沪科版九年级数学上册课时练习：22.3 相似三角形的性质

22.3 相似三角形的性质

一、精心选一选

1﹒若两个相似多边形的面积之比为1：3，则它们的周长之比为（ ） A.1:3 B.3:1 C.3:3 D. 3:1

2﹒在△ABC中，D、E为边AB、AC的中点，已知△ADE的面积为4，那么△ABC的面积是（ ） A.8 B.12 C.16 D.20

3﹒如果一个三角形保持形状不变，但面积扩大为原来的4倍，那么这个三角形的边长扩大为原来的（ ）

A.2倍 B.4倍 C.8倍 D.16倍

4﹒如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是（ ） A.AB2＝BCBD B.AB2＝ACBD C.ACBD＝ABAD D.ABAC＝ADBC

第4题图 第5题图 第6题图 第7题图

5﹒如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD相交于点O，设△OCD的面积为m，△OEB的面积为5，则下列结论中正确的是（ ）

A.m＝5 B.m＝45 C.m＝35 D.m＝10 6﹒如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3， 则S△DOE：S△AOC的值为（ ） A. B.

13111 C. D. 49167﹒如图，在等边△ABC中，点D为边BC上一点，点E为边AC上一点，且∠ADE＝60°，BD＝4，CE＝

4，则△ABC的面积为（ ） 3A.83 B.15 C.93 D.123 8﹒如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB＝1：2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC和BC上，则CE：CF＝（ ） A.

3456 B. C. D. 4567

1

第8题图 第9题图 第10题图

9﹒如图，小明晚上由路灯A下的点B处走到点C处时，测得自身影子CD的长为1米，他继续往前走3米到达E处（即CE＝3米），测得自己影子EF的长为2米，已知小明的身高为1.5米，那么路灯A的高度AB是（ ）

A.4.5米 B.6米 C.7.2米 D.8米

10.如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，给出下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S△ABF：S四边形CDEF＝2：5，其中正确的结论有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、细心填一填

11.已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2：3，则△ABC与△DEF对应边上的中线的比为___________.

12.若两个相似三角形的周长之比为2：3，则它们的面积之比是___________.

13.如图，△ABC和△A1B1C1均在4×4的正方形网格图（每个小正方形的边长都为1）中，△ABC与△A1B1C1的顶点都在网格线的交点处，如果△ABC∽△A1B1C1，那么△ABC与△A1B1C1的相似比是_____.

14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿BD折叠，点C恰好落在AB上的点C 处，折痕为BD，再将其沿DE折叠，使点A落在DC的延长线上的A处.若△BED∽△ABC，则△BED与△ABC的相似比是__________.

15.如图，在一块直角三角板ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，将另一个含30°角的△EDF的30°角的顶点D放在AB边上，E、F分别在AC、BC上，当点D在AB边上移动时，DE始终与AB垂直，若△CEF与△DEF相似，则AD＝____________.

16.如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数 y＝

k（k≠0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD.若△OCD∽△ACO，x则直线OA的解析式为____________. 三、解答题

17.已知：如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，E是BO的中点，连接AE并延长交BC于点F，求△BEF与△DEA的周长之比.

2

18.已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O.若试求△AOD的面积.

SAOD1＝，S△BOC＝m.SACD3

19.如图，在△ABC中，点P是BC边上任意一点（点P与点B，C不重合），平行四边形AFPE的顶点F，E分别在AB，AC上．已知BC＝2，S△ABC＝1．设BP＝x，平行四边形AFPE的面积为y． （1）求y与x的函数关系式；

（2）上述函数有最大值或最小值吗？若有，则当x取何值时，y有这样的值，并求出该值；若没有，请说明理由．

20.已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，E为直角边AC的中点，过D，E作直线交AB的延长线于F.求证：

ABDF＝. AFAC

21.已知，如图，在△ABC中，P是边AB上一点，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D、E，AC＝3，BC＝35，BE＝5，DC＝5.求证： （1）Rt△ACD∽Rt△CBE； （2）AC⊥BC.

3

22.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F是AD上的点，且AE＝EF＝FD．连接BE、BF，使它们分别与AO相交于点G、H． （1）求EG：BG的值； （2）求证：AG＝OG；

（3）设AG＝a，GH＝b，HO＝c，求a：b：c的值．

23.如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接GA、GB、GC、GD、EF，若∠AGD＝∠BGC.

图1 图2 （1）求证：AD＝BC；

（2）求证：△AGD∽△EGF；

（3）如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求

AD的值. EF 4

22.3相似三角形的性质课时练习题

参考答案

一、精心选一选 题号 答案 1 C 2 C 3 A 4 B 5 B 6 D 7 C 8 B 9 B 10 D 1﹒若两个相似多边形的面积之比为1：3，则它们的周长之比为（ ） A.1:3 B.3:1 C.3:3 D. 3:1

解答：根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比，得它们的周长之比＝133，故选：C. 32﹒在△ABC中，D、E为边AB、AC的中点，已知△ADE的面积为4，那么△ABC的面积是（ ） A.8 B.12 C.16 D.20

解答：如图，∵D、E为边AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝

＝S1DE2121BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADE＝()＝()＝，∴S△ABC＝16，故选：C.

