立体几何-线面角及线线角

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10.8线面角与线线角

【知识网络】

1、异面直线所成的角：〔1〕X围：(0,2]；〔2〕求法；

2、直线和平面所成的角：〔1〕定义：〔2〕X围：[0,90]；〔3〕求法； 3、一些常见模型中的角之间的关系。 【典型例题】

例1：〔1〕在正方体ABCDA1BC以下几种说法正确的选项是 〔 〕 11D1中，A、AC11AD B、DC11AB C、AC1与DC成45角 D、AC11与BC1成60角 答案：D。解析：A1C1与AD成45°，D1C1与AB平行，AC1与DC所成角的正切为

2。 2〔2〕在正方体AC1中，过它的任意两条棱作平面，那么能作得与A1B成300角的平面的个数为〔〕

A、2个 B、4个 C、6个 D、8个

答案：B。解析：平面A1ACC1，平面BB1D1D，平面ABC1D1，平面A1D1CC1。 〔3〕正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1底面边长是1，侧棱长是2，那么这个棱柱的侧

面对角线E1D与BC1所成的角是〔 〕

A．90º

B．60º

C．45º

D．30º

答案：B。解析将BC1平移到E1F即可。

〔4〕在空间四边形ABCD中，AB⊥CD，BC⊥DA，那么对角线AC与BD的位置关系是。 答案：AC⊥BD。解析：过A作AH⊥平面BCD，垂足为H，因为CD⊥AB，BC⊥AD，所以CD⊥BH，BC⊥DH，故H为△BCD的垂心，从而BD⊥CH，可得BD⊥AC。

〔5〕点AB到平面距离距离分别为12，20，假设斜线AB与成30的角，那么AB

0的长等于_____.

答案：16或64。解析：分A、B在平面α的同侧和异侧进展讨论。

例2：．如图：直三棱柱ABC—A1B1C1，AB＝AC，F为棱BB1上一点，BF∶FB1＝2∶1，BF＝BC＝2a。

〔I〕假设D为BC的中点，E为AD上不同于 A、D的任意一点，证明EF⊥FC1；

〔II〕试问：假设AB＝2a，在线段AD上的E

点能否使EF与平面BB1C1C成60°角，为什么？证明你的结论。

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答案：〔I〕连结DF，DC∵三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱， ∴CC1⊥平面ABC，∴平面BB1C1C⊥平面ABC

∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，AD⊥平面BB1C1C ∴DF为EF在平面BB1C1C上的射影，

在△DFC1中，∵DF2＝BF2＋BD2＝5a2，DC12＝CC12＋DC2＝10a2，

2FC1＝B1F2＋B1C12＝5a2， ∴DC12＝DF2＋FC12，∴DF⊥FC1FC1⊥EF

〔II〕∵AD⊥平面BB1C1C，∴∠DFE是EF与平面BB1C1C所成的角

在△EDF中，假设∠EFD＝60°，那么ED＝DFtg60°＝3·5a＝15a， ∴15a＞3a，∴E在DA的延长线上，而不在线段AD上 故线段AD上的E点不能使EF与平面BB1C1C成60°角。

例3： 如图, 四棱锥P-ABCD的底面是AB=2, BC

A =2的矩形, 侧面PAB是等边三角形, 且侧面

PAB⊥底面ABCD.

D

(Ⅰ)证明:BC⊥侧面PAB; B (Ⅱ)证明: 侧面PAD⊥侧面PAB;

C

(Ⅲ)求侧棱PC与底面ABCD所成角的大小; 答案： (Ⅰ)证: ∵侧面PAB⊥底面ABCD, 且侧面PAB与底面ABCD的交线是AB, 在矩形ABCD中, BC⊥AB，.∴BC⊥侧面PAB.

(Ⅱ)证: 在矩形ABCD中, AD∥BC, BC⊥侧面PAB, ∴AD⊥侧面PAB. 又AD平面PAD, ∴侧面PAD⊥侧面PAB.

(Ⅲ)解: 在侧面PAB内, 过点P做PE⊥AB, 垂足为E, 连结EC, ∵侧面PAB与底面ABCD的交线是AB, PE⊥AB, ∴PE⊥底面ABCD. 于是EC为PC在底面ABCD内的射影. ∴∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成的角. 在△PAB和△BEC中, 易求得PE=3, EC=3.在Rt△PEC中, ∠PCE=45°.

