A为三阶矩阵，P(1,2,3)为可逆矩阵，使得PAP则A(1,2,3)（ ） ，2（A）12 （B）223 （C）23 （D）122

200210100（8）设矩阵A021,B020,C020,则（ ） 001001002（A）A与C相似,B与C相似

（B）A与C相似,B与C不相似 （D）A与C不相似,B与C不相似

（C）A与C不相似,B与C相似

二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．(9) 曲线yx1arcsin2的斜渐近线方程为_______ xxtetd2y______ (10) 设函数yy(x)由参数方程确定，则2dxt0ysint (11)

0ln(1x)dx_______ 2(1x)yy(12) 设函数f(x,y)具有一阶连续偏导数，且df(x,y)yedxx(1y)edy，f(0,0)0，则

f(x,y)______

（13）

10dytanxdx______ yx14121（14）设矩阵A12a的一个特征向量为1，则a_____ 2311

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或．．．演算步骤.

（15）（本题满分10分）求极限limx0x0xtetdtx3 dy（16）（本题满分10分）设函数f(u,v)具有2阶连续偏导数，yf(e,cosx)，求

dxxd2y，2

dxx0

x0

（17）（本题满分10分）求lim

（18）（本题满分10分）已知函数y(x)由方程xy3x3y20确定，求y(x)的极值

（19）（本题满分10分）设函数f(x)在区间[0,1]上具有2阶导数，且f(1)0,limx033kkln1 2nnk1nnf(x)0，证明： x()方程f(x)0在区间(0,1)内至少存在一个实根；

()方程f(x)f'(x)(f'(x))20在区间(0,1)内至少存在两个不同实根。

（20）（本题满分11分）已知平面区域Dx,y|x2y22y,计算二重积分x1dxdy。

D2（21）（本题满分11分）设y(x)是区间0,内的可导函数，且y(1)0，点P是曲线L: yy(x)上任意一点，L在点P处的切线与y轴相交于点0,Yp，法线与x轴相交于点Xp,0，若XpYp，求L上点的坐标x,y满足的方程。

（22）（本题满分11分）设3阶矩阵A1,322,3有3个不同的特征值，且3122。

()证明：r(A)2

()若123，求方程组Ax的通解。

222（23）（本题满分11分）设二次型f(x1,x2,x3)2x1x2ax32x1x28x1x32x2x3在正交变换

2XQY下的标准型1y122y2，求a的值及一个正交矩阵Q.

参考答案

1x1cosx121.【答案】A【解析】limlim,x0x0axax2af(x)在x0处连续11bab.选A. 2a22.【答案】B【解析】f(x)为偶函数时满足题设条件，此时取f(x)2x1满足条件，则

201f(x)dxf(x)dx，排除C,D.

0111f(x)dx112x21dx20，选B. 3n3.【答案】D【解析】特值法：（A）取xn，有limsinxn0,limxn，A错；取xn1，排除B,C.

n所以选D.

4.【答案】A【解析】特征方程为：

24801,222i

**f(x)e2x(1cos2x)e2xe2xcos2xy1Ae2x,y2xe2x(Bcos2xCsin2x), ***2x2x故特解为：yy1y2Aexe(Bcos2xCsin2x),选C.

5.【答案】C【解析】

f(x,y)f(x,y)0,0,f(x,y)是关于x的单调递增函数，是关于y的单调递xy减函数，所以有f(0,1)f(1,1)f(1,0)，故答案选D. 6.【答案】B【解析】从0到t0这段时间内甲乙的位移分别为

t00v1(t)dt,v2(t)dt,则乙要追上甲，则

0t0t00v2(t)v1(t)dt10，当t025时满足，故选C.

7.【答案】 B【解析】

000P1AP1APP1A(,,)(,,)1123123223,

222因此B正确。 8.【答案】B【解析】由

EA0可知A的特征值为2,2,1,因为3r(2EA)1，∴A可相似对角化，

100即A~020由EB0可知B特征值为2,2,1.因为3r(2EB)2，∴B不可相似对角化，

002显然C可相似对角化，∴A~C，但B不相似于C.

y22lim(1arcsin)1,limyxlimxarcsin2,xxxxxxx9.【答案】yx2【解析】

yx2lim

10.【答案】【解析】

18dydxdycostcost,1etdtdtdx1etcostttd2yd2y1etsint(1e)coste22t2dxdxdx1edt11.【答案】1【解析】

't01

80ln(1x)1dxln(1x)d(1x)21x0ln(1x)1x001dx 2(1x)01dx1.2(1x)y12.【答案】xye【解析】fxyey,fyx(1y)ey,f(x,y)yedxxyeyyc(y),故

fyxeyxyeyc(y)xeyxyey，因此c(y)0，即c(y)C，再由f(0,0)0，可得

f(x,y)xyey.

