高中数学小问题之高三：三角函数与解三角形：专题四 由三角函数图象和性质求参数值(范围)(含答案解析)

对三角函数的图像与性质的考查，是近几年高考的热点，不仅有主观题，还有客观题。客观题常以选择填空题的形式出现，往往涉及参数问题。此类问题对学生来讲，有一定难度，就此总结几种常见做法。

函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图像 π－＋2kπ，在2 在(k∈Z)上单调递增；在(k∈Z)上单调递减 π－＋kπ，在2 单调性 π＋2kπ(k∈Z)上单2调递增；在 π＋kπ(k∈Z)上单2调递增 π＋2kπ，3π＋2kπ(k22∈Z)上单调递减 函数 y＝sin x 对称中心：(kπ，0)(k对称性 π∈Z)；对称轴：x＝＋2kπ(k∈Z) y＝cos x 对称中心： y＝tan x kπ对称中心：2，0(k∈Z) π＋kπ，0(k∈Z)；对2称轴：x＝kπ(k∈Z)

(一)利用奇偶性确定参数的值

πππ

x＋θ＋ θ∈－， 是偶函数，则θ的值为( ) 例1（1）已知函数f(x)＝2sin322

A．0

π

B. 6

πC. 4

πD. 3

ππππππ

－，，∴θ＋＝，解得θ＝解：∵函数f(x)为偶函数，∴θ＋＝kπ＋(k∈Z)．又∵θ∈223232π

，经检验符合题意．故选B. 6

π

（2）(2015·哈尔滨模拟)若函数y＝3cos(2x－＋φ)为奇函数，则|φ|的最小值为________．

3ππ5πππ

解：依题意得，－＋φ＝kπ＋(k∈Z)，φ＝kπ＋(k∈Z)，因此|φ|的最小值是.故填.

32666【评注】若f(x)Asin(是奇函数，则k（kZ），若是偶函数，则x)k2（kZ）；

若f(x)Acos(x)是奇函数，则k（kZ）．

(二)利用单调性求参数的值．

2（kZ），若是偶函数，则k例2．【2014大纲高考理第16题】若函数f(x)cos2xasinx在区间(则a的取值范围是 . 解

,)是减函数，62:

fx2sin2xacosx4sinxcosxacosxcosx4sinxa.时，fx是

减函数，又cosx0，∴由fx0得4sinxa0,a4sinx在x,62 ,上恒成立，

62a4sinxminx,,a2．

62【评注】三角函数的单调区间的求法： (1)代换法

所谓代换法，就是将比较复杂的三角函数整理后的整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间． (2)图象法

函数的单调性表现在图象上是：从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间 (三)利用周期性求参数的值．

例3. 已知函数f(x)2sin(x)(0轴之间的最小距离为

2)与y轴的交点为(0,1)，且图像上两对称

，则使f(xt)f(xt)0成立的t的最小值为（ ） 2 B． C． 6322D．

32，则2，那么f02sin1，则解：由题知T，知6A．

fx2sinx2又 6f(xt)f(xt)0得fxtfxt，可知fx关于直线xt对称，所以

2t6k2,kZ，则tk,kZ，即t的最小值为．故本题答案选A． 266【评注】求三角函数的周期

(1)求三角函数的周期，通常应将函数式化为只有一个函数名，且角度唯一，最高次数为一次的形式，然

后借助于常见三角函数的周期来求．

(2)三角函数的最小正周期的求法有：①由定义出发去探求；②公式法：化成y＝Asin(ωx＋φ)，或y＝

2ππ

Atan(ωx＋φ)等类型后，用基本结论T＝或T＝来确定；③根据图象来判断．

|ω||ω| (四)利用三角函数的最值求参数的值．

2例4. 函数fx2sinx,mgx3cxos2mm263,(对任0意)x10,,存在x20,,使得gx1fx2成立, 则实数m的取值范围

44是 ．

解：依题意可知gxfx，2x5,,2x,，故 3366633m133m4fx1,2,gx3,3m，所以，解得m1,. 2233m2【评注】求三角函数的值域常见的有以下几种类型：

(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域； (2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域； (3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二

次函数求值域．

1．若f(x)2cos(x)m，对任意实数t都有f(t实数m的值等于（ ）

)f(t)，且f()1．则48A．1 B．-3或1 C．3 D．-1或3

2. 函数ysin(2x2)的图象关于直线xa对称，则a可能是（ ） 33A． B． C．

2412811D．

24)与ycos(2x3. 将函数fx2cos2x的图象向右平移

个单位后得到函数gx的图象，若函数67agx在区间0,和2a,上均单调递增，则实数a的取值范围是（ ）

63A．, B．, 3262C．3, D．, 63481axcosxcosxsinxcosxsinx3sin2在，0上单a41x24. 若函数fx调递增，则实数a的取值范围为（ ）

111 B．1， A．，771C.(，][1，) D．[1，)

75. 函数ysin2xacos2x的图象关于直线xA．1 B．8对称，则a的值为（ ）

2 C．2 D．1

6. 已知函数fxsinx0,0，直线x

6

是它的一条对称轴，且

2,0是离该轴最近的一个对称中心，则（ ） 3A．

 B． C． 4323D．

47. 已知函数f(x)cosx(sinx3cosx)(0)，如果存在实数x0，使得对任意的实数x，都有f(x0)f(x)f(x02016)成立，则的最小值为（ ） A．

