【算法分析与设计】【第十周】96. Unique Binary Search Trees

题目来源：96：

动态规划基础训练2。

96. Unique Binary Search Trees

题目大意

给定一个数n，求出节点数为n的二叉搜索树的个数。

思路

卡特兰数

啥是卡特兰数？在做这题之前我也是懵懵哒。

卡特兰数是一种经典的组合数，经常出现在各种计算中，其前几项为 : 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 1294790, 477638700, 1767263190, 65120420, 24466267020, 914825630, 343059613650, 12904147324, 48619401452, …

卡特兰数满足以下性质：
令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式:
h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + … + h(n-1)h(0) (n>=2)
也就是说，如果能把公式化成上面这种形式的数，就是卡特兰数。

当然，上面这样的递推公式太繁琐了，于是数学家们又求出了可以快速计算的通项公式:
h(n)=c(2n,n)-c(2n,n+1)(n=0,1,2,…)。
这个公式还可以更简单得化为h(n)=C(2n,n)/(n+1)。

上面的解释比较官方， 介绍的很好，可以了解一下。

特殊情况分析

• 如果集合为空（n=0），只有一种BST，即空树，
  UniqueTrees[0] =1

• 如果集合仅有一个元素（n=1），只有一种BST，即为单个节点
  UniqueTrees[1] = 1

• 集合有三个元素（n=3），可以发现BST的取值方式如下：
  UniqueTrees[2] = UniqueTrees[0] * UniqueTrees[1] (1为根的情况)+
  UniqueTrees[1] * UniqueTrees[0] (2为根的情况)

• 再看一集合有三个元素（n=3），可以发现BST的取值方式如下：
  UniqueTrees[3] = UniqueTrees[0]*UniqueTrees[2] (1为根的情况)+
  UniqueTrees[1]*UniqueTrees[1] (2为根的情况)+
  UniqueTrees[2]*UniqueTrees[0] (3为根的情况)

所以，由此观察，可以得出UniqueTrees的递推公式为