13.【答案】lncos1.【解析】交换积分次序：

10dy1xtanx1tanxdxdxdytanxdxlncos1 y000xx1114.【答案】-1【解析】设1，由题设知A，故

241211112a1132a故a1. 3112222215.【答案】【解析】lim0x03xxtetx3exxdt，令xtu，则有0ueuduxxtetdt0xuexudux0uexudu

原式=limx0xx0uexxudu32limx00x2332limx00uedux32ulimx0xex32x21

dy16.【答案】

dxxx0d2yf(1,1),2dx'1''f11(1,1),【解析】 x0yf(e,cosx)y(0)f(1,1)dydxf1'exf2'sinxx0x0x0f1'(1,1)1f2'(1,1)0f1'(1,1)结论： d2y''2x''x''x''2'x'2f11ef12e(sinx)f21e(sinx)f22sinxf1ef2cosxdxd2y''2f11(1,1)f1'(1,1)f2'(1,1)dxx0dydx2f1'(1,1)x0''f11(1,1)f1'(1,1)f2'(1,1)x0dydx2

17.【答案】

n1【解析】 4101kk111lim2ln(1)xln(1x)dxln(1x)dx2(ln(1x)x20nn202k1n10x2111dx)

1x418.【解析】两边求导得：

3x23y2y'33y'0 （1）

令y'0得x1

对（1）式两边关于x求导得 6x6yy'3yy''3y''0 （2）

22将x1代入原题给的等式中，得x1x1， ory1y0将x1,y1代入（2）得y''(1)10 将x1,y0代入（2）得y''(1)20 故x1为极大值点，y(1)1；x1为极小值点，y(1)0 19.【解析】

（I）f(x)二阶导数，f(1)0,limx0f(x)0 x解：1）由于limx0f(x)f(x)0，根据极限的保号性得0,x(0,)有0，即f(x)0 xx进而x0(0,)有f

0又由于f(x)二阶可导，所以f(x)在[0,1]上必连续

那么f(x)在[,1]上连续，由f()0,f(1)0根据零点定理得：至少存在一点(,1)，使f()0，即得证

（II）由（1）可知f(0)0，(0,1),使f()0，令F(x)f(x)f'(x)，则f(0)f()0 由罗尔定理(0,),使f'()0，则F(0)F()F()0，对F(x)在(0,),(,)分别使用罗尔定理：1(0,),2(,)且1,2(0,1),12，使得F'(1)F'(2)0，即

F'(x)f(x)f''(x)f'(x)0在(0,1)至少有两个不同实根。得证。

20.【解析】

2x1dxdyxDD221dxdy2xdxdydxdy2d2DD202sin0r2cos2d5 421.【解析】设px,y(x)的切线为Yy(x)y(x)Xx，令X0得Ypy(x)y(x)x，法线

Yy(x)1Xx,令Y0得Xpxy(x)y(x)。由XpYp得yxy(x)xyy(x)，即y(x)yyy1y(x)1u，则yux，按照齐次微分方程的解法不难解出。令xxx1ln(u21)arctanuln|x|C, x22.【解析】（I）证明：由3122可得12230，即1,2,3线性相关， 因此，A1230，即A的特征值必有0。又因为A有三个不同的特征值，则三个特征值中只有

,120 01个0，另外两个非0.

1且由于A必可相似对角化，则可设其对角矩阵为2∴r(A)r()2

（II）由（1）r(A)2，知3r(A)1，即Ax0的基础解系只有1个解向量，

111由12230可得1,2,32A20，则Ax0的基础解系为2，

111

111又123，即1,2,31A1，则Ax的一个特解为1，

11111综上，Ax的通解为k21,kR

1123. 【解析】

214f(x1,x2,x3)XTAX，其中A111

41aT22由于f(x1,x2,x3)XAX经正交变换后，得到的标准形为1y12y2 ，

2故r(A)2|A|01111410a2， a4214将a2代入，满足r(A)2，因此a2符合题意，此时A111，则

4122|EA|14141013,20,36，

1121由(3EA)x0，可得A的属于特征值-3的特征向量为11；

11由(6EA)x0，可得A的属于特征值6的特征向量为20

11由(0EA)x0，可得A的属于特征值0的特征向量为32

1316令P1,2,3，则PAP，由于1,2,3彼此正交，故只需单位化即可：0

1111TTT1,1,1,21,0,1,31,2,1,， 3261216313则Q1123031132f(x21,x2,x3) xQy 3y216y2

26，QTAQ616 0