例4：设△ABC内接于⊙O，其中AB为⊙O的直径，PA⊥平面ABC。如图

P

cosABC答案：

5,PA:PB4:3,求直线PB和平面PAC所成角的大小. 6

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设PA4x,AB3x,则PB5x,BC3xcosABC52xAB是O的直径ACB90,即BCAC又PA面ABC,PABC

BC面PACBPC是PB和面PAC所成的角5x在RtBPC中,sinBPC25x12,BPC30即直线PB和平面PAC所成的角为30【课内练习】

1．假设平面外的直线a与平面所成的角为，那么的取值X围是 〔 〔A〕(0,2) 〔B〕[0,2) 〔C〕(0,2] 〔D〕[0,2]

答案：D。解析：a和α平行，a和α斜交。

2．在正方体ABCD-A1B1C1D1,O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD1、D1C1 的中点，那么直线OM( )

A 是AC和MN的公垂线 B 垂直于AC但不垂直于MN C 垂直于MN，但不垂直于AC D 与AC、MN都不垂直 答案：A 。解析：易证OM⊥AC，OM⊥MN。

3．设正四棱锥S—ABCD的侧棱长为2，底面边长为3，E是SA的中点，那么异面直线BE与SC所成的角是

〔 〕

A．30° B．45° C．60° D．90° 答案：C 。解析：连AC、BD交于O，连OE，那么OE//SC.

213BE22,OB232222,OE2,cosBEO1,BEO60 222224．异面直线a , b所成的角为60，过空间一定点P，作直线L，使L与a ,b 所成的角均为60，这样的直线L有条。

答案：三条。解析：如换成50°，70°呢。

5．三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，D是底面三角形内一点，且 ∠DPA=450，∠DPB=600，那么∠DPC=__________。

答案：600。解析：以PD为对角线构造长方体

6．正方体AC1中，过点A作截面，使正方体的12条棱所在直线与截面所成的角都相 等，试写出满足条件的一个截面____________

答案：面AD1C。解析：可得12条棱分成三类：平行、相交、异面，考虑正三棱锥D-AD1C， 7．如图，四面体ABCS中，SA，SB，SC两两垂直，∠SBA=45°，∠SBC=60°，M为

AB的中点，求：

C〔1〕BC与平面SAB所成的角；

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SBM〕 .

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〔2〕SC与平面ABC所成角的正弦值。

解析：〔1〕∵SC⊥SB，SC⊥SA，∴SC⊥平面SAB。 于是SB就是直线BC与平面SAB所成的角，为60°。

〔2〕联结SM，CM，∵在Rt△SAB中，∠SBA=45°，∴SM⊥AB，∴AB⊥平面SCM。 作SH⊥CM于H，那么AB⊥SH，故SH⊥平面ABC，所以∠SCH为SC与平面ABC所成的角。

设SA=a，那么SB=a，SC=3a，SM=在Rt△CSM中，CM2a。 21SC2SM23a2a2，

22aSM72sinSCHsinSCM。 CM77a27即SC与平面ABC所成角的正弦值为。

78．如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长AB＝2，侧棱BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F，

⑴求证：A1C⊥平面BDE；

⑵求A1B与平面BDE所成角的正弦值。

答案：⑴由三垂线定理可得，A1C⊥BD，A1C⊥BEA1C⊥平面BDE

⑵以DA、DC、DD1分别为x、y、z轴，建立坐标系，那么A1(2,0,4)，C(0,2,0)

B(2,2,0)，∴AC(2,2,4)，A1B(0,2,4) 1,A1B∴cosAC1设A1CACA1B1ACA1B130 6平面BDE＝K，由⑴可知，∠A1BK为A1B与平面BDE所成角，

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30 69．A是△BCD所在平面外的点，∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°，AB=3，AC=AD=2. 〔Ⅰ〕求证：AB⊥CD；

〔Ⅱ〕求AB与平面BCD所成角的余弦值.

∴sinA1BKcosA1C,A1B答案：〔Ⅰ〕∵∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°， AC=AD=2，AB=3， ∴△ABC≌△ABD，BC=BD.

