《数学之友》 ２０１０年第２４期 探究角与角之问的数量关系 解题探索 蒋敏 （南京市宁海中学分校，２１００００） 在初中数学的研究领域内，常见的角与角之间 ‘．．／＿ＡＢＤ＋ ＢＤＣ： Ａ 的关系主要有两种：一是和差关系，二是倍分关系． １８０。（两直线平行，同旁内 在寻求角与角之间的关系时，图形中涉及的角较多， 角互补）． 关系较为复杂，有的图形需要添加辅助线，才能使角 。．． １＋／＿２＋／＿ＡＢＥ＋ Ｃ Ｄ 之间的关系明朗化．为了提高学生解决问题的能力， 肋Ｃ＝Ｉ８０。． 笔者设计了以下几道有代表性的例题和相应的习 ・‘ ．１＋／＿２＋厶 ＝１８０。（三角形内角和定理）， 题，依靠已有的知识储备，充分利用“转化”的数学 ‘．． ＢＥＤ： ＡＢＥ＋ ＥＤＣ． 思想，便能使问题迎刃而解． 思路和方法：要证明三个角之间有和差关系，通 常可以将大角ＡＢＥＤ分割成两个小角 １和／＿２，使 １ 平行线条件下的角之间的数量关系 ＡＢ＝ １，那么问题就转化成证明“ＡＤ＝／＿２”了． 例１ 如图，ＡＢ∥ＣＤ，你能 这样我们就把证明三个角的数量关系转化成证明两 证明ＡＢ＋ＡＤ＝ 日肋吗？ 个角的相等关系，把复杂问题简单化，这是数学中很 分析：从条件人手，已知两直 重要的“转化”的思想方法．以上三种解题方法从这 线平行，那么我们就可以寻找第 Ｄ 个角度看，便是一题多解，殊途同归．实现这种“转 三条截线，利用平行线的性质解决问题．但图中没有 化”的主要依据是：“三角形外角性质”、“平行线的 现成的截线，于是有以下几种常见的添辅助线的 性质”和“三角形内角和定 方法： 理”． 方法一：过点Ｅ作ＭＮｌ／ｌＡＢ，辅助线的作用是将 变式练习：如图，ＡＢ∥Ｃ ＡＢＥＤ分割成两个小角ＡＢＥＮ和／＿ＮＥＤ，使ＡＢ＝ ＣＤ，你能找出ＡＢ，ＡＤ与 ＡＢＥＮ，那么问题就转化成证明“ＡＤ＝／＿ＮＥＤ”了． Ｅ之间的关系吗？ 证明：过点Ｅ作ＭＮ／／ＡＢ． ＭＮ／ｌＡＢ， ２三角形内部的角之间的数量关系 ・。．‘．． Ｂ＝ ＢＥＮ． 例２ 如图，ＡＡＢＣ中， 和 ｃ的平分线 ・。．ＭＮ／／ＡＢ，ＣＤｆｆＡＢ， ＢＯ、ＣＯ相交于点０， 和ＡＢＯＣ有怎样的关 ・．ＭＮ／／ＣＤ．．・．ＡＤ＝ＡＤＥＮ． 系呢？ ． ＡＢＥＤ＝／＿＿ＢＥＮ＋ＡＤＥＮ－．．．／－ＢＥＤ＝ Ｂ＋ 分析：要求ＡＢＯＣ，只要求得 １＋／＿２，而由条 方法二：延长ＢＥ交ＣＤ 件可知Ａ１＋／＿２是ＡＡＢＣ＋ Ａ∞的一半．ＡＡＢＣ、 于点 ＡＡＣＢ与已知的厶４在同一个三角形中，这样利用 。 厶ＢＥＤ＝ ＢＦＤ＋ Ｄ． 内角和定理就找到了关系． （三角形的外角等于与ｒ Ｄ 解：‘．’在ＡＡＢＣ中，厶４＋ 它不相邻的两个内角的和） ＡＡＢＣ＋ＡＡＣＢ＝１８０。（三角形 ’． ＣＤ／￣ｌＡＢ．．‘． Ｂ＝ ＢＦＤ． 内角和定理）， Ｃ ’．ＢＥＤ＝ Ｂ＋ Ｄ． 。． ． ＡＢＣ＋ ＡＣＢ＝１８０。一 Ａ． （如果延长ＤＥ，方法同上）． １＋Ａ２＝ １． 一方法三：连结ＢＤ． Ｂｃ＋－￣ＡＡＣＢ， － ＡＢ｝ｆ ＣＤ． －１＋ ２＝ １（１８０。． 