111 B． C． 4032403220161D．

20168. 将函数y3cos(2x3)的图像向右平移mm0个长度单位后,所得到的图像关于原

点对称,则m的最小值是 A．

55 B． C． D．

124369. 函数f(x)是R上的增函数，且f(sin)(fcos)(sifn)为锐角，并且

(cos)f，其中使得函数g(x)sinx(4在(),)上单调递减，则

2的取值范围

是 ．

10. 已知fxsinx0，

3无最大值，则

ff，且fx在区间，有最小值，

3636 . 11. 已知函数fxsinx减，则

40,f，且在fxf,上单调递

632___________．

12. 已知函数fx（1）当x33sinxcosxcos2x．

2,时，求函数yfx的值域； 63（2）已知0，函数gxf求的最大值．

x2若函数gx在区间，,上是增函数，

21236213. 已知函数f(x)3sinxcosxcosx1（0），其最小正周期为． 22（1）求f(x)在区间,上的减区间； 84（2）将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图

象向右平移

个单位，得到函数g(x)的图象，若关于x的方程g(x)k0在区间0,42上有且只有一个实数根，求实数k的取值范围． 14. 已知函数fx3sinxcosxcos2x3. 2（1）当x，时，求函数yfx的值域；

36x2，若函数gx在区间，上是增函数，（2）已知0，函数gxf21236求的最大值．

(x)(15. 函数f(x)sin[511,]． 12120,||在它)的某一个周期内的单调减区间是

2（1）求f(x)的解析式；

1个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍623]，不等式（纵坐标不变），所得到的图象对应的函数记为g(x)，若对于任意的x[,88（2）将yf(x)的图象先向右平移

|g(x)m|1恒成立，求实数m的取值范围．

参考答案

1. 【答案】B 【

解

析

】

f(42t)2f(t)8,又

f(t)f(t)f()f(0)2cos()m2cosmcos0sin11或-344，故选B． 2. 【答案】A

3. 【答案】A

【解析】由题意知函数gx2cos2x，周期为，若函数gx在区间0,和33a7上均单 2a,6调递增，则

72a,a，由四个选项可排除B，C，D.故选A. 6234. 【答案】 D

【解析】由题可知f'xsin2x3acosxsinx4a1 cosxsinx3acosxsinx4a02对

x，02恒成立．∵

cxosxsinx，∴当2 s4inx，0时，1cossinx1．令gtt23at4a1t1，欲使gt0恒成2立，只需

2g1013a14a0，即a1． g1013a4a05. 【答案】D 【

解

析

】

y1a2sin2x，

tana，当

x8时，

2-k,kZ,解得：

28k,kZ,tan1a，故选D．

6. 【答案】B

347. 【答案】 A

【解析】利用二倍角公式，化简fxsin2x1，对任意的实数x，都有 32f(x0)f(x)f(x02016)成立,也即最小值为f(x0)，最大值为f(x02016)，最

小就是半个周期， 即

T212016,T4032，T4032,． 2240328. 【答案】 D

【解析】平移为：y3cos[2(xm)3]3cos(2x32m)，它是奇函数，则x0时，

ky3cos(2m)0，2mk,kZ，m,kZ，因为m0，

332212最小的m为

5．故选D．

2121259. 【答案】(,]

44f(sin)f(cos)f(sin)f(cos)sincos(,)42 【解析】

因为x所以(4(2,)(,)(,2)， 444244224,3155)(,)[,]，综上可得的取值范围是(,] 422244410. 【答案】

14 3【解析】由题意得，f(x)的图象关于直线x即

4对称，那么f()cos(434)1，

8k10T10(kz)，再结合,得012，又因为8k(kz)，3342314. 3则当k1， 符合题意，即11. 【答案】1

12. 【解析】（1）∵fx分 ∵x31cos2x3sin2xsin2222x6．．．．．．．．．．．．2．251,，∴2x,，∴sin6662633．．．．．．．．．．．．．4分 2x1，6∴函数yfx的值域为,3，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

2（2）gxfx．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 sinx2，

2123当x22．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ,,x,，

3336336∵gx在2,上是增函数，0． 36∴2．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ,2k,2k,kZ．

336322252k3k332即，化简得， 42k112k326∵0，∴15k,kZ，∴k0，解得1，因此的最大值为12121．．．．．．．．．．．．12分

（2）将函数f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到

ysin(2x6)，再将ysinx(26的)图象向右平移

个单位，得到4g(x)sinx(2．

3因为x0,)2，所以2x,， 3332上有且只有一个实数根， 2若关于x的方程g(x)k0在区间0,即函数yg(x)的图象与直线yk在区间上只有一个交点，

所以3333或k1，即或k1． kk222231cos2x3sin2xsin2x2． 222614. 【解析】（1）fx51∵x，，∴2x，，∴sin2x1．

36662663∴函数yfx的值域为，3

2xsinx2， （2）gxf321222，，x，， 当x63336332，上是增函数，且0， ∵gx在632，2k，2k，kZ． ∴363223252k3k332即，化简得， 42k112k326∵0，∴15k，kZ，∴k0，解得1，因此，的最大值为1 ， 1212