SABC224BC3﹒如果一个三角形保持形状不变，但面积扩大为原来的4倍，那么这个三角形的边长扩大为原来的

（ ）

A.2倍 B.4倍 C.8倍 D.16倍

解答：由题意知：这两个三角形的面积之比等于4:1，则它们的相似比为2：1，因此边长扩大到原来的2倍，故选：A.

4﹒如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是（ ） A.AB2＝BCBD B.AB2＝ACBD C.ACBD＝ABAD D.ABAC＝ADBC

ABBCAC＝＝， BDABAD∴AB2＝BCBD，ACBD＝ABAD，ABAC＝ADBC，故选：B.

解答：∵△ABC∽△DBA，∴

5﹒如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD相交于点O，设△OCD的面积为m，△OEB的面积为5，则下列结论中正确的是（ ）

A.m＝5 B.m＝45 C.m＝35 D.m＝10 解答：∵AB∥CD，∴△OCD∽△OEB，又∵E是AB的中点，∴2EB＝AB＝CD，∴

SOEBBE2

＝()，SOCDCD51＝()2，解得：m＝45，故选：B. m26﹒如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（ ）

1111A. B. C. D.

49163即

5

解答：∵S△BDE：S△CDE＝1：3，∴BE：EC＝1：3，∴BE：BC＝1：4， ∵DE∥AC，∴△DOE∽△AOC，∴

DEBE1DE21＝＝，∴S△DOE：S△AOC＝()＝，故选：D.

16ACBC4AC7﹒如图，在等边△ABC中，点D为边BC上一点，点E为边AC上一点，且∠ADE＝60°，BD＝4，CE＝

4，则△ABC的面积为（ ） 3A.83 B.15 C.93 D.123 解答：∵△ABC是等边三角形，∠ADE＝60°，∴∠B＝∠C＝∠ADE＝60°，AB＝AC， ∵∠ADB＝∠DAC+∠C，∠DEC＝∠ADE+∠DAC，∴∠ADB＝∠DEC，∴△ADB∽△DCE，∴

AB＝DC4BDx，设AB＝x，则DC＝x－4，∴＝，解得：x＝6，即AB＝6， CEx4431过点A作AF⊥BC于F，则BF＝AB＝3，在Rt△ABF中，AF＝AB2BF2＝33，

211∴S△ABC＝BCAF＝×6×35＝93，故选：C.

228﹒如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB＝1：2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，

折痕为EF，点E、F分别在AC和BC上，则CE：CF＝（ ） A.

3456 B. C. D. 4567解答：设AD＝k，则DB＝2k，

∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝3k，∠A＝∠B＝∠C＝∠EDF＝60°，∴∠EDA+∠FDB＝120°， 又∠FDB+∠AED＝120°，∴∠FDB＝∠AED，∴△AED∽△BDF，∴

EDADAE＝＝， FDBFBD设CE＝x，则ED＝x，AE＝3k－x，设CF＝y，则DF＝y，FB＝3k－y， ∴

kyx(3ky)xkx43kx＝＝，∴，∴＝，∴CE：CF＝4：5，故选：B. 3kyyy52k2kxy(3kx)9﹒如图，小明晚上由路灯A下的点B处走到点C处时，测得自身影子CD的长为1米，他继续往前走3米到达E处（即CE＝3米），测得自己影子EF的长为2米，已知小明的身高为1.5米，那么路灯A的高度AB是（ ）

A.4.5米 B.6米 C.7.2米 D.8米

DCMC1.51＝，即＝， DBABABBC12NEEF1.5∵NE∥AB，∴△FNE∽△FAB，∴＝，即＝，

ABBFABBC32211.51∴＝，解得：BC＝3，∴＝，解得：AB＝6， BC1BC32AB13解答：由题意知：MC∥AB，∴△DCM∽△DAB，∴

即路灯A的高度AB为6米，故选：B.

