定积分习题

练 习 题

§1定积分概念

习 题

1．按定积分定义证明：akdxk(ba).

2．通过对积分区间作等分分割,并取适当的点集i，把定积分看作是对应的积分和的极限，来计算下列定积分： （1）0（3)a

§2 牛顿一菜布尼茨公式

1．计算下列定积分：

e2dx1x2（1）0(2x3)dx； （2)01x2dx; （3)exlnx；

1b1bxdx;提示:i33i1n112n(n1)2 （2）exdx;

04exdx; (4）badx(0ab).(提示:取ixi1xi) 2x19exex123(x)dx; dxtanxdx（4）0； (5）0 （6）42x112(lnx)dx ;1(7）01x （8）xe4dxe2．利用定积分求极限：

133(12n); lim4（1)nn111n;222 (2）lim(n2)(nn)n(n1)(3）limn(n111); 222n1(n2)2n12n1(sinsinsin) （4）limnnnnn 3．证明：若f在[a，b］上可积,F在[a,b]上连续,且除有限个点外有F＇（x）=f（x)，则有

af(x)dxF(b)F(a).

§3 可积条件

1．证明：若Tˊ是T增加若干个分点后所得的分割,则'i'iii.

T'Tb2．证明:若f在[a，b］上可积,a,a,b,则f在a,上也可积。

3.设f﹑g均为定义在[a，b］上的有界函数。证明：若仅在［a，b］中有限个点处fg,则当f在［a,b]上可积时，g在[a,b］上也可积，且

bbfdaagd.

3．设f在[a,b］上有界，ana,b,limannc.证明：在[a,b]上只有

ann1,2,为其间断点，则f在[a,b]上可积。

4．证明：若f在区间上有界，则

fsupf'f\"supfinf.。

',\"

§4 定积分的性质

1。证明:若f与g都在[a，b］上可积，则

limf(i)g(i)xif(x)g(x)dx,

T0i1anb其中i,i是T所属小区间△i中的任意两点,i=1，2…，n。

2。不求出定积分的值,比较下列各对定积分的大小： （1)xdx与x2dx;

001100 （2)2xdx与2sinxdx.

3。证明下列不等式： （1)

2201dx; (2)1ex2dxe；

02121sinx2 (3)1204elnxsinxdxdx （4）3edx6.

ex2;xb4。设f在［a,b］上连续,且f（x)不恒等于零，证明5。设f与g都在[a，b]上可积,证明

afxdx0.

2 M(x)maxf(x),g(x),m(x)minf(x),g(x)

xa,bxa,b在[a，b]上也都可积。

6.试求心形线ra(1cos),02上各点极径的平均值.

7.设f在［a,b]上可积，且在［a,b]上满足f(x)m0.证明

1在［a,b]f上也可积。

8.进一步证明积分第一中值定理(包括定理9。7和定理9。8）中的中值点ξ∈(a,b）.

9.证明：若f与g都在［a,b]上可积,且g（x)在［a,b]上不变号，M、m分别为 f（x)在[a，b]上的上、下确界,则必存在某实数μ（m≤μ≤M),使得

f(x)g(x)dxg(x)dx.

aabb10。证明：若f在［a,b］上连续,且f(x)dxxf(x)dx0,则在(a,b)内

aabb至少存在两点x1,x2，使f（x1)= f（x2)=0.又若x2f(x)dx0,这时f在(a，b)

ab内是否至少有三个零点?

11。设f在［a,b]上二阶可导，且f\"(x)>0.证明：

1babf(x)dx; （1)f（2)又若f(x)0,xa,b,则又有 a2ba

2bf(x)f(x)dx,xa,b.

baa12。证明:

1（1)ln(1n)1211lnn; （2)limnn1112n1. lnn

§5 微积分学基本定理·定积分计算（续）

习 题

1． 设f为连续函数，u、v均为可导函数，且可实行复合f°u与f°v证明：

dv(x) f(t)dtf(v(x))v'(x)f(u(x))u'(x).

dxu(x)2．设f在［a,b］上连续,F(x)f(t)(xt)dt.证明F”(x)f(x),x[a,b].

ax3．求下列极限： （1）limx01x2costdt; （2）lim0xx(etdt)2x20x0e2t2.

dt4．计算下列定积分：

205 （1）cosxsin2xdx; （2）104x2dx; （3）

a0x2a2x2dx(a0);

dx0(x2x1)3/2; （5)

1 (4）

dx0exex;

1（6)20cosxdx;

1sin2x0ex (7）（9）arcsinxdx; (8)2esinxdx; 1lnxdx;

01e（10）exdx; （11）x2001aaxdx(a0); （12）ax20cosd.

sincosa5.设f在［—a,a]上可积。证明： (1）若f为奇函数，则f(x)dx0;

aa（2)若f为偶函数，则f(x)dx2f(x)dx.

a0a6．设f为（-∞,+∞）上以p为周期的连续周期函数。证明对任何实数a，恒有

a0apf(x)dxf(x)dx.

ap7．设f为连续函数.证明：

0（1)2f(sinx)dx2f(cosx)dx;

（2）xf(sinx)dx020

0f(sinx)dx.