取CD的中点M，连AM、BM，那么CD⊥AM，CD⊥BM.∴CD⊥平面ABM，于是AB⊥BD. 〔Ⅱ〕由CD⊥平面ABM，那么平面ABM⊥平面BCD，这样∠ABM是AB与平面BCD所成的角. 在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，BCAB2AC2ABAC7. 在△ACD中，

AC=AD=2，∠CAD=60°，∴△ACD是正三角形，AM=

3. 在Rt△BCM中，BC=7，CM=1，

BM222ABBMAM6

6.cosABM.2ABBM310．等腰ABC中，AC = BC = 2，ACB = 120，ABC所在平面外的一点P到三角

形三顶点的距离都等于4，求直线PC与平面ABC所成的角。

答案：设点P在底面上的射影为O，连OB、OC，那么OC是PC在平面ABC内的射影，

∴PCO是PC与面ABC所成的角。∵PA = PB = PC， ∴点P在底面的射影是ABC的外心，

注意到ABC为钝角三角形，∴点O在ABC的外部， ∵AC = BC，O是ABC的外心，∴OC⊥AB

在OBC中，OC = OB，OCB = 60，∴OBC为等边三角形，∴OC = 2 在RtPOC中，cosPCO【作业本】

A组

1．垂直于同一条直线的两条直线一定 〔 〕 A、平行 B、相交 C、异面 D、以上都有可能

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OC1∴PCO = 60。 PC2.

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答案：D。解析：注意空间和平面中的位置关系的不同。 2．a是平面α的斜线，b，a与b成α所成角的大小为。

角，b与a在α内的射影成角，那么a与342。解析：coscoscos,cos，即θ=。 44342PA、PB、PC是两两成600角的三条射线,那么PC与平面PAB所成角的余弦值是3．

答案：

〔〕

A．

1336 B． C． D． 2323答案：C。解析：可放入正四面中考虑。

4．直线l与平面α成角为300，lA,m,Am那么m与l所成角的取值X围是

。

答案： [ 300 , 900]。解析：斜线与平面内所有直线的所成角中，线面角最小角。 5．边长为2的正方形ABCD在平面α内的射影是EFCD，如果AB与平面α的距离为2，那么AC与平面α所成角的大小是。

答案：30。解析：sin21,30。 2226．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=5，AD=8，AA1=4，M为B1C1上一点，且B1M=2，点N在线段A1D上，A1D⊥AN，求：

(1) cosA1D,AM；

(2) 直线AD与平面ANM所成的角的正切；

(3) 平面ANM与平面ABCD所成角〔锐角〕的余弦值.

解析：(1) 以A为原点，AB、AD、AA1所在直线为x轴，y轴，z轴. 那么D(0,8,0)，A1 (0，0，4)，M(5,2,4)

A1D(0,8,4) AM(5,2,4)

∵A1DAM0∴cosA1D,AM0

(2) 由(1)知A1D⊥AM，又由A1D⊥AN，A1D平面AMN，垂足为N.

因此AD与平面ANM所成的角即是DAN. ∴tanDANtanAA1D2

(3)∵AA1平面ABCD，A1N平面AMN，

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∴AA1和NA1分别成为平面ABCD和平面AMN的法向量。 设平面AMN与平面ABCD所成的角〔锐角〕为，那么

coscosAA1,NA1cosAA1NcosAA1D5 5P 7．∠ACB=900，且在平面α内，PC与CA、CB所成角 ∠PCA=∠PCB=600,求PC与平面α所成角。

A

C α B

答案：解：如图过点P作PH⊥平面ABC于H， P 过点H作HD⊥AC于D，作HE⊥BC于E，连PD、PE，∴PD⊥AC，PE⊥BC， ∵∠PCA=∠PCB=600，∴ΔPCD≌ΔPCE，∴CD=CE，∴ΔHCD≌ΔHCE， ∴HD=HE，∴CH平分∠ACB，设PC=a∴CE∴∠PCH=45，即PC与平面α所成角为45。

0

0

12a,CHa, 22D C α H E B A

8.如图，正方形ACC1A1与等腰直角△ACB互相垂直，∠ACB=90°，E、F分别是AB、BC的中点， G是AA1上的点.

〔1〕假设AC1EG，试确定点G的位置；

〔2〕在满足条件〔1〕的情况下，试求cos＜AC，GF＞的值.