10.如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，给出下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S△ABF：S四边形CDEF＝2：5，其中正确的结论有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解答：过D作DM∥BE交AC于N，

6

∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，

∵BE⊥AC于点F，∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，∴△AEF∽△CAB，故①正确； ∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴

11AEAFAF1＝，∵AE＝AD＝BC，∴＝，∴CF＝2AF，故

222BCCFCF②正确，∵DE∥BM，BE∥DM，∴四边形BMDE是平行四边形， ∴BM＝DE＝

1BC，∴BM＝CM，∴CN＝NF， 2∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DF＝DC，故③正确；

111EFAE1＝＝，∴S△AEF＝S△ABF，S△ABF＝S矩形ABCD，∴S△AEF＝S矩形ABCD，

2612BFBC2115又∵S四边形CDEF＝S△ACD﹣S△AEF＝S矩形ABCD﹣S矩形ABCD＝S矩形ABCD，

21212∵△AEF∽△CBF，∴

∴S△ABF：S四边形CDEF＝2：5，故④正确；故选：D．

二、细心填一填

11. 2：3； 12. 4：9； 13. 2：1； 14.

264； 15. 或； 16. y＝2x； 35311.已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2：3，则△ABC与△DEF对应边上的中线的比为___________.

解答：∵△ABC与△DEF的相似比为2：3，

∴△ABC与△DEF对应边上的中线的比为2：3，故答案为：2：3.

12.若两个相似三角形的周长之比为2：3，则它们的面积之比是___________. 解答：∵这两个相似三角形的周长之比为2：3，

∴它们的相似比为2：3，∴它们的面积之比为4：9，故答案为：4：9.

13.如图，△ABC和△A1B1C1均在4×4的正方形网格图（每个小正方形的边长都为1）中，△ABC与△A1B1C1的顶点都在网格线的交点处，如果△ABC∽△A1B1C1，那么△ABC与△A1B1C1的相似比是_____.

解答：由图可知：AC与A1C1是对应边，A1C1＝1，

再由勾股定理得：AC＝1212＝2，∴AC：A1C1＝2：1， 即△ABC与△A1B1C1的相似比是2：1，故答案为：2：1.

14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿BD折叠，点C恰好落在AB上的点C 处，折痕为BD，再将其沿DE折叠，使点A落在DC的延长线上的A处.若△BED∽△ABC，则△BED与△ABC的相似比是__________. 解答：∵△BED∽△ABC，

∴∠DBA＝∠A，又∠DBA＝∠DBC，∴∠A＝∠DBA＝∠DBC＝30°， 设BC为x，则AC＝3x，BD＝

23x， 322BD2＝，即△BED与△ABC的相似比是，故答案为：．

33AC315.如图，在一块直角三角板ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，将另一个含30°角的△EDF的

30°角的顶点D放在AB边上，E、F分别在AC、BC上，当点D在AB边上移动时，DE始终与AB垂直，若△CEF与△DEF相似，则AD＝____________.

7

解答：∵∠EDF＝30°，ED⊥AB于D， ∴∠FDB＝∠B＝60°，∴△BDF是等边三角形； ∵BC＝1，∴AB＝2；

∵BD＝BF，∴2－AD＝1－CF；∴AD＝CF+1． ①若∠FED＝90°，△CEF∽△EDF， 则

EFCF116CF2CF＝，即＝，解得，CF＝；∴AD＝+1＝； DF2CF1CF555EF1464CFCECF11＝，即＝；解得，CF＝；∴AD＝+1＝．故答案为：或．

2353FDFE1CF33k（kx②若∠EFD＝90°，△CEF∽△FED， 则

16.如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y＝

≠0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD.若△OCD∽△ACO，则直线OA的解析式为____________.

kk上，∴CD＝， xaOC2a2a2OCAC∵△OCD∽△ACO，∴＝，∴AC＝＝，∴点A（a，），

CDkkCDOCa3a∵点B是OA的中点，∴点B的坐标为（，），

22kaa3a∵点B在反比例函数图象上，∴k＝×，∴a4＝4k2，解得，a2＝2k，∴点B的坐标为（，a），

2k22a设直线OA的解析式为y＝mx，则m×＝a，解得m＝2，所以，直线OA的解析式为y＝2x．

2解答：设OC＝a，∵点D在y＝

故答案为：y＝2x． 三、解答题

17.已知：如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O， E是BO的中点，连接AE并延长交BC于点F，求△BEF与△DEA的周长之比. 解答：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO＝∵E是BO的中点，

1BD， 211113BO＝BD，∴ED＝EO+DO＝BD+BD＝BD，∴BE：2442413ED＝BD：BD＝1：3，

44∴BE＝EO＝

∵BF∥AD，∴△BEF∽△DEA，∴△BEF的周长：△DEA的周长＝BE：ED＝1：3. 18.已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O.若

SAODSACD＝，S△BOC＝m，试求△AOD的面积.