8．设J（m，n）2sinmxcosnxdx(m,n为正整数）。证明： J(m,n)n1m1J(m,n2)J(m2,n), mnmn并求J(2m，2n)。

9．证明:若在（0，∞)上f为连续函数，且对任何a＞0有

g(x)f(t)dt常数, x(0,),

xaxc,x(0,),c为常数. x10．设f为连续可微函数，试求

dx (xt)f'(t)dt,

dxadx并用此结果求(xt)sintdt.

dx0则f(x)11．设yf(x)为[a，b]上严格增的连续曲线（图

9-12)。试证存在ξ∈（a,b)，使图中两阴影部分面积 相等。

12．设f为［0,2π]上的单调递减函数。证明：对

任何正整数n恒有 20f(x)sinnxdx0.

xc13．证明：当x＞时有不等式 14

．

证

明

xsint2dt若

：

1(c0). xf在

[a,b］上可

积,在,上单调且连续可微,()a,()b,则有

f(x)dxf((t))(t)dt.

ab※

15.证明：若在［a，b］上f为连续可微的单调函数，则存在a,b,使得

b f(x)g(x)dxg(a)f(x)dxg(b)f(x)dx.

aab（提示:与定理9。11及其推论相比较，这里的条件要强得多, 因此可望有

一个比较简单的，不同于9.11的证明.）

※§6 可积性理论补叙

1. 证明性质2中关于下和的不等式(3）. 2. 证明性质6中关于下和的极限式lims(T)S .

t0x,x为有理数.3. 设 f(x)

0,x为无理数.试求f在［0,1］上的上积分和下积分；并由此判断f在［0，1］上是否可积。

4. 设f在[a,b］上可积,且f(x)0,xa,b.试问f在[a,b]上是否可积？为什么？

5. 证明：定理9.14中的可积第二充要条件等价于“任给0,存在0,对于一切满足T的T都有ixis(t)s(T)。

T

6.据理回答：

(1) 何种函数具有“任意下和等于任意上和\"的性质？

(2) 何种连续函数具有“所有下和（或上和）都相等\"的性质？

(3) 对于可积函数,若“所有下和（或上和）都相等\是否仍有（2）的结论？ 7．本题的最终目的是要证明：若f在[a,b]上可积，则f在［a,b］内必定有无限多个处处稠密的连续点，这可用区间套方法按以下顺序逐一证明：

(1）若T是[a,b]的一个分割，使得S（T)s(T）（2)存在区间I1[a1,b1](a,b),使得

f(I1)supf(x)inff(x)1.

xI1xI1 (3）存在区间I2[a2,b2](a1,b1),使得

1 f(I2)supf(x)inff(x).

xI22xI2（4)继续以上方法，求出一区间序列In[an,bn](an1,bn1), f(In)supf(x)inff(x)xInxIn1. n说明In为一区间套，从而存在x0In,n1,2,;而且f在点x0连续。

(5)上面求得的f的连续点在［a,b]内处处稠密。

总 练 习 题

1．证明：若在［0,a］上连续，f二阶可导，且f(x)0，则有

1x1af((t))dtf((t)dt). 00aa 2。证明下列命题：

（1） 若f在[a,b]上连续增，

1xf(t)dt,F(x)xaaf(a),则F为［a,b]上的增函数。

x[a,b]xa,

（2） 若f在[0,]上连续,且f（x）>0,则 (x)tf(t)dt/f(t)dt

00xx为(0,)上的严格增函数，如果要使在[0,]上为严格增，试问应补充定义

(0)=？

3、设f在[0,]上连续,且limf(x)A证明

x lim1xf(t)dtA 0xx4．设f是定义的(,)上的一个连续周期函数，周期为p证明 lim1x1pf(t)dtf(t)dt 00xxp5．证明：连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数；连续的偶函数的原函数中

只有一个是奇函数。 6．证明施瓦茨（Schwarz)不等式：若f和g在[a,b］上可积,则

bbb22 af(x)g(x)dxaf(x)dxag(x)dx.

27．利用施瓦茨不等式证明：

（1)若f在[a,b]上可积，则

bb2af(x)dx(ba)af(x)dx

2（2）若f在[a,b］上可积，且f（x）〉m〉0，则

baf(x)dxba1dx(ba)2 f(x) (3）若f、g都在［a,b］上可积，则有闵可夫斯基（Minkowski）不等式： (f(x)g(x))2dxf2(x)dxg2(x)dx

aaa 8．证明：若f在［a，b］上连续，且f(x）〉0，则

1b1bf(x)dxlnf(x)dx lnaababab12b12b12 9．设f为(0,)上的连续减函数，f(x)〉0;又设 anf(k)f(x)dx.

k1lnn证明an为收敛数列。

10．证明：若f在［a,b］上可积，且个个有f（x）〉0，则f(x)dx0，(提

ab示：由可积的第一充要条件进行反证：也可利用§习题7题的结论。)