解析：〔1〕以C为原点，CB为x轴正方向，CA为y轴正方向，CC1为 z轴正方向，建立如下图的空间直角坐标系。

zC111A1令A(0,1,0)，那么B(1,0,0),E(,,0),C1(0,0,1)， 22G11C设G(0,1,a)，那么AC1(0,1,1),EG(,,a)， A22FE1由AC1EG得a，∴G为AA1的中点。

2xB1116〔2〕GF(,1,),AC(0,1,0)，cosAC,GF。 22332y

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B组

1．一条直线与一个平面所成的角等于，另一直线与这个平面所成的角是. 那么这

36两条直线的位置关系〔 〕

A．必定相交 B．平行 C．必定异面 D．不可能平行

答案：D。解析：假设平行那么直线与平面的所成角必相等。 2．如图正四面体D-ABC中, P∈面DBA, 那么在平面DAB 内过点P与直线BC成60°角的直线共有 ( )

A 0条 B 1条 C 2条 D 3条 A 答案：C。解析：过B分别作BD，AB的平行线即可。

D · P

C B

3．正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持 AP⊥BD1,那么动点P的轨迹〔〕

A、线段B1C B、BB1的中点与CC1中点连成的线段 C、线段BC1 D、CB中点与B1C1中点连成的线段

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答案：A。解析：B1C⊥面BD1C1，∴P点轨迹为线段B1C。

4．设MN为直二面角，AMN，AB，AC，∠BAN＝∠CAN＝45º， 那么∠BAC＝。

答案：60º。解析：cosBACcos45cos451,BAC60。 25．一个直角三角形的两条直角边长为2和4，沿斜边高线折成直二面角，那么两直角边所夹角的余弦值为_____。

答案：

2。解析：CD为斜边上的高， 5设BDx,AB224225

x22252522555 5AD25585CDAB,BDCD,ADCD

ADB为二面角的平面角，ADB2

AB(28203202855)2(5)2 552552242(285)225

2245cosACB6．在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，PDCDAD1AB，

2∠ADC＝120º，

⑴求证：求异面直线AD，PB的所成角；

⑵假设AB的中点为E，求二面角D－PC－E的大小。

3AB 答案：⑴连BD，∵∠ADC＝120º，AB∥CD，∴∠DAB＝60º，又AD1AB，∴BD22∴AD⊥BD，又∵PD⊥面ABCD，∴PD⊥AD，∴AD⊥平面PDB，∴AD⊥PB， 即异面直线AD、PB的所成角为90°。

⑵连DE，由可得△DEC为正三角形，取DC的中点F，连EF，那么EF⊥CD，

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∵PD⊥面ABCD，∴EF⊥PD，∴EF⊥面PCD，过F作FG⊥PC，连EG， 那么∠EGF为二面角D－PC－E的平面角

1CPPD3a，设CD＝a，那么EF在△PDC中，PC2a，那么FG2a 2PC22∴tanEGFEFFG6∴EGFarctan6〔注：此题用空间向量做也可〕

7．如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=2a，BC=CA=AA1=a，A1在底面ABC上的射影O在AC上.

〔Ⅰ〕求AB与侧面AC1所成的角；

〔Ⅱ〕假设O恰是AC的中点，求此三棱柱的侧面积.

∠CAB=45°,又BC⊥A1O，故BC⊥侧面AC1，AB与侧面AC1所成角就是∠BAC=45°.

答案：(Ⅰ)在△ABC中，AB=2a，BC=AC=a,∴△ABC是等腰直角三角形，BC⊥AC，

〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知四边形B1BCC1为矩形，SBBCCa2.A1OAC,O为AC中点，

11A1O332a,SA1ACC1ACA1Oa.作OEAB于E，连结A1E，那么AB⊥A1E. 在22Rt△AOE

2214AOa，在Rt△A1EO中，A1EA1O2OE2a. 24472SABB1A1ABA1Ea.S侧(327)a2.

28．如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC． P中，OE(Ⅰ)当k＝

1时，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值； 2AOBD(Ⅱ) 当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？ 答案：(Ⅰ)∵O、D分别为AC、PC中点， OD∥PA

C又PA平面PAB，  OD∥平面PAB ABBC，OAOC，

 OAOBOC，

又 OP平面ABC， PAPBPC.

取BC中点E，连结PE，则BC平面POE，作OFPE于F，连结DF，则OF平面PBC

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 ODF是OD与平面PBC所成的角.

又OD∥PA， PA与平面PBC所成的角的大小等于ODF，

在RtODF中，sinODFOF210, OD30(Ⅱ)由(Ⅰ)知，OF平面PBC，∴F是O在平面PBC内的射影 ∵D是PC的中点，

假设点F是PBC的重心，那么B，F，D三点共线，∴直线OB在平面PBC内的射影为直线BD，

OBPC,PCBD,PBPC，即k1 反之，当k1时，三棱锥OPBC为正三棱锥， ∴O在平面PBC内的射影为PBC的重心

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