13解答：过点D作DE⊥AC于E，则

SAODSACD1AODE1AO12＝＝，∴＝，

13AC3ACDE28

又∵AO+OC＝AC，∴

AO1＝， OC2∵AD∥BC，∴

SAODS11AOm＝()2＝，即AOD＝，∴S△AOD＝. SBOC4m4OC419.如图，在△ABC中，点P是BC边上任意一点（点P与点B，C不重合），平行四边形AFPE的顶

点F，E分别在AB，AC上．已知BC＝2，S△ABC＝1．设BP＝x，平行四边形AFPE的面积为y． （1）求y与x的函数关系式；

（2）上述函数有最大值或最小值吗？若有，则当x取何值时，y有这样的值，并求出该值；若没有，请说明理由． 解答：（1）∵四边形AFPE是平行四边形， ∴PF∥CA，∴△BFP∽△BAC，∴

SBFPx＝()2， SBAC2x22x244xx2∵S△ABC＝1，∴S△BFP＝，同理：S△PEC＝()＝，

44222x44xx1∴y＝1－－，∴y＝－x2+x；

442（2）上述函数有最大值，最大值为 ；理由如下：

∵y＝－

121111x+x ＝－(x﹣1)2+，又－＜0，∴y有最大值，∴当x＝1时，y有最大值，最大值为． 22222ABDF＝. AFAC20.已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，E为直角边AC的中点，过D，E作直线交AB的延长线于F.求证：

解答：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠BAC＝∠ADB＝90°，

又∵∠ABC＝∠ABD，∴△CBA∽△ABD，

ABACABBD＝，∴＝， BDADACAD1又∵E为AC的中点，AD⊥BC，∴ED＝EC＝AC，∴∠C＝∠EDC，

2∴∠C＝∠FAD，

又∵∠EDC＝∠FDB，∴∠FAD＝∠FDB，∵∠F＝∠F，∴△DBF∽△ADF，∴∴

BDDF＝， ADAFABDF＝. AFACBC＝35，BE＝5，DC＝5.求证：

21.已知，如图，在△ABC中，P是边AB上一点，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D、E，AC＝3，（1）Rt△ACD∽Rt△CBE；

（2）AC⊥BC.

解答：（1）∵AD⊥CP，BE⊥CP，∴∠E＝∠ADC＝90°， ∵AC＝3，BC＝35，BE＝5，DC＝5，∴5ACDC＝＝, 5BECB∴Rt△ACD∽Rt△CBE；

（2）∵Rt△ACD∽Rt△CBE，∴∠ACD＝∠CBE， ∵∠CBE+∠ECB＝90°，∴∠ACD+∠ECB＝90°，即∠ACB＝90°，∴AC⊥BC.

22.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F是AD上的点，且AE＝EF

9

＝FD．连接BE、BF，使它们分别与AO相交于点G、H． （1）求EG：BG的值； （2）求证：AG＝OG；

（3）设AG＝a，GH＝b，HO＝c，求a：b：c的值． 解答：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝

1AGEGAEAC，AD＝BC，AD∥BC，∴△AEG∽△CBG，∴＝＝， 2GBGCBC1AC＝2AG，∴GO＝AO﹣AG＝AG； 2∵AE＝EF＝FD，∴BC＝AD＝3AE，∴GC＝3AG，GB＝3EG，∴EG：BG＝1：3； （2）∵GC＝3AG，∴AC＝4AG，∴AO＝

（3）∵AE＝EF＝FD，∴BC＝AD＝3AE，AF＝2AE．

22AHAF2AE2AH＝＝＝，∴＝，即AH＝AC．

355HCBC3AEAC1213∵AC＝4AG，∴a＝AG＝AC，b＝AH－AG＝AC－AC＝AC，

45420121113c＝AO－AH＝AC－AC＝AC，∴a：b：c＝：：＝5：3：2．

251042010∵AD∥BC，∴△AFH∽△CBH，∴

23.如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接GA、GB、GC、GD、EF，若∠AGD＝∠BGC.

图1 图2 （1）求证：AD＝BC；

（2）求证：△AGD∽△EGF；

（3）如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求

AD的值. EF解答：（1）证明：GE是AB的垂直平分线，∴GA＝GB，同理GD＝GC，

在△AGD和△BGC中，∵GA＝GB，∠AGD＝∠BGC，GD＝GC， ∴△AGD ≌△BGC， ∴AD＝BC.

（2）证明：∵∠AGD＝∠BGC，∴∠AGB＝∠DGC， 在△AGB和△DGC中，

GAGBAGEG ，∠AGB＝∠DGC.，∴△AGB∽△DGC， ∴ ， GDGCDGFG又∠AGE＝∠DGF，∴∠AGD＝∠EGF，∴△AGD∽△EGF.

（3）解：如图①，延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，则AH⊥BH，

由△AGD≌△BGC，知∠GAD＝∠GBC，在△GAM和△HBM中，∠GAD＝∠GBC，∠GMA＝∠HMB， ∴∠AGB＝∠AHB＝90º，∴∠AGE＝又△AGD∽△EGF，∴

1AG∠AGB＝45º， ∴ ＝2， 2EGADAG2 . EFEG10

图①