一ｃＡ）． ・８５・ 《数学之友》 ２０１０年第２４期 ‘．‘在ＡＯＢＣ中， ０＋ １＋Ｌ２＝１８０。， 形ＢＣＤＥ内部时， Ａ， １， ２有怎样的数量关系？ ’．．／Ｏ＋÷（１８０。一 Ａ）：１８０。． ／＿Ｏ＝９０。＋１ＬＡ． 写出这个关系式，并证明你的结论． ・．．思路和方法：在三角形内部，要寻求角与角之间 的关系，可以先找与已知条件有直接关系的角，再找 与目标角有直接关系的角，从而找到起桥梁作用的 “过渡角”．解决问题的关键是把角集中到同一个三 角形里，利用三角形的内角和定理去研究． 方法一：‘．‘在ＡＡＥＤ中， 厶４＋／３＋ ４＝１８０。（三角形内角和定理）， ‘．． 变式１：若将“ 日和 Ｃ的平分线ＢＯ，ＣＯ相 交于点０”改为“ 日的内角平分线和 Ｃ的外角平 分线ＢＯ，ＣＯ相交于点０”，这时ＬＢＯＣ和 ４有何 关系？ ４＝１８０。一（Ｌ３＋ ４）． ・．‘ＤＥ是折线， Ｌ３：了１（１８０。Ｌ１）Ｌ４： １（１８０。一 ・．．，２）． ・思路１：把 ０ Ｌ３＋ ４：１（１８０。一 ．．１）＋ １－（１８Ｏ。一Ｌ２） 放在ＡＢＯＣ中去研 究， ０＝１８０。一 ＝１８０。一÷（ １＋ ２）． ＬＢＣＯ—Ｌ２，如果 能找到ＬＢＣＯ，Ｌ２口 ・ｃ ．． ＝÷（ １＋Ｌ２）． 与 Ａ的关系，就能发现 Ａ与 ０的关系． 思路２：把Ｌ０放在△ＯＰＣ中去研究，方法类似 方法二：连结Ａ Ａ． ’’ ．１＝ ＥＡ Ａ＋ ＥＡＡ （三角形外角性质）， 于思路１．这两种思路主要是依据内角和定理，过程 较为繁琐． 思路３：本题已知条件中涉及到的角是内角 ／＿ＡＢＣ和外角／＿ＡＣＨ，目标角是 Ａ和 ０，那我们 能不能找到已知角和目标角之间最直接的联系呢？ 发现 Ａ＝ ＿． ． Ｌ２＝ ＤＡ Ａ＋ ＤＡＡ （三角形外角性质）． 把△图 点 如 １＋Ｌ２＝（ ＥＡ Ａ＋ＬＤＡ Ａ）＋（／＿ＥＡＡ ＋ＬＤＡＡ ） ＝ 关帙一拣练一折哳 一Ｂ豕： ， ＥＡ Ｄ＋ ＥＡＤ． ‘．‘ＤＥ是折线，．・． ＥＡ Ｄ＝／＿ＥＡＤ． Ｌ１＋Ｌ２＝２／ＥＡＤ－－Ｉ． Ａ＝ （ ｌ＋ ２）． ｅＨ—ＬＡＢＣ，／０＝ １一 ２＝ ・．．÷／１ ＡＣＨ一÷ＬＡＢＣ，１ 这样很快就能发现厶４和 ０ 二 二 思路和方法：在折叠问题中，要善于抓住折叠前 １ 的关系是 ０＝÷厶４． 二 后角度相等的角，结合三角形内角和定理，寻找角与 这种思路是将“条件”和“结论”相互逼近，利用 三角形的外角性质来实现．在探求角与角之间的关 系时，很多情况下用外角性质要比用内角和定理来 得简便． 变式２：如图，在ＡＡＢＣ中的 外角平分线ＢＯ，ＣＯ相交于点 ０，这时ＬＢＯＣ和 Ａ有怎样的 数量关系？ １ Ｂ 答案：厶４： （ １一Ｌ２） ０ ４ 圆问题中的角之间的数量关系 例４如图，已知ＡＡＢＣ是ｏ０的内接三角形， 点Ｃ是优弧 上一点（点ｃ不与Ａ、 重合），设 Ｚ ＯＡＢ＝ ， Ｃ＝ ．猜想 与 之间的关系，并说 明理由． （下转第８８页） 答案： ０＝９０。～ １ ＬＡ． ３ 折叠问题中的角之间的数量关系 例３ ＡＢＣ纸片沿ＤＥ折叠，如图点 落在四边 ・８６・
